数列的概念与表示方法 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题6.1 数列的概念与表示方法

1．数列的有关概念

⑴数列：按照一定顺序排列的一列数，一般记为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项；

⑵数列的通项：数列中的每一个数；

⑶通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系能用一个式子表示，这个式子叫作数列的通项公式；

⑷递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道首项或前几项，以及递推公式，可以求出数列的每一项.

⑸前n项和：数列中，叫做数列的前n项和.

2．数列的表示方法

⑴列表法：列表格表示与的对应关系；

⑵图象法：把点画在平面直角坐标系中，图象是一些孤立的点；

⑶公式法：通项公式，把数列的通项使用公式表示的方法；递推公式，使用初始值和或，和等表示数列的方法.

3．数列的分类

⑴按项数分类：有穷数列，项数有限；无穷数列，项数无限；

⑵按项与项间的大小关系分类：递增数列，；递减数列，；

常数列，；

⑶按其他标准分类：有界数列，存在正数，使；

摆动数列，的符号正负相间，如1，－1，1，－1，….

4．数列的函数特性

⑴ 数列与函数的关系：数列是一种特殊的函数.

⑵ 数列的函数特性：

名称	数列	函数
解析式
表示	列表法、图象法、解析式法
图象	一些孤立的点	连续的曲线
定义域	或	使函数有意义的自变量的取值范围
值域	数列中的项组成的集合
单调性	若，则数列递增 若，则数列递减	若, ，函数在区间上递增； ，函数在区间上递减
周期性	若(为非零常数)，则数列为周期数列，为数列的一个周期	对于定义域内任一个，存在非零实数，，则函数为周期函数，为函数的一个周期

【重要结论】

1.在数列中，若最大，则；若最小，则

5.与的关系

若数列的前项和为，通项公式为， ，

则注意：根据求时，不要忽视对的验证．

1. 【人教A版选择性必修二 习题4.1 第6题 P9】某人从年起，每年月日到银行新存入万元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到年月日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为单位：万元(    )

(参考数据：，，)

A.  B.  C.  D.

2. 【人教A版选择性必修二 习题4.1 第7题 P9】已知函数，数列满足．

(1)    求数列的通项公式；

(2)    试判断数列的单调性．

【典例精讲】

例1.(2025·广东省·单元测试)在数列中，，，通过求，猜想的表达式为     ．

A.           B.           C.        D.

例2.(2025·四川省成都市·月考试卷)

已知数列的前项和为，且．

(1)    求数列的通项公式；

(2)    取出数列的偶数项，并按从小到大的顺序排列构成新数列，写出的通项公式．

 

 

【方法储备】

1. 给出数列的前几项求通项

根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．常用方法：观察规律、比较已知数列、归纳、转化为特殊数列、联想常见数列等方法；

具体策略：

①    熟悉一些常见数列的通项公式，如等；

②    分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；