专题17 冲刺高分突破大题压轴（一）（精选40题）专项训练-【百强名校好题】2026年高考数学终极必刷：核心考点突破+必刷真题精练（全国通用）

专题17 冲刺高分突破大题压轴（一） 百强名校-必刷真题精练 一、随机变量及其分布 1．电影《哪吒2》以精美的画面、震撼的特效、流畅的动作设计创造了158亿的票房神话，名列全球票房榜第五位．在电影最后哪吒与无量仙翁的决战中，假设无量仙翁的生命值为1000，哪吒每次攻击造成的伤害为随机变量．当无量仙翁生命值小于等于0时，则哪吒获胜（假设莲花化身的哪吒具有不死之身，不会被击败）． (1)求哪吒恰好在第2次攻击后战胜无量仙翁的概率； (2)求哪吒战胜无量仙翁需要攻击次数的期望； (3)求哪吒恰好在第次攻击后可战胜无量仙翁的概率． 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题 2．合肥一中2025年元旦联欢会上一个抽奖游戏，主持人从编号为的个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.抽奖人当然希望选中有奖品的箱子!假定你是抽奖人，不妨设你选择了号箱.在打开号箱之前，主持人先打开了另外个箱子中的一个空箱子.按游戏规定，主持人打开你的选择之外的空箱子，当你的选择之外有多个空箱子时，主持人随机选择其中一个打开. (1)若，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选1号箱，还是改选2号箱？试说明理由； (2)若，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选2号箱，还是改选其他号码的箱？试说明理由； (3)切比雪夫不等式是概率中经典的不等式之一，其形式如下：设随机变量的期望和方差存在，则对任意的，有.若，设主持人打开箱的号码为随机变量，求的期望和方差，并验证随机变量满足切比雪夫不等式. 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 3．某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试（测试I）通过率为，末通过测试I的芯片进入第二次测试（测试II），通过率为.通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废. (1)若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X.当，时，求X的期望与方差； (2)已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率； (3)为估计（2）中的，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试I.记.若要使得总能不超过0.1，试根据参考内容估计最小样本量. 参考内容：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有. 【来源】2025届安徽省芜湖市高三二模数学试题 4．已知数列满足，并且对任意的，取或的概率均为． (1)求的概率； (2)设的值为随机变量X． ①求X的分布列； ②求随机变量的数学期望． 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 5．北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 【来源】河南省实验中学2024-2025学年高三下学期第四次模拟考试数学试卷 6．“由样本估计总体”是统计学中一种重要的思想方法，而我们利用一些样本去估计某一参数的值时，常采用最大似然估计的方法．最大似然估计是由高斯首次提出，费尔希推广并使之得到广泛应用的一种估计方法，其原理是从总体中抽出具有个值的采样，求出似然函数，似然函数表示样本同时取得的概率，当似然函数取得最大值时参数的取值即为该参数的最大似然估计值． (1)已知一工厂生产产品的合格率为，每件产品合格与否相互独立，现从某批次产品中随机抽取20件进行检测，有2件不合格； （i）估计该批次产品合格率； （ii）若用随机变量表示产品是否合格，表示不合格，表示合格，求合格率的最大似然估计值，并判断与（i）中估计值是否相等； (2)设一次试验中随机变量的概率分布如下： 1 2 3 现做次独立重复试验，出现了次，出现了次，出现了次，求的最大似然估计值； (3)泊松分布是一种重要的离散分布，其概率分布为，设一次试验中随机变量的取值服从泊松分布，进行次试验后得到的值分别为，已知的最大似然估计值为2，求数列的前项和． 【来源】山东省聊城第一中学2025届高三下学期3月调研数学试题 二、导数及其应用 7．已知函数，其中为自然对数的底数 (1)当时，求的单调区间； (2)若当时，关于的方程：有两个不同的根：且， （i）求的范围； （ii）当最小时，求的值． 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 8．已知函数 (1)若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； (2)设是的两个极值点，证明： (i)； (ii) 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 9．已知函数. (1)当时. （i）判断在上极值点的个数，并说明理由； （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证： (2)当时，直线为曲线y的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 已知：若函数图象上恰好存在相异的两点P、Q，满足曲线在P和Q处的切线重合，则称P、Q为曲线y的“双重切线”，直线PQ为曲线的“双重切线”. 【来源】湖北省华中师范大学附属中学2025届高三综合测试数学试题 10．已知函数． (1)若在处的切线为，求的值； (2)当时，求在上的零点个数； (3)当时，设，是否存在，使得曲线在点处的切线与有3个交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由． 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 11．已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)设是的两个极值点， ①求证：； ②求证：. 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 12．已知函数. (1)若函数的最大值为0，求的取值范围； (2)证明：当时，有； (3)若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 【来源】浙江省强基联盟2025-2026学年高三上学期返校联考数学试卷 13．已知函数为的导函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若的两个极值点分别为和，且. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【来源】辽宁省协作体2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷 14．已知函数，其中． (1)若是偶函数，求； (2)当时，讨论在上的零点个数； (3)已知，若，求的取值范围． 【来源】陕西省安康市2024-2025学年高三下学期第三次质量联考数学试卷 15．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)设，当时，求函数的最大值； (3)讨论函数与函数的图象的交点个数． 【来源】山东省济南历城第二中学2025届高三下学期6月打靶测试数学试题 16．已知，函数，记为的从小到大的第个极值点． (1)当时，求； (2)证明： （i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 17．已知函数． (1)设，若的导函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，证明：当时，函数图象上任意一点处的切线总在的图象的上方； (3)若不等式对任意恒成立，求可取的最大整数值． 【来源】山东省泰安第一中学2025届高三第五次模拟考试数学试题 18．一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利等得到“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质. (1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式；②平方关系；③求导公式，写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明； (2)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论； (3)若，，证明： 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第二次摸底考试数学试题 19．若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式，记；若三元代数式满足，则称代数式为三元轮换式，记，. (1)若正实数，满足，且，求的最大值； (2)若代数式为二元轮换式，比较与的大小； (3)若对任意的正实数x，y，z均有，求整数的最大值. 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 三、圆锥曲线 20．已知直线与双曲线交于两点． (1)若过右焦点，且的最小值为2，求的取值范围； (2)若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，求四边形的面积的最大值． 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 21．设是坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，离心率. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线交双曲线的右支于两点，且关于轴的对称点为的外心为. （i）求外心的坐标（用表示）； （ii）求的取值范围. 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 22．已知椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，且与直线相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点为，点关于直线的对称点为点，若四边形为正方形，求的值. 【来源】天津市河西区2024-2025学年高三下学期总复习质量调查二（二模）数学试题 23．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，直线与椭圆交于不同的两点. (1)设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值； (2)若，证明：直线与直线的交点在定直线上. 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 24．已知焦点在轴的双曲线C的两条渐近线互相垂直，且经过点 ． (1)求双曲线C的标准方程. (2)设，直线l与C的两支交于两点（在第一象限），与y轴交于点Q，记直线的斜率分别为 . （i）求直线PQ的斜率k（用表示）； （ii）若，求的坐标. 【来源】湖北省华中师范大学附属中学2025届高三综合测试数学试题 25．焦点在轴上的等轴双曲线，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点、. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中垂线与轴交于点，求直线的斜率； (3)若点关于原点的对称点在第三象限，且，求直线斜率的取值范围. 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 26．已知圆，圆.若动圆与圆外切，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为.不过原点O的动直线与曲线交于两点，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若. (1)求轨迹的方程； (2)试问：直线OA，OB的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. (3)试问：四边形的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 【来源】2025届湖北省武昌实验中学高考适应性考试数学试卷 27．椭圆与圆和圆都外切． (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B分别为椭圆E的左右顶点，F为椭圆的右焦点，K为椭圆E上动点（异于A，B），直线与椭圆E交于另一点H．若直线与交于点P，求证：点P在定直线l上； (3)在（2）的条件下，设直线与直线l交于Q点，椭圆E在点K处的切线与l交于R， ①求证：． ②求面积取最小值时K点的横坐标． 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 28．已知双曲线经过点，其一条渐近线的倾斜角为，双曲线C的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)如图1，N为双曲线C左支上异于点的一动点，且的重心为，试探究点T的轨迹，并求的最小值； (3)如图2，不与坐标轴平行的动直线l与双曲线C交于两点（异于点），P关于原点O的对称点为R．直线与直线相交于点S，直线OS与直线PQ相交于点G，求的内心的轨迹方程． 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题 29．在直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知梯形的四个顶点都在曲线上，其中在第一象限（在的上方），在第二象限，且，线段交于点，记中点分别为. （i）求证：； （ii）若线段长度为3，梯形的面积为9，求线段与长度的比值. 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 30．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．    (1)求椭圆的方程； (2)已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标：若不存在说明理由． 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 31．点为直线上的动点，为坐标原点，过点作直线垂直于轴，过点作直线的垂线交直线于点. (1)求点的轨迹方程； (2)记点轨迹为曲线，上一定点，过作两不同直线分别交于两点， ①直线的斜率满足，且直线过点，求定点坐标； ②若点，且直线的斜率满足，设的外接圆为圆，过点作曲线的切线，判断直线与圆位置关系，并说明理由. 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 四、数列新定义 32．存在 ，对任意的 ，当 时，正项数列 都满足 . ，则称 满足 性质. 例如: 当 时， ，则等比数列 满足 性质; 当 时，   ，则数列 不满足 性质. 已知数列 同时满足 性质. (1)证明:数列 为等比数列； (2)已知 ，若数列 满足: ，其中 . 设 为数列 的前项和，记 . ① 求 的表达式 （用含的式子表示）; ②试判断 与 的大小关系，并说明理由. 【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题 33．已知数列的前项和为，，且. (1)证明：数列为等差数列； (2)设， （i）求数列的前项和； （ii）当时，设集合，集合中所有元素的和记为，求数列的通项公式. 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 34．设单调不减的无界非负数列，定义数列为，这里表示集合中元素的个数，称为数列的伴随数列． (1)若数列满足，求数列的伴随数列（可以用表示不超过的最大整数）； (2)对任意的正整数，，证明下述关于伴随数列的基本性质： （i）； （ii）若为整数数列的伴随数列，则也为数列的伴随数列： (3)设函数在上连续，严格递增且无界，满足，且对任意正整数，都有，证明：数列与数列互为伴随数列，这里是的反函数；并利用上述结果，直接写出数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…的通项公式． 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 35．已知为有穷正整数数列，且，集合.若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集. (1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； (2)若，证明：； (3)设，若，求的最小值. 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 36．已知元正整数集合，取出的个互不相同的非空子集：构成集合，若中任意个元素的并集均真包含于，任意个元素的并集均等于，我们称合理覆盖 (1)若，问是否合理覆盖？请简要说明理由； (2)若存在合理覆盖，求的最小值； (3)是否存在合理覆盖，且构成公差为1的等差数列（表示集合中的元素个数）？若存在请给出一个，若不存在请说明理由． 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 37．若对，都有，则称与为“级相邻数列”． (1)设的前n项和，且，试判断与是否为“2级相邻数列”，并说明理由； (2)若，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围； (3)已知，由数列的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”，求满足条件的数列的组数（用数字作答）． 【来源】浙江省绍兴市第一中学2025届高三下学期校模拟考试数学试题 38．已知集合，其中，集合．定义运算，记|A|为集合中元素的个数. (1)若，求的值； (2)若集合中的元素构成等差数列，且公差. （i）当时，求的最小值； （ii）当时，求的最小值. 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 39．将所有正整数按照如下规律形成数阵： 第1行  1  2  3  ……  7  8  9 第2行  10  11  12  ……  97  98  99 第3行  100  101  102  ……  997  998  999 第4行  1000  1001  1002  ……  9997  9998  9999 ………… (1)将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，试确定在该数阵中的位置； (2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第行中正整数的个数为. （i）求，，； （ii）求. 【来源】山东省济宁市2025届高考模拟考试（二模）数学试题 40．在等差数列中，已知成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)数列是否为等比数列？若是求其前项和，若不是，请说明理由； (3)设，且，求的所有取值． 【来源】河南省信阳市新县高级中学2025届高三考前第一次适应性考试数学试题 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 冲刺高分突破大题压轴（一） 百强名校-必刷真题精练 一、随机变量及其分布 1．电影《哪吒2》以精美的画面、震撼的特效、流畅的动作设计创造了158亿的票房神话，名列全球票房榜第五位．在电影最后哪吒与无量仙翁的决战中，假设无量仙翁的生命值为1000，哪吒每次攻击造成的伤害为随机变量．当无量仙翁生命值小于等于0时，则哪吒获胜（假设莲花化身的哪吒具有不死之身，不会被击败）． (1)求哪吒恰好在第2次攻击后战胜无量仙翁的概率； (2)求哪吒战胜无量仙翁需要攻击次数的期望； (3)求哪吒恰好在第次攻击后可战胜无量仙翁的概率． 【答案】(1) (2) (3)． 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题 【分析】（1）由列举法可得符合题意的事件，利用古典概型的概率计算，可得答案； （2）由期望的求和公式，整理可得递推公式，根据等比数列的定义，可得答案； （3）由题意建立不等式组，根据不等式的整数解的个数，结合概率的乘法公式，可得答案. 【详解】（1）第一次伤害为0时，第二次为1000； 第一次伤害为100时，第二次为900，1000； …； 第一次伤害为900时，第二次为， 共55种情况，故哪吒恰好在第2次攻击后战胜无量仙翁的概率为． （2）设无量仙翁生命值为100n时，哪吒战胜需要攻击的次数为， 则， 故， 则， 两式相减，得， 故，又，得， 从而，则当时，． （3）设第次攻击造成的伤害为，则恰在第次击败需满足： ，① ，② 设，③ 则③的非负整数解有组，即①的非负整数解有组． 从而前次哪吒未获胜的概率为， 前次获胜的概率为，前次获胜的概率为， 第次恰好获胜的概率为． 2．合肥一中2025年元旦联欢会上一个抽奖游戏，主持人从编号为的个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.抽奖人当然希望选中有奖品的箱子!假定你是抽奖人，不妨设你选择了号箱.在打开号箱之前，主持人先打开了另外个箱子中的一个空箱子.按游戏规定，主持人打开你的选择之外的空箱子，当你的选择之外有多个空箱子时，主持人随机选择其中一个打开. (1)若，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选1号箱，还是改选2号箱？试说明理由； (2)若，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选2号箱，还是改选其他号码的箱？试说明理由； (3)切比雪夫不等式是概率中经典的不等式之一，其形式如下：设随机变量的期望和方差存在，则对任意的，有.若，设主持人打开箱的号码为随机变量，求的期望和方差，并验证随机变量满足切比雪夫不等式. 【答案】(1)改选2号箱，理由见解析 (2)改选2号､3号以外的箱，理由见解析 (3)，，验证见解析 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 【分析】（1）用分别表示1，2，3号箱子里有奖品，用分别表示主持人打开号箱子，根据全概率公式和贝叶斯公式计算即可判断； （2）用分别表示i号箱子里有奖品，用分别表示主持人打开i号箱子，根据全概率公式计算可得，再根据条件概率计算即可判断； （3）用分别表示i号箱子里有奖品，用分别表示主持人打开i号箱子，，计算可得，进而可求得和，代入分析化简可得，令，求导，根据导数可得，再证明成立即可. 【详解】（1）用分别表示1，2，3号箱子里有奖品，用分别表示主持人打开号箱子. 如上所述，你初次选择了1号箱.因为你在做选择时不知道奖品在哪个箱子里， 你的选择不影响奖品在三个箱子中的概率分配，所以事件的概率仍为，此为先验概率. 主持人打开1号箱之外的一个空箱子，有以下几种可能情况： 奖品在1号箱里，主持人可打开2，3号箱，故； 奖品在2号箱里，主持人只能打开3号箱，故； 奖品在3号箱里，主持人只能打开2号箱，故. 利用全概率公式，主持人打开3号箱的概率为 . 再根据贝叶斯公式，在3号箱打开的条件下，1号箱和2号箱里有奖品的条件概率分别为 所以改选2号箱，因为这样会增加中奖的概率； （2）用分别表示i号箱子里有奖品，则， 用分别表示主持人打开i号箱子， 则， 则. 所以 所以改选2号､3号以外的箱，因为这样会增加中奖的概率； （3）用分别表示i号箱子里有奖品，用分别表示主持人打开i号箱子， 则， ， ，则当时， ， 所以， 对任意的，， 记分别为大于的最小整数和小于的最大整数， 则， 所以， 所以， 令， 则当时，单调递增； 当时，单调递减，所以. 所以， 下面证明， 即证明， 因为， 所以， 即当时，，即. 当时，. 此时，当时，； 当时，. 当时，. 此时，当时，； 当时，. 综上所述，成立. 3．某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试（测试I）通过率为，末通过测试I的芯片进入第二次测试（测试II），通过率为.通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废. (1)若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X.当，时，求X的期望与方差； (2)已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率； (3)为估计（2）中的，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试I.记.若要使得总能不超过0.1，试根据参考内容估计最小样本量. 参考内容：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有. 【答案】(1)， (2) (3)1000 【来源】2025届安徽省芜湖市高三二模数学试题 【分析】（1）先计算出每个芯片通过测试的合格率后，可得服从二项分布，则可借助二项分布的期望与方差公式计算得解； （2）可借助正难则反的思想计算出出一枚芯片合格的概率，也可借助全概率公式计算出出一枚芯片合格的概率，再结合首次测试（测试I）通过率为与条件概率公式计算从而得解； （3）由题意可得，则，，再结合所给参考内容，可得，，利用基本不等式可得，则对，均有，取可得，计算即可得解. 【详解】（1）每个芯片通过测试的合格率为，， 则，； （2）解法一：记事件A：通过测试I，事件B：通过测试II，事件C：芯片合格， ， 则； 解法二：记事件：经过测试I，事件：经过测试II，事件B：芯片合格， ，，，， ， 则； （3）因为，所以，， 解法一：，， ，， 又，当且仅当时等号成立， ，均有， 取，则， 根据题意要使得总能不超过0.1， 当，即时满足条件， 最小样本量大约为1000. 解法二：由已知得对，， ， 记，，， 又，当且仅当时等号成立， ，均有， 取，则， 根据题意要使得总能不超过0.1， 当，即时满足条件， 最小样本量大约为1000. 4．已知数列满足，并且对任意的，取或的概率均为． (1)求的概率； (2)设的值为随机变量X． ①求X的分布列； ②求随机变量的数学期望． 【答案】(1) (2)① 答案见解析；② 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 【分析】（1）分别求得和时概率，结合互斥事件的概率加法，即可求解； （2）（ⅰ）设，得到，设且此时中有个个，得到，求得，得到事件的含义，即可求得的概率分布，得到答案.. （ⅱ）对任意，得到，结合组合数的运算公式，进而求得的表达式，得到答案. 【详解】（1）解：当时概率为， 当时概率为， 所以的概率为． （2）解：（ⅰ）设， 则对任意正整数，取1或1的概率均为，且， 设．显然， 再设此时中有个个，则， 因此只能取之间的偶数值，所以， 对于偶数， 事件相当于在个数中，有个取1，个取， 所以的概率分布可表示为. （ⅱ）对任意，可得． 所以， 则 . 5．北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii）证明见解析 【来源】河南省实验中学2024-2025学年高三下学期第四次模拟考试数学试卷 【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）（ⅰ）分析第天选择路线，和路线情况下第天选择路线的概率，再由全概率公式列式，利用构造法求出关系式；（ⅱ）由（ⅰ）构造法求出通项公式，再借助放缩法及等比数列前和公式推理得证. 【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件， 依题意，，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率； 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望． （2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 所以. （ii）由（i）知，则，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即，， 当时，，而， 所以； 当时，，而， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题. 6．“由样本估计总体”是统计学中一种重要的思想方法，而我们利用一些样本去估计某一参数的值时，常采用最大似然估计的方法．最大似然估计是由高斯首次提出，费尔希推广并使之得到广泛应用的一种估计方法，其原理是从总体中抽出具有个值的采样，求出似然函数，似然函数表示样本同时取得的概率，当似然函数取得最大值时参数的取值即为该参数的最大似然估计值． (1)已知一工厂生产产品的合格率为，每件产品合格与否相互独立，现从某批次产品中随机抽取20件进行检测，有2件不合格； （i）估计该批次产品合格率； （ii）若用随机变量表示产品是否合格，表示不合格，表示合格，求合格率的最大似然估计值，并判断与（i）中估计值是否相等； (2)设一次试验中随机变量的概率分布如下： 1 2 3 现做次独立重复试验，出现了次，出现了次，出现了次，求的最大似然估计值； (3)泊松分布是一种重要的离散分布，其概率分布为，设一次试验中随机变量的取值服从泊松分布，进行次试验后得到的值分别为，已知的最大似然估计值为2，求数列的前项和． 【答案】(1)（i）；（ii）0.9，与（i）中的估计值相等； (2)； (3). 【来源】山东省聊城第一中学2025届高三下学期3月调研数学试题 【分析】（1）（ⅰ）由题设结合数据直接计算即可； （ⅱ）先根据似然函数定义结合二项分布的概率计算方法得似然函数，再结合导数工具求出似然函数最大值即可得解； （2）先由题设得，再由导数工具求出的最大值即可得解； （3）先由题设计算求得，再利用导数工具求出得，且其为及的最大值点，进而得，由该等式即可求解. 【详解】（1）（ⅰ）由题该批次产品合格率； （ⅱ）由题意得，似然函数，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则当时，取得最大值，即的最大似然估计值为0.9，与（ⅰ）中的估计值相等； （2）， 令， 则，令，解得， 易知在上单调递减， 则当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则时，取得最大值，所以的最大似然估计值为. （3），， 设，则函数与单调性相同， 因为为减函数，令得， 则时，函数单调递增；时，，函数单调递减， 所以为极大值点也及最大值点，所以为极大值点也及最大值点， 则由题的最大似然估计值为，即. 二、导数及其应用 7．已知函数，其中为自然对数的底数 (1)当时，求的单调区间； (2)若当时，关于的方程：有两个不同的根：且， （i）求的范围； （ii）当最小时，求的值． 【答案】(1)单调递增区间为和，无单调递减区间. (2)（i）；（ii） 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 【分析】（1）先求，再通过研究的正负性来确定的正负性，即可求出的单调区间； （2）（i）将问题转化为在上有两个不同的零点，根据导函数研究其单调性，最后根据零点存在性定理即可得出； （ii）令，通过，先研究函数的单调性，再研究的最小值，利用两者最小值的一致性，可得的值，即可通过求的值. 【详解】（1）定义域为， 当时，，则， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 因，则或时，，即， 则的单调递增区间为和，无单调递减区间. （2）（i）当时， 有两个不同的根， 则在上有两个不同的非零零点， 因，则在上有两个不同的零点， 因， 当时，，则在上单调递增， 则在上至多存在一个零点，不符合题意； 当时，得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 令，则， 则得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，则在上恒成立， 因，则， 则当时，； 当时，， 则由零点存在性定理可知在上有两个不同的零点， 综上可知，的范围为. （ii）因，结合的单调性可知， 由（i）可知是的两个根，即， 两式相减得， 令，则，则， 令由（1）可知，在上单调递增， 故欲求的最小值，只需求的最小值，即的最小值， 令，则， 令，则，则在上单调递增， 又，则使得，即， 则得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则当时取最小值，取最小值，取最小值， 此时 综上所述，当最小时，. 8．已知函数 (1)若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； (2)设是的两个极值点，证明： (i)； (ii) 【答案】(1) (2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 【分析】（1）依题可知，对恒成立，参变分离后，利用导数求函数最值即可； （2）(i)由题可得是方程的两根，即，且，令，得，问题转化为证明，构造函数利用导数证明；(ii)先利用导数证明，，可得与的交点横坐标为，则，与的交点横坐标为，则，由此得证. 【详解】（1）的定义域为， 依题可知对恒成立，即，   令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，故； （2）(i)令，即，由题知是方程的两根， 又时，，由（1）得， 此时，， 令，则， 即，， 要证，即证，即证， 构造，则， 故在上递增，， ，原问题得证. (ii)易求得的图象在处的切线方程为， 的图象在处的切线方程为， 先证，即证， 令，则， 所以在上递减，在上递增，故，得证. 再证，即证， 令，则， 所以在上递减，在上递增，故，得证. 易知直线与曲线的交点横坐标为， 令与的交点横坐标为，则， 令与的交点横坐标为，则， 故. 9．已知函数. (1)当时. （i）判断在上极值点的个数，并说明理由； （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证： (2)当时，直线为曲线y的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 已知：若函数图象上恰好存在相异的两点P、Q，满足曲线在P和Q处的切线重合，则称P、Q为曲线y的“双重切线”，直线PQ为曲线的“双重切线”. 【答案】(1)（i）有一个极值点，理由见解析；（ii）证明见解析 (2)证明见解析 【来源】湖北省华中师范大学附属中学2025届高三综合测试数学试题 【分析】（1）利用函数求导计算函数的极值点；利用函数求导计算函数极值点，结合函数的周期得到所证结果； （2）根据双重切线的定义得到斜率表达式，再通过求导、三角函数性质等进行分析和证明 【详解】（1）当时，函数. （i）在上极值点的个数为1个. 对求导，根据求导公式，令， 对求导，. 当时，在上，在上， 在内，的符号会发生变化， 因为上连续，且，又符号变化， 所以存在使得先正后负，即先正后负， 根据极值点的定义，在上有一个极值点. （ii）已知，令，即，可得. 设与的交点横坐标为， 因为的周期为，且在上单调递增， 相邻两个交点之间，的图象变化一个周期。 考虑与的图象关系，， 对于在上，单调递减， 从可知，（因为一个周期内与有一个交点，且两交点间水平距离大于半个周期）， 又因为与的交点不会超过一个周期的距离，所以， 所以； （2）当时， 设为双重切线的两个切点， 则在处的切线方程为， 在处的切线方程为， 因为两条切线重合，则，即，则或， 不妨设（取一种情况分析），则直线的斜率为， 设此时直线的斜率， 设此时直线的斜率， 则，因为根据三角函数的图象和性质， 令求导， 当求时，通过分析的单调性，可知当靠近时，较大； 当求时，靠近时，较大； 不妨设，则，由三角函数的图像和性质可知， 当在相应区间内时，，则 所以，故得证. 10．已知函数． (1)若在处的切线为，求的值； (2)当时，求在上的零点个数； (3)当时，设，是否存在，使得曲线在点处的切线与有3个交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在2个零点； (3)所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线与有3个交点. 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）求出的导数，判断得的单调性，进而可求得的最小值，通过判断其最小值的正负，即可判断其零点个数； （3）求出函数的导数，由曲线在点处的切线方程，构造函数，利用导数探讨极值，由有3个零点建立关系，即可求解. 【详解】（1）由，得， 因为在处的切线为，即， 代入得，解得，. （2）当时，，得，令， 即，结合函数图像可知，当且仅当时，成立，即①， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时取得最小值，即， 将①代入，得， 令，，所以， 所以， 又，， 所以当时，求在上存在2个零点. （3）当时，， 所以，，，， 切线方程：，即， 整理得， 令， ， 因为，， 当时，，为单调递增函数， 当时，，为单调递减函数， 函数所有的极大值为， 当时，极大值等于0，即， 当为正整数时，极大值全部小于0，即在无零点， 当为负整数时，极大值全部大于0，函数所有的极小值为， 当时，极小值， 且随着的增大，极小值越来越小， 因此在点处的切线与有3个交点， 等价于，即有解， 令， 则， 因此为上的严格增函数， 因为，， 于是存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线与有3个交点. 11．已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)设是的两个极值点， ①求证：； ②求证：. 【答案】(1)减区间为，增区间为； (2)①②证明见解析. 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）①分析得的两根为，且，再构造函数，利用导数得其单调性即可证明原不等式； ②将左边不等式等价转化证明，再构造函数，利用导数即可证明，右边不等式利用切线放缩即可证明. 【详解】（1）时，，， 因为，均在上单调递增， 则在上单调递增，又， 所以，，，， 所以在单调递减，在单调递增． （2）①依题意的两根为， 即的两根为． 令， 得，且，， 则在单调递减，在单调递增，则． 令， 则，所以在单调递增，所以， 所以，又，在单调递增． 所以，即． ②由，要证明，只需证， 即证明， 即证明 即证明 即证明，设，， 则，则当时，，则在单调递减， 则，则在上恒成立，从而左边得证． 因为，，且，， 则在和处的切线分别为和， 令，得， 再证明恒成立， 设，则，令，解得， 且时，，此时函数单调递减； 时，，此时函数单调递增； 则，则恒成立， 再证明恒成立， 设，， 则当时，，单调递减；当时，，单调递增； 则恒成立， 所以，从而右边得证． 【点睛】关键点点睛：本题第二问第一问是经典的极值点偏移问题，需构造函数，再利用导数即可证明. 12．已知函数. (1)若函数的最大值为0，求的取值范围； (2)证明：当时，有； (3)若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【来源】浙江省强基联盟2025-2026学年高三上学期返校联考数学试卷 【分析】（1）根据得出，再检验其正确性即可； （2）利用函数的单调性求解即可； （3）先用和差化积公式得出，再通过探究出的取值范围，最后验证其正确性即可. 【详解】（1）， 注意到，而函数的最大值为0，因此，所以， 另一方面，当时，，故在上单调递减， 则，满足题意， 综上所述，的取值范围为. （2）由（1）得当时函数在单调递减， 又，因此，即成立. （3）因， 则， 当时，，则， 令，则， 因在上恒成立，且，则，即， 下面证明时成立： 由（2）得，下面证明， 即证明， 令，则，因此单调递增， 则即成立； 综上所述，实数的取值范围为. 13．已知函数为的导函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若的两个极值点分别为和，且. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【来源】辽宁省协作体2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷 【分析】（1）根据导数的几何意义结合题意求解即可； （2）（i）由题意得是方程的两个正根，进一步转化为与有两个不同的交点，然后利用导数求出的单调区间和极值分析求解即可；（ii）由（i）可知，由得，则可得，令，利用导数求出其单调区间和最值，从而可证得结论. 【详解】（1）当时，，则， ，求导得，则， 所以曲线在处的切线方程为； （2）（i），且定义域. 因为若有两个极值点，所以是方程的两个正根， 即 令，则， 所以，当时，；当时，， 因此，当时，单调递减；当时，单调递增， 所以当时，有最小值， 当时，， 又因为当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 所以当时，的图象与直线有两个不同的交点， 所以； （ii）由（i）可知，且时，， 又，所以， 令， 单调递增， 且，所以时，时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 即 ， 又因为，所以， 所以，即. 14．已知函数，其中． (1)若是偶函数，求； (2)当时，讨论在上的零点个数； (3)已知，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在有两个零点 (3) 【来源】陕西省安康市2024-2025学年高三下学期第三次质量联考数学试卷 【分析】（1）由偶函数的性质建立等式，求出； （2）代入，得到，求导得，令后再求导.由解析式可知当时，恒成立.当时，，得到单调递增，由二分法知道在存在唯一零点.由此知道函数的单调区间，再由二分法得到函数零点. （3）分与两种情况讨论，结合三角函数的性质以及导函数判断函数单调性建立不等式，最后求出的范围. 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以. 即，， 所以， 所以，所以，又，所以. （2）当时，，，可得， 令，则. 当时，，所以， 当时，，所以在单调递增， 又，， 所以存在，使得， 当，所以在上单调递减， 当，所以在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而，，，所以在上存在一个零点. 综上，函数在有两个零点. （3）当时， 若时，，所以， 若时，若，则成立； 只需考虑，此时令， 则，在递增， 又，， 所以存在，使得， 可得， 若，则，在递减； 若，则，在上递增. 所以，解得. 此时，所以，从而. 所以的取值范围为． 15．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)设，当时，求函数的最大值； (3)讨论函数与函数的图象的交点个数． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【来源】山东省济南历城第二中学2025届高三下学期6月打靶测试数学试题 【分析】（1）求出导函数，得切线斜率，从而可得切线方程； （2）由题意得，通过求导分析的单调性，进而求得函数的最大值； （3）联立得，结合（2）知问题等价于“函数的零点个数”.分、和三种情况，分别据函数的单调性和极值、最值得到函数图象的大体形状，从而判断出函数的零点的个数. 【详解】（1）若，则， 所以，则， 又， 所以曲线在点处的切线方程是， 即． （2）， 函数的定义域为 ． 当时，， 令，得， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为． （3）联立得得， 得， 结合（2）可知． 则“函数与函数的图象的交点个数”等价于“函数的零点个数”． 当时，无零点． 当时，的最大值为． 若，即，则无零点． 若，即，则只有一个零点． 若，即，则，又， 令，则且， 由，得；由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故有最大值，无最小值． 故，所以，由（2）知在上单调递增，所以在上有唯一零点． 令， 则，且， 由，得；由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故有最小值，无最大值． 所以， 于是和， 所以， 又在上单调递减， 故在上有唯一零点． 当时，由上得，于是，而， 所以，即无零点． 综上，当或时，无零点；当时，只有一个零点；当时，有两个零点， 即当或时，函数与函数的图象无交点； 当时，函数与函数的图象有1个交点； 当时，函数与函数的图象有2个交点． 16．已知，函数，记为的从小到大的第个极值点． (1)当时，求； (2)证明： （i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再求出导函数的零点并判断单调性即可得极值点. （2）（i）利用导数求出函数的极值点，再求出并利用等比数列的定义推理得证；（ii）由（i）的信息，借助分析法证明，构造函数，利用导数求出最小值，转化证即可. 【详解】（1）函数， 求导得， 令，得，解得， 当时，； 当时，， 函数在上单调递增， 在上单调递减， 而，所以. （2）（i）函数，求导得 ，其中， 令，得，解得， 当时，； 当时，， 则函数在上递增， 在上递减， 又，则， ，， 且，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （ii）欲证，即证， ，且， 则只需证，又， 则只需证，即证， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，则只需证，即证，于是当时，成立； 当时，，，又，则， 于是，即， 则当时，，即成立； 当时，，，，成立， 所以当，则对一切，恒成立. 17．已知函数． (1)设，若的导函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，证明：当时，函数图象上任意一点处的切线总在的图象的上方； (3)若不等式对任意恒成立，求可取的最大整数值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【来源】山东省泰安第一中学2025届高三第五次模拟考试数学试题 【分析】（1），令，由题意得到对于恒成立，参变分离求最值即可求解； （2）设切点为，则切线方程为，构造函数，只需证明即可． （3）构造函数，问题转化成恒成立，求导确定函数最值即可. 【详解】（1）． 所以， 令， 因为在上单调递减， 所以对于恒成立， 可得对于恒成立， 令，则时，， 易知在上单调递增， 所以，所以． 即实数的取值范围为． （2）当时，， 设切点为，则切线方程为， 令，依题意，只需证明即可． ， 令， 当时，， 在上单调递减，即在上单调递减， 又， 故当时，，单调递增， 当时，单调递减， ，则恒成立，即得证． （3）不等式恒成立，即恒成立， 设， 则， 当时，恒成立，故在上单调递增， 因为，所以不符合题意； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则． 设，则恒成立，所以在上单调递增，又， 故可取的最大整数值为． 18．一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利等得到“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质. (1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式；②平方关系；③求导公式，写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明； (2)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论； (3)若，，证明： 【答案】(1)答案见详解，证明见详解 (2)，证明见详解 (3)证明见详解 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第二次摸底考试数学试题 【分析】（1）类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明； （2）作差，结合指数函数单调性及正余弦函数的性质推理判断即可. （3）结合新定义将所证变为，设函数，即证，先利用导数求得在上单调递增，再设，利用导数得其单调性及，从而得到，即可得证. 【详解】（1）①倍角公式：， ； ②平方关系：， ； ③求导公式：， ； （2），. 依题意，， ， 当时，，，即， 于是，而，因此， 当时时，，则，， 即，而，因此， 于是，， 所以. （3）因为， 所以原式变为， 即证， 设函数，即证，， 设，， 时，，在上单调递增，即在上单调递增， 设，则， 由于在上单调递增，， 所以，即，故在上单调递增， 又，所以时，， 所以，即， 因此恒成立， 所以成立，得证． 19．若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式，记；若三元代数式满足，则称代数式为三元轮换式，记，. (1)若正实数，满足，且，求的最大值； (2)若代数式为二元轮换式，比较与的大小； (3)若对任意的正实数x，y，z均有，求整数的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 【分析】（1）整理等式可得参数的取值范围，根据二次函数的性质，可得答案； （2）由题意，构建函数，利用导数研究其单调性，可得取值范围，可得答案； （3）由题意对不等式进行分解因式，分析符号后，构造函数并求出其单调性，可得答案. 【详解】（1）正实数满足，可得，即， 所以， 又，所以，所以当即时，取得最大值为． （2）依题意可得，即， 由对称性不妨假设，令，则有， 则有， 设 所以在单调递增，则有， 所以，即，即，即， 综上，． （3）已知对任意的正实数，均有， 不妨设是中的最小值，则令，其中. 将代入不等式并化简可得. 若或，则不等式对任意实数均成立. 因为，所以要使不等式成立，即. 若，则不等式对任意实数均成立. 若，设. 当时，不等式可整理为. 设，对其进行变形可得. 对求导，，令，， 因为，所，即在上单调递增. 令，即，化简可得， 令，则，解得(舍去），即. 则存在，且，所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，因为，所以，则，所以. 又因为，所以，则， 因为，所以，所以，所以，所以. 当时，不等式可整理为， 此时，所以时，不等式恒成立. 三、圆锥曲线 20．已知直线与双曲线交于两点． (1)若过右焦点，且的最小值为2，求的取值范围； (2)若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，求四边形的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 【分析】（1）讨论与双曲线交于两支两点或右支交于两点，结合通径即可求解； （2）通过直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合四边形是矩形，求得到渐近线的距离，代入面积公式化简求解即可. 【详解】（1）若与双曲线交于两支两点，则，与轴重合时， 若与双曲线交于右支两点，则，解得， 综上可知： （2）时，双曲线方程为：，渐近线，垂直， 易知四边形为矩形， 若的斜率不存在，由，可设， 代入，可得：，不妨取， 则，渐近线的距离为， 所以， 若的斜率存在， 设直线AB的方程为， 联立方程得， 整理为： ① 故 ② ③ 由， 平方得 将式②、③代入得 ④ 设，于是， ⑤ . ⑥ 因为双曲线的两条渐近线相互垂直，所以四边形是矩形， 其面积S等于点P到渐近线距离的乘积， 于是： 将式⑤、⑥代入上式得 由式④代入化简得，因为， 所以且， 所以 综上四边形的面积的最大值为. 21．设是坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，离心率. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线交双曲线的右支于两点，且关于轴的对称点为的外心为. （i）求外心的坐标（用表示）； （ii）求的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 【分析】（1）根据双曲线的方程知，根据离心率及列式计算即可； （2）（i）联立直线与双曲线的方程，由韦达定理可求得线段的中点坐标为，又线段的垂直平分线方程为，联立求解即可得点；（ii）分别求出与，结合（i）化简求解即可. 【详解】（1）由双曲线的方程知，，又离心率，故， 因为， 故双曲线的方程为； （2）（i）直线的方程为， 联立，得， 故且， 设， 则， ， 由已知，所以， 所以线段的中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 又线段的垂直平分线方程为， 所以点的坐标为， （ii）由题意，右焦点，故， ， 所以，则由知， 所以，即， 所以的取值范围为. 22．已知椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，且与直线相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点为，点关于直线的对称点为点，若四边形为正方形，求的值. 【答案】(1) (2) 【来源】天津市河西区2024-2025学年高三下学期总复习质量调查二（二模）数学试题 【分析】（1）根据题意得出，，可将椭圆的方程化为，再将椭圆的方程与直线的方程联立，由求出的值，即可得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，设点、，的中点为，将该直线方程与椭圆的方程联立，并列出韦达定理，求出点的坐标，可得出直线的方程，求出点的坐标，根据结合韦达定理求出的值. 【详解】（1）因为椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，所以，则， 所以椭圆的方程为， 由消去，得， 因为椭圆与直线相切， 所以令，解得，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，设点、，的中点为， 联立消去，得， ， 由韦达定理得，， 所以，代入，解得， 故线段的中点的坐标为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 令，解得，即， 因为线段和线段互相垂直平分，所以四边形为菱形， 要使四边形为正方形，需满足， 所以 , 即，解得，则的值为. 23．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，直线与椭圆交于不同的两点. (1)设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值； (2)若，证明：直线与直线的交点在定直线上. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 【分析】（1）利用中点坐标公式和斜率公式，结合点差法证明定值. （2）由题意求出椭圆方程，与直线方程联立，根据韦达定理表示根与系数的关系，联立直线与直线的方程，化简可求得交点在定直线上. 【详解】（1）设，则， 则由两式相减可得，即， 所以 为定值. （2）由题意可得，解得，所以椭圆方程为， 则， 联立方程可得， 则，得， 故， 直线的方程为，① 直线的方程为，② 设直线与直线的交点， 则由①②两式相减可得，代入①可得， ，即. 所以点在定直线上. 24．已知焦点在轴的双曲线C的两条渐近线互相垂直，且经过点 ． (1)求双曲线C的标准方程. (2)设，直线l与C的两支交于两点（在第一象限），与y轴交于点Q，记直线的斜率分别为 . （i）求直线PQ的斜率k（用表示）； （ii）若，求的坐标. 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【来源】湖北省华中师范大学附属中学2025届高三综合测试数学试题 【分析】（1）设双曲线的方程为，根据双曲线过点，代入求得，即可得到双曲线的标准方程； （2）（i）设点，直线和，联立方程组，分别求得，，设直线与轴交于点，求得，结合斜率公式，得到； （ii）设，根据，求得，进而求得的坐标. 【详解】（1）解：因为双曲线的渐近线互相垂直，可得，可设双曲线的方程为， 因为双曲线过点，可得，解得，即， 所以双曲线的标准方程为. （2）解：（i）设点，直线的方程为，的方程为， 联立方程组，解得，则，即， 同理可得：， 直线过和，与轴交于点，则的方程为， 令，可得， 又由，， 则， 又由直线的斜率为，其中， 则； （ii）由是直线与的夹角，设，则， 因为，代入可得 ，， 则，即，解得， 又因为点在第一象限，所以，可得，即的直线方程为， 又由，所以点. 25．焦点在轴上的等轴双曲线，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点、. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中垂线与轴交于点，求直线的斜率； (3)若点关于原点的对称点在第三象限，且，求直线斜率的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 【分析】（1）利用待定系数法，结合顶点到渐近线的距离为列方程，求解即可； （2）由题意，过点的直线斜率存在且不为，可设其方程为，设、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，由题意，求出的值，即可得出直线的斜率； （3）将图形中三角形的面积关系转化为，即可得，结合根与系数的关系可解得斜率的取值范围. 【详解】（1）设等轴双曲线的方程为，其渐近线方程为， 故，解得，所以双曲线的方程为. （2）由题意，过点的直线斜率存在且不为，可设其方程为， 设、，联立，整理得， 由题意可得，解得， 由韦达定理得：，，所以或， 设线段的中点为， 则，， 即点，，， 因为，所以，解得， 经验证均满足题意，所以直线的斜率为. （3）点在第三象限，如图所示，故直线的斜率是正数， 由，得， 所以，则，则， 由，得， 所以，则， 又因为直线交两支两点，故直线的斜率，所以. 26．已知圆，圆.若动圆与圆外切，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为.不过原点O的动直线与曲线交于两点，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若. (1)求轨迹的方程； (2)试问：直线OA，OB的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. (3)试问：四边形的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)是定值， 【来源】2025届湖北省武昌实验中学高考适应性考试数学试卷 【分析】（1）设动圆的半径为R，由题可得，，据此可得轨迹的方程； （2）设，由，，可得F坐标，然后由F在椭圆上，可得，据此可完成判断； （3）由题及（2）可得，然后由可完成判断. 【详解】（1）设动圆的半径为R，动圆与圆外切，则， 又因为动圆与圆内切，结合图象可知：，， 所以， 由椭圆的定义可知，动点在以、为焦点，为长轴长的椭圆上， 设椭圆的方程为，半焦距为， 则，，， 又可知圆与圆内切，所以点C不能在切点处，即椭圆应去掉点， 曲线C的方程为. （2）直线OA，OB的斜率乘积不是定值，理由如下：设，则， 因为，所以，进而， 由点F在曲线E上得, 所以, 又因为点A，B均在E上，即，带入上式得, 所以不为定值； （3）因为点A，B均在E上，所以， 两式同向相乘得，整理得：, 由（2）知，带入上式解得：， 又因为 ， 所以. 27．椭圆与圆和圆都外切． (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B分别为椭圆E的左右顶点，F为椭圆的右焦点，K为椭圆E上动点（异于A，B），直线与椭圆E交于另一点H．若直线与交于点P，求证：点P在定直线l上； (3)在（2）的条件下，设直线与直线l交于Q点，椭圆E在点K处的切线与l交于R， ①求证：． ②求面积取最小值时K点的横坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)①证明见解析；② 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 【分析】（1）结合图形可得，进而得椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得关系式，再由直线联立解得点坐标，将关系式代入化简可得点在直线上； （3）①求出切线方程，依次求出坐标，得为中点，进而由向量极化恒等式可证；②利用点的横坐标表达出面积函数关系，利用导数求最值即可得. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为； 由题意椭圆E与两圆都外切，结合图形可知，， 故椭圆E的方程为. （2）由椭圆E的方程为可知， 由题意知，不垂直于轴，故可设直线， 由焦点在椭圆内，则直线与椭圆恒有两个交点， 设， 联立直线与椭圆方程得， 由韦达定理得， 则（）， 又直线方程为，方程为， 设两直线交点， 则联立方程，解得， 将（）式代入化简得， 故点P在定直线上. （3）①由题意知椭圆E在点处的切线斜率存在， 可设切线的方程为， 联立直线与椭圆E方程消得， ， 由直线与椭圆相切， 则， 化简得， 由，得代入上式得， 解得，故， 令，得 直线，令得； 直线，令得； 由， 故为线段的中点， ，得证. ②由， 则 则 ， 则的面积 . 令，， 则， 由解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故当时，函数取最小值. 即面积S取最小值时K点的横坐标为． 28．已知双曲线经过点，其一条渐近线的倾斜角为，双曲线C的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)如图1，N为双曲线C左支上异于点的一动点，且的重心为，试探究点T的轨迹，并求的最小值； (3)如图2，不与坐标轴平行的动直线l与双曲线C交于两点（异于点），P关于原点O的对称点为R．直线与直线相交于点S，直线OS与直线PQ相交于点G，求的内心的轨迹方程． 【答案】(1) (2)的轨迹为双曲线的右支向右平移得到的图象（不含顶点），21 (3)或 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题 【分析】（1）由渐近线斜率及双曲线过点列出方程求即可； （2）利用点之间的关系，代入双曲线方程可得轨迹方程，轨迹为平移双曲线右支所得，再由双曲线的定义求最值； （3）设直线的方程为联立双曲线方程，由根与系数的关系，及三点共线求出直线的方程为，联立直线方程可得点在定直线上，据此求出的内心的轨迹方程. 【详解】（1）由解得， 故双曲线的标准方程为． （2）设,其中． 则解得由得， 因为，所以， 所以的轨迹为双曲线的右支向右平移得到的图象（不含顶点）， 点的轨迹所在双曲线的两焦点为， 又点在点的轨迹所在双曲线的左支上， 则． （3）由题意得直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立整理得，且， , 由题意得， 由三点共线可得，即， 由三点共线可得，即， ， 故直线OS的方程为， 联立解得， 点在定直线上，从而为直角三角形，其内心在直线上， 故的内心的轨迹方程为或． 29．在直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知梯形的四个顶点都在曲线上，其中在第一象限（在的上方），在第二象限，且，线段交于点，记中点分别为. （i）求证：； （ii）若线段长度为3，梯形的面积为9，求线段与长度的比值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）2 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解； （2）（i）由题意得到，进而得到，即可求证；（ii）设直线的方程为：联立抛物线方程，结合韦达定理及中点坐标公式得到，再结合弦长公式及求解即可. 【详解】（1）因为点到点的距离等于点到直线的距离， 根据抛物线的定义可知，动点的轨迹为抛物线，其中为焦点，直线为准线， 所以点的轨迹为曲线的方程为 （2） （i）证明：由可知，，又因为在的上方 则，所以， 由中点为，可得 同理，又 所以： （ii）设直线的方程为： 联立，消去得： 所以 同理，，所以，则直线轴 则直线得方程为，代入抛物线可得： 由（i）可知，， 又 所以 解得： 即线段与长度的比值2 30．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．    (1)求椭圆的方程； (2)已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标：若不存在说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，列出方程组，起度呃的值，得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，求得和，设，使得，根据，得到恒成立，求得的值，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为椭圆的离心率，且椭圆过点， 可得 ，解得，所以椭圆的方程为. （2）解：由题意，显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，则， 因为点为的中点，可得， 则，即， 令，可得，即， 假设存在点，使得，此时 因为，可得， 整理得， 因为，所以，即恒成立， 所以 ，解得，即， 即存在定点，使得.    31．点为直线上的动点，为坐标原点，过点作直线垂直于轴，过点作直线的垂线交直线于点. (1)求点的轨迹方程； (2)记点轨迹为曲线，上一定点，过作两不同直线分别交于两点， ①直线的斜率满足，且直线过点，求定点坐标； ②若点，且直线的斜率满足，设的外接圆为圆，过点作曲线的切线，判断直线与圆位置关系，并说明理由. 【答案】(1) (2)①；②直线与圆相切，理由见解析 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 【分析】（1）设，可得直线和直线的方程，分和两种情况求解即可； （2）①设，，，直线：，联立方程由韦达定理即可求解；②设直线：，直线：与抛物线方程联立结合韦达定理可得，联立中垂线和中垂线即可证明. 【详解】（1）设，则直线：，直线：， 时，直线：，点的轨迹为， 时，， 综上，点的轨迹方程； （2）    ①设，，， 由已知直线的斜率存在， 所以设直线：， 联立方程得， 所以，由题意得， 所以，解得，所以； ②   当时，由可得，求导可得， 当时，，所以切线的斜率为，所以直线：， 设直线：，联立抛物线方程得， ，， 可得，所以， 中垂线：， 同理，中垂线：， 联立可得，， ，即直线与圆相切. 四、数列新定义 32．存在 ，对任意的 ，当 时，正项数列 都满足 . ，则称 满足 性质. 例如: 当 时， ，则等比数列 满足 性质; 当 时，   ，则数列 不满足 性质. 已知数列 同时满足 性质. (1)证明:数列 为等比数列； (2)已知 ，若数列 满足: ，其中 . 设 为数列 的前项和，记 . ① 求 的表达式 （用含的式子表示）; ②试判断 与 的大小关系，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)①；② 【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题 【分析】（1）根据新定义再作差得，再证明其他情况也满足等比数列即可； （2）①计算得，再利用错位相减法即可得到答案； ②令，作差得到其单调性，则有，再利用等比数列求和公式和放缩法即可证明. 【详解】（1）因为数列同时满足性质， 所以当时，， 当时，， 当时，由得：， 将式代入式得：， 所以， 又因为，所以； 取，得； 所以当时，数列为等比数列. 设， 将代入式得，所以； 将代入式得，所以； 所以对任意的，数列为等比数列. （2）①因为，所以，所以， . 当时，，所以为等差数列， 得到：， 所以， 所以， 所以， 两式相减得：， 所以. ②， 理由如下：令， 所以数列单调递减，所以， 所以 . 33．已知数列的前项和为，，且. (1)证明：数列为等差数列； (2)设， （i）求数列的前项和； （ii）当时，设集合，集合中所有元素的和记为，求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 【分析】（1）根据已知递推关系得，结合等差数列的定义即可证； （2）（i）由（1）得，利用关系求得，根据已知及组合数性质、二项式定理得，若数列的前项和为，再应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求；（ii）根据已知得到，再由不等关系有，则，最后应用分组求和求解即可. 【详解】（1）由，，则， 所以，故是首项、公差均为1的等差数列； （2）（i）由（1）得， 当时，， 显然满足，所以， 所以， 又，， 所以， 所以， 若数列的前项和为， 则，， 所以， 所以； （ii）当时，，与矛盾，所以， 当时，，与矛盾，所以， 综上，此时， 所以，可得，即， 所以，则 . 34．设单调不减的无界非负数列，定义数列为，这里表示集合中元素的个数，称为数列的伴随数列． (1)若数列满足，求数列的伴随数列（可以用表示不超过的最大整数）； (2)对任意的正整数，，证明下述关于伴随数列的基本性质： （i）； （ii）若为整数数列的伴随数列，则也为数列的伴随数列： (3)设函数在上连续，严格递增且无界，满足，且对任意正整数，都有，证明：数列与数列互为伴随数列，这里是的反函数；并利用上述结果，直接写出数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…的通项公式． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. (3)证明见解析；. 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 【分析】（1）根据伴随数列的定义求解； （2）（i）利用证明；（ii）根据伴随数列的定义求； （3）根据伴随数列的定义证明数列的伴随数列为数列，然后由已知数列的伴随数列的通项公式构造出，通过反函数得出通项公式． 【详解】（1）根据定义，有： ， 即． （2）（i）的证明：注意到：，故，反之有．而且，进而且， 即． （ii）的证明：根据定义和已知条件，数列和数列均为整数数列．考虑数列的伴随数列：，即数列的伴随数列就是数列． （3）由（2）中（ii）的证明可知：只需证明数列的伴随数列为数列． 设，由定义有，即， 进而有， 由（2）中（i）的证明可知，这等价于， 即．故数列与数列互为伴随数列． 记数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，…为， 易见数列的伴随数列的通项公式为， 记函数，则其反函数为：， 由（3）中所证明结论可知数列的通项公式为． 35．已知为有穷正整数数列，且，集合.若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集. (1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； (2)若，证明：； (3)设，若，求的最小值. 【答案】(1)31是，1024不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)8 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 【分析】（1）根据定义赋值及数列求和计算验证即可； （2）根据定义判定则有，从而可知，利用集合间的基本关系得出中最多有个元素，解不等式即可证明； （3）利用第二问的结论可设，有，然后利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实确定k的最小值为满足成立的m，代入求m即可. 【详解】（1）31是，1024不是，理由如下： 由题意可知， 当时，有， 显然若时，， 而， 故31是可表数，1024不是可表数； （2）由题意可知若，即， 设，即使得， 所以，且成立，故， 所以若，则， 即中的元素个数不能超过中的元素， 对于确定的中最多有个元素， 所以； 当时，，我们取依次为 时，易知等号成立. （3）由题意可设，使， 又， 所以，即， 而， 即当时，取时，为可表数， 因为， 由三进制的基本事实可知，对任意的，存在，， 使， 所以 ， 令，则有， 设， 由的任意性，对任意的， 都有， 又因为，所以对于任意的为可表数， 综上，可知的最小值为，其中满足， 又当时，， 所以的最小值为8. 36．已知元正整数集合，取出的个互不相同的非空子集：构成集合，若中任意个元素的并集均真包含于，任意个元素的并集均等于，我们称合理覆盖 (1)若，问是否合理覆盖？请简要说明理由； (2)若存在合理覆盖，求的最小值； (3)是否存在合理覆盖，且构成公差为1的等差数列（表示集合中的元素个数）？若存在请给出一个，若不存在请说明理由． 【答案】(1)是，理由见详解 (2) (3)存在，理由见详解 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 【分析】（1）根据称合理覆盖的定义判断即可； （2）依题意得，根据定义可知中至少有个，进而可求的最小值； （3）存在合理覆盖，则中的每一个元素可以恰好属于中个集合，在此基础上去构造一个满足题意的即可. 【详解】（1）是，因为任意两个集合均有一个公共元素，从而不能覆盖，而任意三个集合覆盖. （2）若存在合理覆盖，从中任取五个集合，则中必存在一个元素不属于这五个集合，同理再任取五个集合，则中必存在一个元素不属于这五个集合，则（否则必存在六个集合的并集不等于），所以中至少有个元素，故， 当时，中的每个元素均恰好属于中五个集合，且每个元素所在的五个集合构成的集合均不相同，则该合理覆盖． （3）若存在合理覆盖，则中的每一个元素可以恰好属于中个集合（小于5个则存在六个集合的并集不等于） 首先我们将中恰好属于中个集合的元素去除，则仍然合理覆盖剩下的集合（可以理解为将剩下的集合置换为则） 由（2）中恰好属于中5个集合的元素至少252个，我们再将所在5个集合相同的元素留下一个，其余去除，则中将只剩下252个元素，此时 现在此基础上我们再加回一些元素： 加回的元素对于的初始状态为： 先加5个恰属于五集合的元素 然后每次加1个恰属于五集合的元素 最后剩余的所有元素给每一个集合 所以存在合理覆盖，且构成公差为1的等差数列． 37．若对，都有，则称与为“级相邻数列”． (1)设的前n项和，且，试判断与是否为“2级相邻数列”，并说明理由； (2)若，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围； (3)已知，由数列的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”，求满足条件的数列的组数（用数字作答）． 【答案】(1)与为“2级相邻数列”；理由见解析 (2)； (3)3470 【来源】浙江省绍兴市第一中学2025届高三下学期校模拟考试数学试题 【分析】（1）根据数列通项公式的关系，先求出时的表达式，再检验时是否满足该表达式，从而确定的通项公式.利用累加法，得到的通项公式，同样检验时是否满足.最后根据“2级相邻数列”的定义，计算的表达式，通过分析该表达式与的大小关系，判断与是否为“2级相邻数列”. （2）由，通过移项得到关于的不等式.设，通过分析与的大小关系判断的单调性，进而求出的最值， 由此得到的取值范围和的取值范围，从而确定的取值范围. （3）根据条件集合有，，，，，共6种不同的情况，每种情况下考虑数列的不同情况，并对应研究数列的不同情况数，利用计数原理，结合组合数计算满足条件的数列的组数. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，也成立，所以， 所以， 所以， 所以， 所以与是“2级相邻数列” （2）已知，化简可得. 设，则. 因为，所以，（当时取等号）， 所以单调递减，所以的最大值为， 所以， 所以，， 所以，即的取值范围为. （3）已知， 由数列的所有项组成的集合中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”， 因为与为“1级相邻数列”，所以， 当时，有2种不同选择；时，，有3种不同选择； 时，有3种不同选择，时，有2中不同选择． 由数列的所有项组成的集合中恰好有2个元素， 所以有，，，，，共6种不同的情况． 当时，数列可能是1个1、3个2的排列（有4种不同的排列）； 也可能是2个1、2个2的排列（有种不同的排列）； 还可能是3个1、1个2的排列（有4种不同的排列）． 1个1、3个2的每一种排列，2个1、2个2的每一种排列， 3个1、1个2的每一种排列对应的数列分别有，，种不同的清况， 总共个不同的数列； 同样，，时也各贡献528个不同的数列； 时也分是1个2、3个3的排列（有4种不同的排列）； 也可能是2个2、2个3的排列（有种不同的排列）； 还可能是3个2、1个3的排列（有4种不同的排列）， 总共个不同的数列； 时，总共个不同的数列； 共计有个不同的数列组； 即满足条件的数列组的个数为3470． 38．已知集合，其中，集合．定义运算，记|A|为集合中元素的个数. (1)若，求的值； (2)若集合中的元素构成等差数列，且公差. （i）当时，求的最小值； （ii）当时，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）5；（ii）4050 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 【分析】（1）当 ，先按条件确定 ，再根据 定义找出元素，最后数元素个数得 . （2）（i）解法一：设 元素，算 元素，让 、 相同元素最多求 最小. 解法二：由等差性质得范围，结合 最小元素确定 范围，用公式求 最小.   （i i）先证引理确定 元素及，再根据 、 元素关系确定 范围，用公式求 最小，最后代入 求值. 【详解】（1）若，则，此时，， ，所以. （2）（i）解法一：设，则有， ， 所以，为使最小，应尽量使A，B中相同元素最多， 而，故A，B中最多一个相同元素，令，即时，最小， ，此时. 解法二：由构成严格递增的等差数列可知，，则必有 又中最小元素为，则，则有，所以， 另一方面，当时，，此时， 综上，时，的最小值为5. （ii）引理：当时，集合中的元素构成公差为的等差数列，则 引理的证明：对任意 当时，，当时，， 因此有； 另一方面，再证明可以取到满足的所有整数， ①取，当依次取时，可取到满足的所有整数； ②取，当依次取时，可取到满足的所有偶数； ③取，当依次取时，可取到满足或的所有奇数； ④取，此时， 由上述讨论可知，可以取到满足的所有整数，此时有 综上，引理得证． 故当时，，， 又，即，则有， 所以； 另一方面，当时，，，， 此时， 综上，当时，的最小值为2n，所以，当时，的最小值为4050. 39．将所有正整数按照如下规律形成数阵： 第1行  1  2  3  ……  7  8  9 第2行  10  11  12  ……  97  98  99 第3行  100  101  102  ……  997  998  999 第4行  1000  1001  1002  ……  9997  9998  9999 ………… (1)将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，试确定在该数阵中的位置； (2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第行中正整数的个数为. （i）求，，； （ii）求. 【答案】(1)是数阵第4行，第3097个数． (2)（i），，；（ii）. 【来源】山东省济宁市2025届高考模拟考试（二模）数学试题 【分析】（1）设，利用二项展开式得当且仅当为偶数时，可以取得正整数，则，即可确定位置； （2）（i）当时，直接得到，代入并去掉12即可得到的值，代入，去掉19个数即可得到； （ii）分析得，利用特征根法得，，再消去即可得到其通项. 【详解】（1）设，因为， ， 所以， 所以，当且仅当为偶数时，可以取得正整数， 所以，当且仅当为偶数时，数列有公共项， 所以，，故， 所以，是数阵第4行，第3097个数． （2）（i）当时，显然． 当时，第2行2位数有90个，其中只有12去掉． 故． 当时，第3行3位数有900个，其中有两种情况去掉： 百位和十位分别为12，此时有10个；十位和个位分别为12，此时有9个． 故． （ii）当时，将第行个符合条件的位正整数分为两类： ①个位数字不等于2时，个位数字有9种取法，前面位数有种取法，这时位正整数中有个； ②个位数字等于2时，前面位数有种取法， 但这个位正整数中十位数字等于1的个正整数要去掉． 故个位数字等于2且十位数字不等于1的位正整数有－个． 综上，由加法原理知． 设， 所以，，即， 解得， 所以，是首项为，公比为的等比数列； 是首项为，公比为的等比数列； 所以，， ， 所以，当时，， 经检验，当时，也成立 当时，也成立． 综上，． 40．在等差数列中，已知成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)数列是否为等比数列？若是求其前项和，若不是，请说明理由； (3)设，且，求的所有取值． 【答案】(1) (2)是等比数列， (3) 【来源】河南省信阳市新县高级中学2025届高三考前第一次适应性考试数学试题 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，依题意得到关于、的方程组，解得即可； （2）根据等比数列的定义判断，再由等比数列求和公式计算可得； （3）依题意可得当时无解，当时解得，说明时无解，即可确定的值. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 因为成等差数列， 所以，解得， 所以． （2）因为，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以数列的前项和为． （3）因为，所以， 因为， 所以， 当时，无解； 当时，解得或（舍去）； 当时，，即， 令，则为关于的单调递增函数， 因为，所以， 所以无解， 所以的取值为， 进一步得，当时，对任意的正整数， ， 满足：， 所以的所有取值是． 【点睛】关键点点睛：第三问由于的任意性取特殊值确定的值，再验证其合理性. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $