专题02 空间向量研究距离、夹角问题（期末复习讲义）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题02空间向量研究距离、夹角问题 （12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点. 过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量， 且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 【知识点02】用向量运算求两条直线所成角 已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点， ，为所成的角为，则 ①②. 【知识点03】用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ①②.（注意此公式中最后的形式是：） 【知识点04】用向量运算求平面与平面的夹角 若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，.若，分别为面，的法向量 ①②根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； 【考点题型一】利用空间向量求点面距 核心方法： 【例1-1】（26-27高二上·上海崇明·期中）已知 是各条棱长均等于 的正三棱柱， 是侧棱 的中点，则点 到平面 的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系，通过点面距离公式，计算点到平面的距离. 【详解】以为空间直角坐标原点，以垂直于的直线为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系， 由是棱长均为的正三棱柱，是侧棱的中点， 故， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，则， 所以， 故点到平面的距离. 【例1-2】（26-27高二上·河南信阳·阶段检测）若空间中有三点，，，则点到平面ABC的距离为______. 【答案】 【分析】求出平面的法向量，利用空间距离的向量公式求点到平面的距离即可. 【详解】由已知得. 设平面ABC的一个法向量， 所以有，. 令，则，，所以. 所以点到平面ABC的距离为. 【变式1-1】（26-27高二上·河南周口·阶段检测）已知，，，若平面经过点，且点，在平面内的射影重合，则点到平面的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点，在平面内的射影重合，得到平面，再利用向量法求出点到面的距离. 【详解】因为点，在平面内的射影重合，所以平面， 所以是平面的一个法向量， 又，所以点到平面的距离为. 【变式1-2】（26-27高二上·云南楚雄·阶段检测）已知点，，，为坐标原点，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算平面的法向量，使用向量法计算点到面的距离求解. 【详解】， 设平面的一个法向量为：， 则，令，得，所以， 点到平面的距离为：. 【变式1-3】（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）在长方体中，，，则点到平面的距离为________． 【答案】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面的法向量，再代入点到平面的距离公式计算. 【详解】由题意可得，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 因为，，所以，，，， 设平面的法向量为，，， 则，则，令，则，，则， 因为，则点到平面的距离为. 【考点题型二】利用等体积法求点面距 核心方法：等体积法 【例2-1】（26-27高二上·广东揭阳·阶段检测）已知三棱锥，是直角三角形，，，平面，，求点到平面的距离_______. 【答案】 【分析】利用等体积法，先以为顶点算出三棱锥体积，再证明求出面积，换顶点为列体积方程，解出点到平面的距离. 【详解】平面，. 由，，得， 又，代入得：. 平面，平面，. 又，，，平面， 平面. 平面，，即为直角三角形. 在中，. . 设点到平面的距离为. 由等体积法：， ，，解得. 【例2-2】（26-27高二上·河南洛阳·阶段检测）如图，是正方形所在平面外一点，且，，，，若是的中点，则点到平面的距离为______． 【答案】/ 【详解】由是正方形，，，且，， 则在中，，， 则边上的高为，所以， 又是的中点，则，所以， 又，，且，平面，则平面， 则点到平面的距离， 又，即， 所以． 【变式2-1】（25-26高二下·江苏南京·期末）在棱长为2的正方体中，点分别为的中点，则点的距离为_______． 【答案】2 【分析】点到平面的距离可通过等体积法求解：将点与平面构成的三棱锥，转换顶点和底面，利用体积不变性计算高（即点到平面的距离）. 【详解】 正方体中 平面 ，因此 是三棱锥 的高，且 ， 正方形 面积为 ， ， ， ， 因此 ， ， 在直角三角形 中，，，故 ， 在直角三角形 中，，，故 ， 在直角三角形 中，，，故 ， 所以， 所以， 所以， 设点 到平面 的距离为 ，则三棱锥 的体积为 ， 由体积相等 ，得，得. 【变式2-2】（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 【答案】 【分析】运用等体积法变换三棱锥的顶点和底面解决问题。 【详解】因为四边形是边长为2的正方形，且， 所以，， 设点A到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点A到平面的距离为。 故答案为：. 【变式2-3】（2026·山西临汾·二模）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 【答案】 【分析】设到平面的距离为，根据，列出方程，即可求解. 【详解】在棱长为的正方体中， 由平面，即到平面的距离为，即三棱锥的高， 所以三棱锥的体积为， 设到平面的距离为， 由，可得, 所以， 因为，可得，解得， 所以点到平面的距离为. 【考点题型三】异面直线所成角 核心方法：向量法 【例3-1】（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，是的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由底面，底面为正方形，建立空间直角坐标系，设棱长参数，写出各点坐标，求出两条直线方向向量；异面直线所成角范围，余弦值取向量夹角余弦的绝对值. 【详解】设，以为原点， 分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 因为是中点，所以，所以， 因为所以， 所以， ， ， ， 因为异面直线所成角，所以. 【例3-2】（26-27高二上·青海西宁·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱，，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方形的边长为1，则侧棱,利用余弦定理及勾股定理可得，，由向量的线性运算可得,,求出两向量的数量积，再由向量的夹角公式求解即可. 【详解】设正方形的边长为1，则侧棱， 在中，由余弦定理可得: ，所以， 在中，， 又因为，, 所以 ， 设异面直线与所成角为， 则. 【变式3-1】（26-27高二上·吉林·期中）如图，正四棱台的高为2，，O为底面的中心，则直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过建立空间直角坐标系，求出直线 与 的方向向量，利用向量夹角公式求解即可. 【详解】设上底面中心为 ，连接 ， 因为几何体为正四棱台，所以 平面 ， 因为 ，所以底面正方形 的对角线 ，则 ， 因为 ，所以上底面正方形 的对角线 ，则 ， 以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可知 ， 则，，，，，， 所以 ，， 设直线 与 所成的角为 ， 则 ， 故直线 与 所成的角的余弦值为. 【变式3-2】（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）如图，在长方体 中，，P 为线段 的中点，则直线与所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量法先求得直线与所成角的余弦值，再由同角三角函数关系式求得其正弦值. 【详解】由题意得，， ， 在长方体中， ， 设，则， 所以， ， ， 所以， 所以直线与 所成角的余弦值为， 所以直线与 所成角的正弦值为. 方法二：如图所示建立空间直角坐标系， 设，则， 所以，则， 所以， 所以， 所以直线与 所成角的余弦值为， 所以直线与所成角的正弦值为. 【变式3-3】（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点为中点，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 【答案】 【分析】以为原点，分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用空间向量夹角公式求解异面直线所成角的余弦值. 【详解】因为平面，底面是正方形，所以两两垂直. 以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 设，则，，，，. 因为点为的中点，所以. 因此，. 设异面直线与所成角为，， 则 . 故异面直线与所成角的余弦值为. 【考点题型四】异面直线所成角的最值或范围 核心方法：向量法 【例4-1】（25-26高一下·山西太原·期末）如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：异面直线求夹角作平行线与已知直线相交，构成的夹角为异面直线所成角，通过解三角形计算取值范围；法二：通过建立空间直角坐标系，利用三角函数法对点设出坐标，将异面直线所成角转化为两条直线方向向量所成的角，进而计算取值范围． 【详解】法一：取底面圆心为，连接，，，作，垂足为，连接； 因为是的中点，为的中点，故； 则即为直线与所成角； 设底面半径为，则，，； 因为，，故； 由余弦定理可知 由， 因为是底面圆周上一动点，故，则； 代入可得； 法二：取的中点，连接，与的中点， 由圆锥的垂直关系可知垂直于底面，与的中点的连线垂直于直径； 故以为原点，与的中点的连线为轴，为轴建立空间直角坐标系； 因为圆锥的轴截面是等边三角形，设，则； 故，，，，设； 则，； 则； 则直线与所成角的余弦值为； 因为，则，． 【例4-2】（26-27高二上·山东枣庄·阶段检测）立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如下图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，该半正多面体中与所成的角是的棱有_______条，直线与直线所成角的余弦值的取值范围为_________. 【答案】 【分析】设原正方体棱长为，进而在正方体中截出该图，再结合正三角形与异面直线的知识求解第一问；建立空间直角坐标系，利用坐标法求解第二问. 【详解】设原正方体棱长为，截去八个全等三棱锥得到截角正方体（阿基米德半正多面体），该多面体共条棱，所有棱长度相等. 与成的棱有和与面相对的面上的还有和与面相对的面上的共16条 建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以; 又设， 则. 令则 所以 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. 【变式4-1】（2026·福建龙岩·三模）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为正方形内部（不含边界）的一点，且 ，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，根据椭圆的定义的动点的轨迹方程，根据异面直线所成角空间向量法得其表达式，利用换元法结合二次函数性质计算可得取值范围. 【详解】如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，在平面内，由，符合椭圆的定义． 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为， 由题意可知， 所以椭圆方程为：， 显然， 又，则， 直线与所成角的余弦值 又，代入得， 当时，令，， 由二次函数性质可知，在上单调递增，所以， 所以. 【变式4-2】（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，将几何问题转化为关于二面角的函数问题，再求解三角函数的最值即可. 【详解】取的中点记为，连接，，.，，则二面角的平面角为. 记二面角的大小为，则. 如图所示，以为原点，为轴，为轴， 过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. ，. ，，. 直线和所成角为， ，. 当，即，有最小值，最小值为. 【变式4-3】（26-27高三上·湖北·阶段检测）正四面体的棱长为，在平面内有一动点，满足，若直线与直线所成的角为，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】先求出正四面体底面中心到顶点距离与体高，由得到动点在底面的轨迹是半径为1的圆；利用向量分解，消去垂直底面的，把异面直线夹角余弦转化为底面向量与夹角的表达式，结合的取值范围求得的范围. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 设正的中心为，连接， 因为为正四面体，所以平面， 在正中，边长为，外接圆半径为， 在Rt中，正四面体的高为， 在Rt中，因为，，所以， 所以点在平面内的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 因为平面，且平面，所以， 所以， 设在平面内向量与的夹角为， 则， 由异面直线所成角的定义得， 因为，所以，从而. 【考点题型五】已知线线角求参数 核心方法：向量法 【例5-1】（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点，且，则线段的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设，利用等腰三角形性质求出和，通过向量分解及垂直关系计算 ，向量结合夹角公式列方程求解即可. 【详解】设， 因为是 的中点，，所以， 在 中，， 所以 ， 同理，因为是的中点，，所以， 在中，， 所以，    连接，因为，所以， 故， 又为中点，所以， 因为，所以，故， 又为中点，所以， 因为， 所以， ，且，平面， 所以平面， 因为平面，所以，即， 将和进行分解：，， 以 ， 在中，， 由题意知， 即， 化简得， 解得， 因为，所以，即. 【例5-2】（25-26高二下·云南·阶段检测）在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形，平面，，且，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求线段的长. 【答案】(1) 如图，取的中点，连接，， 因为，， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； (2) (3)存在，1 【分析】（1）取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，则，再根据线面平行得判定定理即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （3）设，由题意可得，进而可得出答案. 【详解】（1）略 （2）因为，， 所以，所以， 因为平面，， 所以平面，所以，，两两垂直， 以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则令得，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以， 所以二面角的正弦值为； （3）假设在棱存在点，使得直线与所成角的余弦值为， 设，则，又， 所以，即， 所以，解得或（舍去）， 因此适合条件的点存在，且线段的长为1. 【变式5-1】（25-26高二上·广东广州·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由向量数量积的坐标运算，以及向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设，又，， 所以，， 根据向量点积公式，， ，， 已知直线与直线所成角的余弦值为， 则， 两边平方可得， 所以， 所以， 所以， 所以或（舍去）， 所以点的坐标为. 故选：D 【变式5-2】（25-26高二上·全国·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，结合条件运算得解. 【详解】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，    则， 所以，， ， 可得， 所以， 所以，可得． 故选：C. 【变式5-3】（25-26高三上·广东惠州·阶段检测）如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 设是的中点，是的中点，如下图，连接，则， 则，， 由于，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面； (2)存在，，理由如下： 由（1）以及已知条件可知两两相互垂直， 则以为坐标原点，正方向为轴正方向， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为， 设，则， ， ， 整理可得：，解得：， 存在满足题意的点，此时. 【分析】（1）利用计算证明，结合面面垂直的判定定理来证得平面平面. （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，由线线角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结果. 【详解】（1）略 （2）略 【考点题型六】直线与平面所成角（定值） 核心方法：向量法，法向量 【例6-1】（26-27高二上·四川成都·阶段检测）如图，长方体的底面是边长为2的正方形，，点、分别为棱、的中点．若平面平面，则直线与平面所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用面面平行的性质定理得出，将线面角转化为直线与平面所成的角，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值，进而求得余弦值. 【详解】因为平面平面，平面平面， 平面平面，由面面平行的性质定理可知， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角. 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，所以. 设直线与平面所成角为，， 则. 因为，所以. 【例6-2】（26-27高二上·全国·期中）如图，分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，. (1)求证：平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)依题意，以点为原点，直线所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设， 则. 由上得. 设得， 解得，所以，取的中点为，连接， 则，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，然后利用共面定理得，进而利用向量法证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用向量法求解线面角即可； 【详解】（1）略 （2）当时，由， 得. 设平面的法向量为， 则得，取，得， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式6-1】（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，正三棱柱的所有棱长均为2，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：在正三棱柱中，由为的中点，得， 又平面，平面，则，而平面， 所以平面. (2)． 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式6-2】（26-27高二上·全国·期中）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心. (1)求异面直线与的夹角; (2)求侧棱与底面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量数量积的定义，结合空间向量基本定理、空间数量积的运算性质进行求解即可； （2）根据线面角的定义，结合空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）设是在底面内的射影，选作为基向量.由已知可得的两两间的夹角均为，设棱长均为. . 所以，所以异面直线与的夹角为. （2）平面的法向量为， . 所以侧棱与底面所成角的正弦值为|cos|=. 【变式6-3】（2026·河南·一模）如图，在四棱锥中，点在上，平面，，已知，，，． (1)证明：； (2)若四边形为平行四边形，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：由平面，平面，故．     又，且，，平面， 所以平面，     又平面， 所以． (2) 【分析】（1）先利用线面垂直判定定理得出平面，进而得出线线垂直； （2）先根据线面垂直建立空间直角坐标系，再计算平面的一个法向量，进而应用线面角正弦公式计算，最后应用同角三角函数关系求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，又平面， 故，且，． 以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．     则，，，， 由平面，且，得 ， 因为四边形为平行四边形， 所以，即， 设平面的一个法向量， 而，， 所以， 令，则，，．     直线的方向向量，     设直线与平面所成的角为，则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 【考点题型七】直线与平面所成角（最值或范围） 核心方法：向量法，法向量，二次函数，基本不等式 【例7-1】（25-26高二下·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题通过建立空间直角坐标系，利用线面角的向量计算公式，将的最小值问题转化为求的最大值问题，结合二次函数的最值性质求解. 【详解】 如图：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，、、,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，可得各点坐标: ，因点在线段上，设，其中， ，设平面的法向量为，则 ，令，解得，即， 又，， 则， 由同角三角函数关系得，要使最小，需使最大， 当时，，此时取得最大值， 代入得：. 【例7-2】（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，在正方体中，为棱的中点，若正四面体绕直线旋转一周，在旋转过程中，直线与平面所成的角为，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，表示动点旋转的轨迹以及坐标，根据三角函数的恒等式，利用线面角的向量公式，可得答案. 【详解】由题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 点的旋转轨迹为在平面内，以为圆心以及长为半径的圆周， 点的旋转轨迹为在平面内，以为圆心以及长为半径的圆周， 设分别为旋转过程中的点，连接，， 过作，垂足为，过作，垂足为， 如下图： 则，，即， 设，，旋转角， 易知，即，则， 化简可得，即，同理可得， 可得，， 即， 在正方体中，易知平面， 则在旋转过程中，平面的一个法向量， 所以， 令，则， 可得，所以. 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 【变式7-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，三棱柱的棱长均为，若，其中，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是__________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，写出与平面的法向量，再利用向量夹角公式表示出直线与平面所成角的正弦值，再结合的取值范围以及函数的单调性可求解出范围. 【详解】 如图，取的中点，连接，因为， 所以，又， 所以， 所以，即. 又因为，所以，即，所以两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 因为，则. 设是平面的法向量，则即， 取， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 令，由，得， 又，故，，所以， 即直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 【变式7-2】（24-25高二下·浙江·开学考试）在正方体中，点P是线段上的一点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为______． 【答案】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，代入空间线面角公式，分和再利用换元法结合二次函数的性质求出范围即可. 【详解】 设正方体的棱长为2， 以为原点建立空间直角坐标系，， 设， 则， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成的角为， 则， 当时，， 当时，， 设，， 所以， 综上，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是能够利用空间线面角公式表示出所求角，再利用二次函数的性质求解. 【考点题型八】直线与平面所成角（探索性问题） 核心方法：向量法，法向量 【例8-1】（26-27高二上·广东清远·期中）如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由. 【答案】(1)证明：由折叠的性质，且两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， 故， 故，即； (2) (3)存在，点为的中点 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系； （2）求出两平面的法向量，利用平面夹角向量公式进行求解； （3）设，，利用线面角的夹角公式得到方程，求出，得到答案 【详解】（1）略 （2）显然平面的一个法向量为， 平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 设平面与平面的夹角为， 则； （3）动点在线段上，设，， 则， 设直线与平面的夹角为， 则， 由题意得，整理得，解得或（舍去）， 所以，即点为的中点. 【例8-2】（26-27高二上·天津宝坻·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，，Q为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点H满足直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 以A为坐标原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 由已知条件可得 ，，，， 则，因为Q为的中点，所以， 则点Q的坐标为，则 ，，， ，，所以，，即，， 又平面，平面 ，，所以平面. (2) (3)存在，或 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出，，，利用向量数量积证明，，再由线面垂直的判定定理证明即可. （2）分别求出平面与平面的一个法向量，，根据 ，夹角余弦值即可求出平面与平面夹角余弦值. （3）设线段上存在点H满足直线与平面所成角的正弦值为，设，利用向量数量积列出关于所求角正弦值的方程，求解即可判断. 【详解】（1）略. （2）由答案（1）可得 ，，， 因为，，所以点E的坐标为， 则，. 设平面的一个法向量为，则有 ，令，得，所以. 设平面的一个法向量为则有 ， 令，解得，，所以. 因为平面与平面夹角为锐角，所以余弦值为正数，则有 ， 所以面与平面夹角的余弦值为. （3）设线段上存在点H满足直线与平面所成角的正弦值为， 设，由答案（1）知，，， 则，所以点H的坐标为， 则， 由详解（2）可知是平面的一个法向量，则有 ，变形可得， 两边平方并化简得， 解得，. 所以上存在点H满足直线与平面所成角的正弦值为，或. 【变式8-1】（26-27高二上·北京顺义·阶段检测）在四棱锥中，底面是正方形，平面，，，，分别是，的中点． (1)证明：平面； (2)若，平面与平面的交线为，设直线与直线交于点，求线段的长度； (3)当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长度． 【答案】(1)因为，是的中点，所以， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面. (2) (3)或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线面垂直的性质定理，证明线线垂直，进而根据线面垂直的判定定理证明结论即可； （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，根据线面平行的性质定理，找到直线的位置，进而设出点的坐标，写出直线的方向向量，求出点的位置，求出结果即可； （3）设出几何体的高，根据线面夹角的向量方法，求出直线方向向量和平面的法向量，进而求出参数值，写出结果. 【详解】（1）略 （2）如图所示，作中点，连接，可知平面，底面是正方形， 则以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 可知，面，面，所以面， 所以平面与平面的交线经过点且， 因为，所以，设点， 可知，所以， 可得， 设，即，解得， 所以，可得. （3）设，则， 可得， 设平面的法向量为， 则，即， 令，解得，即面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 化简得，解得或，即或， 可知，所以或. 【变式8-2】（26-27高二上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点． (1)求证：面； (2)求锐二面角的正切值； (3)在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，．则， ，．设平面的法向量是，则， 即令，则，．于是． ，． 又平面，平面． (2) (3)存在满足题意的点，且的值为，理由如下. 假设存在满足题意的点，且，设点的坐标为， 可得，由对应坐标相等可得， 故，由于平面的一个法向量， 设与平面所成的角为，由与平面所成角的正弦值为， 得，解得， 可得存在满足题意的点，且的值为． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明直线方向向量与平面法向量垂直，结合线在面外，完成线面平行的证明； （2）分别求出两个半平面的法向量，通过法向量夹角公式计算二面角的余弦值，再转化为正切值；（3）用参数设出线段上动点坐标，利用线面角与方向向量、法向量的夹角关系列方程，求解参数并验证范围. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为．则，即， 据此可得平面的一个法向量， 设锐二面角的平面角大小为，为锐角， 则，即， 所以．锐二面角的正切值为． （3）略 【变式8-3】（25-26高一下·四川成都·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上一点，且. (1)求证：平面； (2)求点E到平面的距离； (3)在棱上是否存在点Q（不与C，P重合），使得直线与平面所成角的正弦值为，若不存在，说明理由，若存在，求出的值. 【答案】(1)如下图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意可知，，，，，因为，所以，可得. 则，，，，， ，，平面， 平面. (2)2. (3)在棱上存在点Q使得直线与平面所成角的正弦值为，. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出，，的坐标，可计算出，，则可知，，进而根据线面垂直的判定定理可证明出平面. （2）计算出的坐标，求出平面的一个法向量，直接利用点面距离公式计算即可求出点E到平面的距离. （3）设，写出Q点坐标，得到向量，由（1）已知是平面的法向量，利用线面角公式列方程进而解出，再检验是否符合题意即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）可得，，， 设平面的一个法向量，， 令，可得，，. . 所以点E到平面的距离为2. （3）设，，由（1）知，则 ，. 因为，可得， 因为，则. 由（1）知是平面的一个法向量，直线与平面所成角满足： ， 已知， ， ， 则有， 平方可得，，， 解得（舍去，与C重合）或. 所以在棱上存在点Q使得直线与平面所成角的正弦值为，. 【考点题型九】两个平面所成角（定值） 核心方法：向量法，法向量 【例9-1】（26-27高二上·广西南宁·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)取中点，连接，，因为为的中点，为中点，所以且， 又，，，，所以有且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）根据条件，利用几何关系可得，再由线面平行的判定定理，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用面面角的向量法，即可求解. 【详解】（1）略 （2）在中，由，，，得，所以. 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又，，所以，则， 如图以为原点，以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，因为为的中点，所以， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 又由（2）知平面，所以平面的一个法向量为. 设二面角的平面角的大小为，由图可知二面角为锐二面角， 则， 所以二面角的余弦值为. 【例9-2】（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）如图所示，四棱锥中，侧面是边长为的正三角形且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点． (1)求与底面所成角的大小； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取中点，由正三角形三线合一得到线线垂直，结合线面垂直，得到线面角，然后由三角形边长关系求得线面角； （2）由（1）得到三直线两两垂直，由此建立空间直角坐标系，然后写出点坐标得到向量坐标，分别求出平面的一个法向量，然后通过法向量的夹角的余弦值求得二面角的余弦值. 【详解】（1）取中点，连接， 在正中，，平面， 又因为平面平面，且平面平面， 所以平面，所以与底面所成角为， 平面，所以， 在菱形中，因为，所以为正三角形， 所以，又是边长为的正三角形， 所以，所以，即. （2）由（1）可知， 如图，建立以为原点的空间直角坐标系， 所以 所以， 所以向量， 令向量分别为平面的一个法向量， 则，令，则，即. ，令，则，即， 所以 令二面角为，由观察可知为钝角， 所以. 【变式9-1】（26-27高二上·新疆和田·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； 【答案】(1)连接交于点， 因为四边形为正方形，所以为的中点， 又因为是的中点，所以， 因为平面平面，所以平面． (2) 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，， 可得，所以，所以，即， 又因为，且平面，所以平面， 所以平面的一个法向量为， 又由， 设平面的法向量为，则， 取，则，即， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 【变式9-2】（26-27高二上·广东东莞·期中）如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，平面，，且． (1)设点M为棱PD的中点，求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：由已知平面ABPE，，故以A为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以， 易知平面ABCD的一个法向量等于， 所以，所以， 又平面ABCD， 所以平面ABCD． (2) 【分析】（1）建系，通过直线方向向量和平面法向量的位置关系即可判断； （2）由面面夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）易知平面ABPE的一个法向量等于， 设平面PCD的一个法向量等于， 可得，， 则，， 令得， 则可得． 设平面与平面夹角为， 则． 【变式9-3】（26-27高二上·天津河东·阶段检测）如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为1，求：    (1)直线与直线所成角的余弦值； (2)平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系,利用向量法求出直线与直线所成角的余弦值即可． （2）求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法求出平面与平面所成二面角的余弦值即可． 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，. ∴， ∴，且，. ∴. 又异面直线所成的角的范围是， 所以直线与直线所成角的余弦值为. （2）由上得，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得. 又平面，所以是平面的一个法向量， ∴.由图可得平面与平面所成角为锐角， 故平面与平面所成角的余弦值为. 【考点题型十】两个平面所成角（最值或范围） 核心方法：向量法，法向量，二次函数，基本不等式 【例10-1】（25-26高二上·四川绵阳·期中）如图所示，在四面体中，为等边三角形，，则平面与平面夹角的最大值是______. 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，设等边的边长为1，设，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求得两平面夹角的最大值. 【详解】以为坐标原点，在平面内作直线垂直于为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设等边的边长为1，因为，所以设， 因为当时，四点共面，不能构成空间四边形，所认， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以， 即，结合，所以， 所以平面与平面夹角的最大值是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：建立空间直角坐标系，用向量夹角的坐标法求解空间角解决空间角的一种重要方法. 【例10-2】（2026·湖南·三模）如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为______．    【答案】 【分析】以点C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴，建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，进一步得平面与平面夹角的余弦值的最大值的表达式，结合换元法、基本不等式求解即可. 【详解】因为平面，平面，所以，， 因为，又，所以平面， 又平面，所以， 易知在和中，斜边AD的中点到点A，B，C，D的距离相等， 即AD为球O的直径，设，因为，， 所以，，因为，， 所以中，，． 以点C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，设，， 由题可知，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得． 设平面的一个法向量为， 则，取，可得． 设平面与平面的夹角为． 因为 ， 令，则，，， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 此时即取得最大值． 故答案为：. 【变式10-1】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为.若点为线段上的动点（不包括端点），锐二面角余弦值的取值范围为______.    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】连接，因为在平面内的射影为， 所以垂直于平面内这两条线段， 又因为底面是边长为2的等边三角形，是线段中点， 所以， 因此建立如图所示的空间直角坐标系，   ， 设，， 则， 设平面的法向量为， 因此有， 设平面的法向量为， 因此有， 所以， 令， 所以， 设， 则, 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以当时，该二次函数单调递增， 所以当时，该二次函数有最小值， 当时，该二次函数有最大值， 所以，即， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，结合二次函数的单调性求解值域. 【变式10-2】（25-26高二上·福建三明·期中）如图所示，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为_________. 【答案】 【分析】由题设可得构建为原点的空间直角坐标系，根据已知标注相关点的坐标，设，，，可得的坐标，进而求面与面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示得到关于的表达式，由二次函数的性质即可求其最大值. 【详解】底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，则≌， ∴，设，则， ∵为的中点，则， ∴，即， 以为原点，如图建立空间直角坐标系，则、、、， 设，，，则，而，， ∴、、， ∴， ∴、、、， 设面的一个法向量，则， 即，令，则， 设面的一个法向量 ，则，即， 令，则， 面与面所成锐二面角的平面角为，则， 当时 ，即的最大值为. 故答案为：. 【变式10-3】如图所示，在正方体中，点是棱上的动点（点可以运动到端点和），设在运动过程中，平面与平面所成的最小角为，则_____________． 【答案】 【分析】设正方体的棱长为1，，以为坐标原点，，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，确定、坐标进而得到、的坐标表示，求面、面的法向量，结合图形根据法向量夹角与二面角的关系，有关于的二面角余弦值的函数，求最值即可得的值 【详解】以点为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设正方体的棱长为1，，则易得，， 则，，设平面的一个法向量为 则，令，得平面的一个法向量为 由平面为xOz平面，可知其一个法向量为 由图知：平面与平面所成的二面角为锐角，设其为，则 当即时，取最小值，取最大值，此时最小角，即 【点睛】本题考查了空间向量与立体几何，构建空间坐标系并用坐标表示相关点坐标，将平面中两相交线段用向量的坐标形式表示求法向量，根据平面法向量夹角与二面角的关系，结合向量的数量积坐标公式得到二面角余弦值 【考点题型十一】两个平面所成角（探索性问题） 核心方法：向量法，法向量 【例11-1】（26-27高二上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，，，，，分别是，上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)在线段上是否存在点，使平面与平面夹角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，且长度为或 【分析】（1）根据翻折前后图像的性质，结合已知条件，证明线面垂直；建立空间直角坐标系，运用向量夹角余弦公式求解异面直线与所成角的余弦值； （2）设存在点使得假设条件成立，求出平面与平面的法向量，运用向量夹角余弦公式结合题给条件列出关于的方程求解． 【详解】（1），，折叠后， ，平面， 平面，， 又，平面， 平面． 以为原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系， ，，，分别是，上的点，满足且， 折叠后，所以，    得， ， 故， 所以异面直线与所成角的余弦值是； （2）设线段上存在点，使平面与平面夹角余弦值为，   ， 设为平面的法向量，则， 令，则， 设平面的法向量为，则， ， ，令，则， 设两平面夹角为，则， 化简整理得，解得或（此时与重合）， 或， 或，即存在点，且长度为或． 【例11-2】（26-27高二上·云南玉溪·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，平面平面，点是棱的中点，点是棱上的一点不包含端点． (1)求证：平面； (2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：因为底面是边长为的正方形， 所以，， 因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面． (2)6 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，平面，由线面垂直的性质定理可得，，由线面垂直的判断定定理即可得证； （2）利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值，再计算空间体积即可． 【详解】（1）略； （2）由（1）知平面， 又，平面， 所以，， 又， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 可得：，，，，， 所以，，， 设， 则． 设平面的法向量为， 则， 即， 取，解得，，则， 因为平面， 所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以， 解得或舍，所以， 所以三棱锥的体积 ． 【变式11-1】（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面，，．    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点Q（除去端点），使得平面与平面所成角的大小为？若存在，请说明点Q的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)取的中点，连接. 因为为梯形，且，， 所以四边形为矩形，所以，所以， 所以，所以， 又因为四边形为矩形，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； (2) (3)在线段上存在一点Q（除去端点），使得平面与平面所成角的大小为，且点为线段上靠近点的一个三等分点 【分析】（1）取的中点，连接，利用已知可得，，进而可证平面，可证结论； （2）由已知可证得两两垂直，所以分别以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）假设存在点，满足题意，且此时，然后利用空间向量求二面角即可求解 【详解】（1）略. （2）由（1）知平面，又平面，所以， 又因为，所以，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，    根据题意，则有， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，令，则， 所以平面的一个法向量为 设直线与平面所成角为， 则有． （3）假设存在点，满足题意，且此时， 即得，所以， 则有，， 设平面的一个法向量为， 则有，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又因为平面平面的一个法向量为， 根据题意，则有， 解之可得，即得， 即点为线段上靠近点的一个三等分点. 【变式11-2】（26-27高三上·云南曲靖·阶段检测）如图，在正三棱柱中，为线段的中点，为线段上的动点． (1)求证：； (2)若，，二面角的余弦值为，求的长度． 【答案】(1)连接， 在正三棱柱中，为等边三角形，   又因为M为的中点，所以．   又因为平面，平面，所以   又因为，，平面， 所以平面．   又因为平面，所以． (2)1； 【分析】（1）连接，则由等边三角形的性质可得，再由正三棱柱的性质得，然后由线面垂直的判定可得平面，最后由线面垂直的性质可证得结论； （2）如图建立空间直角坐标系， 求出相关平面的法向量，再利用面面角的空间向量表示即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）略； （2）设为的中点， 由（1）知，，， 如图，以M为原点，以，，的方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 因为，，设，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以， 令，得，， 所以平面的一个法向量为， 由已知得，，， 所以的中点， 所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 因为二面角的余弦值为， 所以， 化简得，解得，， 因为，所以， 【变式11-3】（26-27高二上·重庆永川·阶段检测）如图1，在中，，分别为边的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接． (1)求证：平面； (2)若为的中点，求平面与平面的夹角余弦值； (3)线段上是否存在点（不含端点），使平面与平面的夹角余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为分别为边的中点，所以， 又因为，所以，所以， 因为，且，平面， 所以平面. (2) (3)存在，. 【分析】（1）根据题意，证得，得到，再由，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解即可； （3）假设线段上存在点（不含端点），使平面与平面的夹角余弦值为，设，利用求出关于的坐标，求出平面的法向量，结合面面角的向量法建立关于的方程，求解分析即可. 【详解】（1）略. （2）连接，因为，所以两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，       可得， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与平面的夹角为为， 则， 所以平面与平面所成的角的余弦值为. （3）假设线段上存在点（不含端点），使平面与平面的夹角余弦值为， 设此时， 由（2）得， 设，则，又， 所以， 所以，即， 由， 设平面的一个法向量为， 则 取，可得，所以， 由（2）知平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， ， 化简得：，解得：（舍去）或， 所以线段上存在点（不含端点），使平面与平面的夹角余弦值为，此时. 【考点题型十二】空间向量新定义题 【例12-1】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知单位向量两两的夹角均为，且，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作.若，，则在该坐标系下，若三角形的重心为，则的坐标为__________，直线与平面所成角的余弦值为__________. 【答案】 【分析】第一问，由题可得三角形为等边三角形，利用重心性质得，结合定义运算得解；第二问，法1，（几何法）由题可判断四面体为正四面体，作，利用线面角的定义求解；法2，（仿射坐标系法）设平面的法向量为，利用方程组法求得，利用向量法求得答案. 【详解】第一问：由题意可知，，并且，则三角形为等边三角形， 因此， 由于，，， 故而，即； 第二问：（方法一：几何法） 由题意知，直线两两夹角为60°，并且，作图如图， 设D为中点，则，即四面体为正四面体， 作，则点G为等边三角形的重心，故， 故直线与平面所成角为，所以.    （方法二：仿射坐标系法） 由于， 设平面的法向量为， 由， 取，得，解得， 由于.设直线与平面所成角为， 所以， ， ， 则，所以. 故答案为：；. 【例12-2】（2026·山东济南·模拟预测）已知两个非零向量，的夹角为，定义与的外积分记为，其结果是一个向量，它的长度规定为，它的方向规定为与，均垂直；如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，. (1)求的值； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若为上一点，，求. 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用外积分的长度规定结合求的值； （2）求出平面的法向量，向量法求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，，由与均垂直，求出的值，得到，再由，求的值. 【详解】（1）在四棱锥中，底面为矩形，底面， 以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，，得， ，， ， ， ， 化简得， 即，又，解得. （2）若为线段的中点，有， ，设平面的一个法向量为， ，令，则，即， 又，设直线与平面所成角为， 则. （3）为上一点，设，， 则，设，， ，又，， 则有，解得， 所以，， 又，则. 【变式12-1】（26-27高二上·广东广州·阶段检测）在三棱锥中，，，，． (1)是的中点，是的中点，求异面直线与所成角的余弦值． (2)对于实数，，，，称为二阶行列式，定义一种运算：．对于向量，，称为与的向量积，定义一种运算：．试计算，并说明这一运算的几何意义． (3)在（2）的基础上计算的值，指出的几何意义，并求出三棱锥的体积． 【答案】(1). (2)，是垂直于，，且为方向上的单位向量（所在直线垂直于平面）. (3)，为点到平面的距离，即三棱锥以为底面的高，三棱锥的体积为. 【分析】（1）利用空间中点坐标公式求出的坐标，从而得到向量与的坐标，代入空间向量夹角公式求出余弦值，最后取绝对值转化为异面直线所成角的余弦值； （2）直接套用题目给出的“二阶行列式”和“向量积”的新定义，计算出的坐标，将其除以自身的模长进行单位化得到，其几何意义是垂直于平面的单位法向量； （3）利用向量数量积的几何意义（投影），通过求出点到平面的距离（即三棱锥的高），同时，利用第（2）问提供的向量积性质证明即为以为邻边的平行四边形面积，由此求得底面积，最后代入体积公式求得三棱锥体积. 【详解】（1）由题意可知，，，， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为． （2）由题可得，， 所以， ， 所以， 又，，所以，．又， 所以分别垂直于，，且为方向上的单位向量（所在直线垂直于平面）． （3）由题意可知，则， 因为，所以是在方向上的射影， 因为，，，，平面，所以为平面的一个法向量， 所以为点到平面的距离，即三棱锥以为底面的高． 设，， 则． 因为，， ， ， 所以． 因为，， 所以． 【变式12-2】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个与、都垂直的向量，且它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段AD上一点． (1)求； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【分析】（1）先证明为直线与所成角，再由定义去求解； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量进行求解； （3）由，，设，，得，即可求解． 【详解】（1）因为底面为矩形，所以，， 又底面，底面， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为，所以为直线与所成角，即， 在直角中， 所以， . （2）因为且为矩形， 所以可如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量， 则， 令，得   所以， 因为  所以平面的法向量可取， 设二面角的平面角为 ，则， 所以 ，     所以， 所以二面角的正弦值为． （3）依题意，，， 又， 所以，， 设，， 则 ， 所以， 由， 得 ，  所以 ， ， 由（1）知， 又因 ， 所以， 所以线段上存在点，使得，此时． 【变式12-3】（25-26高二上·上海金山·期末）我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记. (1)若，求； (2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）. ②若，求直线与平面的所成角的大小； (3)证明，并用表示三棱锥的体积. 【答案】(1)； (2)①的方向是平面的法向量；②； (3) ， 三棱锥的体积为 【分析】（1）根据向量新定义应用坐标运算即可； （2）①得出方向是平面的法向量；②应用线面角正弦公式计算； （3）应用定义计算证明；结合点到平面距离公式计算应用体积公式计算即可. 【详解】（1），. （2）①的方向是平面的法向量； 因为，， ， 所以， ， 所以的方向是平面的法向量； ②由题意知， 设平面的法向量为， 则设，则， 则直线与平面的所成角的正弦值为， 则直线与平面所成角们大小为. （3）由题意知点到平面的距离为， 一、单选题 1．（26-27高二上·广东佛山·阶段检测）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，以为原点，以、、分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则： ，，，，，， 则. 2．（26-27高二上·浙江嘉兴·阶段检测）已知空间直角坐标系中，，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与平面所成角的向量求法，计算直线AB的方向向量与平面α法向量夹角余弦的绝对值即可得到结果. 【详解】由，，得， 线面角的向量计算规则：设直线与平面所成角为，，则， 所以，故， 又，，因此， 代入计算得：，因线面角正弦值非负，排除A、B，最终选C. 3．（2027高三·全国·专题练习）如图，点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，， 所以为平面的一个法向量， 因为平面的法向量为， 设二面角的大小为，为锐角， 则． 4．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）已知正方体的棱长为，点在正方体内部（含表面）且满足．若点到直线的距离为，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求向量，，，的坐标，利用向量方法由点到直线的距离公式求解. 【详解】如图，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 又， 所以， 取，， 则，， 所以点到直线的距离为 化简得，则或，都符合题意. 5．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是B1C1，C1D1的中点，H，I分别是A1D1，A1B1的中点，点P∈平面AHI，则点P到平面EFB的距离为（    ） A．2 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】先证明平面与平面平行，将动点到平面的距离转化为点到平面的距离，再建立空间直角坐标系，利用法向量求距离． 【详解】由正方体的性质及三角形的中位线定理，得，． 又不在平面内，平面，所以平面． 同理平面． 由，平面，得平面平面． 当平面时，点到平面的距离等于点到平面的距离． 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，所以，，． 设平面的一个法向量 且， 取,可得， 因此所求距离为． 6．（26-27高二上·重庆大足·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为基底向量，再用向量法求线线角可得. 【详解】因为正三棱柱中，，所以平面， 又面，所以， 因此. 设，由勾股定理得，且 又因为， 所以 . . 因此异面直线与所成角的余弦值是. 7．（26-27高二上·广东中山·期中）如图，正方体的棱长为，若在正方体内部且满足，则到直线的距离最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量及配方法求解即可． 【详解】以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系： 则，，，，， 所以，，， 所以，所以， 又因为P在正方体内部，所以， 又因为，， 令， 设P到直线的距离为d， 则 ， 所以当时，取最小值，为， 所以P到直线的距离最小值为． 8．（26-27高二上·安徽六安·阶段检测）在长方体中，，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在长方体中，，，， ，又，， 又因为平面，平面， 又平面，， 又∵平面平面， 为二面角所成的平面角， 所以， 即二面角的余弦值为． 二、多选题 9．（26-27高二上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在正方体中，点在线段上运动，则（　　） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系后，利用和，即可得到平面，可判断A选项，求出的面积，用向量法求出到平面的距离，然后根据锥体体积公式计算可得到三棱锥的体积为定值，可判断B选项，利用向量法分别求出异面直线与所成角，直线与平面所成角的向量表达式，然后根据的取值范围确定角的范围，可判断C,D选项. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则， 对于A，， ，， ，， 又平面，且， 平面，A选项正确. 对于B，设，其中， 由题意可得是边长为的等边三角形，其面积， 平面的法向量为，， 故到平面的距离, 则三棱锥的体积为定值， B选项正确. 对于C，，， 记异面直线与所成角为， 则 ， ，， 即，，C选项正确. 对于D，, 记直线与平面所成角为， 则， 当时，的最大值为，D选项错误. 10．（26-27高二上·广东佛山·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时，长度的最小值为 C．当时，存在点，使得与平面所成的角为 D．当，时，平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】对于A选项看是否能在面内找到一条直线与平行；对于B选项通过空间直角坐标系求出长度的一个一元二次函数再根据题目要求求出最小值；对于C选项，找到直线的方向向量与平面的法向量根据线面角公式转化为一个一元二次方程是否有解的问题；对于D选项，先求出两平面的法向量再通过法向量求出两平面夹角的余弦值. 【详解】对于A选项，连接，由题可得， 因为且，所以与成比例并共线，而， 故，平面，平面，因此，平面，故A选项正确； 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 故，因此. 对于B选项，因为，所以， 故， 当时，的值最小为，故长度的最小值为，B选项正确； 对于C选项，由B选项可得，且平面的法向量， 设与平面所成的角为，则， C选项要求，故，即，该方程的无解， 故不存在点，使得与平面所成的角为，则C选项错误； 对于D选项，可得， 设平面的法向量，平面的法向量， 故，， 令，则， ， 故平面与平面夹角的余弦值为，故D选项正确. 三、填空题 11．（26-27高二上·广东佛山·阶段检测）在三棱锥中，，，，点在平面内的投影为点，，，则在上的投影向量的模长是______；若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，则______． 【答案】 / 【分析】第1空，等腰三角形和共底边，借助中点易证；第2空，建系，设坐标，向量法求线面角，解方程即可. 【详解】记中点为，连结、. ，， ，. 又、平面，，平面. 平面，，在上的投影向量的模长是. 平面，平面平面， 故在平面内的投影交线. ，，，的可能位置有两种，如下图： 以为原点，、、的方向分别为、、轴正方向，建系. ，，. 在线段上，可设，. (i) 若在线段上，则，. 设平面的法向量为， 则，取，则. 设直线与平面所成角为， 则，解得或（舍去）. (ii) 若在的延长线上，则，， 平面的法向量取，，同(i). 综上所述，，，. 12．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）如图，在四面体中，，．设异面直线与所成的角为，当二面角的大小在内变化时，的最大值是__________． 【答案】/ 【分析】取的中点，则为二面角的平面角，设，，将用表示，则可根据的范围求出的最大值． 【详解】 取的中点，连结，则，则为二面角的平面角， 设，，， 在中，由余弦定理可得，， 所以， ， 因为，所以， 当时，有最大值，故的最大值是． 四、解答题 13．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，在四棱锥 中， 平面 ，，平行于，，． (1)若 为棱 的中点，求证： 平行于平面 ； (2)求直线 与平面 所成的角的余弦值． 【答案】(1)因为平面，平面，所以， 又，所以两两垂直， 以点为坐标原点，所在方向为轴正方向建立如图空间直角坐标系， 则， 所以，设平面 的法向量为， 则，取其中一组解为， 因为，且平面， 所以 平行于平面 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由题意得到平面 的法向量垂直于，再结合平面，可得 平行于平面 ； （2）设直线 与平面 所成的角为，利用向量夹角公式得到，于是. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，，平面 的法向量为 设直线 与平面 所成的角为，则 ， 所以. 14．（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）如图：在四面体中，，，，，，，、、，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，. (1)求； (2)当时， ①用向量表示； ②求的值； (3)在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①​​；② (3)存在，，理由如下： 由，所以 ， ， ， 若，则， 得，， ， 又因为，，， 代入上式，，即， 所以，解得. 因此线段上是存在一点，使得，且. 【分析】（1）将，再由向量的数量积计算可得； （2）①直接根据向量的线性运算可得；②由①知，再由向量的数量积计算向量的模可得； （3）先用向量表示，得，再结合向量垂直的条件计算可得. 【详解】（1）因为，所以 ， 因此 （2）①当时，则，所以. 又因为，所以， 所以， 因此， 所以. ②由①知， 所以 ， 因此. （3）略 15．（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）如图，在空间平移 到 ，连接对应顶点， 为棱 （不包括端点）上一动点，若，，. (1)若，求的长； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)当在棱 （不包括端点）上运动时，求平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由题意判断几何体为直三棱柱，根据条件建系，求出相关点的坐标，利用向量垂直的充要条件建立方程求解即得； （2）根据（1）中的坐标系，利用空间向量的夹角公式计算即得； （3）设，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式得到两平面的夹角余弦值的表达式，结合二次函数的性质即可求得其最大值. 【详解】（1）根据平移的性质，可知几何体为三棱柱，则，因， 可得，因平面，则平面，即为直三棱柱. 取中点，连接，因，，可得等边，则. 故可以点为坐标原点，所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴， 如图建立空间直角坐标系. 则， 设，则，，， 因，则，解得，即的长为1； （2）显然，平面的法向量可取为， 因， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为； （3）设，，则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 又因平面的法向量可取为， 设平面 与平面 的夹角为， 则， 因，则当时，取得最小值，此时取得最大值， 即平面与平面的夹角的余弦值的最大值为. 16．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，点在棱上，． (1)求平面与平面的夹角余弦． (2)求四面体的体积． (3)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相应的点坐标，分别求出平面与平面的法向量，利用向量法求解即可； （2）先利用空间向量距离公式求出三角形的三边，然后利用余弦定理，同角三角函数关系式，三角形面积公式，向量法求点到面的距离公式，锥体的体积公式求解即可； （3）设，先求出关于的坐标，利用线面角的向量法建立方程求出的值，得出点的坐标，最后利用空间向量模的坐标公式计算即可. 【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 由， 则， 设是平面的一个法向量，由， 则， 令，则，平面的一个法向量为， 设是平面的一个法向量，由， 则， 令，则，平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，由图可知为锐角， 所以. （2）由（1）得， ， ， 在中，由余弦定理可得：， 所以， 由（1）得，平面的一个法向量为， 则点到平面的距离， 所以. （3）设，，则， 所以得， 所以， 设直线与平面所成角为， 由， ，， 所以， 化简得，因为，得， 所以，所以线段的值为. 17．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面BCDE为菱形，， ， ，O为棱DE的中点.    (1)证明：； (2)求点B到平面PCD的距离； (3)设M为棱PD上的动点，若平面ECM与平面BCDE夹角的余弦值为，求直线EM与平面PCD所成角的正弦值. 【答案】(1)，则为等边三角形， O为棱DE的中点，则有且， 底面BCDE为菱形，，则，，， 由余弦定理，则， 又，则有，得， ，平面，所以平面， 平面，所以； (2) (3) 【分析】（1）结合余弦定理和勾股定理，利用线面垂直的判定定理证明平面，进而利用线面垂直的性质定理证得； （2）建立空间直角坐标系，向量法求点到平面的距离即可； （3）利用已知二面角的余弦值，求出M点坐标，再利用向量法求直线 EM 与平面 PCD 所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）底面BCDE为菱形，，则为等边三角形， O为棱DE的中点，则有，又平面， 故以为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则有， 令，则，得， 所以点B到平面PCD的距离为. （3）M为棱PD上的动点，设，可得， ，设平面的一个法向量为， 则有， 令，则，得， 由平面，则平面的一个法向量为， 平面ECM与平面BCDE夹角的余弦值为， 则有，解得， 则，，又平面的一个法向量， 设直线 EM 与平面 PCD 所成角为， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02空间向量研究距离、夹角问题 （12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点. 过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量， 且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 【知识点02】用向量运算求两条直线所成角 已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点， ，为所成的角为，则 ①②. 【知识点03】用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ①②.（注意此公式中最后的形式是：） 【知识点04】用向量运算求平面与平面的夹角 若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，.若，分别为面，的法向量 ①②根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； 【考点题型一】利用空间向量求点面距 核心方法： 【例1-1】（26-27高二上·上海崇明·期中）已知 是各条棱长均等于 的正三棱柱， 是侧棱 的中点，则点 到平面 的距离为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（26-27高二上·河南信阳·阶段检测）若空间中有三点，，，则点到平面ABC的距离为______. 【变式1-1】（26-27高二上·河南周口·阶段检测）已知，，，若平面经过点，且点，在平面内的射影重合，则点到平面的距离为（      ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27高二上·云南楚雄·阶段检测）已知点，，，为坐标原点，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）在长方体中，，，则点到平面的距离为________． 【考点题型二】利用等体积法求点面距 核心方法：等体积法 【例2-1】（26-27高二上·广东揭阳·阶段检测）已知三棱锥，是直角三角形，，，平面，，求点到平面的距离_______. 【例2-2】（26-27高二上·河南洛阳·阶段检测）如图，是正方形所在平面外一点，且，，，，若是的中点，则点到平面的距离为______． 【变式2-1】（25-26高二下·江苏南京·期末）在棱长为2的正方体中，点分别为的中点，则点的距离为_______． 【变式2-2】（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 【变式2-3】（2026·山西临汾·二模）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 【考点题型三】异面直线所成角 核心方法：向量法 【例3-1】（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，是的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【例3-2】（26-27高二上·青海西宁·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱，，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（26-27高二上·吉林·期中）如图，正四棱台的高为2，，O为底面的中心，则直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）如图，在长方体 中，，P 为线段 的中点，则直线与所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点为中点，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 【考点题型四】异面直线所成角的最值或范围 核心方法：向量法 【例4-1】（25-26高一下·山西太原·期末）如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（26-27高二上·山东枣庄·阶段检测）立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如下图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，该半正多面体中与所成的角是的棱有_______条，直线与直线所成角的余弦值的取值范围为_________. 【变式4-1】（2026·福建龙岩·三模）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为正方形内部（不含边界）的一点，且 ，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（26-27高三上·湖北·阶段检测）正四面体的棱长为，在平面内有一动点，满足，若直线与直线所成的角为，则的取值范围为________. 【考点题型五】已知线线角求参数 核心方法：向量法 【例5-1】（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点，且，则线段的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【例5-2】（25-26高二下·云南·阶段检测）在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形，平面，，且，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求线段的长. 【变式5-1】（25-26高二上·广东广州·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·全国·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高三上·广东惠州·阶段检测）如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【考点题型六】直线与平面所成角（定值） 核心方法：向量法，法向量 【例6-1】（26-27高二上·四川成都·阶段检测）如图，长方体的底面是边长为2的正方形，，点、分别为棱、的中点．若平面平面，则直线与平面所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【例6-2】（26-27高二上·全国·期中）如图，分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，. (1)求证：平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式6-1】（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，正三棱柱的所有棱长均为2，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式6-2】（26-27高二上·全国·期中）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心. (1)求异面直线与的夹角; (2)求侧棱与底面所成角的正弦值. 【变式6-3】（2026·河南·一模）如图，在四棱锥中，点在上，平面，，已知，，，． (1)证明：； (2)若四边形为平行四边形，求直线与平面所成角的余弦值． 【考点题型七】直线与平面所成角（最值或范围） 核心方法：向量法，法向量，二次函数，基本不等式 【例7-1】（25-26高二下·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【例7-2】（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，在正方体中，为棱的中点，若正四面体绕直线旋转一周，在旋转过程中，直线与平面所成的角为，则的最小值为___________． 【变式7-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，三棱柱的棱长均为，若，其中，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是__________. 【变式7-2】（24-25高二下·浙江·开学考试）在正方体中，点P是线段上的一点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为______． 【考点题型八】直线与平面所成角（探索性问题） 核心方法：向量法，法向量 【例8-1】（26-27高二上·广东清远·期中）如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由. 【例8-2】（26-27高二上·天津宝坻·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，，Q为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点H满足直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式8-1】（26-27高二上·北京顺义·阶段检测）在四棱锥中，底面是正方形，平面，，，，分别是，的中点． (1)证明：平面； (2)若，平面与平面的交线为，设直线与直线交于点，求线段的长度； (3)当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长度． 【变式8-2】（26-27高二上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点． (1)求证：面； (2)求锐二面角的正切值； (3)在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【变式8-3】（25-26高一下·四川成都·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上一点，且. (1)求证：平面； (2)求点E到平面的距离； (3)在棱上是否存在点Q（不与C，P重合），使得直线与平面所成角的正弦值为，若不存在，说明理由，若存在，求出的值. 【考点题型九】两个平面所成角（定值） 核心方法：向量法，法向量 【例9-1】（26-27高二上·广西南宁·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 【例9-2】（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）如图所示，四棱锥中，侧面是边长为的正三角形且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点． (1)求与底面所成角的大小； (2)求二面角的余弦值． 【变式9-1】（26-27高二上·新疆和田·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； 【变式9-2】（26-27高二上·广东东莞·期中）如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，平面，，且． (1)设点M为棱PD的中点，求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【变式9-3】（26-27高二上·天津河东·阶段检测）如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为1，求：    (1)直线与直线所成角的余弦值； (2)平面与平面所成角的余弦值. 【考点题型十】两个平面所成角（最值或范围） 核心方法：向量法，法向量，二次函数，基本不等式 【例10-1】（25-26高二上·四川绵阳·期中）如图所示，在四面体中，为等边三角形，，则平面与平面夹角的最大值是______. 【例10-2】（2026·湖南·三模）如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为______．    【变式10-1】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为.若点为线段上的动点（不包括端点），锐二面角余弦值的取值范围为______.    【变式10-2】（25-26高二上·福建三明·期中）如图所示，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为_________. 【变式10-3】如图所示，在正方体中，点是棱上的动点（点可以运动到端点和），设在运动过程中，平面与平面所成的最小角为，则_____________． 【考点题型十一】两个平面所成角（探索性问题） 核心方法：向量法，法向量 【例11-1】（26-27高二上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，，，，，分别是，上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)在线段上是否存在点，使平面与平面夹角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【例11-2】（26-27高二上·云南玉溪·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，平面平面，点是棱的中点，点是棱上的一点不包含端点． (1)求证：平面； (2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为，求三棱锥的体积． 【变式11-1】（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面，，．    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点Q（除去端点），使得平面与平面所成角的大小为？若存在，请说明点Q的位置；若不存在，请说明理由． 【变式11-2】（26-27高三上·云南曲靖·阶段检测）如图，在正三棱柱中，为线段的中点，为线段上的动点． (1)求证：； (2)若，，二面角的余弦值为，求的长度． 【变式11-3】（26-27高二上·重庆永川·阶段检测）如图1，在中，，分别为边的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接． (1)求证：平面； (2)若为的中点，求平面与平面的夹角余弦值； (3)线段上是否存在点（不含端点），使平面与平面的夹角余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【考点题型十二】空间向量新定义题 【例12-1】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知单位向量两两的夹角均为，且，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作.若，，则在该坐标系下，若三角形的重心为，则的坐标为__________，直线与平面所成角的余弦值为__________. 【例12-2】（2026·山东济南·模拟预测）已知两个非零向量，的夹角为，定义与的外积分记为，其结果是一个向量，它的长度规定为，它的方向规定为与，均垂直；如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，. (1)求的值； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若为上一点，，求. 【变式12-1】（26-27高二上·广东广州·阶段检测）在三棱锥中，，，，． (1)是的中点，是的中点，求异面直线与所成角的余弦值． (2)对于实数，，，，称为二阶行列式，定义一种运算：．对于向量，，称为与的向量积，定义一种运算：．试计算，并说明这一运算的几何意义． (3)在（2）的基础上计算的值，指出的几何意义，并求出三棱锥的体积． 【变式12-2】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个与、都垂直的向量，且它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段AD上一点． (1)求； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式12-3】（25-26高二上·上海金山·期末）我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记. (1)若，求； (2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）. ②若，求直线与平面的所成角的大小； (3)证明，并用表示三棱锥的体积. 一、单选题 1．（26-27高二上·广东佛山·阶段检测）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·浙江嘉兴·阶段检测）已知空间直角坐标系中，，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 3．（2027高三·全国·专题练习）如图，点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）已知正方体的棱长为，点在正方体内部（含表面）且满足．若点到直线的距离为，则（    ） A． B． C．或 D． 5．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是B1C1，C1D1的中点，H，I分别是A1D1，A1B1的中点，点P∈平面AHI，则点P到平面EFB的距离为（    ） A．2 B．2 C． D．3 6．（26-27高二上·重庆大足·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·广东中山·期中）如图，正方体的棱长为，若在正方体内部且满足，则到直线的距离最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·安徽六安·阶段检测）在长方体中，，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（26-27高二上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在正方体中，点在线段上运动，则（　　） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 10．（26-27高二上·广东佛山·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时，长度的最小值为 C．当时，存在点，使得与平面所成的角为 D．当，时，平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题 11．（26-27高二上·广东佛山·阶段检测）在三棱锥中，，，，点在平面内的投影为点，，，则在上的投影向量的模长是______；若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，则______． 12．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）如图，在四面体中，，．设异面直线与所成的角为，当二面角的大小在内变化时，的最大值是__________． 四、解答题 13．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，在四棱锥 中， 平面 ，，平行于，，． (1)若 为棱 的中点，求证： 平行于平面 ； (2)求直线 与平面 所成的角的余弦值． 14．（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）如图：在四面体中，，，，，，，、、，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，. (1)求； (2)当时， ①用向量表示； ②求的值； (3)在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 15．（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）如图，在空间平移 到 ，连接对应顶点， 为棱 （不包括端点）上一动点，若，，. (1)若，求的长； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)当在棱 （不包括端点）上运动时，求平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 16．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，点在棱上，． (1)求平面与平面的夹角余弦． (2)求四面体的体积． (3)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 17．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面BCDE为菱形，， ， ，O为棱DE的中点.    (1)证明：； (2)求点B到平面PCD的距离； (3)设M为棱PD上的动点，若平面ECM与平面BCDE夹角的余弦值为，求直线EM与平面PCD所成角的正弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $