精品解析：湖北省武汉市武珞路中学2025-2026学年 上学期九年级数学12月月考试题

九年级数学作业 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和为180° B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 投一次骰子，朝上的点数是6 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线a与⊙O的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 5. 抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一元二次方程x2－4x－1＝0的两根分别为m，n，则m＋n－mn的值是（ ） A. 5 B. 3 C. －3 D. －4 7. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到位置（其中点B和点D，点C和点E分别对应）．若，则的大小（ ） A. B. C. D. 8. 随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 以同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长为三边作三角形，则（ ） A. 不能构成三角形 B. 这个三角形是直角三角形 C. 这个三角形是等腰三角形 D. 这个三角形是钝角三角形 10. 已知二次函数，当时，则下列说法正确的是(　　) A. 当时，有最小值 B. 当时，有最大值 C. 当时，无最小值 D. 当时，有最大值 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知点与是关于原点的对称点，则______． 12. 为估计鱼塘中的鱼的数量，可以先从鱼塘中随机打捞条鱼，在每条鱼身上做上记号后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间，等这些鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中随机打捞条鱼，发现只有2条鱼是前面做好记号的，那么可以估计这个鱼塘鱼的数量约为________条． 13. 某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，若主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长小分支的个数为，依题意可列方程为______．（化为一般式） 14. 圆锥的底面直径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的度数为_____． 15. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：；若为常数，则方程一定有两个不相等的实数根；若为任意实数，则；若，且该抛物线上存在、两点，满足，则的取值范围是，正确结论为_____ 16. 如图，中，，，，为边上一动点，过作交于，当点从点运动到点时，点运动的路径长为______． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 18. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上． （1）求证：为等边三角形； （2）求证：． 19. 一个不透明的布袋中装有1个红球，1个黑球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，是白球的概率为． （1）直接写出布袋中白球的个数； （2）从布袋中先摸出一个球后放回，再摸出一个球，请用列表或画树状图法求两次摸到的球都是白球的概率． 20. 如图，，，分别与相切于，，三点，且，，． （1）求证：； （2）求的长． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过格点，，．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示 （1）如图1，画出圆心，在圆上画点，使得； （2）如图2，点是上一点，在上画点，使得；在圆上画点，使得． 22. 随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的，，，，中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为（单位：千米），乘坐地铁的时间（单位：分钟）是关于的一次函数，其关系如下表： 地铁站 （千米） 8 9 10 12 13 （分钟） 18 20 22 26 28 （1）求关于的函数表达式； （2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受的影响，其关系可以用来描述． ①当时，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间． ②要使李华唯一选择从站出地铁从文化宫回家所需的时间最短，直接写出的取值范围． 23. （1）如图1，和中，，，，求证：； （2）如图2，和中，，，，若点在边上，求证：； （3）如图3，中，，，点为直线上方一点，，过点作的垂线交直线于点，请直接写出，，之间的数量关系． 24. 如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为下方抛物线上一点，过点作轴交抛物线于点，轴交于点，若，求点的横坐标； （3）如图2，为抛物线第二象限上一点，过，，三点作，过点作轴交于点，求点纵坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学作业 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和为180° B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 投一次骰子，朝上的点数是6 【答案】A 【解析】 【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断． 【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，故此选项符合题意； B、球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，故此选项不符合题意； C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故此选项不符合题意； D、投一次骰子，朝上的点数是6，是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，使用配方法解方程，先将方程化为标准形式，移项后两边加上一次项系数一半的平方．配方法的关键是加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴． 故选：B． 3. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答． 【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 4. 直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线a与⊙O的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 【答案】D 【解析】 【详解】∵直线a上一点到圆心O的距离等于半径， ∴圆心O到直线a的距离小于或等于半径， ∴直线a与⊙O的位置关系是相切或相交. 故选D． 5. 抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟记函数图象的平移法则是解决问题的关键． 根据函数图象的平移法则：左加右减、上加下减，直接求解即可得到答案． 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式是， 故选：B． 6. 已知一元二次方程x2－4x－1＝0的两根分别为m，n，则m＋n－mn的值是（ ） A. 5 B. 3 C. －3 D. －4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系先求出m＋n和mn的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若其两根分别为和，则其两个根满足，，掌握此定理是解题关键． 7. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到位置（其中点B和点D，点C和点E分别对应）．若，则的大小（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，旋转的性质，等边对等角，先由平行线的性质得到，再由旋转的性质可得，，进而根据等边对等角和三角形内角和定理得到的度数，则可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转到位置， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列出所有可能的情况，找出符合题意的情况，利用概率公式即可求解． 【详解】解：对每个小正方形随机涂成黑色或白色的情况，如图所示， 共有8种情况，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形情况有3种， ∴恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为， 故选：B 【点睛】本题考查了用列举法求概率，能一个不漏的列举出所有可能的情况是解题的关键． 9. 以同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长为三边作三角形，则（ ） A. 不能构成三角形 B. 这个三角形是直角三角形 C. 这个三角形是等腰三角形 D. 这个三角形是钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】通过计算同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长与半径的关系，利用勾股定理的逆定理验证即可． 【详解】如图，的半径长为1，正三角形内接于，正方形内接于，正六边形内接于， 连接、、，交于点P， 则，， ∵， ∴、都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵是等边三角形，是的外接圆， ∴，平分， ∴， ∴， ∴半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边分别为，，1， ∵， ∴以同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长为三边作三角形，这个三角形是直角三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了判断三边能否构成直角三角形，垂径定理的推论，正多边形和圆的综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握判断三边能否构成直角三角形的方法． 10. 已知二次函数，当时，则下列说法正确的是(　　) A. 当时，有最小值 B. 当时，有最大值 C. 当时，无最小值 D. 当时，有最大值 【答案】B 【解析】 【分析】①当b﹣a＝1时，先判断出四边形BCDE是矩形，得出BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，进而得出AC＝n﹣m，即tan∠ABC＝n﹣m，再判断出0°≤∠ABC＜90°，即可得出n﹣m的范围； ②当n﹣m＝1时，同①的方法得出NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，进而得出MH＝n﹣m＝1，而tan∠MHN＝，再判断出45°≤∠MNH＜90°，即可得出结论． 【详解】解：①当b﹣a＝1时，如图1，过点B作BC⊥AD于C， ∴∠BCD＝90°， ∵∠ADE＝∠BED＝90°， ∴∠ADO＝∠BCD＝∠BED＝90°， ∴四边形BCDE是矩形， ∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m， ∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m， 在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝n﹣m， ∵点A，B在抛物线y＝x2上， ∴0°≤∠ABC＜90°， ∴tan∠ABC≥0， ∴n﹣m≥0， 即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为0，故选项C，D都错误； ②当n﹣m＝1时，如图2，过点N作NH⊥MQ于H， 同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m， ∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1， 在Rt△MHQ中，tan∠MNH＝=， ∵点M，N在抛物线y＝x2上， ∴m≥0， 当m＝0时，n＝1， ∴点N（0，0），M（1，1）， ∴NH＝1， 此时，∠MNH＝45°， ∴45°≤∠MNH＜90°， ∴tan∠MNH≥1， ∴≥1， 当a,b异号时，且m=0,n=1时，a,b的差距是最大的情况， 此时b-a=2, ∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，确定出∠MNH的范围是解本题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知点与是关于原点的对称点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点，横纵坐标都变成相反数解答即可． 【详解】解：∵点 与点 关于原点对称， ∴ ． 故答案为：． 12. 为估计鱼塘中的鱼的数量，可以先从鱼塘中随机打捞条鱼，在每条鱼身上做上记号后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间，等这些鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中随机打捞条鱼，发现只有2条鱼是前面做好记号的，那么可以估计这个鱼塘鱼的数量约为________条． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想． 首先求出有记号的2条鱼在条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数． 【详解】解：∵池塘中有记号的鱼所占的百分比为：， ∴池塘中共有鱼， 故答案为：． 13. 某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，若主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长小分支的个数为，依题意可列方程为______．（化为一般式） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每个枝干长小分支的个数为，则枝干的数量也为，小分支的总数为，根据主干、枝干和小分支的总数为，列出方程并化为一般式即可． 【详解】解：依题意，主干有个，枝干的数量为，每个枝干长出个小分支，故小分支的总数为． 主干、枝干和小分支的总数为． 化为一般式得． 故答案为：． 14. 圆锥的底面直径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的度数为_____． 【答案】160°##160度 【解析】 【分析】设它的侧面展开图的圆心角的度数为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，结合弧长公式，列等式即可求解． 【详解】设它的侧面展开图的圆心角的度数为， 根据题意有：， 解方程得：， 即它的侧面展开图的圆心角的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据题意列出方程是解答本题的关键． 15. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：；若为常数，则方程一定有两个不相等的实数根；若为任意实数，则；若，且该抛物线上存在、两点，满足，则的取值范围是，正确结论为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，由抛物线经过可判断；由二次函数的性质从而判断；由时取最大值可判断；利用二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系即可判断；掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 【详解】解：因为二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，则，故正确； 方程的实数根可看成函数的图象与直线交点的横坐标，因为，且，所以函数的图象与直线一定有两个不同的交点， 即方程一定有两个不相等的实数根，故正确； 因为抛物线的对称轴为直线，且， 则当时，函数取得最大值，即对于任意的， 总有，即，故错误； 由题意得，是一元二次方程的两个根， 因二次函数有对称性，关于对称，所以当且仅当，存在点、，当时，满足，即当时，满足题设，故正确； 综上，正确， 故答案为：． 16. 如图，中，，，，为边上一动点，过作交于，当点从点运动到点时，点运动的路径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于，由勾股定理得，设，则，由余弦函数得，，可得，由，当时取等号，求出此时的最小值为，点的运动轨迹为倍最大值，即可求解． 【详解】解：过点作交于， ，，， ， 设，则， 在中，， ， ， 在中，， 在中，， ， 在中， ， ， ，当时取等号， ，当时取等号， ， 当时，即时取等号， 此时的最小值为， ， 此时取得最大值为， 点的运动轨迹为倍最大值， 点运动的路径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的综合应用，动点轨迹最值问题，能找出动点轨迹取得最值的条件是解题的关键． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】，另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，一元二次方程的根与系数的关系等知识点，解题关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系． 根据根与系数关系先求出另一个根，再将，代入原方程，得到关于的方程求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根是， 设另一个根为， 则， 解得：， 将代入， 得， 解得：． 18. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上． （1）求证：为等边三角形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形； （2） 证明：将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， 在等边中，， ． 【解析】 【分析】本题考查三角形综合，涉及旋转性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟记旋转性质及等边三角形判定与性质是解决问题的关键． （1）由旋转性质得到，，即可由等边三角形的判定定理得到为等边三角形； （2）先由旋转性质得到，再等量代换有，最后结合等边三角形性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 一个不透明的布袋中装有1个红球，1个黑球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，是白球的概率为． （1）直接写出布袋中白球的个数； （2）从布袋中先摸出一个球后放回，再摸出一个球，请用列表或画树状图法求两次摸到的球都是白球的概率． 【答案】（1）2个 （2） 【解析】 【分析】（1）设布袋中白球的个数为x个，根据概率公式列出方程，即可求解； （2）根据题意，画出树状图，可得一共有16种等可能情况，其中两次都摸到白球的有4次，再根据概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：设布袋中白球的个数为x个，根据题意得： ， 解得：． 经检验：是原方程的解，且符合题意， 即布袋中白球的个数为2个； 【小问2详解】 解：根据题意，画出树状图，如下： 一共有16种等可能情况，其中两次都摸到白球的有4次， ∴ 两次摸到的球都是白球的概率为． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键． 20. 如图，，，分别与相切于，，三点，且，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵，，分别与相切于，，三点， ∴， ∴分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，角平分线的判定定理，勾股定理，平行线的性质等等，熟知切线的性质是解题的关键． （1）连接，由切线的性质和圆的性质可得，则可证明，根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，据此由三角形内角和定理可证明结论； （2）利用勾股定理求出的长，则由等面积法可求出的长，进而得到的长，再利用勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴； 由切线的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过格点，，．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示 （1）如图1，画出圆心，在圆上画点，使得； （2）如图2，点是上一点，在上画点，使得；在圆上画点，使得． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据90度的圆周角对的弦是直径，两条直径的交点为圆心确定圆心；作出弦的中点H，根据垂径定理和圆周角定理推论即得； （2）连接并延长交于点Q，根据弧圆心角的关系即得；取取平行四边形对角线交点E，可得，即得． 【小问1详解】 解：取格点M，连接交于点O，O就是圆心； 取格点F，G，连接交格线于点H，连接并延长交于点D， 连接，， 则， 理由：∵， ∴都是圆的直径， ∴的交点O为圆心； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴H是弦的中点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接并延长交于点Q， 则； 取格点I、J、K，连接交于点E， 则． 理由：∵都是的直径， ∴， ∴； ∵， ∴点E在上，取方格边中点L， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了网格作图．熟练掌握圆周角定理及其推论，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，是解此题的关键． 22. 随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的，，，，中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为（单位：千米），乘坐地铁的时间（单位：分钟）是关于的一次函数，其关系如下表： 地铁站 （千米） 8 9 10 12 13 （分钟） 18 20 22 26 28 （1）求关于的函数表达式； （2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受的影响，其关系可以用来描述． ①当时，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间． ②要使李华唯一选择从站出地铁从文化宫回家所需的时间最短，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①从B站出地铁，最短时间为分钟；② 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据表格数据可知，和的关系符合一次函数的特征，利用待定系数法求解即可解答； （2）①设李华从文化宫回到家所需的时间为y，根据，得到y关于x的函数表达式，然后根据二次函数的性质即可求解；②同①得到y关于x的函数表达式，然后求得当，，的函数值，根据题意列出不等式组，解不等式组即可解答． 【小问1详解】 解：依题意，设关于的函数表达式为， 将，代入，得 ， 解得， ∴关于的函数表达式为． 【小问2详解】 解：①当时，， 设李华从文化宫回到家所需的时间为y， 则， ∴当时，y取得最小值，最小值为分钟， 故李华从B站出地铁从文化宫回到家所需时间最短，最短时间为分钟． ②同①可得，， 则当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴y关于x的二次函数图象开口向上， ∴要使李华唯一选择从站出地铁从文化宫回家所需的时间最短， 则需满足， 解得， 答：要使李华唯一选择从站出地铁从文化宫回家所需的时间最短，的取值范围． 23. （1）如图1，和中，，，，求证：； （2）如图2，和中，，，，若点在边上，求证：； （3）如图3，中，，，点为直线上方一点，，过点作的垂线交直线于点，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】 （1）证明；∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，以D为圆心，为半径画圆，在优弧上取一点M（不与C、E重合），连接， ∵， ∴点在上， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴点A在上， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，四点共圆，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）利用证明，再由全等三角形的性质即可证明结论； （2）以D为圆心，为半径画圆，在优弧上取一点M（不与C、E重合），连接，可证明，推出四点共圆，则点A在上，即可证明； （3）以C为圆心，为半径画圆，同理可证明，点D在（优弧上，且不与点A和点B重合），过点C作交直线于G，设直线交于H，连接，证明是等腰直角三角形，得到；可证明，得到；由勾股定理得，据此可得结论． 【详解】（1）略． （2）略． （3）如图所示，以C为圆心，为半径画圆， 同理可证明，点D在（优弧上，且不与点A和点B重合）， 如图所示，过点C作交直线于G，设直线交于H，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴； ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 24. 如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为下方抛物线上一点，过点作轴交抛物线于点，轴交于点，若，求点的横坐标； （3）如图2，为抛物线第二象限上一点，过，，三点作，过点作轴交于点，求点纵坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点，，代入即可解决题． （2）求出直线的解析式为，设，，根据抛物线对称轴为直线，得点，得，，根据，得，解方程即可； （3）设圆心为P，（其中），设直线交x轴于点Q，由轴，得出轴，设，则，分当点N在线段上时，当点M在线段上时，运用圆内接四边形对角性质，相似三角形的判定和性质解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 则， ∴， ∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点D与点P关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，（不合），， 当时，（不合），（不合）， 综上，， 故点的横坐标为． 【小问3详解】 解：设圆心为P，（其中），设直线交x轴于点Q， ∵轴， ∴轴， 设， 则， 当点N在线段上时， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为抛物线第二象限上一点， ∴， ∴． 当点M在线段上时， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，． 故点纵坐标为1． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式及一次函数的解析式，二次函数的图象和性质及一次函数的图象和性质，圆内接四边形性质，二次函数与线段综合，二次函数与相似三角形综合，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $