吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

初三年级综合练习数学学科试卷 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.比较实数0，-3，-3.5,2的大小，其中最小的实数为 A.0 B.-3 C.-3.5 D.2 2.2025年12月3日至7日是吉林省的“冰雪假期”，全省2379所义务教育学校163万名学生全部放 假.没有作业，只有建议：鼓励孩子们走向雪场冰场，走进博物馆图书馆，去体验“脚下有力、眼里 有光、脸上有笑”的成长.其中，数据130000用科学记数法可表示为 () A.163×104 B.0.163×107 C.1.63×105 D.1.63×106 3.若a<b,则下列不等式中一定成立的是 A.-a<-b B.a>b C.3a>3b D.a+1<b+1 22 4.将抛物线y=(x+1)2-1先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得新抛物线的解析式为 A.y=x2+1 B.y=(x+2)2+1 C.y=(x+2)2-3 D.y=x2-3 5.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=18°，则∠COB的度数为 A.26° B.36° C.72 D.71° B (第5题) (第7题) 6.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载：绳索量竿问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折 回索子去量竿，却比竿子短一托”.其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5 尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设竿长x尺，绳索长y尺，符合题意的方程组是() x=y+5 y=x+5 y=x+5 x=y+5 A B. C. D. 5y=x-5 2y=x-5 2=y-5 (2=y-5 7.如图，PA,PC是⊙O的切线，A,C为切点，若AB是⊙O的直径，且∠P=68°，则∠BAC的度数 为 () A.34° B.39° C.51° D.56° 8.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=-x+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为（ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 9.因式分解：x2-1= 10.多项式3n4-2n2+1的次数是 11.若抛物线y=-1x-x+c(c是常数)与x轴没有公共点，则c的取值范围是 2 12.如图，正五边形ABCDE的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积 为 13.如图，抛物线y=2(a>0)的顶点为O,平行于x轴的直线与该抛物线交于点A,B（点A在点B 左侧)，当△AOB为直角三角形时，AB=4,则a的值是 (第12题) (第13题) (第14题) 14.如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆O上一点，延长BC至点D,使BC=CD,连结AD, 过点C作半圆O的切线CE,交AD于点E,连结BE交半圆O于点F,连结AF并延长交CE于点G. 下列结论：@AD=AB;②CE⊥AD;③AC=2BC；④△ACGn△BDE;⑤若3BE=44G,则tanD= 手其中正确结论的序号足 三、解答题：本题共10小题，共78分. 15.(6分)先化简，再求值：(a-b)-a(a-2b+1),其中，a=1.5,b=5. 16.(6分)第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行.赛前小明和小华同 学计划在三项赛事中随机抽取一项进行现场观赛，三项赛事分别为：A.游泳；B.花样游泳，C.跳水.请 用列表或画树状图的方法，求小明和小华至少有一人现场观看跳水比赛的概率. 17.(6分)在“阳光体育一小时”活动中，小王和小李参加跳绳比赛：在某段相同时间内，小王跳了240 次，小李跳了270次.已知小王每分钟比小李少跳20次，则小王和小李平均每分钟各跳多少次？ 18.(7分)某校为了解九年级600名学生周末在家课外阅读的情况，在该校九年级随机抽取了20名 男生和20名女生，对他们周末用于课外阅读的时长进行了调查，并收集得到了如下数据（单位：分钟） 【收集整理数据】 男生：25,32,32,40,45,56,60,66,68,69,70,70,70,80,88,90,95,97,102,105. 女生：29,35,35,48,55,56,60,60,65,70,72,75,80,88,88,88,90,98,99,109. 【分析数据】数学兴趣小组统计了两组数据的平均数、中位数和众数，并按A,B,C,D四个等级对女 生课外阅读情况绘制了不完整的扇形统计图（说明：4级：不高于49分钟，B级：50分钟-69分钟， C级：70分钟-89分钟，D级：不低于90分钟)，如下： 女生课外阅读情况扇形统计图 平均数（单位： 中位数C单位： 众数（单位； 组别 分钟) 分钟) 分钟) B A 25% 20% 男生 68 69.5 C D 女生 70 b 88 根据以上信息解答下列问题： (1)ae, (2)在扇形统计图中，D级对应的扇形的圆心角度数是· (3)如果该校九年级共有男生320人，请估计该校九年级周末在家课外阅读的时长不少于90分钟的女 生总人数. 19.（7分)如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的顶点 都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留作图痕迹 (1)在图1中，标出△ABC的外接圆圆心O. (2)在图1中，作∠ADC与∠ABC互补，且点D为格点 (3)在图2中，在AB上找一点M,连结CM,使∠BCM=∠ACM. 图1 图2 20.(7分)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC边于点D,在花取点O,使⊙O 经过点A、点D,与AC交于点E. (1)求证：BC是⊙O的切线 (2)若AC=9,∠C=30°，则DE的长是 2 21.(8分)长春南湖公园的石拱桥以古朴石块筑成，搭配精致栏杆，造型典雅。桥体采用大拱与两侧 小拱的设计，如图①，桥中间的大拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 OA=8m,桥拱顶点B到水面的距离是4m. (1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥大拱部分抛物线的函数表达式， (2)同一时刻，一名环卫工人驾驶打捞船恰好停在桥大拱下方且距0点1m处清理垃圾，若环卫工人 身高1.71m,请通过计算说明他直立时头顶是否会触碰到桥拱（假设船底与水面齐平）. B 图① 图② 22.(9分)小明在学习完圆这一章内容后，发现对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识 可以更容易解决问题.我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”，这类题目主要有“定点+定长与“定角+定 弦”两种类型。下面是小明对“定角+定弦类型题开展的探究活动。 【初步运用】 如图，已知线段BC=√2，点D是直线BC上方一动点，且∠BDC=45°，确定点D的轨迹。 小明以BC为底边作等腰R△ABC,使∠BAC=90°，AB=AC,且点A、点D 在BC同侧.则以点A为圆心，以为半径（填长度），作辅助圆⊙A.易 知点D的轨迹为⊙A的优弧BC(不包含点B、C). 即由BDC=45·(定角)，BC=V2(定弦)，可得点D一定在某一个确定的圆 上 【深入探究】 间题原型：如图①，菱形ABCD边长为52，∠ADC=45°，点P在射线DC上移动.试探究E的最小值. PA 间题探究：如图②，小明首先在射线AP上作点E,使∠ABE=∠APB,利用△ABE∽△APB,. PB转化 P 为BE 这样就将双变量(PB、P)问题转化为探究BE长度最小值的单变量问题，于是将问题进一步转化 AB 成探究点E轨迹的问题： 小明进一步发现当△ABE∽△APB时，连结DE,总有△ADE∽△APD,进而可知∠AED=∠ADP=45°， 以下是小明证明∠AED=45°的部分过程： 证明：由问题探究的作法可知，∠ABE=∠APB, 又.∠BAE=∠PAB, △ABE∽△APB. AAE、AB AB AP 菱形ABCD中，AD=AB,且∠ADP=45°. 证明过程缺失 ·∠AED=∠ADP=45°. 请你补全缺失的证明过程。 由∠AED恒为45°（定角），AD=5V互（定弦），可得点E一定在某一个确定的圆上. 请帮小明在图③中画出此圆，圆心标记为O,从而确定BE长度的最小值为 问题解决：结合上述探究过程，则 PB 的最小值是 PA 图① 图② 图③ 3 23.(10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,在AB上取一点D,使i∠BCD= 动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AC向点C运动，同时动点g从点C出发，以每秒3 个单位长度的速度在射线CD上运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动.设点P的运动时 间为1秒(t>0). (1)线段AB的长为 (2)当P2⊥CD时，求1的值. (3)求点D到BC的距离，并直接写出线段CD的长为 (4)当点P到AB的距离是点Q到AB的距离的2倍时，直接写出1的值， D Q B B (备用图) (备用图) 24.(12分)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+(c为常数)与x轴交于A(-3,0)、B(L,0)两点， 点P是抛物线上一动点，其横坐标为m. (1)求该抛物线函数关系式，并直接写出顶点坐标 (2)点D是抛物线顶点，当点P在抛物线对称轴右侧时，过点P作PC∥x轴交抛物线对称轴于点C, 连结PD,若an∠PDC=子求m的值. (3)抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为4一m时， 求的值， (4)点Q(2m-1,-2m-2)是平面内的一点.当P2不与坐标轴平行时，以P2为对角线构造矩形PMON, 使矩形各边与坐标轴垂直，当抛物线在矩形PMOW内部的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y 随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围.初三数学参考答案 -、1.C2.D3.D4.C5.B6.B7A8.B 二、9.(x+10(x-1)10.4 14.①②④ 三、15.(a-b)2-a(a-2b+1)=d2-2ab+b2-a2+2ab-a=2-a (4分) 当a=1.5,b=√5时，原式=5-1.5=3.5 (6分) 16.解：树状图或列表(4分) A B c A (4) (A,B) (4C) B (B,A) (B,B) (B,C) (C,A) (C,B) (c,c) P(小明和小华至少有一人现场观看跳水比赛)=)(6分) 5 17.解：设小李每分钟跳x下，则小王每分钟跳(x-20)下， 根据题意可得： 270240 xx-20 (3分) 解方程得：x=180, (5分) 经检验，x=180是原方程的解，且符合题意. (6分) ÷x-20=160 答：小王平均每分钟跳160次，小李平均每分钟跳180次. 18.(1)a=70,b_71·(2分) (2)72°(4分) （3)(60-320x4=56 20 答：估计该校九年级周末在家课外阅读的时长不少于90分钟的女生总人数约56人.(7分) 19.(1)问3分，(2)问2分，(3)问2分，答案如下图： 图1 图2 20.(1)证明：连结OD, AD平分∠BAC &∠OAD=∠BAD. OA=OD &∠OAD=∠ODA A∠ODA=∠BAD ÷ODIIAB ∠ODC=∠B ∠B=90°， ∠ODC=90° ÷ODLBC OD是半径， BC是⊙O的切线. (5分) (2)π (7分) 21.(1)如图②，由题意得：顶点B(4,4),点O(0,0), 设二次函数的表达式为y=a(x-4)?+4, 将点0(0,0)代入函数表达式，解得：a=-马 二次函数的表达式为y=-4+4,()=名+2x)为(5分) 4 (2)将x=1代入y=-2女+2x, 7 解得：y=41.75(7分) 1.75>1.71, :此时工人直立时头顶不会碰到桥拱。(8分) 22.【初步运用】1 (2分) 补全缺失的证明过程， (5分) 、AD “D=正 又：∠DAE=∠PAD a△ADE∽△APD 在图③中作出⊙0 (6分) BE长度的最小值为5V5-5·(8分) 的最小值是5-互 (9分) PA 2 23.(1)AB=42, (2分) (2)号（有必要过程即可） (5分) (3)点D到BC的距离为凸 (有必要过程即可)(7分) 并直接写出CD的长为 0 (8分) w吕寻 13 (10分) 24.(1)抛物线y=x2+bx+c过A(-3,0)、B0,0)两点， ∴y=(x+3)(x-1)=x2+2x-3=(x+1)2-4.顶点D(-1,4)（3分) (2)抛物线的对称轴为直线x=-1,P(m,m2+2m-3),其中m>-1,D(-1,-4),C(-1,m2+2m-3), .PC=m+1,CD=m2+2m-3+4, P0c器示据得网1（会)，%3. m=3,(6分) (3)m=3,团，m3t团 2 2 (10分) (4)5-2<m<-或5-2<m<1.（12分)