专题12 平面解析几何（椭圆、双曲线、抛物线）大题综合（精选35题）专项训练-【百强名校好题】2026年高考数学终极必刷：核心考点突破+必刷真题精练（全国通用）

专题12 平面解析几何 （椭圆、双曲线、抛物线）大题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．已知椭圆：过，两点. (1)求椭圆的方程； (2)设，，过点的直线与椭圆交于两点，连接、交x轴于两点（不重合），已知，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【来源】北京市北京师范大学附属中学2025届高三三模考试数学试题 【分析】（1）将两点代入计算可得椭圆的方程； （2）设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理并结合，由向量共线可得出坐标间的等量关系，联立解方程组可得直线斜率，可求得结论. 【详解】（1）将，代入椭圆的方程可得， 解得， 所以椭圆的方程为. （2）结合题意可知，直线的斜率存在， 又，设直线方程为，，如下图所示： 联立，整理可得， 所以可得，且， 可得，即或； 因为，所以、的斜率分别为， 因此直线、的方程分别为， 则交点的坐标为； 结合可知，即, 也即，整理可得， 又，可得， 又因为，将代入， 可得，解得， 所以， 代入计算可得，解得， 即或，经检验符合题意， 所以直线的方程为或. 例题2．已知椭圆，F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，，R是直线上一动点，的最小值为1． (1)求E的方程： (2)过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】广东省深圳市2025届高三二模数学试题 【分析】（1）根据题干所给信息及，可求椭圆方程. （2）设出直线RM，RN的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式及三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）设点， 当直线PF与x轴垂直时，点，则 因为的最小值为，所以， 又由， 可解得， 故E的方程为． （2）如图， 设点，注意到RM，RN斜率不为0， 设， 联立，得， 因为RM与E相切，所以， 于是， 化简得， 又RN与E相切，同理有， 故m，n是一元二次方程的两根， 则， 所以， 又，所以， 所以面积的取值范围为． 例题3．已知焦点在轴的双曲线C的两条渐近线互相垂直，且经过点 ． (1)求双曲线C的标准方程. (2)设，直线l与C的两支交于两点（在第一象限），与y轴交于点Q，记直线的斜率分别为 . （i）求直线PQ的斜率k（用表示）； （ii）若，求的坐标. 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【来源】湖北省华中师范大学附属中学2025届高三综合测试数学试题 【分析】（1）设双曲线的方程为，根据双曲线过点，代入求得，即可得到双曲线的标准方程； （2）（i）设点，直线和，联立方程组，分别求得，，设直线与轴交于点，求得，结合斜率公式，得到； （ii）设，根据，求得，进而求得的坐标. 【详解】（1）解：因为双曲线的渐近线互相垂直，可得，可设双曲线的方程为， 因为双曲线过点，可得，解得，即， 所以双曲线的标准方程为. （2）解：（i）设点，直线的方程为，的方程为， 联立方程组，解得，则，即， 同理可得：， 直线过和，与轴交于点，则的方程为， 令，可得， 又由，， 则， 又由直线的斜率为，其中， 则； （ii）由是直线与的夹角，设，则， 因为，代入可得 ，， 则，即，解得， 又因为点在第一象限，所以，可得，即的直线方程为， 又由，所以点. 例题4．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，直线与椭圆交于不同的两点. (1)设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值； (2)若，证明：直线与直线的交点在定直线上. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 【分析】（1）利用中点坐标公式和斜率公式，结合点差法证明定值. （2）由题意求出椭圆方程，与直线方程联立，根据韦达定理表示根与系数的关系，联立直线与直线的方程，化简可求得交点在定直线上. 【详解】（1）设，则， 则由两式相减可得，即， 所以 为定值. （2）由题意可得，解得，所以椭圆方程为， 则， 联立方程可得， 则，得， 故， 直线的方程为，① 直线的方程为，② 设直线与直线的交点， 则由①②两式相减可得，代入①可得， ，即. 所以点在定直线上. 例题5．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．    (1)求椭圆的方程； (2)已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标：若不存在说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，列出方程组，起度呃的值，得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，求得和，设，使得，根据，得到恒成立，求得的值，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为椭圆的离心率，且椭圆过点， 可得 ，解得，所以椭圆的方程为. （2）解：由题意，显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，则， 因为点为的中点，可得， 则，即， 令，可得，即， 假设存在点，使得，此时 因为，可得， 整理得， 因为，所以，即恒成立， 所以 ，解得，即， 即存在定点，使得.    例题6．已知椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率． 过且斜率为的直线交椭圆于、两点，的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且垂直于的直线与椭圆的一个交点为(在轴上方)，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问：是否存在直线，使得四边形为平行四边形？若存在，求出此时四边形的面积；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在直线，面积为 【来源】天津市五区县重点校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题 【分析】（1）结合椭圆的定义以及离心率公式代入计算，即可得到椭圆的标准方程； （2）根据题意，分别联立直线，直线与椭圆方程，由四边形为平行四边形，结合韦达定理以及弦长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） ∵， 所以． 又因为，即，所以， 所以． 故椭圆的方程为． （2）由题得：， 设直线为：，直线为： 设，， 由消去，得， 则，， 由消去，得， 由，可知，设，又， 则，. 因为四边形为平行四边形， 所以，即， 故． 所以．得． 此时直线为：，直线为：， 两平行线距离， 又因为， 所以四边形的面积， 所以存在直线，使得四边形为平行四边形，此时四边形的面积为. 例题7．已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程． (2)过椭圆C的右焦点F，且斜率不为0的直线交椭圆C于P，Q两点． （ⅰ）若点A为椭圆C的左顶点，点N为线段的中点，求的最大值； （ⅱ）若直线斜率存在，在x轴上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）存在，. 【来源】山东师范大学附属中学2025届高三适应性检测数学试题 【分析】（1）根据短轴长得到，再根据离心率即可得到方程； （2）（i）设直线的方程为：，联立椭圆方程得到韦达定理式，再计算出的表达式，最后利用函数单调性即可求出最值； （ii）根据三角形面积公式得，再利用斜率和为0，代入韦达定理式，化简即可得到定点坐标. 【详解】（1）因为，所以， ，所以，所以，所以， 故椭圆的方程为：． （2）（i），设直线的方程为：， ，联立得， ，（*）则， 则，则，又， 所以， 令，则， 设，则在上单调递增， 故时，， 所以，当且仅当，即直线斜率不存在时取得最大值． （ii）因为． 又因为，所以， 结合图形可知，， 所以直线的斜率与直线的斜率互为相反数， 设直线的斜率为，直线的斜率为，设点， ，将代入整理得： ， 再将（*）代入，可得，因为，解得， 即点的坐标为． 故在x轴上存在，使得. 例题8．已知直线与椭圆交于两点 （在下方，在上方），线段的中点为，直线的斜率为（为坐标原点）. (1)求椭圆的方程； (2)若射线与椭圆，直线分别交于 两点，且成等比数列. （i） 求点到直线的距离的最大值; （ii） 当直线与轴垂直时，求的外接圆方程. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题 【分析】（1）设，得到，两式相减，结合斜率公式，化简得到，求得，进而得到椭圆的方程； （2）（i）设，联立方程组，得到，则，得到，再由的方程为，联立方程组求得，根据成等比数列，得到，列出方程求得，得到直线恒过定点，结合，得到点到直线的距离的最大值； （ii）由（i）得和，将其代入直线方程，求得，求得直线的方程为，设的外接圆的圆心为，求得，得出圆的半径，进而求得外接圆的方程. 【详解】（1）解：设，则， 由点在椭圆上，可得， 两式相减，可得， 即，可得， 所以椭圆的方程为. （2）解：（i）联立方程组，整理得， 设，可得，则， 因为点为的中点，所以， 若射线与椭圆，直线分别交于两点， 可得且射线的方程为， 联立方程组，解得， 因为成等比数列，知，可得， 故，可得，解得， 所以直线的方程为，所以直线恒过定点， 当直线时，可得，点到直线的距离的最大值为.    （ii）由（i）得， 当直线与轴垂直时，可得， 将其代入直线，整理得， 则且，解得（舍去）或， 因为，所以，此时关于轴对称， 此时直线的方程为，此时， 由于的外接圆的圆心在轴上，可设的外接圆的圆心为， 可得，解得， 所以的外接圆的半径为， 所以的外接圆的方程为. 例题9．已知椭圆的离心率为，A为椭圆E上一点，且点A到椭圆E的两个焦点的距离之和等于. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线与椭圆相交于P，Q两点，求线段PQ的中点N的轨迹方程； (3)若A关于原点O的对称点为B，过点A与AB垂直的直线与椭圆E的另一个交点为C，轴于点H，直线BC与x轴交于点M.用与分别表示与的面积，证明：. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析. 【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题 【分析】（1）利用椭圆的定义及离心率的意义求出，即可得到椭圆方程. （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求出弦中点坐标，进而求出轨迹方程. （3）先设点、、坐标，再设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到、表达式，再利用向量垂直的坐标表示解出与的关系，排除直线过原点的情况后，确定时直线方程，求出点坐标，最后根据三角形面积公式得出. 【详解】（1）依题意，，解得，由离心率为，得，则， 所以椭圆的方程为． （2）由消去得，设， ，解得， ， 由是线段的中点，得，因此，， 所以线段PQ的中点N的轨迹方程为. （3）由题意，设点，则点，， 设直线的方程为，点， 由，得， 则，， ，． 由，得， 整理得，解得或， 当时，直线过原点，不符合题意； 当时，直线的方程为，则点坐标为， 因此，． 所以. 例题10．如图所示，由部分抛物线和半圆所组成的曲线称为“黄金抛物线”，若“黄金抛物线”经过点和. (1)求“黄金抛物线”的方程； (2)点为“黄金抛物线”在第四象限上一点，且“黄金抛物线”在点处的切线恰好与“黄金抛物线”在第三象限相切于点，求直线的方程； (3)设和，过点作直线与“黄金抛物线”交于三点，问是否存在这样的直线，使得平分.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)和. (2) (3)存在， 【来源】黑龙江省大庆实验中学实验二部2025届高三模拟考试数学试题 【分析】（1）根据给定的点，结合“黄金抛物线”的定义求出参数即得. （2）设出点的坐标及切线方程，与抛物线方程联立，借助判别式及圆的切线性质求解. （3）设出直线的方程，与“黄金抛物线”方程联立求出点坐标，再利用斜率和为0求解即得. 【详解】（1）由“黄金抛物线”过点和，得， 解得，所以“黄金抛物线”的方程为和. （2）设坐标为，直线的斜率存在且不为0， 设直线为，与联立，得， 则，解得，直线为， 直线与相切，得，解得， 又在第四象限，则，所以直线方程为. （3）假设存在这样的直线，使得平分，显然直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，不妨令， 由消去并整理，得，解得， 即，由，得，则直线的斜率为， 由消去并整理，得，解得， 即，由，得，则直线的斜率为， 由平分，而直线的斜率不存在，得，即，由， 解得，所以存在直线，使得平分. 百强名校-必刷真题精练 1．已知椭圆的短轴长为4，离心率为过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，在的左侧). (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与直线交于点M，的面积为求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【来源】河北省衡水中学2024-2025学年高三年级下学期三模综合素质评价数学试题 【分析】（1）由题意可得出，解方程求出，即可求出椭圆方程； （2）首先设直线的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示点的坐标，并利用坐标表示的面积，即可求解直线方程. 【详解】（1）由题意可得：，解得：， 故，，， 所以椭圆C的方程为. （2）当直线斜率为0时，不符合题意，舍去. 当直线斜率不为0时，设直线方程为，设， 联立，得， 易知，则，. 易知，， 所以直线：①，直线：②， 联立①②， 所以， 因为， 所以， 解得， 故直线的方程为或. 2．已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】浙江省绍兴市第一中学2025届高三下学期校模拟考试数学试题 【分析】（1）设点、，则，根据中点坐标公式可得出，然后将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹的方程； （2）由已知可得，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据题意得出，结合韦达定理可得出关于、的等式，结合可求出的取值范围. 【详解】（1）由题意，设点、，则， 因为点为线段的中点，则，即， 因为点在圆上，所以，即， 因此，点的轨迹的方程为. （2）由已知可得，设点、， 联立得， 由已知可得，得， 由韦达定理可得，， 因为，即，则，即， 所以，所以，即， 当时，不成立， 所以，代入得， 解得，因此，的取值范围是. 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线交于两点（在轴上方)，的周长为，当时，的面积为. (1)求的方程； (2)若的离心率不大于，半径为的圆与的延长线，的延长线及线段均相切. （i）当时，求； （ii）求的最大值. 【答案】(1)或； (2)（i）；（ii） 【来源】河南省信阳高级中学2024-2025学年高三下学期高考数学三模试卷 【分析】（1）利用椭圆的定义可知的周长为，求出，结合三角形面积与勾股定理求出,进而求出，即可求出，最终得到椭圆方程； （2）由的离心率不大于，结合（1）得出的唯一方程，设圆分别切延长线，延长线和线段于点，根据切线长定理，结合椭圆焦距等性质，可知H与重合； （i）由椭圆性质及圆与直线的相切关系，结合周长、切线等条件，得出三边长度，再根据余弦定理求出； （ii）分直线斜率存在与不存在两种情况讨论：当直线斜率不存在时，求得不符合题意；当直线斜率存在时，设出直线的方程，直曲联立并化简，利用韦达定理与弦长公式求出关于的表达式，结合圆与直线的相切条件，将用表示，代入可得关于的函数，利用导数求的最大值. 【详解】（1）由题意, 的周长为， 所以， 设， 因为当时，的面积为， 所以，即 又， 所以， 将①代入化简得② ①②联立得或 当时，为的上顶点， 所以，则， 所以的方程为，检验符合题意 当时，， ， 所以，所以， 所以的方程为，检验符合题意； 故C的方程为或； （2）因为的离心率不大于， 所以椭圆的方程为， 设圆分别切延长线，延长线和线段于点， 则 ， 又，所以， 即，故H与重合. （i）又圆的半径为， 则在中，， 所以； （ii）当直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 在中，， 所以， 则， 即直线的斜率， 即，所以， 联立，整理得， 则， 所以 ， 又，所以， 所以， 令， 则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取得最大值为， 当直线的斜率不存在时，易求得， ∴， ∴的最大值为. 4．已知椭圆的左顶点为，离心率为为坐标原点，且. (1)求的方程； (2)设为线段（不含端点）上一点，过且斜率为1的直线交于两点，在第三象限，设为线段的中点. （i）证明：为定值； （ii）若，求的面积. 【答案】(1) (2)（i）; （ii）. 【来源】陕西省西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三上学期三模数学试题 【分析】（1）由长半轴及离心率可计算得，进而得到椭圆方程； （2）（i）运用点差法可以得到弦所在直线的斜率与弦中点与坐标原点连线所在直线的斜率之积为定值，进而发现弦的中点在定直线上，再运用正弦定理得到两边之比不变； （ii）已知的大小，角的一边的斜率，可运用斜率夹角公式得到另一条边的斜率，再将直线与联立得到点坐标，代入椭圆方程确定参数，再联立弦所在直线与椭圆方程，根据韦达定理，求出点纵坐标，即可得到三角形面积. 【详解】（1）由题可知，,因此,因此椭圆. （2） （i）设,则过点且斜率为1的直线可设为,设,且. 点都在椭圆上，因此有,两式相减，得, 两边同除,得： ,因此, 即点在定直线上，因此的大小为定值，且. 在中，由正弦定理可知,变形可得 故为定值. （ii） 由利用斜率夹角公式：设的斜率为,的斜率,则 ,因在第三象限，,解得,即,故. 又因为,联立得将其代入椭圆方程,得：,解得, 因为故. 联立直线与椭圆方程,得 由韦达定理可知，,因此. 故的面积为. 5．在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段 BF的垂直平分线l 和半径BC 相交于点 T. (1)求点的轨迹的方程； (2)轨迹W与x轴的交点为M，N(点N在点M 右侧)，直线PQ与轨迹W 交于P，Q两点(异于M，N)，MP的斜率为 ，NQ的斜率为且，与的面积分别为，，求 的最大值. 【答案】(1) (2) 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 【分析】（1）根据垂直平分线的性质及椭圆的定义计算可得； （2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据求出，再由面积公式及二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）圆的方程为：的圆心为，半径， 由题可得，点在线段的垂直平分线上，则， 所以， 根据椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设方程为，则，，所以， 所以点的轨迹的方程为 （2）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，，， 将直线的方程代入椭圆 ，整理得， ， 所以，， 则， ， 由得，又由椭圆方程可知，即 ， 所以，即， 即， 即， 所以，解得或 (舍去，此时过点)， 所以直线过定点， 所以，， 此时，， 所以 ， 因为，则， 所以当时取得最大值，所以的最大值为. 6．已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线；将曲线上每一点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变），得到曲线． (1)求曲线的方程； (2)若为曲线上一动点且在第一象限内，直线分别交曲线与两点，连接交轴与点． （ⅰ）若，求直线的方程； （ⅱ）曲线上是否存在定点使得三点的横坐标按一定顺序成等比数列？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 【分析】（1）设圆的半径为，根据题意得出，，再由椭圆的定义进行判断即可求解，设为曲线上任意一点，则点在曲线上，代入求解即可得出，不要忘记取值范围； （2）记直线的斜率分别为，设为上一点，得出，设直线，，联立直线与椭圆方程分别求出，，，（ⅰ）由，即，建立关于的等式求解即可；（ⅱ）得出的方程：令，则，从而，存在使得，即可判断三点的横坐标成等比数列． 【详解】（1）设圆的半径为，点 由于，从而圆与圆内切 又圆与圆外切，与圆内切，则有， 当时，，，从而，矛盾，故不符合题意； 当时，，，从而， 则点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆（除去点） 设，则半焦距为，即，从而， 故 设为曲线上任意一点，则点在曲线上，即，即 故； （2）由题意知直线的斜率存在，从而记直线的斜率分别为 设为上一点，则有，即， 从而 设直线 设 联立，得 有，得，即 同理可得 联立，得，从而，有 （ⅰ）由，即有， 解得，又，则 从而直线的方程：即 （ⅱ）由直线的斜率 则直线的方程： 令，则 又，从而，故存在使得， 即三点的横坐标成等比数列． 7．定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的离心率为，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)求“共轭点对”中点所在直线的方程； (3)设为坐标原点，点在椭圆上，，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三最后一模数学试题 【分析】（1）根据条件列出的方程组，由此求解出的值，则椭圆方程可知； （2）代入坐标于，得到点坐标的关系式，由此可知点所在直线的方程； （3）根据条件先分析出与的位置关系，然后将四边形的面积通过点到直线的距离以及弦长表示出来，根据点的临界位置分析出面积的临界值，从而完成证明. 【详解】（1）依题意，，解得 所以椭圆的方程为. （2）因为，所以，所以， 所以点所在的直线的方程为. （3）由（2）知，直线， 联立，解得或，则， 设点，则，两式相减得， 又，于是，所以，所以， 所以线段的中点在上，故线段被直线平分， 设点到直线的距离为，则四边形的面积， 而，故， 设过点且与直线平行的直线的方程为，则当与相切时，最大， 由，消去得， 令，解得， 当时，此时方程为，即，解得， 则此时点或点必有一个和点重合，不符合条件，从而直线与不可能相切， 即小于平行直线和（或）的距离， 所以，得证.    【点睛】关键点点睛：解答本题第三小问的关键点有两个，一方面是点差法的使用，通过点差法结合斜率公式判断出被平分，简化后续四边形的面积表示；另一方面是确定点的临界位置，通过平行于的直线与椭圆相切确定出高的临界值即可确定面积临界值. 8．费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）    (1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式． (2)设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标 【答案】(1)为双曲线的一部分，解析式为 (2)或 【来源】广东省中山市中山纪念中学2025届高三考前最后一卷数学试题 【分析】（1）设，根据光线经凸透镜至像点的总光程为定值建立等量关系，化简、整理即可得解； （2）设出，的坐标，根据向量的坐标运算得到，的坐标，将点，的坐标代入的方程，得到两个方程，根据根与系数的关系及建立方程，解方程即可. 【详解】（1）设上任意一点，，光线从点至点的光程为，光线穿过凸透镜后从点折射到点的光程为， 则，， 由题意得，得，化简得， ，．令，得， 为双曲线的一部分，解析式为； （2）由题意知． 设，，，， 则，，， ，，， 易知，，得，， 即，． 将点的坐标代入，得， 化简整理得． 同理可得， 与为方程的两个解， ． 由题知，，解得， 点的坐标可能为或.    9．已知直线与双曲线交于两点． (1)若过右焦点，且的最小值为2，求的取值范围； (2)若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，求四边形的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 【分析】（1）讨论与双曲线交于两支两点或右支交于两点，结合通径即可求解； （2）通过直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合四边形是矩形，求得到渐近线的距离，代入面积公式化简求解即可. 【详解】（1）若与双曲线交于两支两点，则，与轴重合时， 若与双曲线交于右支两点，则，解得， 综上可知： （2）时，双曲线方程为：，渐近线，垂直， 易知四边形为矩形， 若的斜率不存在，由，可设， 代入，可得：，不妨取， 则，渐近线的距离为， 所以， 若的斜率存在， 设直线AB的方程为， 联立方程得， 整理为： ① 故 ② ③ 由， 平方得 将式②、③代入得 ④ 设，于是， ⑤ . ⑥ 因为双曲线的两条渐近线相互垂直，所以四边形是矩形， 其面积S等于点P到渐近线距离的乘积， 于是： 将式⑤、⑥代入上式得 由式④代入化简得，因为， 所以且， 所以 综上四边形的面积的最大值为. 10．如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且， （1）求抛物线的方程； （2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围. 【答案】（1）；（2）. 【来源】山东省实验中学2025届高三第二次模拟考试数学试题 【分析】（1）求出的值后可求抛物线的方程. （2）方法一：设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围. 【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：. （2）[方法一]：通式通法 设，，， 所以直线，由题设可得且. 由可得，故， 因为，故，故. 又，由可得， 同理， 由可得， 所以， 整理得到， 故， 令，则且， 故， 故即， 解得或或. 故直线在轴上的截距的范围为或或. [方法二]：利用焦点弦性质 设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且． 由得，所以． 因为， ，． 由得． 同理． 由得． 因为， 所以即． 故． 令，则． 所以，解得或或． 故直线在x轴上的截距的范围为． [方法三]【最优解】： 设， 由三点共线得，即． 所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为． 设直线的方程为， 则． 所以． 故（其中）． 所以． 因此直线在x轴上的截距为． 【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标. 方法一：主要是用坐标表示直线，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围. 方法二：利用焦点弦的性质求得直线的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围. 方法三：利用点在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围. 11．如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点．    (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：； (3)若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，求椭圆的标准方程； （2）要证，只需证，通过直线与椭圆联立方程组，由韦达定理和两点间距离公式证明； （3）由题意有，由韦达定理和距离公式化简得，由题意，所以，可得. 【详解】（1）由题意知，两椭圆有相同的离心率，则有，， 又点在椭圆上，有，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）要证，即证， 设， 当直线斜率不存在时，由椭圆对称性可知成立， 当直线斜率存在时，设斜率为，则方程为， 由得， ， 由得， ， 得，， ，，则有. 所以与等底等高，有. （3）由（2）可知，同理有， 由，可得，则有， 设直线的斜率为，直线方程为，设， 由得， ， ， ， 所以， 即， 化简得，即，由题意，所以， 所以. 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 12．已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)若直线l与曲线E相交于M，N两点，且线段MN的中点横坐标为1，求直线l的斜率； (3)将曲线E绕原点顺时针旋转得到曲线，定点，上有四点A，B，C，D，满足，AKC，BKD均三点共线.设线段AC和BD的中点分别为T，S，试判断：直线TS是否会经过一个定点？若会，请求出这个定点的坐标；若不会，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)会，直线过点. 【来源】重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性考试最后一卷数学试题 【分析】（1）设动圆圆心为，利用圆的弦长与半径关系列方程整理，即可得轨迹方程； （2）设，应用点差法得，结合已知即可得； （3）将曲线绕原点顺时针旋转得到曲线，设并联立，应用韦达定理及中点坐标求出坐标，同理求坐标，分类讨论参数判断直线是否过定点即可. 【详解】（1）设动圆圆心为，则有，整理得，故曲线E的方程； （2）设，则，可得， 所以，即，故直线斜率为； （3）将曲线绕原点顺时针旋转得到曲线，则为的焦点， 由题意，直线的斜率都存在且不为0，设，联立， 所以，设，且， 所以，，则，， 所以，同理得， 当，则，则，即恒过定点； 当，则，，显然直线过点； 当，则，，显然直线过点； 综上，直线过定点. 13．已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)当时，； (3)的最大值为. 【来源】2024年上海秋季高考数学试题（网络收集版） 【分析】（1）根据离心率的概念求出，再求出即可； （2）如图，易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解； （3）设，：，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，得，结合即可求解. 【详解】（1）由双曲线的方程知，， 因为离心率为2，所以，得. （2）当时，双曲线，且. 因为点在第一象限，所以为钝角. 又为等腰三角形，所以. 设点，且，则 得，所以. （3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称. 设，则. 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程得 消去，得， 且，即，得. ， 由，得， 所以，即， 整理得， 所以， 整理得，所以. 又，所以，解得， 所以，又， 故的取值范围是，故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系. 14．点为直线上的动点，为坐标原点，过点作直线垂直于轴，过点作直线的垂线交直线于点. (1)求点的轨迹方程； (2)记点轨迹为曲线，上一定点，过作两不同直线分别交于两点， ①直线的斜率满足，且直线过点，求定点坐标； ②若点，且直线的斜率满足，设的外接圆为圆，过点作曲线的切线，判断直线与圆位置关系，并说明理由. 【答案】(1) (2)①；②直线与圆相切，理由见解析 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 【分析】（1）设，可得直线和直线的方程，分和两种情况求解即可； （2）①设，，，直线：，联立方程由韦达定理即可求解；②设直线：，直线：与抛物线方程联立结合韦达定理可得，联立中垂线和中垂线即可证明. 【详解】（1）设，则直线：，直线：， 时，直线：，点的轨迹为， 时，， 综上，点的轨迹方程； （2）    ①设，，， 由已知直线的斜率存在， 所以设直线：， 联立方程得， 所以，由题意得， 所以，解得，所以； ②   当时，由可得，求导可得， 当时，，所以切线的斜率为，所以直线：， 设直线：，联立抛物线方程得， ，， 可得，所以， 中垂线：， 同理，中垂线：， 联立可得，， ，即直线与圆相切. 15．焦点在x轴上的等轴双曲线E，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点A、B (1)求双曲线E的方程； (2)若，求直线AB的斜率； (3)若点B关于原点的对称点C在第三象限，且，求直线AB斜率的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2025届黑龙江省齐齐哈尔市高考二模数学试题 【分析】（1）利用待定系数法，结合顶点到渐近线的距离为列方程，求解即可； （2）由向量共线得交点的坐标的数量关系，结合韦达定理列方程，进而解得直线的斜率； （3）将图形中三角形的面积关系转化为，即可得，结合根与系数的关系可解得斜率的取值范围. 【详解】（1）设等轴双曲线的方程为，其渐近线方程为， 故，解得，所以双曲线E的方程为. （2） 由题意，过点的直线斜率存在且不为0，可设其方程为， 设，由，得， 联立，整理得， 由韦达定理得：，， 联立解得，经验证均满足题意，所以直线的斜率为. （3） 点在第三象限，如图所示，故直线的斜率是正数， 由，得， 所以，则，则， 由，得， 所以，则， 又因为直线交两支两点，故直线的斜率， 所以. 16．已知椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，且与直线相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点为，点关于直线的对称点为点，若四边形为正方形，求的值. 【答案】(1) (2) 【来源】天津市河西区2024-2025学年高三下学期总复习质量调查二（二模）数学试题 【分析】（1）根据题意得出，，可将椭圆的方程化为，再将椭圆的方程与直线的方程联立，由求出的值，即可得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，设点、，的中点为，将该直线方程与椭圆的方程联立，并列出韦达定理，求出点的坐标，可得出直线的方程，求出点的坐标，根据结合韦达定理求出的值. 【详解】（1）因为椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，所以，则， 所以椭圆的方程为， 由消去，得， 因为椭圆与直线相切， 所以令，解得，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，设点、，的中点为， 联立消去，得， ， 由韦达定理得，， 所以，代入，解得， 故线段的中点的坐标为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 令，解得，即， 因为线段和线段互相垂直平分，所以四边形为菱形， 要使四边形为正方形，需满足， 所以 , 即，解得，则的值为. 17．已知双曲线经过点，其一条渐近线的倾斜角为，双曲线C的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)如图1，N为双曲线C左支上异于点的一动点，且的重心为，试探究点T的轨迹，并求的最小值； (3)如图2，不与坐标轴平行的动直线l与双曲线C交于两点（异于点），P关于原点O的对称点为R．直线与直线相交于点S，直线OS与直线PQ相交于点G，求的内心的轨迹方程． 【答案】(1) (2)的轨迹为双曲线的右支向右平移得到的图象（不含顶点），21 (3)或 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题 【分析】（1）由渐近线斜率及双曲线过点列出方程求即可； （2）利用点之间的关系，代入双曲线方程可得轨迹方程，轨迹为平移双曲线右支所得，再由双曲线的定义求最值； （3）设直线的方程为联立双曲线方程，由根与系数的关系，及三点共线求出直线的方程为，联立直线方程可得点在定直线上，据此求出的内心的轨迹方程. 【详解】（1）由解得， 故双曲线的标准方程为． （2）设,其中． 则解得由得， 因为，所以， 所以的轨迹为双曲线的右支向右平移得到的图象（不含顶点）， 点的轨迹所在双曲线的两焦点为， 又点在点的轨迹所在双曲线的左支上， 则． （3）由题意得直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立整理得，且， , 由题意得， 由三点共线可得，即， 由三点共线可得，即， ， 故直线OS的方程为， 联立解得， 点在定直线上，从而为直角三角形，其内心在直线上， 故的内心的轨迹方程为或． 18．焦点在轴上的等轴双曲线，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点、. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中垂线与轴交于点，求直线的斜率； (3)若点关于原点的对称点在第三象限，且，求直线斜率的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 【分析】（1）利用待定系数法，结合顶点到渐近线的距离为列方程，求解即可； （2）由题意，过点的直线斜率存在且不为，可设其方程为，设、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，由题意，求出的值，即可得出直线的斜率； （3）将图形中三角形的面积关系转化为，即可得，结合根与系数的关系可解得斜率的取值范围. 【详解】（1）设等轴双曲线的方程为，其渐近线方程为， 故，解得，所以双曲线的方程为. （2）由题意，过点的直线斜率存在且不为，可设其方程为， 设、，联立，整理得， 由题意可得，解得， 由韦达定理得：，，所以或， 设线段的中点为， 则，， 即点，，， 因为，所以，解得， 经验证均满足题意，所以直线的斜率为. （3）点在第三象限，如图所示，故直线的斜率是正数， 由，得， 所以，则，则， 由，得， 所以，则， 又因为直线交两支两点，故直线的斜率，所以. 19．在直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知梯形的四个顶点都在曲线上，其中在第一象限（在的上方），在第二象限，且，线段交于点，记中点分别为. （i）求证：； （ii）若线段长度为3，梯形的面积为9，求线段与长度的比值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）2 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解； （2）（i）由题意得到，进而得到，即可求证；（ii）设直线的方程为：联立抛物线方程，结合韦达定理及中点坐标公式得到，再结合弦长公式及求解即可. 【详解】（1）因为点到点的距离等于点到直线的距离， 根据抛物线的定义可知，动点的轨迹为抛物线，其中为焦点，直线为准线， 所以点的轨迹为曲线的方程为 （2） （i）证明：由可知，，又因为在的上方 则，所以， 由中点为，可得 同理，又 所以： （ii）设直线的方程为： 联立，消去得： 所以 同理，，所以，则直线轴 则直线得方程为，代入抛物线可得： 由（i）可知，， 又 所以 解得： 即线段与长度的比值2 20．已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)S的最小值为16，此时直线l的方程为． 【来源】甘肃省张掖市临泽县第一中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解； （3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，即可确定直线的方程． 【详解】（1）由直线可得直线的斜率为， 依题意，所求直线斜率为，则其方程可设为， 该直线经过点，则，解得， 故所求直线方程为，即； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入解得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上，所求直线方程为或. （3）由题可知， 在中，令，解得，即得A， 再令，可得，即得， 故， 则 当且仅当，即时取等号， 故S的最小值为16，此时直线l的方程为． 21．设是坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，离心率. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线交双曲线的右支于两点，且关于轴的对称点为的外心为. （i）求外心的坐标（用表示）； （ii）求的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 【分析】（1）根据双曲线的方程知，根据离心率及列式计算即可； （2）（i）联立直线与双曲线的方程，由韦达定理可求得线段的中点坐标为，又线段的垂直平分线方程为，联立求解即可得点；（ii）分别求出与，结合（i）化简求解即可. 【详解】（1）由双曲线的方程知，，又离心率，故， 因为， 故双曲线的方程为； （2）（i）直线的方程为， 联立，得， 故且， 设， 则， ， 由已知，所以， 所以线段的中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 又线段的垂直平分线方程为， 所以点的坐标为， （ii）由题意，右焦点，故， ， 所以，则由知， 所以，即， 所以的取值范围为. 22．已知椭圆 的上顶点为 ，且过点 .    (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为 的直线 与椭圆交于 、 两点（直线 斜率为正），直线 、 （若 、 重合， 直线 即为椭圆 在 点处的切线） 分别与 轴交于 两点， 为 中点. （i） 求 的最大值; （ii）当 最大时，将坐标平面沿 轴折成二面角 ，在二面角 大小变化过程中，求三棱锥 外接球表面积取得最小值时三棱锥 的内切球的半径. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【来源】湖北省襄阳市第五中学2025届高三下学期适应考试三数学试卷 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即得椭圆方程. （2）（i）设出直线方程，与椭圆方程联立利用韦达定理，结合斜率坐标公式推证得，再利用余弦定理建立函数关系求出正弦最大值；（ii）在（i）的条件下可得过原点，且，再在折后的几何体中补形并探讨外接球最小时的球心位置，并利用体积法求出内切球半径. 【详解】（1）依题意，，，解得， 所以所求方程为. （2）（i）设直线，由消去得， 设，则，直线的斜率分别为， 则 ，则，即， 在中，令，则， ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. （ii）当取最大值时，是边长为2的等边三角形， 过原点， 将沿轴折成三棱锥，将底面补成等腰梯形， 则三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球． 过等腰梯形外心即中点作直线平面， 过中心作直线平面，则即为三棱锥外接球球心， 即为三棱锥外接球半径，显然与重合时三棱锥外接球半径最小， 此时平面，三棱锥为正四面休，与交点即为中心， 平面，而平面，则，在等腰梯形中， ，，则，即， 由平面，于是平面，而平面， 因此，因此， ， 则三棱锥表面积为，设三棱锥内切球半径为， 则，解得.    【点睛】结论点睛：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足：. 23．已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线方程为为双曲线的左、右顶点． (1)求双曲线的方程． (2)过点作动圆（以为圆心）的两条切线分别交双曲线于异于点的，两点，试判断直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由． (3)已知动点满足直线的斜率的乘积的绝对值为2，记动点的轨迹为曲线．过点作直线交曲线分别于和（其中的横坐标的绝对值均大于1），求证：直线与的交点在定直线上． 【答案】(1) (2)是， (3)证明见解析 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 【分析】（1）由双曲线的焦距为，得到，再根据一条渐近线方程为，由求解； （2）易知切线的斜率都存在，设过点的切线的方程为，根据直线与圆相切，由圆心到切线的距离为，得到，设切线的斜率，且，分别设直线PB，PC的方程，与双曲线方程联立求得点B，C的坐标，写出直线BC的方程求解； （3）由（1）得到动点的轨迹，其中，设直线的方程分别为和，其中，与双曲线的方程联立，求得E，F，M，N的坐标求解. 【详解】（1）由双曲线的焦距为可得， 又其中一条渐近线方程为，则， 解得， 所以双曲线的方程为. （2）由题意，切线的斜率都存在，设过点的切线的方程为，动圆的半径为，所以圆心到切线的距离为， 化简得，则的斜率是该方程的两个根，可得． 设直线， 联立方程得． 由韦达定理，，则，将其代入可得, 即得，同理可得,因，则得 又因为， 所以直线的方程为， 法一：直线的方程可化为 故直线过定点. 法二：根据双曲线的对称性，若定点存在，则一定在轴上，不妨设为， 将代入方程，得， 化简整理，得， 因,故由，解得． 故直线过定点. （3）由（1）知，设,依题意，, 化简得：,两边取平方，整理即得动点的轨迹方程为，其中. 由题意可设直线的方程分别为和，其中， 联立方程得，所以， 将代入到直线得到； 联立方程得，所以， 将代入到直线得到， 同理可得. 将点，同时向右平移一个单位长度，分别得到，，直线与轴交点的纵坐标为 ， 因此直线经过点， 同理可得（将互换）直线也经过点， 所以直线与的交点为，在定直线上. 24．已知圆，圆.若动圆与圆外切，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为.不过原点O的动直线与曲线交于两点，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若. (1)求轨迹的方程； (2)试问：直线OA，OB的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. (3)试问：四边形的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)是定值， 【来源】2025届湖北省武昌实验中学高考适应性考试数学试卷 【分析】（1）设动圆的半径为R，由题可得，，据此可得轨迹的方程； （2）设，由，，可得F坐标，然后由F在椭圆上，可得，据此可完成判断； （3）由题及（2）可得，然后由可完成判断. 【详解】（1）设动圆的半径为R，动圆与圆外切，则， 又因为动圆与圆内切，结合图象可知：，， 所以， 由椭圆的定义可知，动点在以、为焦点，为长轴长的椭圆上， 设椭圆的方程为，半焦距为， 则，，， 又可知圆与圆内切，所以点C不能在切点处，即椭圆应去掉点， 曲线C的方程为. （2）直线OA，OB的斜率乘积不是定值，理由如下：设，则， 因为，所以，进而， 由点F在曲线E上得, 所以, 又因为点A，B均在E上，即，带入上式得, 所以不为定值； （3）因为点A，B均在E上，所以， 两式同向相乘得，整理得：, 由（2）知，带入上式解得：， 又因为 ， 所以. 25．椭圆与圆和圆都外切． (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B分别为椭圆E的左右顶点，F为椭圆的右焦点，K为椭圆E上动点（异于A，B），直线与椭圆E交于另一点H．若直线与交于点P，求证：点P在定直线l上； (3)在（2）的条件下，设直线与直线l交于Q点，椭圆E在点K处的切线与l交于R， ①求证：． ②求面积取最小值时K点的横坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)①证明见解析；② 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 【分析】（1）结合图形可得，进而得椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得关系式，再由直线联立解得点坐标，将关系式代入化简可得点在直线上； （3）①求出切线方程，依次求出坐标，得为中点，进而由向量极化恒等式可证；②利用点的横坐标表达出面积函数关系，利用导数求最值即可得. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为； 由题意椭圆E与两圆都外切，结合图形可知，， 故椭圆E的方程为. （2）由椭圆E的方程为可知， 由题意知，不垂直于轴，故可设直线， 由焦点在椭圆内，则直线与椭圆恒有两个交点， 设， 联立直线与椭圆方程得， 由韦达定理得， 则（）， 又直线方程为，方程为， 设两直线交点， 则联立方程，解得， 将（）式代入化简得， 故点P在定直线上. （3）①由题意知椭圆E在点处的切线斜率存在， 可设切线的方程为， 联立直线与椭圆E方程消得， ， 由直线与椭圆相切， 则， 化简得， 由，得代入上式得， 解得，故， 令，得 直线，令得； 直线，令得； 由， 故为线段的中点， ，得证. ②由， 则 则 ， 则的面积 . 令，， 则， 由解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故当时，函数取最小值. 即面积S取最小值时K点的横坐标为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 平面解析几何 （椭圆、双曲线、抛物线）大题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．已知椭圆：过，两点. (1)求椭圆的方程； (2)设，，过点的直线与椭圆交于两点，连接、交x轴于两点（不重合），已知，求直线的方程. 【来源】北京市北京师范大学附属中学2025届高三三模考试数学试题 例题2．已知椭圆，F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，，R是直线上一动点，的最小值为1． (1)求E的方程： (2)过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求面积的取值范围． 【来源】广东省深圳市2025届高三二模数学试题 例题3．已知焦点在轴的双曲线C的两条渐近线互相垂直，且经过点 ． (1)求双曲线C的标准方程. (2)设，直线l与C的两支交于两点（在第一象限），与y轴交于点Q，记直线的斜率分别为 . （i）求直线PQ的斜率k（用表示）； （ii）若，求的坐标. 【来源】湖北省华中师范大学附属中学2025届高三综合测试数学试题 例题4．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，直线与椭圆交于不同的两点. (1)设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值； (2)若，证明：直线与直线的交点在定直线上. 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 例题5．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．    (1)求椭圆的方程； (2)已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标：若不存在说明理由． 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 例题6．已知椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率． 过且斜率为的直线交椭圆于、两点，的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且垂直于的直线与椭圆的一个交点为(在轴上方)，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问：是否存在直线，使得四边形为平行四边形？若存在，求出此时四边形的面积；若不存在，说明理由． 【来源】天津市五区县重点校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题 例题7．已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程． (2)过椭圆C的右焦点F，且斜率不为0的直线交椭圆C于P，Q两点． （ⅰ）若点A为椭圆C的左顶点，点N为线段的中点，求的最大值； （ⅱ）若直线斜率存在，在x轴上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【来源】山东师范大学附属中学2025届高三适应性检测数学试题 例题8．已知直线与椭圆交于两点 （在下方，在上方），线段的中点为，直线的斜率为（为坐标原点）. (1)求椭圆的方程； (2)若射线与椭圆，直线分别交于 两点，且成等比数列. （i） 求点到直线的距离的最大值; （ii） 当直线与轴垂直时，求的外接圆方程. 【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题 例题9．已知椭圆的离心率为，A为椭圆E上一点，且点A到椭圆E的两个焦点的距离之和等于. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线与椭圆相交于P，Q两点，求线段PQ的中点N的轨迹方程； (3)若A关于原点O的对称点为B，过点A与AB垂直的直线与椭圆E的另一个交点为C，轴于点H，直线BC与x轴交于点M.用与分别表示与的面积，证明：. 【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题 例题10．如图所示，由部分抛物线和半圆所组成的曲线称为“黄金抛物线”，若“黄金抛物线”经过点和. (1)求“黄金抛物线”的方程； (2)点为“黄金抛物线”在第四象限上一点，且“黄金抛物线”在点处的切线恰好与“黄金抛物线”在第三象限相切于点，求直线的方程； (3)设和，过点作直线与“黄金抛物线”交于三点，问是否存在这样的直线，使得平分.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【来源】黑龙江省大庆实验中学实验二部2025届高三模拟考试数学试题 百强名校-必刷真题精练 1．已知椭圆的短轴长为4，离心率为过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，在的左侧). (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与直线交于点M，的面积为求直线的方程. 【来源】河北省衡水中学2024-2025学年高三年级下学期三模综合素质评价数学试题 2．已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围． 【来源】浙江省绍兴市第一中学2025届高三下学期校模拟考试数学试题 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线交于两点（在轴上方)，的周长为，当时，的面积为. (1)求的方程； (2)若的离心率不大于，半径为的圆与的延长线，的延长线及线段均相切. （i）当时，求； （ii）求的最大值. 【来源】河南省信阳高级中学2024-2025学年高三下学期高考数学三模试卷 4．已知椭圆的左顶点为，离心率为为坐标原点，且. (1)求的方程； (2)设为线段（不含端点）上一点，过且斜率为1的直线交于两点，在第三象限，设为线段的中点. （i）证明：为定值； （ii）若，求的面积. 【来源】陕西省西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三上学期三模数学试题 5．在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段 BF的垂直平分线l 和半径BC 相交于点 T. (1)求点的轨迹的方程； (2)轨迹W与x轴的交点为M，N(点N在点M 右侧)，直线PQ与轨迹W 交于P，Q两点(异于M，N)，MP的斜率为 ，NQ的斜率为且，与的面积分别为，，求 的最大值. 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 6．已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线；将曲线上每一点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变），得到曲线． (1)求曲线的方程； (2)若为曲线上一动点且在第一象限内，直线分别交曲线与两点，连接交轴与点． （ⅰ）若，求直线的方程； （ⅱ）曲线上是否存在定点使得三点的横坐标按一定顺序成等比数列？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 7．定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的离心率为，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)求“共轭点对”中点所在直线的方程； (3)设为坐标原点，点在椭圆上，，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于. 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三最后一模数学试题 8．费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）    (1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式． (2)设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标 【来源】广东省中山市中山纪念中学2025届高三考前最后一卷数学试题 9．已知直线与双曲线交于两点． (1)若过右焦点，且的最小值为2，求的取值范围； (2)若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，求四边形的面积的最大值． 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 10．如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且， （1）求抛物线的方程； （2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围. 【来源】山东省实验中学2025届高三第二次模拟考试数学试题 11．如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点．    (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：； (3)若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值． 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 12．已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)若直线l与曲线E相交于M，N两点，且线段MN的中点横坐标为1，求直线l的斜率； (3)将曲线E绕原点顺时针旋转得到曲线，定点，上有四点A，B，C，D，满足，AKC，BKD均三点共线.设线段AC和BD的中点分别为T，S，试判断：直线TS是否会经过一个定点？若会，请求出这个定点的坐标；若不会，请说明理由. 【来源】重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性考试最后一卷数学试题 13．已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 【来源】2024年上海秋季高考数学试题 （网络收集版） 14．点为直线上的动点，为坐标原点，过点作直线垂直于轴，过点作直线的垂线交直线于点. (1)求点的轨迹方程； (2)记点轨迹为曲线，上一定点，过作两不同直线分别交于两点， ①直线的斜率满足，且直线过点，求定点坐标； ②若点，且直线的斜率满足，设的外接圆为圆，过点作曲线的切线，判断直线与圆位置关系，并说明理由. 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 15．焦点在x轴上的等轴双曲线E，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点A、B (1)求双曲线E的方程； (2)若，求直线AB的斜率； (3)若点B关于原点的对称点C在第三象限，且，求直线AB斜率的取值范围． 【来源】2025届黑龙江省齐齐哈尔市高考二模数学试题 16．已知椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，且与直线相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点为，点关于直线的对称点为点，若四边形为正方形，求的值. 【来源】天津市河西区2024-2025学年高三下学期总复习质量调查二（二模）数学试题 17．已知双曲线经过点，其一条渐近线的倾斜角为，双曲线C的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)如图1，N为双曲线C左支上异于点的一动点，且的重心为，试探究点T的轨迹，并求的最小值； (3)如图2，不与坐标轴平行的动直线l与双曲线C交于两点（异于点），P关于原点O的对称点为R．直线与直线相交于点S，直线OS与直线PQ相交于点G，求的内心的轨迹方程． 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题 18．焦点在轴上的等轴双曲线，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点、. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中垂线与轴交于点，求直线的斜率； (3)若点关于原点的对称点在第三象限，且，求直线斜率的取值范围. 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 19．在直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知梯形的四个顶点都在曲线上，其中在第一象限（在的上方），在第二象限，且，线段交于点，记中点分别为. （i）求证：； （ii）若线段长度为3，梯形的面积为9，求线段与长度的比值. 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 20．已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【来源】甘肃省张掖市临泽县第一中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷 21．设是坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，离心率. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线交双曲线的右支于两点，且关于轴的对称点为的外心为. （i）求外心的坐标（用表示）； （ii）求的取值范围. 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 22．已知椭圆 的上顶点为 ，且过点 .    (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为 的直线 与椭圆交于 、 两点（直线 斜率为正），直线 、 （若 、 重合， 直线 即为椭圆 在 点处的切线） 分别与 轴交于 两点， 为 中点. （i） 求 的最大值; （ii）当 最大时，将坐标平面沿 轴折成二面角 ，在二面角 大小变化过程中，求三棱锥 外接球表面积取得最小值时三棱锥 的内切球的半径. 【来源】湖北省襄阳市第五中学2025届高三下学期适应考试三数学试卷 23．已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线方程为为双曲线的左、右顶点． (1)求双曲线的方程． (2)过点作动圆（以为圆心）的两条切线分别交双曲线于异于点的，两点，试判断直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由． (3)已知动点满足直线的斜率的乘积的绝对值为2，记动点的轨迹为曲线．过点作直线交曲线分别于和（其中的横坐标的绝对值均大于1），求证：直线与的交点在定直线上． 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 24．已知圆，圆.若动圆与圆外切，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为.不过原点O的动直线与曲线交于两点，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若. (1)求轨迹的方程； (2)试问：直线OA，OB的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. (3)试问：四边形的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 【来源】2025届湖北省武昌实验中学高考适应性考试数学试卷 25．椭圆与圆和圆都外切． (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B分别为椭圆E的左右顶点，F为椭圆的右焦点，K为椭圆E上动点（异于A，B），直线与椭圆E交于另一点H．若直线与交于点P，求证：点P在定直线l上； (3)在（2）的条件下，设直线与直线l交于Q点，椭圆E在点K处的切线与l交于R， ①求证：． ②求面积取最小值时K点的横坐标． 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $