专题14 概率与统计大题综合（精选38题）专项训练-【百强名校好题】2026年高考数学终极必刷：核心考点突破+必刷真题精练（全国通用）

专题14 概率与统计大题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 (1)依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ (2)从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义. ，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【来源】内蒙古呼和浩特市内蒙古师范大学附属中学2025届高三高考预测数学试卷 例题2．我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠售后保障，在全球赢得了很好的营销局面.下表为2017年—2024年（年份代码分别记为：1，2，3，4，5，6，7，8）该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计. 年份代码i 1 2 3 4 5 6 7 8 科研经费（单位：百亿元） 2 3 6 10 13 15 18 21 市场规模（单位：百万辆） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数. (1)根据样本数据，推断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数，推断它们的线性相关程度（结果精确到0.01，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱）； (2)已知在国内，新能源车主购买的新能源汽车为该品牌新能源汽车的概率为p（），从国内新能源车主中随机抽取5人，记这5人中选择购买该品牌的人数为随机变量X，若，求随机变量X的数学期望和方差 【来源】辽宁省实验中学2025届高三五模数学试题 例题3．为促进消费，扩大内需，江苏省体育局主办了年城市足球联赛，简称“苏超”．随着赛事的进行，引发全省乃至全国人民的关注，城市旅游人数显著提升．下表是比赛五个月来的某城市旅游人数（百万）与第个月的数据： （月份） （人数） (1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程； (2)该市随机抽取了部分市民及游客，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表： 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 女性 请依据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关． 参考公式：，，其中． 【来源】江苏省常州市第一中学、溧阳中学2026届高三上学期数学联考试卷 例题4．拔河比赛起源于我国春秋时期，比赛采用三局两胜制，即每场比赛两支队伍最多比3局，率先胜2局比赛的队伍获得本场比赛胜利，比赛随即结束.甲､乙两队进行一场拔河比赛，已知每局比赛甲队胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立. (1)求甲队获得本场比赛胜利的概率； (2)记为本场比赛结束时比赛的局数，求的分布列及数学期望. 【来源】陕西省西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三上学期三模数学试题 例题5．某公司准备了一个不透明的箱子，该箱子中装有6个大小一样的小球，其中2个为红色，1个为白色，3个为蓝色.职工甲、乙两人进行抽球游戏，在每轮比赛中，两人各从箱子中一次抽出3个小球.得分规则如下，若抽出的三个小球的颜色相同，得8分；若抽出的三个小球中有两球的颜色相同，得4分；若抽出的三个小球的颜色各不相同，得2分.若第一轮得分相同，则进行第二轮，直至出现两人得分不同，得分多者获得公司提前准备的奖励，游戏结束. (1)记甲第一轮得分为，求的概率分布列及数学期望； (2)求两人共抽轮小球的概率. 【来源】湖北省黄冈中学2025届高三5月第二次模拟考试数学试题 例题6．已知正四棱锥的底面边长和高都为2．现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积． (1)求概率的值； (2)求随机变量的概率分布及其数学期望． 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 例题7．张明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：张明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第天晨跑的概率为． (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)若都是离散型随机变量，则，记张明前天晨跑的天数为，求． 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 例题8．DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其技术在多领域的普惠应用：智能客服实现高效人机交互，企业场景中赋能数据分析与决策优化；教育领域支持个性化学习，医疗场景辅助诊断与知识管理；跨模态模型驱动图像、文本、视频的智能生成与创作工具开发．其开源模型被开发者广泛集成，降低AI应用门槛，推动金融、科研、工业等行业的智能化升级，以高性能技术加速产业创新与效率提升．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的全体员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有5名部门负责人参加，恰有2人来自A部门．从这5名部门负责人中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求的分布列和数学期望； (2)在培训闭幕式上，公司举行了一次DeepSeek专业知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两名员工组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．时，求甲、乙两名员工在每轮答题中取胜的概率的最大值． 【来源】黑龙江省大庆实验中学实验二部2025届高三模拟考试数学试题 例题9．甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的类问题以及难度系数较高的类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问题的概率均为，甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立． (1)当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望． (2)设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为． （ⅰ）证明：为等比数列． （ⅱ）求的最大值以及对应n的值． 【来源】广东省湛江市2025年普通高考测试（一）数学试题 例题10．近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升. (1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，. ①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； ②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值． 参考数据：，. 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2025届高三第五次模拟考试数学试卷 例题11．合肥一中2025年元旦联欢会上一个抽奖游戏，主持人从编号为的个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.抽奖人当然希望选中有奖品的箱子!假定你是抽奖人，不妨设你选择了号箱.在打开号箱之前，主持人先打开了另外个箱子中的一个空箱子.按游戏规定，主持人打开你的选择之外的空箱子，当你的选择之外有多个空箱子时，主持人随机选择其中一个打开. (1)若，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选1号箱，还是改选2号箱？试说明理由； (2)若，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选2号箱，还是改选其他号码的箱？试说明理由； (3)切比雪夫不等式是概率中经典的不等式之一，其形式如下：设随机变量的期望和方差存在，则对任意的，有.若，设主持人打开箱的号码为随机变量，求的期望和方差，并验证随机变量满足切比雪夫不等式. 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 百强名校-必刷真题精练 1．研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病. 某医学研究小组为了解20-30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如2×2列联表. 性别 健康状况 感冒 不感冒 男 8 14 女 4 24 (1)在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布和期望； (2)依据表中数据，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20-30岁年轻人的体质健康与性别是否有关?若把表中所有数据都扩大到原来的10倍，此时结论还一样吗?请解释其中原因，并简要说明应如何调整调查可使此研究更具有严谨性. 参考数据： 参考公式：，其中. 【来源】河南省信阳高级中学2024-2025学年高三下学期高考数学三模试卷 2．某高校为调查学生性别与是否喜欢排球运动的关系，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图． (1)根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢排球运动有关联． 性别 是否喜欢排球运动 总计 是 否 男生 女生 总计 (2)将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中喜欢排球运动的学生的人数为X，求使得取得最大值时的k值． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【来源】山东师范大学附属中学2025届高三适应性检测数学试题 3．为研究某篮球运动员对球队的贡献情况，现统计某赛季该球员出场情况与比赛结果的数据如下表： 球队赢球 球队输球 总计 参加 30 12 42 未参加 20 20 40 总计 50 32 82 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队赢球与该球员参赛有关联？ (2)为进一步研究该球员对球队的影响作用，现从他参赛的10场比赛（其中赢球场次3场，输球场次7场）中随机抽取2场，用随机变量表示赢球的场数．求随机变量的分布列，数学期望与方差． 参考公式：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 4．某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了100名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为，评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”，并将部分评价结果整理如下表所示． 性别 评价 合计 喜欢 不喜欢 男性 15 女性 合计 50 100 (1)根据所给数据，完成上面的列联表； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与评价结果有关系？ (3)电视台计划拓展男性观众市场，现从参与评价的男性中，用按比例分配的分层随机抽样的方法选取3人，进行节目“建言”征集奖励活动，其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，“建言”被采用奖励100元，“建言”不被采用奖励50元，记3人获得的总奖金为，求的分布列及数学期望． 附：． 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 5．已知某科技公司产品的一个零部件分别在甲、乙两个代工厂生产，甲工厂的日产量是乙工厂日产量的两倍，甲工厂生产的零部件次品率是0.06，乙工厂生产的零部件次品率是0.03． (1)从某天甲、乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取1件，若检测该零部件为次品，求该零部件是甲工厂生产的概率； (2)用频率代替概率，从某天甲，乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取3件，记这3件中正品与次品的个数分别为X，Y，记随机变量，求的期望值； (3)甲工厂为提高产品正品率，进行了技术改进，从改进后的第1个月开始，第个月的次品率y（单位：%）如表： x 1 2 3 4 5 y 5.8 5.4 4.8 4.5 4.0 根据上表数据求得y关于x的回归直线方程为，求相关系数r（要求保留到小数点后两位），并判断该回归直线方程是否有价值. 附公式：，，，．若，则认为回归直线方程有价值. 【来源】湖北省黄冈中学2025届高三下学期第四次模拟考试数学试卷 6．近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积（单位：亩） 1 2 3 4 5 管理时间（单位：月） 8 10 13 25 24 并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示: 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 （1）求出相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？ （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？ （3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望． 参考公式： 其中．临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据： 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷 7．当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身体健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表： 关卡 1 2 3 4 5 6 平均过关时间（单位：秒） 50 78 124 121 137 352 计算得到一些统计量的值为：，，其中，． (1)若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出关于的经验回归方程； (2)甲参加一场闯关游戏，比赛共有5局，甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，记甲恰好获胜3次的概率为，求的最大值，并求出相应的概率． 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 8．甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是. (1)请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； (2)现将投篮水平较低的两人组成一组（记为），与投篮水平较高的人（记为组）进行投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获胜，求组获胜的概率. 【来源】江西省九江市2025届高三第二次高考模拟统一考试数学试题 9．盒中有四张卡片，分别标有数字，现从盒中任取两张卡片． (1)求两张卡片的数字之积为偶数的概率； (2)取后放回，重复操作次，记取到两张卡片上标有的数字中有偶数、有奇数、既有偶数又有奇数的次数分别为，求：（结果用含的代数式表达）. 【来源】湖北省华中师范大学附属中学2025届高三综合测试数学试题 10．投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞箭矢投向特定壶具，以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能. 为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果. 活动中，高三年级500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发组织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽当学生投完三支箭，挑战结束. 某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，求这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率. (3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶2的概率，那么在投完20次之后，这位同学投中壶2多少次的概率最大?（只需写出结论）. 【来源】北京市北京师范大学附属中学2025届高三三模考试数学试题 11．在一个摸球游戏中，有一个装有许多彩色球的不透明盒子，盒子中的球分为三种颜色：红色､蓝色和绿色，各球除颜色可能不同外，其余均相同.每次游戏，参与者需要从盒子中随机取球.已知盒子中红色球､蓝色球和绿色球的数量分别为个､个和个，且总球数为个. (1)若规定每次取一个球，取球后不将球放回盒子中，且连续取两次.求取出一个红色球和一个蓝色球的概率； (2)若规定每次取一个球，取球后将球放回盒子中，且连续取三次.设三次中恰好有两次取出的球颜色相同的概率为，当时，求； (3)在（2）的条件下，若游戏组织者规定，当三次取球中出现红色球的次数大于等于两次时.参与者获胜；否则，游戏组织者获胜.请判断此游戏是否公平，并通过计算说明理由. 【来源】吉林省长春吉大附中实验学校2025-2026学年高三上学期第一次摸底考试数学试卷 12．进行独立重复试验，设每次成功的概率为，将试验进行到首次成功时结束，以表示试验次数，则称服从以为参数的几何分布，记为，其中，． (1)若， （i）求和； （ii）； (2)若，，， 求证：． 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三最后一模数学试题 13．在列联表（表一）的卡方独立性检验中，，其中为第i行第j列的实际频数，如，而第i行的行频率第j列的列频率总频数，为第i行第j列的理论频数，如. a b c d 10 20 30 40 （表一） （表二） (1)求表二列联表的值； (2)求证：题干中与课本公式等价，其中. 【来源】湖北省襄阳市第五中学2025届高三下学期适应考试三数学试卷 14．2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最长60秒的高清视频．Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“Python编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分，否则得0分． 已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7． (1)若甲同学先进行“Python编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由． 【来源】广东省中山市中山纪念中学2025届高三考前最后一卷数学试题 15．为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为和．在治疗过程中，用指标衡量患者是否受益：若，则认为指标正常；若，则认为指标偏高；若，则认为指标偏低．若治疗后患者的指标正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6． (1)求和； (2)统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第位的患者治疗后指标的值为，，2，，50，定义函数： （ⅰ）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由． ①； ②； （ⅱ）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（ⅰ）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策． 【来源】重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题 16．“冰雪同梦，亚洲同心”，年第九届亚冬会在哈尔滨举办，本次赛事共有个大项，个分项，个小项，有来自个国家和地区，多名运动员参赛，是一场令人回味无穷的冬季体育盛会，亚冬会圆满结束后，我校团委组织学生参加与亚冬会有关的知识竞赛.为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会.已知小明报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等. (1)若前三道试题，小明每道试题答对的概率均为， ①设，记小明答完前三道题得分为，求随机变量的分布列和数学期望； ②若小明答完前四道题得分的概率为，求小明答完前四题时至少答对三题的概率的最小值； (2)若小明答对每道题的概率均为，因为小明答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时小明答题累计得分为，记小明答题累计得分为的概率为，求数列的通项公式. 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 17．一只猫和一只老鼠在两个房间内游走，每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动，猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4，若是一只猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：为等比数列，并求表达式； (3)在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？ 【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题 18．小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两人.经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为.若他挑战小明，下一次的挑战权即属于小明，且小明再挑战小华、小红的概率分别为；若他挑战小红，下一次的挑战权即属于小红，且小红再挑战小华、小明的概率分别为. (1)经过3次挑战后，小华已使用的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望； (2)若经过次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求事件发生的概率. 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 19．盒子里有编号为的个大小、形状、质地完全相同的小球，在盒子中连续有放回地取出两个小球，记为第次取出的小球的编号， (1)试计算比大的概率； (2)求的分布列和期望； (3)已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量，有，试分别计算的期望.其中，表示a，b中的最小者，表示a，b中的最大者. （参考公式：）． 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 20．将一个平面边形的每个顶点赋值0或1两个数中的一个，同时染红或蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同，称边形“点亮”. (1)在中，已知赋值0且染红色，求所有“点亮”的方法个数； (2)现对四边形的每个顶点随机赋值0或1，同时随机染红色或蓝色，求四边形“点亮”的概率； (3)求边形的所有“点亮”的方法个数（结果用表示）. 【来源】山东省实验中学2025-2026学年高三上学期第三次诊断性考试数学试题 21．某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； (3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 【来源】江苏省常州市第一中学、溧阳中学2026届高三上学期数学联考试卷 22．阿尔法狗是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军.它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗，三个阶段的阿尔法狗依次简记为甲、乙、丙. (1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，记该棋手连胜两局的概率为p，试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程. (2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立. （ⅰ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值; （ⅱ）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事M，证明： 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 23．已知数列满足，并且对任意的，取或的概率均为． (1)求的概率； (2)设的值为随机变量X． ①求X的分布列； ②求随机变量的数学期望． 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 24．已知数列的前项和为，，且. (1)证明：数列为等差数列； (2)设， （i）求数列的前项和； （ii）当时，设集合，集合中所有元素的和记为，求数列的通项公式. 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 25．将所有正整数按照如下规律形成数阵： 第1行  1  2  3  ……  7  8  9 第2行  10  11  12  ……  97  98  99 第3行  100  101  102  ……  997  998  999 第4行  1000  1001  1002  ……  9997  9998  9999 ………… (1)将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，试确定在该数阵中的位置； (2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第行中正整数的个数为. （i）求，，； （ii）求. 【来源】山东省济宁市2025届高考模拟考试（二模）数学试题 26．某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试（测试I）通过率为，末通过测试I的芯片进入第二次测试（测试II），通过率为.通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废. (1)若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X.当，时，求X的期望与方差； (2)已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率； (3)为估计（2）中的，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试I.记.若要使得总能不超过0.1，试根据参考内容估计最小样本量. 参考内容：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有. 【来源】2025届安徽省芜湖市高三二模数学试题 27．电影《哪吒2》以精美的画面、震撼的特效、流畅的动作设计创造了158亿的票房神话，名列全球票房榜第五位．在电影最后哪吒与无量仙翁的决战中，假设无量仙翁的生命值为1000，哪吒每次攻击造成的伤害为随机变量．当无量仙翁生命值小于等于0时，则哪吒获胜（假设莲花化身的哪吒具有不死之身，不会被击败）． (1)求哪吒恰好在第2次攻击后战胜无量仙翁的概率； (2)求哪吒战胜无量仙翁需要攻击次数的期望； (3)求哪吒恰好在第次攻击后可战胜无量仙翁的概率． 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 概率与统计大题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 (1)依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ (2)从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义. ，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)与性别有关联 (2)，意义见解析 【来源】内蒙古呼和浩特市内蒙古师范大学附属中学2025届高三高考预测数学试卷 【分析】（1）提出零假设，并求出，与表中数据对比即可下结论； （2）根据条件概率的计算公式求解即可. 【详解】（1）零假设对机器人表演节目的喜欢与性别无关.         根据列联表中的数据得， 依据的独立性检验，可以推断不成立，即对机器人表演节目的喜欢与性别有关联. （2）依题意得，，    ，    则         意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概率大； 或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等等 例题2．我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠售后保障，在全球赢得了很好的营销局面.下表为2017年—2024年（年份代码分别记为：1，2，3，4，5，6，7，8）该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计. 年份代码i 1 2 3 4 5 6 7 8 科研经费（单位：百亿元） 2 3 6 10 13 15 18 21 市场规模（单位：百万辆） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数. (1)根据样本数据，推断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数，推断它们的线性相关程度（结果精确到0.01，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱）； (2)已知在国内，新能源车主购买的新能源汽车为该品牌新能源汽车的概率为p（），从国内新能源车主中随机抽取5人，记这5人中选择购买该品牌的人数为随机变量X，若，求随机变量X的数学期望和方差 【答案】(1)样本相关系数，两个变量线性相关且线性相关程度很强. (2)随机变量的数学期望，方差. 【来源】辽宁省实验中学2025届高三五模数学试题 【分析】（1）根据给定的相关系数公式，结合已知的参考数据，计算出样本相关系数，再依据相关系数与线性相关程度的关系进行判断. （2）由已知条件可知随机变量服从二项分布，我们先根据求出的值，再利用二项分布的数学期望和方差公式求出和. 【详解】（1）； . 然后计算， 将，，，代入可得： . 接着计算，将，，代入可得： . 再计算，将，，代入可得： . 最后计算相关系数： 根据公式，将， ，代入可得： ，因为，所以. 由于接近，所以两个变量线性相关且线性相关程度很强. （2）已知随机变量（因为从国内新能源车主中随机抽取人， 每个人购买该品牌汽车的概率为，符合二项分布的定义）， 根据二项分布的概率公式，由可得： ，即，因为，得， 解方程，得. 再根据二项分布的数学期望公式和方差公式， 将，代入可得：；. 例题3．为促进消费，扩大内需，江苏省体育局主办了年城市足球联赛，简称“苏超”．随着赛事的进行，引发全省乃至全国人民的关注，城市旅游人数显著提升．下表是比赛五个月来的某城市旅游人数（百万）与第个月的数据： （月份） （人数） (1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程； (2)该市随机抽取了部分市民及游客，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表： 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 女性 请依据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关． 参考公式：，，其中． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【来源】江苏省常州市第一中学、溧阳中学2026届高三上学期数学联考试卷 【分析】（1）求出、的值，结合最小二乘法公式求出、，即可得出线性回归方程； （2）零假设关注“苏超”赛事与性别无关，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论. 【详解】（1）由表格中的数据可得，， 所以， ， 故关于的线性回归方程为. （2）零假设关注“苏超”赛事与性别无关， 由表格中的数据可得， 依据小概率值的独立性检验，能认为关注“苏超”赛事与性别有关. 例题4．拔河比赛起源于我国春秋时期，比赛采用三局两胜制，即每场比赛两支队伍最多比3局，率先胜2局比赛的队伍获得本场比赛胜利，比赛随即结束.甲､乙两队进行一场拔河比赛，已知每局比赛甲队胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立. (1)求甲队获得本场比赛胜利的概率； (2)记为本场比赛结束时比赛的局数，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) ； (2)分布列见解析，. 【来源】陕西省西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三上学期三模数学试题 【分析】（1）甲获得比赛胜利包含三种情况：①甲队胜第一、二局，②甲队胜第一、三局，③甲队胜第二、三局，再利用相互独立事件同时发生的概率计算即可得答案； （2）由题意可知可取：，分别求出其概率，即可解出答案. 【详解】（1）甲队获得本场比赛胜利分：①甲队胜第一、二局，②甲队胜第一、三局，③甲队胜第二、三局， 则甲队获得本场比赛胜利的概率 . （2）由题意知可取：， 当时，甲队胜的概率为： ，乙队胜的概率为，则 , 当时，， 所以的分布列为： 数学期望. 例题5．某公司准备了一个不透明的箱子，该箱子中装有6个大小一样的小球，其中2个为红色，1个为白色，3个为蓝色.职工甲、乙两人进行抽球游戏，在每轮比赛中，两人各从箱子中一次抽出3个小球.得分规则如下，若抽出的三个小球的颜色相同，得8分；若抽出的三个小球中有两球的颜色相同，得4分；若抽出的三个小球的颜色各不相同，得2分.若第一轮得分相同，则进行第二轮，直至出现两人得分不同，得分多者获得公司提前准备的奖励，游戏结束. (1)记甲第一轮得分为，求的概率分布列及数学期望； (2)求两人共抽轮小球的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【来源】湖北省黄冈中学2025届高三5月第二次模拟考试数学试题 【分析】（1）依题确定的可能取值，求出对应的概率值，列出分布列，求出期望即可； （2）设事件为“一轮比赛甲乙得分相同”，求出，则事件 “第轮比赛甲乙得分不同”的概率为，故利用独立事件的概率乘法公式可得两人共抽轮小球的概率为. 【详解】（1）的可能取值为：8，4，2. 依题意，； ； . 所以的概率分布列为： 8 4 2 （2）记乙一轮比赛的得分为，事件为“一轮比赛甲乙得分相同”， 则 记事件为“第轮比赛甲乙得分不同”，则. 所以两人共抽轮小球的概率： . 例题6．已知正四棱锥的底面边长和高都为2．现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积． (1)求概率的值； (2)求随机变量的概率分布及其数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 【分析】（1）由题意，分别得出“从5个顶点中随机选取3个点构成三角形”和“”所包含的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率； （2）先由题意得到的可能取值，求出对应的概率，进而可得到分布列，求出期望. 【详解】（1）从5个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有种取法． 其中的三角形如，这类三角形共有个， 因此． （2）由题意，的可能取值为，2，． 其中的三角形是侧面，这类三角形共有4个； 其中的三角形有两个，和． 因此，． 所以随机变量的概率分布列为： 2 所求数学期望． 例题7．张明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：张明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第天晨跑的概率为． (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)若都是离散型随机变量，则，记张明前天晨跑的天数为，求． 【答案】(1)； (2)（或）； (3) 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 【分析】（1）根据已知条件，利用概率的基本性质即可求出的值； （2）通过分析与的关系，构造等比数列，进而求出数列的通项公式； （3）利用期望的性质，将转化为，再根据期望的定义求出. 【详解】（1）已知第1天一定晨跑，故， 第2天晨跑的概率由第1天晨跑决定，故， 第3天晨跑的情况分两种： 第1天晨跑，第2天不晨跑，第3天晨跑，概率为， 第1天晨跑，第2天晨跑，第3天晨跑，概率为， 故. （2）由题意得，张明第天晨跑后，下一次晨跑在第天的概率为， 张明第天晨跑后，再在第天晨跑的概率为， 所以， 即，则， 所以，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 由（1）得，，，所以， 所以， 则， 所以， 所以．（或） （3）记他前天中，第天晨跑的次数为． 由题意得，服从两点分布，且， 因为，且对于离散型随机变量，都有， 所以 ， 所以， 所以 所以. （或 例题8．DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其技术在多领域的普惠应用：智能客服实现高效人机交互，企业场景中赋能数据分析与决策优化；教育领域支持个性化学习，医疗场景辅助诊断与知识管理；跨模态模型驱动图像、文本、视频的智能生成与创作工具开发．其开源模型被开发者广泛集成，降低AI应用门槛，推动金融、科研、工业等行业的智能化升级，以高性能技术加速产业创新与效率提升．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的全体员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有5名部门负责人参加，恰有2人来自A部门．从这5名部门负责人中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求的分布列和数学期望； (2)在培训闭幕式上，公司举行了一次DeepSeek专业知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两名员工组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．时，求甲、乙两名员工在每轮答题中取胜的概率的最大值． 【答案】(1)分布列见解析； (2) 【来源】黑龙江省大庆实验中学实验二部2025届高三模拟考试数学试题 【分析】（1）的可能取值为，由超几何分布的概率公式代入计算可得随机变量对应概率，再利用期望公式即可得到结果； （2）由二项分布的概率公式，结合独立事件的概率公式可得的表达式，再利用基本不等式，由换元法结合二次函数的值域代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）的可能取值为， ，， ， 分布列为 所以. （2）设甲，乙答对题数分别为， 则， 设事件表示甲、乙两名员工在每轮答题中取胜， 则 ， 又，则， 令，则，即，且， 当且仅当时，取等号， 则，其中， 其对称轴为，所以当时，即时，取得最大值， 且. 例题9．甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的类问题以及难度系数较高的类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问题的概率均为，甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立． (1)当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望． (2)设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为． （ⅰ）证明：为等比数列． （ⅱ）求的最大值以及对应n的值． 【答案】(1)分布列见解析，1 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）当时，取到最大值为 【来源】广东省湛江市2025年普通高考测试（一）数学试题 【分析】（1）由已知可得X的可能取值，分别求解概率即可得分布列和期望； （2）（ⅰ）根据等比数列的定义证明即可；由（ⅰ）可证为等比数列，可得，结合不等式的性质和函数的单调性即可求解. 【详解】（1）X可以取0，1，2，3，4， 每次回答A类问题且回答正确的概率为， 回答A类问题且回答不正确的概率为， 每次回答B类问题且回答正确的概率为， 回答B类问题且回答不正确的概率为， ， ， ， ；， X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P ； （2）（ⅰ），， 由题意得甲累计得分为n分的前一轮得分只能为分或分， 故当时，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （ⅱ）根据（ⅰ）可知，①， 易得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②， 令②－①可得， 所以， 经检验，时均满足上式，故， 所以， 而显然随着n的增大而减小， 故， 又因为，所以当时，取到最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是深入理解游戏得分的规则，找出累计得分分与分，分之间的概率递推关系，从而得到与，的关系式. 例题10．近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升. (1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，. ①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； ②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值． 参考数据：，. 【答案】(1)①；② (2)28 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2025届高三第五次模拟考试数学试卷 【分析】（1）①根据相互独立事件概率乘法公式及对立事件概率公式求解即可；②利用条件概率公式及性质计算即可. （2）由已知可推得，根据已知以及正态分布的对称性，可求得，则服从二项分布，利用二项分布概率最大值的求法计算可得结果. 【详解】（1）①在进入第四道工序前,该款芯片的次品率为： ． ②证明：由题意，所以，所以， 因为， 所以， 即， 所以，即，所以． （2）由已知得： ， 因为， 所以服从二项分布，， 设， 由得，即， 解得，由得， 所以的估计值为28． 例题11．合肥一中2025年元旦联欢会上一个抽奖游戏，主持人从编号为的个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.抽奖人当然希望选中有奖品的箱子!假定你是抽奖人，不妨设你选择了号箱.在打开号箱之前，主持人先打开了另外个箱子中的一个空箱子.按游戏规定，主持人打开你的选择之外的空箱子，当你的选择之外有多个空箱子时，主持人随机选择其中一个打开. (1)若，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选1号箱，还是改选2号箱？试说明理由； (2)若，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选2号箱，还是改选其他号码的箱？试说明理由； (3)切比雪夫不等式是概率中经典的不等式之一，其形式如下：设随机变量的期望和方差存在，则对任意的，有.若，设主持人打开箱的号码为随机变量，求的期望和方差，并验证随机变量满足切比雪夫不等式. 【答案】(1)改选2号箱，理由见解析 (2)改选2号､3号以外的箱，理由见解析 (3)，，验证见解析 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 【分析】（1）用分别表示1，2，3号箱子里有奖品，用分别表示主持人打开号箱子，根据全概率公式和贝叶斯公式计算即可判断； （2）用分别表示i号箱子里有奖品，用分别表示主持人打开i号箱子，根据全概率公式计算可得，再根据条件概率计算即可判断； （3）用分别表示i号箱子里有奖品，用分别表示主持人打开i号箱子，，计算可得，进而可求得和，代入分析化简可得，令，求导，根据导数可得，再证明成立即可. 【详解】（1）用分别表示1，2，3号箱子里有奖品，用分别表示主持人打开号箱子. 如上所述，你初次选择了1号箱.因为你在做选择时不知道奖品在哪个箱子里， 你的选择不影响奖品在三个箱子中的概率分配，所以事件的概率仍为，此为先验概率. 主持人打开1号箱之外的一个空箱子，有以下几种可能情况： 奖品在1号箱里，主持人可打开2，3号箱，故； 奖品在2号箱里，主持人只能打开3号箱，故； 奖品在3号箱里，主持人只能打开2号箱，故. 利用全概率公式，主持人打开3号箱的概率为 . 再根据贝叶斯公式，在3号箱打开的条件下，1号箱和2号箱里有奖品的条件概率分别为 所以改选2号箱，因为这样会增加中奖的概率； （2）用分别表示i号箱子里有奖品，则， 用分别表示主持人打开i号箱子， 则， 则. 所以 所以改选2号､3号以外的箱，因为这样会增加中奖的概率； （3）用分别表示i号箱子里有奖品，用分别表示主持人打开i号箱子， 则， ， ，则当时， ， 所以， 对任意的，， 记分别为大于的最小整数和小于的最大整数， 则， 所以， 所以， 令， 则当时，单调递增； 当时，单调递减，所以. 所以， 下面证明， 即证明， 因为， 所以， 即当时，，即. 当时，. 此时，当时，； 当时，. 当时，. 此时，当时，； 当时，. 综上所述，成立. 百强名校-必刷真题精练 1．研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病. 某医学研究小组为了解20-30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如2×2列联表. 性别 健康状况 感冒 不感冒 男 8 14 女 4 24 (1)在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布和期望； (2)依据表中数据，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20-30岁年轻人的体质健康与性别是否有关?若把表中所有数据都扩大到原来的10倍，此时结论还一样吗?请解释其中原因，并简要说明应如何调整调查可使此研究更具有严谨性. 参考数据： 参考公式：，其中. 【答案】(1)分布列见解析， (2)答案见解析 【来源】河南省信阳高级中学2024-2025学年高三下学期高考数学三模试卷 【分析】（1）利用分层抽样的方法抽取6人，则抽取男性4人，女性 2人，随机变量的所有取值为，求出对应概率，即可列出分布列，求出期望； （2）根据列联表中的数据， 经计算得到，再和参考数据表中对应的数据比较，即可得到结论. 【详解】（1）样本中感冒的男性有8人，女性有 4人，比例为， 按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，则抽取男性4人，女性 2人， 随机变量的所有取值为. ， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 所以. （2）提出统计假设：20-30岁年轻人的体质健康与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得到， 因为，假设成立， 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为20-30岁年轻人的体质健康与性别无关. 如果把所有数据都扩大10倍后， ，， 即在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为20-30岁年轻人的体质健康与性别有关. 所以扩大10倍后，数据改变，结论也会发生变化， 为使此研究更具有严谨性，可以扩大调查的样本容量. 2．某高校为调查学生性别与是否喜欢排球运动的关系，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图． (1)根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢排球运动有关联． 性别 是否喜欢排球运动 总计 是 否 男生 女生 总计 (2)将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中喜欢排球运动的学生的人数为X，求使得取得最大值时的k值． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2) 【来源】山东师范大学附属中学2025届高三适应性检测数学试题 【分析】（1）根据等高堆积条形图获取数据完成列联表，再利用独立性检验的公式计算值，与给定的临界值比较来判断性别与是否喜欢排球运动是否有关联； （2）先由（1）得出喜欢排球运动的频率，将其视为概率，确定随机变量服从二项分布，然后通过建立不等式组来求解使得取得最大值时的值. 【详解】（1）由等高堆积条形图知喜欢排球运动的男生有，不喜欢排球运动的男生有， 喜欢排球运动的女生有，不喜欢排球运动的女生有， 所以2×2列联表为 性别 是否喜欢排球运动 总计 是 否 男生 30 70 100 女生 60 40 100 总计 90 110 200 零假设为：性别与喜欢排球运动无关. 根据列联表中的数据得 所以依据的独立性检验，可以推断不成立，即性别与喜欢排球运动有关联. （2）由 (1)知，喜欢排球运动的频率为 所以随机变量 则 令 ，解得 因为，所以当时，取得最大值. 3．为研究某篮球运动员对球队的贡献情况，现统计某赛季该球员出场情况与比赛结果的数据如下表： 球队赢球 球队输球 总计 参加 30 12 42 未参加 20 20 40 总计 50 32 82 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队赢球与该球员参赛有关联？ (2)为进一步研究该球员对球队的影响作用，现从他参赛的10场比赛（其中赢球场次3场，输球场次7场）中随机抽取2场，用随机变量表示赢球的场数．求随机变量的分布列，数学期望与方差． 参考公式：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)该球队赢球与该球员参赛有关联； (2)分布列见解析；数学期望方差 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 【分析】（1）设零假设，求出的观测值，再与临界值表比对作答； （2）利用古典概型结合组合数计算，求出对应的概率，写出分布列，再根据数学期望和方差公式计算求解. 【详解】（1）设零假设为该球队胜利与甲球员参赛无关. 则. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该球队赢球与该球员参赛有关联. （2）由题意，随机变量所有可能取值为 则 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 数学期望 方差 4．某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了100名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为，评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”，并将部分评价结果整理如下表所示． 性别 评价 合计 喜欢 不喜欢 男性 15 女性 合计 50 100 (1)根据所给数据，完成上面的列联表； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与评价结果有关系？ (3)电视台计划拓展男性观众市场，现从参与评价的男性中，用按比例分配的分层随机抽样的方法选取3人，进行节目“建言”征集奖励活动，其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，“建言”被采用奖励100元，“建言”不被采用奖励50元，记3人获得的总奖金为，求的分布列及数学期望． 附：． 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析 (2)能认为性别因素与评价结果有关系 (3)分布列见解析； 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 【分析】（1）根据题意求得男性和女性的人数，进而得到的列联表即可. （2）根据的列联表的数据，求得的值，结合附表，进行独立性检验求解即可. （3）结合题意求出概率，进而列出分布列，求解数学期望即可. 【详解】（1）由题意，男性有人，女性有人， 可得的列联表，如下表所示： 喜欢 不喜欢 合计 男性 15 30 45 女生 35 20 55 合计 50 50 100 （2）设零假设性别因素与评价结果无关， 由的列联表，可得， 所以依据的独立性检验，可推断不成立， 即能认为性别因素与评价结果有关系. （3）由题意得随机选取的3人中，不喜欢的有人，喜欢的有人， 则的所有取值可能为， 且评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为， 评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为， 则，， ，， 故分布列如下表： 故数学期望为. 5．已知某科技公司产品的一个零部件分别在甲、乙两个代工厂生产，甲工厂的日产量是乙工厂日产量的两倍，甲工厂生产的零部件次品率是0.06，乙工厂生产的零部件次品率是0.03． (1)从某天甲、乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取1件，若检测该零部件为次品，求该零部件是甲工厂生产的概率； (2)用频率代替概率，从某天甲，乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取3件，记这3件中正品与次品的个数分别为X，Y，记随机变量，求的期望值； (3)甲工厂为提高产品正品率，进行了技术改进，从改进后的第1个月开始，第个月的次品率y（单位：%）如表： x 1 2 3 4 5 y 5.8 5.4 4.8 4.5 4.0 根据上表数据求得y关于x的回归直线方程为，求相关系数r（要求保留到小数点后两位），并判断该回归直线方程是否有价值. 附公式：，，，．若，则认为回归直线方程有价值. 【答案】(1)0.8 (2)2.7 (3)，有价值 【来源】湖北省黄冈中学2025届高三下学期第四次模拟考试数学试卷 【分析】(1) 设“抽取的零部件为甲工厂生产”为事件，“抽取的零部件为乙工厂生产”为事件，“抽取的零部件为次品”为事件B，由全概率公式计算，最后利用条件概率公式即可求解； （2）由的取值依次为，利用二项分布求出对应的概率即可求解； （3）利用回归方程求，代入公式计算相关系数r即可求解. 【详解】（1）设“抽取的零部件为甲工厂生产”为事件，“抽取的零部件为乙工厂生产”为事件，“抽取的零部件为次品”为事件B， 则， 所以 检测该零部件为次品，则该零部件是甲工厂生产的概率为 ． （2）用频率代替概率，从某天甲、乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取3件， 则正品数，的取值依次为， ， ， ， ． 所以的分布列为 1 3 P 0.000125 0.007125 0.135375 0.857375 ， ． （3）由的取值依次为1，2，3，4，5，得，， 因为回归直线方程为，所以， 所以，所以． 因为，所以该回归直线方程有价值． 6．近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积（单位：亩） 1 2 3 4 5 管理时间（单位：月） 8 10 13 25 24 并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示: 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 （1）求出相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？ （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？ （3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望． 参考公式： 其中．临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据： 【答案】（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析. 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷 【分析】（1）分别求出，，从而，，，求出，从而得到管理时间与土地使用面积线性相关． （2）完善列联表，求出，从而有的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性． （3）的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，由此能求出的分布列和数学期望． 【详解】解：依题意： 故 则， 故管理时间与土地使用面积线性相关． （2）依题意，完善表格如下： 愿意参与管理 不愿意参与管理 总计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 总计 200 100 300 计算得的观测值为 故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性． （3）依题意，的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故 故的分布列为 X 0 1 2 3 P 则数学期望为 （或由，得 【点睛】本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等． 7．当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身体健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表： 关卡 1 2 3 4 5 6 平均过关时间（单位：秒） 50 78 124 121 137 352 计算得到一些统计量的值为：，，其中，． (1)若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出关于的经验回归方程； (2)甲参加一场闯关游戏，比赛共有5局，甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，记甲恰好获胜3次的概率为，求的最大值，并求出相应的概率． 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】(1) (2)， 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 【分析】（1）先对两边分别取对数得到，再根据题目中的数据代入公式去求即可； （2）依题意，利用导数求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为两边取对数可得，即， 令，所以，由， ，. 所以， 又，即， 所以，所以. 所以关于的经验回归方程为. （2）甲每局比赛获胜的概率为，则甲每局比赛失败的概率为， 依题意可得， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时； 8．甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是. (1)请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； (2)现将投篮水平较低的两人组成一组（记为），与投篮水平较高的人（记为组）进行投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获胜，求组获胜的概率. 【答案】(1)丙投篮水平较高，理由见解析 (2) 【来源】江西省九江市2025届高三第二次高考模拟统一考试数学试题 【分析】（1）设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为、、，根据独立事件的概率公式可得出关于、、的方程组，解出这三个概率的值，比较大小后可得出结论； （2）记组投中次数为，组投中次数为，由（1）知，，若组获胜，则，或，或，，再结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得组获胜的概率. 【详解】（1）丙投篮水平较高，理由如下： 设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为、、. 依题意，得，解得， 因为，所以，丙投篮水平较高. （2）记组投中次数为，组投中次数为， 由（1）知，， 若组获胜，则，或，或，， 所以，， ， . 故组获胜的概率为 . 9．盒中有四张卡片，分别标有数字，现从盒中任取两张卡片． (1)求两张卡片的数字之积为偶数的概率； (2)取后放回，重复操作次，记取到两张卡片上标有的数字中有偶数、有奇数、既有偶数又有奇数的次数分别为，求：（结果用含的代数式表达）. 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省华中师范大学附属中学2025届高三综合测试数学试题 【分析】（1）根据古典概型及对立事件的概率公式计算可得； （2）记取到偶数、奇数、既有偶数又有奇数分别为事件，求出、、，即可得到，，，再根据二项分布的期望公式计算可得. 【详解】（1）记“两张卡片的数字之积为偶数”为事件， 则事件的对立事件为两张卡片均是奇数， 所以． （2）每次操作，记取到偶数、奇数、既有偶数又有奇数分别为事件， 所以，， 所以，，， 故，， 所以． 10．投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞箭矢投向特定壶具，以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能. 为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果. 活动中，高三年级500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发组织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽当学生投完三支箭，挑战结束. 某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，求这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率. (3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶2的概率，那么在投完20次之后，这位同学投中壶2多少次的概率最大?（只需写出结论）. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】北京市北京师范大学附属中学2025届高三三模考试数学试题 【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算； （2）分别计算壶1、壶2投中和未投中的概率，再利用乘法公式和加法公式计算； （3）利用二项分布的概率最值计算. 【详解】（1）由用频率估计概率可知，从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，这位学生在活动中投中壶2的概率为. （2）用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率， 则壶1投中的概率为，壶1未投中的概率为， 壶2投中的概率为，壶2未投中的概率为， 则这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率为. （3）用表示投完20次之后，这位同学投中壶2的次数，则， 则， 假设投中壶2的次数为时最大，则 ，即， 解得，因，则， 故投完20次之后，这位同学投中壶2的次数为时，概率最大. 11．在一个摸球游戏中，有一个装有许多彩色球的不透明盒子，盒子中的球分为三种颜色：红色､蓝色和绿色，各球除颜色可能不同外，其余均相同.每次游戏，参与者需要从盒子中随机取球.已知盒子中红色球､蓝色球和绿色球的数量分别为个､个和个，且总球数为个. (1)若规定每次取一个球，取球后不将球放回盒子中，且连续取两次.求取出一个红色球和一个蓝色球的概率； (2)若规定每次取一个球，取球后将球放回盒子中，且连续取三次.设三次中恰好有两次取出的球颜色相同的概率为，当时，求； (3)在（2）的条件下，若游戏组织者规定，当三次取球中出现红色球的次数大于等于两次时.参与者获胜；否则，游戏组织者获胜.请判断此游戏是否公平，并通过计算说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不公平，理由见详解 【来源】吉林省长春吉大附中实验学校2025-2026学年高三上学期第一次摸底考试数学试卷 【分析】（1）根据题意结合不放回抽样事件的概率计算公式求解； （2）根据题意结合独立重复试验概率公式运算求解，注意球颜色相同的所有可能情况； （3）根据题意结合独立重复试验概率公式求参与者获胜的概率，并与对比分析. 【详解】（1）记“取出一个红色球和一个蓝色球”为事件A，则. （2）因为取球后将球放回盒子中，则每次取到红色球､蓝色球和绿色球的概率分别为、和， 所以. （3）因为取球后将球放回盒子中，则每次取到红色球的概率都是， 记“参与者获胜”为事件B，则， 所以游戏不公平. 12．进行独立重复试验，设每次成功的概率为，将试验进行到首次成功时结束，以表示试验次数，则称服从以为参数的几何分布，记为，其中，． (1)若， （i）求和； （ii）； (2)若，，， 求证：． 【答案】(1)（i），；（ii）； (2)证明见解析 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三最后一模数学试题 【分析】（1）（i）根据独立重复试验的概率公式计算可得；（ii）根据等比数列的求和公式即可求解； （2）由题意可得，根据条件概率的计算公式即可得证． 【详解】（1）（i）若， 则， ； （ii） （2）由题意可得， ， 所以． 13．在列联表（表一）的卡方独立性检验中，，其中为第i行第j列的实际频数，如，而第i行的行频率第j列的列频率总频数，为第i行第j列的理论频数，如. a b c d 10 20 30 40 （表一） （表二） (1)求表二列联表的值； (2)求证：题干中与课本公式等价，其中. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【来源】湖北省襄阳市第五中学2025届高三下学期适应考试三数学试卷 【分析】（1）根据新定义分别计算求解； （2）根据已知定义分别计算化简即可即可证明. 【详解】（1）由题意得， 所以； （2）列联表如下： a b c d 则， 所以， 同理， 所以 14．2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最长60秒的高清视频．Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“Python编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分，否则得0分． 已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7． (1)若甲同学先进行“Python编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由． 【答案】(1)分布列见详解 (2)先回答“Python编程语言”考试这类问题，理由见详解. 【来源】广东省中山市中山纪念中学2025届高三考前最后一卷数学试题 【分析】（1）由已知可得的所有可能取值，分别计算概率即可求解； （2）设甲同学先进行“数据结构算法”考试，记为甲同学的累计得分，求解的分布列，分别计算，的期望，比较大小，即可求解. 【详解】（1）由题意的所有可能取值为，，， 所以，， ， 所以的分布列为    （2）甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题，理由如下： 由（1）可知， 甲同学先进行“数据结构算法”考试，记为甲同学的累计得分， 则的所有可能取值为，，， ，， ， 所以的分布列为    ， 所以， 所以甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题. 15．为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为和．在治疗过程中，用指标衡量患者是否受益：若，则认为指标正常；若，则认为指标偏高；若，则认为指标偏低．若治疗后患者的指标正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6． (1)求和； (2)统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第位的患者治疗后指标的值为，，2，，50，定义函数： （ⅰ）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由． ①； ②； （ⅱ）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（ⅰ）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）答案见解析 【来源】重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题 【分析】（1）根据二项分布的公式可求得； （2）（ⅰ）（ⅱ）根据题意分析可知两个量的意义，进而利用数学期望的意义找出更合适的统计量，并作出决策. 【详解】（1）由题设知服从二项分布， 所以，． （2）（ⅰ）统计量反映了未受益于新治疗方案的患者数，理由如下： 若患者受益于新治疗方案，则其指标的值满足， 否则，会被统计量计入，且每位未受益于新治疗方案的患者恰使得统计量的数值加1． 统计量反映了未受益于新治疗方案且指标偏高的患者数量，理由如下： 若患者接受新治疗方案后指标偏低或正常，则其指标的值满足 若指标偏高，则，，会被统计量计入， 且每位未受益于新治疗方案且指标偏高的患者恰使得统计量的数值加1． （ⅱ）由题设知新治疗方案优于标准治疗方案等价于一次试验中的观测值大于的数学期望， 由（ⅰ）知的观测值， 因此当，即时，认为新治疗方案优于标准治疗方案； 当，即时，认为新治疗方案与标准治疗方案相当； 当，即时，认为新治疗方案劣于标准治疗方案． 16．“冰雪同梦，亚洲同心”，年第九届亚冬会在哈尔滨举办，本次赛事共有个大项，个分项，个小项，有来自个国家和地区，多名运动员参赛，是一场令人回味无穷的冬季体育盛会，亚冬会圆满结束后，我校团委组织学生参加与亚冬会有关的知识竞赛.为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会.已知小明报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等. (1)若前三道试题，小明每道试题答对的概率均为， ①设，记小明答完前三道题得分为，求随机变量的分布列和数学期望； ②若小明答完前四道题得分的概率为，求小明答完前四题时至少答对三题的概率的最小值； (2)若小明答对每道题的概率均为，因为小明答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时小明答题累计得分为，记小明答题累计得分为的概率为，求数列的通项公式. 【答案】(1)①分布列答案见解析，；② (2) 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 【分析】（1）①分析可知随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； ②分析可知，第四道试题答对的概率为，根据独立事件和互斥事件的概率公式可得出小明答完前四题时至少答对三题的概率的表达式，利用导数可求出的最小值； （2）计算出、的值，推导出当时，，推导出数列为等比数列，数列为常数列，求出这两个数列的通项公式，即可求得数列的通项公式. 【详解】（1）①由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， ，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，； ②因为前四道试题得分即全对的概率为，所以第四道试题答对的概率为， 所以，小明答完前四题时至少答对三题的概率为， 则， 当时，，此时，函数单调递减， 当时，，此时，函数单调递增， 所以. （2）依题意可得，，当时，则， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 故， 且， 所以数列是各项均为的常数列，则， 所以，解得. 17．一只猫和一只老鼠在两个房间内游走，每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动，猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4，若是一只猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：为等比数列，并求表达式； (3)在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？ 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)第2分钟 【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题 【分析】（1）求出猫和老鼠分别在0与0、0与1、1与0、1与1号房间的概率，再利用全概率公式计算得解. （2）根据给定条件，求出的递推关系，再利用等比数列的定义推理得证.再根据等比数列定义即可求得结果. （3）由（2）的通项公式，按取奇数和偶数分类求出最大值. 【详解】（1）在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间，设为第1分钟时， 猫在i号房间，老鼠在j号房间，则 ， 设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为X，则， 所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5. （2）依题意， 当时，猫在第n分钟时位于0号房间包含两种情况： 上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为； 上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为； 由全概率公式，得，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 满足上式，则， 老鼠第分钟在0号房间包含3种情况： 上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， 上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， 上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为， 由全概率公式，得， 即，则， 即，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列， ，而也满足上式， 则， 又， 所以以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）知，显然不是其最大值， 设，当n为奇数时，， 当且仅当时取等号，最大值为0；当n为偶数且时，， 当时，，最大值为， 则的最大值为,所以在第2分钟时，老鼠在0号房间的概率最大. 18．小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两人.经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为.若他挑战小明，下一次的挑战权即属于小明，且小明再挑战小华、小红的概率分别为；若他挑战小红，下一次的挑战权即属于小红，且小红再挑战小华、小明的概率分别为. (1)经过3次挑战后，小华已使用的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望； (2)若经过次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求事件发生的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 【分析】（1）需要确定随机变量的取值，再分别计算每个取值的概率，进而得到分布列和数学期望； （2）（i）通过建立与的递推关系来证明两者相等；（ii）通过一系列递推关系找出的通项公式，从而求出. 【详解】（1）的可能取值为1和2，且； ，则的分布列如下： 1 2 则的期望为. （2）（ⅰ）① ② ①-②得：. 又，则，即. （ⅱ）③， ①+②得：. 由③知 又； 则有，其中； 则是以为首项，为公比的等比数列. 可得：；所以 19．盒子里有编号为的个大小、形状、质地完全相同的小球，在盒子中连续有放回地取出两个小球，记为第次取出的小球的编号， (1)试计算比大的概率； (2)求的分布列和期望； (3)已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量，有，试分别计算的期望.其中，表示a，b中的最小者，表示a，b中的最大者. （参考公式：）． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 【分析】（1）依题意可知，再由概率的性质即可求解； （2）由题可知可能取值为，其中，，再由数学期望的计算公式求解即可； （3）方法一：求得，，分别求出，，再由随机变量的期望具有线性可加性计算即可.方法二：，分别算出，，再由随机变量的期望具有线性可加性计算即可. 【详解】（1） 由题意可知，且 所以. （2）的可能取值为 （3）法一：， 的可能取值为， ，同理有 法二：的可能取值为， ，同理有， 又， 由期望得线性可加性有：① ② 联立①②解得. 20．将一个平面边形的每个顶点赋值0或1两个数中的一个，同时染红或蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同，称边形“点亮”. (1)在中，已知赋值0且染红色，求所有“点亮”的方法个数； (2)现对四边形的每个顶点随机赋值0或1，同时随机染红色或蓝色，求四边形“点亮”的概率； (3)求边形的所有“点亮”的方法个数（结果用表示）. 【答案】(1)7种； (2) (3)当为奇数时，有种；当为偶数时，有种. 【来源】山东省实验中学2025-2026学年高三上学期第三次诊断性考试数学试题 【分析】（1）应用列举法结合新定义解题； （2）结合新定义应用乘法原理及古典概型计算求解； （3）应用新定义结合乘法原理及组合数计算分为奇数时及为偶数时分别计算求解. 【详解】（1）表示染红色，列举满足条件的“点亮”：，，，，，，，共7种； （2）对四边形的每个顶点随机赋值0或1，同时随机染红色或染蓝色，每个顶点有4种方法， 四边形共有种方法， 其中能“点亮”的有84种，故； （3）对于边形，若相邻两个顶点上所赋值的数字不同，则在它们所在的边上标上； 若颜色不同，则标上；若数字和颜色都相同，则标上. 于是，对于给定的点上的设置（共有4种）， 按照边上的字母可以依次确定点，，…，上的设置. 为了使得最终回到时的设置与初始时相同，标有和的边都是偶数条. 所以，“点亮”的方法数等于在边上标记、、使得标有和的边都是偶数条的方法数的4倍. 设标有的边有（）条，标有的边有（）条. 选取条边标记的有种方法，在余下的边中取出条边标记的有第种方法，其余的边标记. 由乘法原理知共有种标记方法. 对、求和，“点亮”的方法数为.① 这里，约定. 当为奇数时，，此时，.② 代入式①中得. 当为偶数时，若，则式②仍然成立；若，则边形的所有边都标记， 此时，只有一种标记方法. 于是，能“点亮”的方法数为. 综上，“点亮”的方法数是：当为奇数时，有种；当为偶数时，有种. 21．某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； (3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)，理由见解析 【来源】江苏省常州市第一中学、溧阳中学2026届高三上学期数学联考试卷 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据概率乘法公式求解概率，即可求解分布列和期望， （3）对和求解对应的概率，利用作差法比较大小即可求解. 【详解】（1）设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球相关知识的题目”， “所选的题目为足球相关知识的题目”， “所选的题目为排球相关知识的题目”， 则，且两两互斥． 根据题意得，，，， 则， 所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为． （2）的可能取值为， ， ， ， ， 则的分布列为： -3 1 5 9 所以． （3）当时，为甲校友答对题目的数量， 由题意可知，其中， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 当时，甲校友获得奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 所以， 因为，所以，即， 所以甲校友应选． 22．阿尔法狗是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军.它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗，三个阶段的阿尔法狗依次简记为甲、乙、丙. (1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，记该棋手连胜两局的概率为p，试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程. (2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立. （ⅰ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值; （ⅱ）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事M，证明： 【答案】(1)在第二局与甲比赛 p最大，判断过程见解析 (2)（i）分布列见解析，；（ii）证明见解析 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 【分析】（1）棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记，，，分别求得在第二盘与甲、乙、丙比赛连胜两局的概率，即可求解. （2）（ⅰ）求出X所有可能值，利用相互独立事件与互斥事件概率运算求得相应的概率，列出分布列并求得期望，再利用基本不等式并结合二次函数性质即可求得期望的最大值；（ⅱ）设事件A，B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，则，利用相互独立事件概率运算即可求解. 【详解】（1）该棋手在第二局与甲比赛p最大， 该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，记，，， 该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛连胜两局的概率为，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则， 同理，该棋手在第二盘与乙比赛连胜两局的概率， 该棋手在第二盘与丙比赛连胜两局的概率， 因为，所以该棋手在第二局与甲比赛 p最大. （2）（ⅰ）因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则， 由题意得X的所有可能取值为：2，4，5， ， ， ， 所以X的分布列为： 2 4 5 所以X的期望为： ， 由，得，当且仅当取等号，则， 因此， 所以的最大值为 （ⅱ）设事件A，B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”. 由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数， 由题设可知前两局比赛结果可能是AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲赢得比赛”，事件BB表示“乙赢得比赛”，事件AB，BA表示“甲、乙各得1分”，当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同， 所以 ， 因此，得，而， 所以 【点睛】关键点点睛：本题第2问第2小问，根据题意结合相互独立事件的概率公式分析得到是求解的关键. 23．已知数列满足，并且对任意的，取或的概率均为． (1)求的概率； (2)设的值为随机变量X． ①求X的分布列； ②求随机变量的数学期望． 【答案】(1) (2)① 答案见解析；② 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 【分析】（1）分别求得和时概率，结合互斥事件的概率加法，即可求解； （2）（ⅰ）设，得到，设且此时中有个个，得到，求得，得到事件的含义，即可求得的概率分布，得到答案.. （ⅱ）对任意，得到，结合组合数的运算公式，进而求得的表达式，得到答案. 【详解】（1）解：当时概率为， 当时概率为， 所以的概率为． （2）解：（ⅰ）设， 则对任意正整数，取1或1的概率均为，且， 设．显然， 再设此时中有个个，则， 因此只能取之间的偶数值，所以， 对于偶数， 事件相当于在个数中，有个取1，个取， 所以的概率分布可表示为. （ⅱ）对任意，可得． 所以， 则 . 24．已知数列的前项和为，，且. (1)证明：数列为等差数列； (2)设， （i）求数列的前项和； （ii）当时，设集合，集合中所有元素的和记为，求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 【分析】（1）根据已知递推关系得，结合等差数列的定义即可证； （2）（i）由（1）得，利用关系求得，根据已知及组合数性质、二项式定理得，若数列的前项和为，再应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求；（ii）根据已知得到，再由不等关系有，则，最后应用分组求和求解即可. 【详解】（1）由，，则， 所以，故是首项、公差均为1的等差数列； （2）（i）由（1）得， 当时，， 显然满足，所以， 所以， 又，， 所以， 所以， 若数列的前项和为， 则，， 所以， 所以； （ii）当时，，与矛盾，所以， 当时，，与矛盾，所以， 综上，此时， 所以，可得，即， 所以，则 . 25．将所有正整数按照如下规律形成数阵： 第1行  1  2  3  ……  7  8  9 第2行  10  11  12  ……  97  98  99 第3行  100  101  102  ……  997  998  999 第4行  1000  1001  1002  ……  9997  9998  9999 ………… (1)将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，试确定在该数阵中的位置； (2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第行中正整数的个数为. （i）求，，； （ii）求. 【答案】(1)是数阵第4行，第3097个数． (2)（i），，；（ii）. 【来源】山东省济宁市2025届高考模拟考试（二模）数学试题 【分析】（1）设，利用二项展开式得当且仅当为偶数时，可以取得正整数，则，即可确定位置； （2）（i）当时，直接得到，代入并去掉12即可得到的值，代入，去掉19个数即可得到； （ii）分析得，利用特征根法得，，再消去即可得到其通项. 【详解】（1）设，因为， ， 所以， 所以，当且仅当为偶数时，可以取得正整数， 所以，当且仅当为偶数时，数列有公共项， 所以，，故， 所以，是数阵第4行，第3097个数． （2）（i）当时，显然． 当时，第2行2位数有90个，其中只有12去掉． 故． 当时，第3行3位数有900个，其中有两种情况去掉： 百位和十位分别为12，此时有10个；十位和个位分别为12，此时有9个． 故． （ii）当时，将第行个符合条件的位正整数分为两类： ①个位数字不等于2时，个位数字有9种取法，前面位数有种取法，这时位正整数中有个； ②个位数字等于2时，前面位数有种取法， 但这个位正整数中十位数字等于1的个正整数要去掉． 故个位数字等于2且十位数字不等于1的位正整数有－个． 综上，由加法原理知． 设， 所以，，即， 解得， 所以，是首项为，公比为的等比数列； 是首项为，公比为的等比数列； 所以，， ， 所以，当时，， 经检验，当时，也成立 当时，也成立． 综上，． 26．某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试（测试I）通过率为，末通过测试I的芯片进入第二次测试（测试II），通过率为.通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废. (1)若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X.当，时，求X的期望与方差； (2)已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率； (3)为估计（2）中的，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试I.记.若要使得总能不超过0.1，试根据参考内容估计最小样本量. 参考内容：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有. 【答案】(1)， (2) (3)1000 【来源】2025届安徽省芜湖市高三二模数学试题 【分析】（1）先计算出每个芯片通过测试的合格率后，可得服从二项分布，则可借助二项分布的期望与方差公式计算得解； （2）可借助正难则反的思想计算出出一枚芯片合格的概率，也可借助全概率公式计算出出一枚芯片合格的概率，再结合首次测试（测试I）通过率为与条件概率公式计算从而得解； （3）由题意可得，则，，再结合所给参考内容，可得，，利用基本不等式可得，则对，均有，取可得，计算即可得解. 【详解】（1）每个芯片通过测试的合格率为，， 则，； （2）解法一：记事件A：通过测试I，事件B：通过测试II，事件C：芯片合格， ， 则； 解法二：记事件：经过测试I，事件：经过测试II，事件B：芯片合格， ，，，， ， 则； （3）因为，所以，， 解法一：，， ，， 又，当且仅当时等号成立， ，均有， 取，则， 根据题意要使得总能不超过0.1， 当，即时满足条件， 最小样本量大约为1000. 解法二：由已知得对，， ， 记，，， 又，当且仅当时等号成立， ，均有， 取，则， 根据题意要使得总能不超过0.1， 当，即时满足条件， 最小样本量大约为1000. 27．电影《哪吒2》以精美的画面、震撼的特效、流畅的动作设计创造了158亿的票房神话，名列全球票房榜第五位．在电影最后哪吒与无量仙翁的决战中，假设无量仙翁的生命值为1000，哪吒每次攻击造成的伤害为随机变量．当无量仙翁生命值小于等于0时，则哪吒获胜（假设莲花化身的哪吒具有不死之身，不会被击败）． (1)求哪吒恰好在第2次攻击后战胜无量仙翁的概率； (2)求哪吒战胜无量仙翁需要攻击次数的期望； (3)求哪吒恰好在第次攻击后可战胜无量仙翁的概率． 【答案】(1) (2) (3)． 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题 【分析】（1）由列举法可得符合题意的事件，利用古典概型的概率计算，可得答案； （2）由期望的求和公式，整理可得递推公式，根据等比数列的定义，可得答案； （3）由题意建立不等式组，根据不等式的整数解的个数，结合概率的乘法公式，可得答案. 【详解】（1）第一次伤害为0时，第二次为1000； 第一次伤害为100时，第二次为900，1000； …； 第一次伤害为900时，第二次为， 共55种情况，故哪吒恰好在第2次攻击后战胜无量仙翁的概率为． （2）设无量仙翁生命值为100n时，哪吒战胜需要攻击的次数为， 则， 故， 则， 两式相减，得， 故，又，得， 从而，则当时，． （3）设第次攻击造成的伤害为，则恰在第次击败需满足： ，① ，② 设，③ 则③的非负整数解有组，即①的非负整数解有组． 从而前次哪吒未获胜的概率为， 前次获胜的概率为，前次获胜的概率为， 第次恰好获胜的概率为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $