专题02 乘法公式（七大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年苏科版七年级数学下册《知识解读·题型专练》

专题02 乘法公式（七大题型） 【题型1: 平方差公式运算】..................................................................................................1 【题型2:平方差公式的几何背景】........................................................................................3 【题型3:完全平方公式】.......................................................................................................5 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】.............................................................................8 【题型5: 完全平方公式变形求值】......................................................................................9 【题型6 求完全平方式中的字母系数】...............................................................................15 【题型7 整式的混合运算】..................................................................................................18 【题型1: 平方差公式运算】. 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．运用平方差公式计算，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式直接计算即可．本题主要考查了平方差公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：B． 3．将简算，变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的应用，即，直接套用公式即可得出正确选项． 【详解】解：∵， 令，， ∴， 故选：B． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用乘法公式进行整式运算，利用平方差公式逐步计算，即可求解． 【详解】解：原式 ． 故选：A． 5．计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是平方差公式的应用，添括号，把通过添括号变形为，再由平方差公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 6．计算的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的化简． 利用平方差公式简化表达式，然后合并同类项即可． 【详解】解：． 故选：B． 7．若，，则的值为（   ） A． B．6 C． D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，利用平方差公式将所求代数式分解为已知条件的乘积形式，然后代入计算． 【详解】解：∵ 又∵，， ∴ 故选B． 【题型2:平方差公式的几何背景】 1．用如图的图形面积可以验证的等式是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式与面积，观察两个图，得左图面积平行四边形的面积，右图面积大正方形的面积减去小正方形的面积，再结合阴影面积不变，故，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： 则 左图面积平行四边形的面积底乘高，即左图面积； 右图面积大正方形的面积减去小正方形的面积，即右图面积； 根据阴影面积不变，得， 故选：C． 2．如图，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由图中大正方形的面积小正方形的面积图长方形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：图中，大正方形的面积小正方形的面积， 图中，长方形的面积， 根据面积相等，得， 故选：D． 3．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，根据这两个图形的面积关系，写出一个表示因式分解的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．图的面积等于边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积，图2的面积等于梯形的面积（下底是，上底是，高是），结合两个面积是相等的，进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意，图的面积；图2的面积； ∵这两个图形的面积是相等的， ∴， 故选：D． 4．如图①，把一张长方形纸片沿着线段剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的图形． (1)设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，请直接用含a，b的式子表示，； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用： （1）根据题意可得图①中阴影部分的面积为长为，宽为的长方形的面积，图②中阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，即可解答； （2）根据，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：， （2）解：根据题意得：， ∴． 5．（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是______．若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它的面积是_____． （2）由（1）可以得到一个公式_______． （3）利用你得到的公式计算：． 【答案】（1）图①阴影部分的面积为；图②长方形的面积为；（2）；（3）1 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何应用，利用面积建立等量关系是解答此题的关键．（1）利用正方形的面积公式，图①阴影部分的面积为大正方形的面积-小正方形的面积，图②长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式可得结论； （2）由（1）建立等量关系即可； （3）根据平方差公式即可解答． 【详解】（1）图①阴影部分的面积为：， 图②长方形的长为，宽为， 所以面积为：； （2）由（1）可以得到一个公式：； （3） ． 6．如图1，在边长为a的大正方形中减去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成如图2所示的长方形． (1)比较图1和图2中空白部分的面积，可以得到等式：_________； (2)请用上面得到的公式计算下面各题： ①已知，，则_________； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1) (2)①8；②；③ 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题． （1）分别求出两个图中空白部分面积，可得公式； （2）①根据平方差公式，，将代入即可求出答案； ②根据平方差公式求解即可； ③先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，大正方形面积，小正方形面积， 空白部分面积大正方形面积小正方形面积， 如图2，长方形的宽，长方形的长， 长方形的面积， 由拼接可知：空白部分面积相等，可以得到等式：； （2）①，， ∴ ∴； ② ； ③ ． 【题型3:完全平方公式】 1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．利用完全平方公式展开即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，观察表达式，两个因式相同，应用完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，根据解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】 1．如图，观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，运用数形结合思想，得出左边的阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形的面积，右边的阴影部分的面积为长方形的面积，结合阴影部分的面积不变，得，即可作答． 【详解】解：观察图形，左边的阴影部分的面积为； 右边的阴影部分的面积为； 结合阴影部分的面积不变，则， 故选：C 2．小明同学用四张长为a、宽为b的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图（任两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）． (1)图中小正方形的边长是 ； (2)通过计算小正方形面积，可推出三者之间的等量关系式为 ； (3)运用（2）中的结论，当时，求小正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据题意可知小正方形的边长等于长方形的长减去长方形的宽，据此可得答案； （2）小正方形的面积等于其边长的平方，小正方形的面积等于边长为的正方形面积减去4个长方形的面积，据此分别表示出小正方形的面积即可得到结论； （3）根据（2）所求可求出的值，进而可求出的值． 【详解】（1）解：由题意得，图中小正方形的边长是； （2）解：图中小正方形的边长是，则其面积为， 图中小正方形的面积等于边长为的正方形面积减去4个长方形的面积，则其面积为， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴小正方形的边长为4． 3．如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，直接写出代数式，，之间的关系：___________； (2)利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： ①已知，，则的值为___________； ②已知，求的值； 【答案】(1) (2)①；②13 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积，即可作答． （2）①直接把数值代入进行计算，即可作答． ②利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解：依题意，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积，则：； 故答案为：； （2）解：①根据解析（1）得， ∵，， ∴， ∴ ∴； ②∵， ∴ ． 4．通过第1章的学习，我们已经知道，对于图1可以得到；如图2可以得到：；现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形， (1)【探索发现】根据图3中条件，写出与之间的关系_____； (2)【应用发现】若，求的值； (3)【拓展提升】如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和，延长和交于点，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为，求两个正方形的面积和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． （1）根据题意可得图3整体上是边长为的正方形，则面积为，中间小正方形边长为，因此面积为，四个空白长方形的面积为，即可解答； （2）由（1）得：，把代入计算，即可； （3）设，，可得，，然后根据四边形和均为正方形，可得，然后根据完全平方公式的变形解答即可． 【详解】（1）解：图3整体上是边长为的正方形，则面积为， 中间小正方形边长为，因此面积为， 四个空白长方形的面积为， 所以， 故答案为：； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴， ； （3）解：设，， ∵， ∴， ∵图中阴影部分面积为， ∴， ∵四边形和均为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．若且满足，求的值． 解：设， 则， ， ， 请仿照上面的方法解答下面的问题： (1)若且满足，求的值． (2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【分析】本题考查的是完全平方公式的变形求值，根据题意列出正确的算式并进行计算是关键， （1）设，则，，根据完全平方公式变形求值即可； （2）根据题意得出，设，则，再根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：设， 则， ， ； （2）解：由题意得：正方形的边长为，正方形的边长为， 长方形的面积是48， ， 设， 则， ， ， 阴影部分的面积为． 6．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（图②），两个边长为b的小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示，； (2)若，，求的值． 【答案】(1)； (2)34 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，能够运用数形结合、恰当进行代数式的变形是解答本题的关键． （1）根据正方形面积之间的关系，即可用含，的代数式表示，； （2）根据，直接将条件代入即可． 【详解】（1）解：依题意，； ， ； （2）解： ． 当，时， 原式 ． 【题型5: 完全平方公式变形求值】 1．已知，则（   ） A．21 B．25 C．19 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式．利用完全平方公式的变形，直接代入已知值计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选：A 2．已知：，，则ab的值为（    ） A．14 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，再将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：B． 3．已知，，则的值为（   ） A．13 B．10 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，代数式求值，利用整体思想解题是关键．利用完全平方公式将代数式变形，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D． 4．已知，则的值为（   ） A．16 B．9 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式．根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 5．已知，则的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式变形求值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 两式相减得：， ∴． 故选：A 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 1．若是一个完全平方式，则的值为（   ） A． B．8 C． D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了求完全平方公式中的字母系数，利用完全平方式的结构特征，通过系数比较确定参数值即可． 【详解】解：∵为完全平方式， 设其形式为， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 2．若是一个完全平方式，则m的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式的概念，根据完全平方式的形式求解即可． 【详解】解：∵，且是一个完全平方式， ∴， 故选：C． 3．二次三项式是完全平方式，则m是（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积的二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故选：D． 4．若，则k的值是（   ） A． B．6 C．12 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据完全平方公式求字母系数， 通过展开左边完全平方式，与右边多项式对比系数，即可求出的值． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴， 比较项系数得：， ∴． 故选：D． 5．若是完全平方式，则的值是（    ） A．5或 B．5 C．3或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方式，如果一个整式满足的形式，这个整式就是完全平方式，由是完全平方式，得到，解方程即可求出的值． 【详解】解： 是完全平方式，且， ∴， ， 解得：，， 的值是或． 故选：A． 【题型7 整式的混合运算】 1．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的化简，利用提公因式法进行化简是解题的关键． 首先提取公因式，再将括号内的进行合并同类项化简，再进行乘法计算即可． 【详解】解：原式 ． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，多项式乘法，完全平方公式，正确运用法则是解题的关键．第一项根据多项式乘法展开，第二项运用完全平方公式展开，然后去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ， ． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查整式混合运算的化简求值，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键；先对整式进行运算化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式； 当时，则原式． 5．先化简，再求值，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据完全平方公式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 6．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式运用，熟记完全平方公式，按照所求代数式恒等变形是解决问题的关键． 利用完全平方公式，将表示为，然后代入已知值计算即可得到答案． 【详解】解： ，， ， 故答案为：． 1．已知，值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式的灵活应用，熟记完全平方公式及其变形是解本题的关键．由可得，再由可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】23 【分析】本题考查整式的运算以及化简求值．熟练掌握完全平方公式及适当的变形是解题的关键． 用含有、的代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行代数式的变形，进而求出答案． 【详解】解： ， ∵， 原式． 故答案为：23． 3．若是一个完全平方式，则实数的值为 【答案】 【分析】本题考查了求完全平方式中字母系数，关键是将一般形式变形为然后将其展开，对比一次项系数即可． 【详解】解：因为 是一个完全平方式， 所以可以变形为 所以． 故答案为：． 4．运用平方差公式计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查有理数的混合运算，平方差公式，将各式进行正确地变形是解题的关键． 将 表示为 ，应用平方差公式进行化简． 【详解】解： ， ． 故答案为 ：． 5．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，利用平方差公式逐一计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 乘法公式（七大题型） 【题型1: 平方差公式运算】..................................................................................................1 【题型2:平方差公式的几何背景】........................................................................................2 【题型3:完全平方公式】.......................................................................................................4 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】.............................................................................4 【题型5: 完全平方公式变形求值】......................................................................................7 【题型6 求完全平方式中的字母系数】...............................................................................8 【题型7 整式的混合运算】..................................................................................................8 【题型1: 平方差公式运算】. 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．运用平方差公式计算，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．将简算，变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 5．计算（   ） A． B． C． D． 6．计算的结果是（   ） A． B．1 C． D． 7．若，，则的值为（   ） A． B．6 C． D．18 【题型2:平方差公式的几何背景】 1．用如图的图形面积可以验证的等式是 （    ） A． B． C． D． 2．如图，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（    ） A． B． C． D． 3．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，根据这两个图形的面积关系，写出一个表示因式分解的式子为（    ） A． B． C． D． 4．如图①，把一张长方形纸片沿着线段剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的图形． (1)设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，请直接用含a，b的式子表示，； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式． 5．（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是______．若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它的面积是_____． （2）由（1）可以得到一个公式_______． （3）利用你得到的公式计算：． 6．如图1，在边长为a的大正方形中减去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成如图2所示的长方形． (1)比较图1和图2中空白部分的面积，可以得到等式：_________； (2)请用上面得到的公式计算下面各题： ①已知，，则_________； ②计算：； ③计算：． 【题型3:完全平方公式】 1．计算： ． 2．计算： ． 3．计算： ． 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】 1．如图，观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（   ） A． B． C． D． 2．小明同学用四张长为a、宽为b的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图（任两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）． (1)图中小正方形的边长是 ； (2)通过计算小正方形面积，可推出三者之间的等量关系式为 ； (3)运用（2）中的结论，当时，求小正方形的边长． 3．如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，直接写出代数式，，之间的关系：___________； (2)利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： ①已知，，则的值为___________； ②已知，求的值； 4．通过第1章的学习，我们已经知道，对于图1可以得到；如图2可以得到：；现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形， (1)【探索发现】根据图3中条件，写出与之间的关系_____； (2)【应用发现】若，求的值； (3)【拓展提升】如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和，延长和交于点，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为，求两个正方形的面积和． 5．若且满足，求的值． 解：设， 则， ， ， 请仿照上面的方法解答下面的问题： (1)若且满足，求的值． (2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 6．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（图②），两个边长为b的小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示，； (2)若，，求的值． 【题型5: 完全平方公式变形求值】 1．已知，则（   ） A．21 B．25 C．19 D．5 2．已知：，，则ab的值为（    ） A．14 B．6 C． D． 3．已知，，则的值为（   ） A．13 B．10 C．2 D． 4．已知，则的值为（   ） A．16 B．9 C．3 D．1 5．已知，则的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 1．若是一个完全平方式，则的值为（   ） A． B．8 C． D．16 2．若是一个完全平方式，则m的值为（    ） A．8 B． C． D． 3．二次三项式是完全平方式，则m是（    ） A．6 B． C．12 D． 4．若，则k的值是（   ） A． B．6 C．12 D． 5．若是完全平方式，则的值是（    ） A．5或 B．5 C．3或 D． 【题型7 整式的混合运算】 1．计算：． 2．先化简，再求值：，其中． 3．计算： 4．先化简，再求值：，其中． 5．先化简，再求值，． 6．已知，，则 ． 1．已知，值是 ． 2．如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足，图中阴影部分的面积为 ． 3．若是一个完全平方式，则实数的值为 4．运用平方差公式计算： ． 5．化简： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $