第二章 二次函数【章末复习】培优备课课件--2025-2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学课件系统梳理了二次函数的定义、图像性质、平移规律及解析式表示，通过表格对比不同形式函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，结合“左加右减”等规律总结，帮助学生构建完整的二次函数知识网络。 其亮点在于融合中考真题设计分层练习，如通过猕猴桃销售利润问题培养模型意识，借助坐标与对称轴关系题提升推理能力，既满足不同学生复习需求，又助力教师精准把握学情，有效巩固知识。

北师大版数学9年级下册培优备课课件 章末复习 第二章 二次函数 授课教师: . 班 级: . 时 间:2026年01月07日 . 1 1 二次函数的定义 定义:一般地,形如 y=ax +bx+c (a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数. (1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0; (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项. 2 二次函数的图象与性质 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = ax2 y = ax2+k y = a(x-h) 2 y = a(x-h)2+k a > 0时,开口向上 a < 0时,开口向下 x=0(y轴) 直线 x=h (0,0) (0,k) (h,0) (h,k) 3 抛物线的平移 1. 平移关系 y=ax2 y=a(x-h)2 当h>0时,向右平移 当h<0时,向左平移 y=a(x-h)2+k 当k>0时,向上平移 当k<0时,向下平移 2. 顶点变化 (0,0) (h,0) (h,k) 可概括为:左加右减,上加下减. 4 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 a>0 a<0 开口方向 顶点 对称轴 增减性 最值 向上 向下 当 时 y随x的增大而增大 y随x的增大而减少 当 时 当 时 y随x的增大而减少 y随x的增大而增大 当 时 当 时 当 时 5 二次函数解析式的三种表示方式 2. 已知抛物线顶点坐标(h,k),通常设抛物线解析式为_; 3. 已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_. 1. 已知抛物线上的三点,通常设解析式为_; y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0) y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 返回 A 1. A.图象开口向下 B.函数的最大值是5 C.图象的顶点坐标为(-5,-3) D.当x>5时,y随x的增大而增大 中考考法 7 返回 2. [2025西安高新一中模拟]关于x的二次函数y=ax2+a2x-3a(a为常数,a≠0)的图象可能是( ) B 中考考法 返回 3. [2025西工大附中模拟]已知二次函数y=x2+(m+2)x+m,当x=2时,y>0,且当x<-2时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是( ) A 中考考法 返回 4. 将抛物线y=ax2+bx+c向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到的抛物线的函数表达式为 y=2(x+1)2,则b的值为_. 12 中考考法 返回 5. 点P1(-1,y1),P2(2,y2),P3(5,y3)均在抛物线 y=ax2-2ax+c(a<0)上,则y1,y2,y3的大小关系是_.(用“>”连接) y2>y1>y3 中考考法 6. (8分)[2025北京海淀区模拟]在平面直角坐标系xOy中,点A(x0,m),B(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上,设该抛物线的对称轴为直线x=t. (1)当x0=1,m=n时,t的值为_; 2 中考考法 (2)当t>1时,若对于1-t<x0<t-1,都有m>n,求t的取值范围. 解:分两种情况: ①当抛物线的对称轴在点B的左侧,即1<t<3时, 设点B(3,n)关于直线x=t对称的点为B′(2t-3,n), 根据抛物线的对称性可得点B′也在抛物线上, 易知2t-3<t<3,因为a>0, 所以抛物线开口向上, 所以当x<t时,y随x的增大而减小. 中考考法 13 因为m>n,所以点A在点B′的左侧, 即x0<2t-3,因为对于1-t<x0<t-1,都有m>n成立, 所以t-1≤2t-3,解得t≥2. 又因为1<t<3,所以t的取值范围是2≤t<3; ②当抛物线的对称轴经过点B或在点B的右侧,即t≥3时, 因为a>0,所以抛物线开口向上, 所以当x<t时,y随x的增大而减小. 中考考法 因为m>n,且x0<t-1<t, 所以点A在点B的左侧,所以x0<3. 因为对于1-t<x0<t-1,都有m>n成立, 所以t-1≤3,解得t≤4. 又因为t≥3,所以t的取值范围是3≤t≤4. 综上,t的取值范围是2≤t≤4. 返回 中考考法 返回 7. 已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为( ) A.y=-3(x-1)2+3 B.y=3(x-1)2+3 C.y=-3(x+1)2+3 D.y=3(x+1)2+3 A 中考考法 返回 8. 若二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象经过A(1,0),B(2,1)两点,则该二次函数的表达式为_. y=x2-2x+1 中考考法 返回 9. 如图,二次函数y=ax2+c的图象与一次函数y=kx+c的图象在第一象限的交点为A,若点A的横坐标为1,则关于x的不等式ax2+c<kx+c的解集为_. 0<x<1 中考考法 18 返回 10. [2025西安铁一中模拟]已知抛物线y=ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表: 以下结论:①该抛物线的开口向上;②该抛物线的对称轴为直线x=-2;③关于x的方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1,x2=-3;④当y<0时,x的取值范围是x<-3或x>-1.其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C x … -4 -3 -2 -1 0 … y … -3 m 1 0 -3 … 中考考法 19 11. x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … 中考考法 20 (1)①m=_,n=_; ②小球的落点是A,点A的坐标为_. (2)小球飞行高度y(m)与飞行时间t(s)满足关系y=-5t2+vt.小球飞行的最大高度为_m,v的值为_. 3 6 8 返回 中考考法 21 12. (8分)[2025西安交大附中模拟]猕猴桃是西安的特色水果.在销售某商场分批每周购进箱装猕猴桃时,经统计分析发现,在一段时间内,猕猴桃的每周售价y(元/箱)与第x周之间满足二次函数关系:y=ax2+bx+28(a≠0).调查发现,第2周时,售价为32元/箱,第5周时,售价为23元/箱(销售初期由于产量小售价逐渐上涨,销售中后期由于产量的增多售价逐渐下降). 中考考法 22 (1)根据题意求y与x之间的函数关系式,并求第4周时,售价y的值; 中考考法 23 (2)若该段时间内每周猕猴桃的进价s(元/箱)与第x周之间满足关系式:s=-2x+25,且平均每周销售150箱,则该商场第几周销售猕猴桃获得的利润最大?最大利润为多少? 中考考法 24 解:设该商场每周销售猕猴桃获得的利润为w元, 由题意得w=[-x2+4x+28-(-2x+25)] 150 =(-x2+6x+3) 150=-150(x-3)2+1 800, 因为-150<0, 所以当x=3时,w有最大值,最大值为1 800, 所以该商场第3周销售猕猴桃获得的利润最大, 最大利润为1800元. 返回 中考考法 13. (8分)[2025陕西师大附中模拟]如图,某大型游乐场引入了一种水上娱乐项目,人从点A处沿水滑道下滑至点B处,然后腾空飞出落入水池.水滑道C1和人腾空飞出后经过的路径C2都近似看作是抛物线的一部分.现以地面所在的水平线为x轴,过腾空点B且与x轴垂直的直线为y轴,x轴与y轴的交点O为坐标原点,建立平面直角坐标系. 中考考法 (1)求水滑道C1所在抛物线的函数表达式. 中考考法 27 中考考法 (2)经过前期模拟试验,当下降落水时,只要距离地面高度 1 m时,人与点E的水平距离大于4 m,腾空落水都是安全的.若某人腾空后的路径C2与抛物线C1恰好关于点B成中心对称,请通过计算说明此人腾空后落水是否安全? 中考考法 29 返回 中考考法 对于二次函数y=-(x-5)2+3,下列说法正确的是( ) A.-<m≤2 B.m≥2 C.m>- D.-<m<0 如图,一小球从斜坡O点以一定的方向弹出,球的飞行路线可以用抛物线y=ax2+bx(a<0)刻画,斜坡可以用直线y=x刻画,小球飞行的水平距离x(m)与小球飞行的高度y(m)的变化规律如下表: 4 解:由题意,将点(2,32),(5,23)的坐标分别代入 y=ax2+bx+28, 得解得 所以y与x之间的函数关系式为y=-x2+4x+28. 当x=4时,y=28. 经过测量,水滑道C1的最低点C到地面的距离为 m,点B到地面的距离为2 m,点C与点B的水平距离为 3 m,点O与水池边缘的距离OE为12 m. 解:由题意,得C,B(0,2), 由点C为水滑道C1的最低点可设水滑道C1所在抛物线的函数表达式为y=a(x+3)2+, 将B(0,2)的坐标代入,得2=a (0+3)2+,所以a=, 所以水滑道C1所在抛物线的函数表达式为y=(x+3)2+. 解:点C关于点B(0,2)的对称点为, 则易得抛物线C2的函数表达式为y=-(x-3)2+, 令y=1,则1=-(x-3)2+, 解得x1=3+,x2=3-(舍去). 因为12-(3+)=9->4, 所以此人腾空后落水是安全的. $