精品解析：湖南省娄底市第一中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

6学科网 命组卷网 2025年秋季学期高二1月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.设复数名=5-3列，2=-2+i, 为虚数单位，则复数+乙在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】求得+2，=3-2i 即可得答案 【详解】因为名+2=3-2i 对应的点(B,-2)位于第四象限 故选：D 2.直线3x-V5y+m=0 的倾斜角为() A.30 B60 c120° D.150 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜率和倾斜角的关系求解。 【详解】设直线3x-V3y+m=0的领斜角为&，且0≤a<180, 3 tana=- 则 ,所以=60°」 故选：B 第1页/共21页 6学科网列组卷网 3.已知函数f()的导函数为f(x),若m 12)-f2+=-3,则f2)=《) △x A.-3 B.-2 C.2 D.3 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义计算进行求解 lim 【详解】由Ax0 f2y-j+a_-mf2+f包-3 △x △x 则f'(2)=lim 2+△)-f2-3 △x0 △x 故选：D 4已知数f)=2-小3-a-3 x2+1为奇函数，则a=() A.-1 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】首先要判断函数在x=0处是否有定义，然后根据奇函数性质列出等式求解. 【详解】函数)=2-)3-a3 x2+1,分母x2+1恒大于0，所以函数f(x)在x=0处有定义.因为 f(x 是奇函数，所以f0)=0 可得：f0=2-四-3”-a30 -0n2-a)x1-ax1=0 02+1 ,即 1 解得a=1 +1，经检验(-)=3-3 a=1时，f)3-3 +f(四)满足题意 故选：B. 第2页/共21页 6学科网命组卷网 5在等差数列a,}中，若4，+24+40=10 则4+4=() A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的下标和性质即可解出， 1 1 10=a4+ 【详解】因为 24+a0 24,+24,解得：4=4，所以4+a1=24,=8。 故选：D 6.已知M(4,2)是直线1被椭圆+4y=36所截得的线段4B的中点，则直线1的方程为(） 2x+y-8=0 A. B.x+2y-8=0 cx-2y-8=0 D.2x-y-8=0 【答案】B 【解析】 【分析】设出直线！方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用k表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于k 的方程可得 【详解】当直线1斜率不存在时， 由对称性可知，此时直线'被椭圆t+4少=36 所截得的线段AB的中点在x轴上， 而己知M(4,2)是线段AB的中点，不在x轴上，不清足题意 y-2=k(x-4) 故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为 k-y+2-4k=0 代入椭圆的方程化简得0+42)m+06k-32)x+64k2-64k-20=0 所以+为3 216-8,解得= 1+4k2 第3页/共21页 6学科网命组卷网 y-2= 故直线1方程为 2x-4 ,即x+2y-8=0 故选：B L+,4≥2a-3对mem0<m< 1 7.若不等式2m1-2m 一十 2恒成立，则实数a的最大值为() 13 11 A.2 B.2 C.6 D.-6 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式求得不等式左边的最小值，再由不等式恒成立的条件建立关于的不等式，从而得 到实数a的最大值 14 1+4 【详解】因为2m1-2m(2m1-2m 0-2+2]-5+2+72n25+24-9 1-2m 1-2m8m 1 m= 当且仅当2m1-2m,即6时取等号， 所以9≥2a-3,解得a≤6，所以a的最大值为6. 故选：C 8已知OM+少-2x-2y-2=0,直线人.2x+y+2=0,P为上的动点，过点P作OM的切 PA,PB 线 ,切点 为4B,当PMHB 最小时，直线AB的方程为() 2x-y-1=0 A B2x+y-1=0 C2x-y+1=0 0 2x+y+1=0 【答案】D 【解析】 A,P,B,M 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点 共圆，且AB⊥MP,根据 第4页/共21页 命学科网命组卷网 IPM4=4S,pw=4PA可知，当直线MPLI时，PMAB最小，求出以MP为直径的圆的方 程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方程. d-2xl+2=5>2,所 【详解】圆的方程可化为(x-}+(y-1)=4,点M到直线1的距离为√22+12 以直线1与圆相离. 依圆的知识可知，四点A,PB,M 四点共圆，且AB上MP,所以 IM=4,pw=4xXPA×aM=4P4,而PA=MP-4, 当直线MPLl时，MPlm=5,PAn=1,此时IPM4B最小 1.1 y=5x+ My-1-)即y+分2x+2+22. 2 x=-1 2 y=0 所以以MP为直径的圆的方程为(x-1(x+)+(0y-)=0,即+y2-y-1=0, 2x+y+1= 两圆的方程相减可得： ,即为直线1B的方程。 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的 转化能力和数学运算能力，属于中档题 二、多选题：本题共3小题，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9己知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB=(2,-山-4)，AD=(4,2,0), AP=(-1,2,-1 .下列结论正确的有() A.AP⊥AB 第5页/共21页 6学科网6组卷网 B.AP⊥AD C.AP ABCD 是平面 的一个法向量 D.AP//BD 【答案】ABC 【解析】 【分析】运用数量积逐项分析。 【详解】由慰意可知ABAB,AD都是非零向显， 对于A,MPAB=-1x2+2×()+()×(4)=0,正确： 对于B,4P.4D=-1×4+2×2+(-)×0=0,正确， 对于C,:P⊥D,AP⊥AB,ADC 平面ABCD,ABC平面ABCD,ADOAB=A,所以API 平面ABCD,正确； 对于D,AP⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,.AP⊥BD,错误： 故选：ABC 10.己知数列a}满足4+24，++2a.=n-2”,则(） n(n+2) A.a=n+1 B.{an}的前n项和为2 c.{《-1)”a}的前10项和为100 D.{a,-5}的前30项和为357 【答案】AD 【解析】 【分折1当n22时，4+2a++20=(m-)2,两武相减可求出4，检验4满足0，可判 断A；由等差数列的前n项和公式可判断B:由分组求和法可判断C,D. 【详解】当n=1时，a=2 第6页/共21页 6学科网6组卷网 当n22时，4+24，+…+2"2an1=(n-1）-2 两式相减可得： 2"an=n-2”-(n-1)2"=(n+1)-2 所以0，=n+1 显然当”=1时，4满足0，故4，=n+1, ,故A正确： n(2+n+_72+3n 由等差数列求和公式知{an}的前n项和为2 2，故B错误： 令b.=(-la,=（-)°(n+),{亿}的前100项和为： -2+3-4+5+.-100+101=1×50=50 ,故C错误； 令cm=a,-5=n-4 所以a,-5》的前30项和为：G+6,++c0=3+2+1+0+1+2+…+26 27×(0+26) =6+ =357 故D正确 故选：AD. 知，5分别为双线E:子O>0b>0的左、有生点，过的我与网Ox十亚 =a2 .P, 相切于点M,且直线'与双曲线E及其新近线在第二象限的交点分别为P 之，则下列说法正确的是 () A.直线OM是E的一条渐近线 B.若M=3OM,则E的渐近线方程为y=±x c若E=3M,则E的离心率为5 第7页/共21页 6学科网6组卷网 3 D.若PF引=3MF,则E的离心率为2 【答案】ACD 【解析】 OM1l确定直线OM斜率判断A;首先求出点 O,M 【分析】根据给定条件求直线的斜率，再 ，并 设P,）,根据给定条件，得到双曲线参数的齐次方程判断B、C、D, 【详解】根据题意c,0)设直线：y=c-kc→c-y-kc=0,k<0。 -kc 又直线7与圆0：+少=心相切于点M,所以a+辰 →a21+k2)=k2c2 a 又公=c2-d则k=方.而OM11. b KoM = a OM:y=-x 所以直线 是C的一条渐近线，A对： b y=- b a 联立 a 。得 a .a,得 a'c abe x2+y2=a2 M,的联立 y=- x+-c b b a2-ba-6） 若w=3OM=3aHFe0.国合+er+(g=i,a+eY+lo=w2. 第8页/共21页 6学科网命组卷网 所以6-4a26-5a=(6-5㎡26+a)=0,可得2=5 即渐近线方程为y=士5x,B错； 者0=3Mare0.数=3 c,即c2=3b2-a2)→c2=3a2 化简得e=3,则C的离心率为5，C对： =3MF-W,慧nw-e)任-6） (3d-2c 3ab 、e入-5=1·得(C 所以c2_13,则离心率为V3,D对： b2 =4 2 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于B、C、D,根据给定条件得到关于双曲线参数的齐次方程为关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12曲线y=+1在点P(2,5)处的切线是一《一般式方程) 4x-y-3=0 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求得切线方程 【详解】由y=+1,得少=2x 所以切线的斜率为2×2=4， 所以切线方程为”-5=4(x-2)=4x-8,4x-y-3=0 第9页/共21页 6学科网 命组卷网 4x-y-3=0 故答案为： 1 【答案】2 【解析】 sin 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示结合三角恒等变换化简得出 利用二倍角的余弦 公式可求得结果 【详解】由mL月得m-n=V5sin年cos文-cos2-5sin 2=3 nx_1 sin 4 22 2 cos 4 “220°22 =sin xπ1 =0 、262 所以， 位周-片，因.m(-}-12m经1-2x3 sin 故答案为： 2 2" 11设微列a}的mn观和为g且头。a:则数列a十a 的前项和为 【答案】 (n-1)2+2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用前”项和与第n项的关系可得 n+1)an=(n-)a,变形构造常数列求出 (n+)a,再利用错位相减法求和 第10页/供21页 命学科网命组卷网 详解1电n=m0,得S1=n0, 1 当n=1时，a=S=1-4,解得4=2； 当n≥2时，a,=S,-5=1-m,-1+-1a,,整理得+a,=n-0a, 则n+)ma,=nn-la,,数列n+)na,}是常数列，因此n+ma。=2-la=1, n+Da,=丁2=n:2” 2” n’(n+l)an 12，设数列n+1)an的前n项和为Tn T=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)×2m+n-2" 于是27，=1×2+2×2+3×24++0m-)x2”+n-2m1 两式箱减得，=2+2+2+…+2-m2-20-2-2=0--2-2 1-2 2" 则Tn=(n-)2+2,所以数列'(n+)a。的前n项和为(n-1)2+2: 故答案为：(m-)-21+2 四、解答题：本题共5小题，共60分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 1 15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知 cos4-2a=b (1)求C的大小. (2)若a=2sinA,求△ABC面积的最大值， 2 【答案】(1)C=2π 3 第11页/共21页 6学科网列组卷网 5 (2)4· 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化简边角关系后可求的大小： (2)根据余弦定理和基本不等式可得，从而可求面积的最大值. 【小问1详解】 因为cc0s4 06 1 sinCcosA--sinA4=sinB ，由正弦定理得： 2 ①， 因为sinB=sin[π-(A+C]=sin(A+C) inCcos4-sin4-sin(4+C) 故①式可变形为 2 则sn(co4-in4=Ss4 tc4 csin(,化的得：sm4cosC+ 因为A∈(0，元)，所以sin4>0,故 osC=-1 2 因为C∈(0)，放C 3 【小问2详解】 a 由正弦定理得sindsinC=2, ,所以c=2sinC, 由C-红，教C-9 2,则c=V3, 由余弦定理得c=d+b-2 abcosC,即3=a+b+ab≥3ab,则ab≤1， 当且仅当a=b=1时等号成立， 第12页/供21页 6学科网命组卷网 因此S,=)absinC= 2 abs 3 4 5 所以AABC面积的最大值为4· 16已知圆C:x2+y2=4 （4)求过点P2,)且与圆C相切的直线方程： (2)已知直线x-y-m= 0被圆C截得的弦长为2√5，求实数m的值 【答案】(1) 3x+4y-10=0或=2 (2)m=+2 【解析】 【分析】(1)分直线斜率存在和不存在，利用点到直线的距离公式可得答案： (2)圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径利用勾股定理可得答案.· 【小问1详解】 当直线斜率存在时，设直线”-一1=(x-2) 即-y-2k+1=0 |-2k+1=2 圆心(0,0)到直线的距离为√k2+1 3 k=一 解得 4, 3x+4y-10=0 此时直线方程为 当直线斜率不存在时，直线方程为x=2,此时直线与圆相切， 第13页/供21页 学科网命组卷网 综上，所求直线方程 3x+4y-10=0或=2 【小问2详解】 d=-m 记圆心(0,0)到直线x-y-m=0的距离为d,则”√2， 又弦长为2W5,圆的半径为2，则+(N2y=2 解得m=+2,所以m=+2. 17.已知数列{a}满足4=4，a1=3a。-2. (1)求a}的通项公式： (2)若6 _2(an-1) aa,让数列}的前n项和为，求运：工<4。 【答案】(1)0，=3”+1 2(a。-1)）_2×3 (3+1)-(3”+1）11 (2)证明：由(1)知b= a.a1(3”+1(3m+1(3+13”+13”+13+1, 11,1 1 11 所以=么+6++6,3+3子+十3子+13+十+3+3+ 11 43+1+1, 1 又3+>0，所< ->0 【解析】 【分析】(1)根据递推公式，构造等比数列，进而求出数列通项公式 (2)写出数列，}的通项公式，根据裂项求和法，求出数列前”项和，进而得证 【小问1详解】 第14页/供21页 6学科网6组卷网 因为01=3a,-2,所以a1-1=3(a.-), a+1-1 =3 又a-1=3,所以a,-1,所以{an-1}是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以4。-1=3.31=3” 所以0。=3”+1 【小问2详解】 略 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形，AD=2,PB=PC, E, 为AB,PD中点 F A4-- C E (1)求证：EFII平面PBC: 33 (2)若DP=1AD(1>1),且直线CP与平面EFC所成角的正弦值为22，求2的值； (3)在(2)的条件下，若点G为直线EF上一点，求直线BG与平面EFC所成角正弦值的最大值. 【答案】(1) 取PC 中点M,连接 FM,BM 在APCD M,F PC,PD 中，因为分别为 的中点， 所以MFIDC, MF=1DC 在麦形ABCD中，因为AB/DC,BE=)DC 第15页/共21页 6学科网6组卷网 所以 BE MF BE=MF 所以四边形BEFM为平行四边形， EFBM 因此 又因为EF￠平面PBC,BMc平面PBC, 所以EFI/平面PBC (2) =√ (3) V33 11 【解析】 有 PC FM,BM 【分析】(1)由中点还需中点帮取 连接 很容易得到四边 BEFM为平行四边形， 再用线面平行的定理证明， (2)可以D为原点建立空间直角坐标系求出点 C,E,F,P EFC 的坐标算出平面 的法向量用向量夹角余 弦值来算直线CP与平面EFC所成角的正弦值即可， (3)设BG=mE示 结合(2)求得BG 0坐标，代入线面夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为PD⊥平面ABCD,DC、DEc平面ABCD, 所以PD⊥DC,PD⊥DE 第16页/供21页 6学科网命组卷网 因为PB=PC,所以BD=DC. 在菱形ABCD中，AB=BD=AD, 因为E为AB中点，所以DE⊥DC 建立如图空间直角坐标系D-z. Z D 在正三角形△ADB中，DE=V5又DP=AD=21, 所P0,0,2,F0,0,),E(V50,0),C02,0).EC=(-32,0) 所以向量BF=（-V5,0),CP=(0,-2,2) 「n.EF=0「-3x+z=0 设平面EFC的法向量为n=ky,2)则n-EC=0即-3x+2y=0 取1-5-a- 设直线CP与平面EFC所成角为O, sin=cosCP,n cp.列√33 CP 22 5 v33 可得：√4+422 7322 4+2 解得： 2=3,又2>1 第17页/供21页 6学科网6组卷网 所以1=v5 【小问3详解】 ZA F G: D 设EG=mEF,由(2)知：EG=(一V3m,0v3m）,BE=(0,-1l,0). 所以BG=BE+EG=(-V3m,-l,3m)】 设直线BG与平面EFC所成角为，平面EFC的法向量为？=O,3, 20 3 则sina=cos BG,= 3 V6m2+11+1+ 3 V33 当 时，取到最大值，此时sina= 11 1+1+ m=0 4 g已知园国C名+@>6>0的上、下两个焦点分为0m,R0过有5莲直子网 直线交椭圆C于P,卫两点且P9=3 (1)求椭圆C的标准方程： (2)若直线》=+4与椭圆C交于AB两点，直线，BS的斜率分别为 :k2 ①求证： k+k2为定值： 第18页/供21页 6学科网 命组卷网 △ABF ②求 面积的最大值 y2,x2 =1 【答案】(1)43 (2) ①证明：如图，直线y=k+4与椭圆C交于4B两点，设A(,H),B(3,), y=kx+4 陵方若+号-1州B+4F42+36-0 则△=(24k°-43k2+4×36>0,则>4，即k>2或k<-2, 36 由韦达定理可得+3二3■ 所以+格=+片1_低+3到5+c,+3压25+36+5) XX2 X X2 因为26+3(+)=2张36+324k）】 72k-72k=0 3k2+43k2+43k2+4, 所以乐+6=0，综上，(+人为定值0， 35 ②4 【解析】 第19页供21页 6学科网列组卷网 2b2 =3 【分析】(1)由题知c=1,a ,进而解方程即可得答案： y=kx+4 (2)①联立方程 +女=1由韦达定理可得x+为=32+453k产+4 一十 -24k 36 ，化简 43 飞+k=-1+乃 xx2即可证明： ②您可得点5@)到直线1B的距离-中床弦长M=+F,24 d、3 3k2+4再由面积公式 结合基本不等式即可求解 【小问1详解】 C:x :椭圆C:云+F=1a>b>0的上、下两个焦点分别为E(0,1),5(0,-)。 c=L,“过点B的直线与椭圆C相交于P两点，当PLy轴时，PO=3, r小0-g-3. .b2= 2,·c2=a2-b2=1,即“)a1 a=1 ,解得a=2或2（舍）， y2 x2 2 ，即椭圆C的标准方程为4+3=1， 【小问2详解】 第20页/供21页 6学科网列组卷网 ①略 d、3 ②点F(0,)到直线4B的距离”V1+K2, 孩长|A8=1+R(+-4=+3+4 -24k 2 36 -42 3k2+4? 即AB=+2P-4 3k2+4, 5m0-- 3k2+43k2+4, 18Vk2-4_18VRk2-4 18 由于32+43(2-4)+163F-4+16 k2-4 183w5 en0不2 18 18 2W484 Vk2-4 当且仅 3V2-4=16 V2-4,即2=28 =3>4时等号成立， 3V3 所以△ABF面积的最大值为4· 第21页/供21页 2025年秋季学期高二1月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 在等差数列中，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若不等式对恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. C. 6 D. -6 8. 已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ，，．下列结论正确的有（ ） A. B. C. 是平面 的一个法向量 D. 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前30项和为357 11. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是的一条渐近线 B. 若，则的渐近线方程为 C. 若，则的离心率为 D. 若，则的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线是_____.（一般式方程） 13. 已知向量，，若，则__________． 14. 设数列的前项和为，且，则数列的前项和为___________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求的大小. （2）若，求面积的最大值. 16. 已知圆 （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 17. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前项和为，求证：． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，，为，中点． （1）求证：平面； （2）若（），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值； （3）在（2）的条件下，若点为直线上一点，求直线与平面所成角正弦值的最大值． 19. 已知椭圆的上、下两个焦点分别为，过点垂直于轴的直线交椭圆于两点且. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点，直线的斜率分别为. ①求证：为定值； ②求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $