专题 5 二次函数的实际应用（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数的实际应用，涵盖面积问题、利润问题及抛物线型问题，通过学校空地改造、水杯销售、隧道设计等真实情境导入，衔接二次函数图像与性质，搭建从实际问题抽象数学模型的学习支架。 其亮点在于以真实问题驱动，培养学生用数学眼光观察现实（如从三角形分割抽象相似关系）、用数学思维推理运算（如利润函数求最值）、用数学语言表达模型（如抛物线表达式描述隧道和射门轨迹）。实例丰富且贴近生活，助力学生发展应用意识与模型观念，教师使用可提升教学针对性与学生学习兴趣。

初中数学 九年级下册·（BS版） 第二章　二次函数 专题 5　二次函数的实际应用 类型1　面积问题 1. 某校计划将一块形状为锐角三角形的空地进行生态环境改 造.如图，已知△ABC的边BC为120 m，高AD为80 m.学校计 划将它分割成△AHG，△BHE，△GFC和矩形EFGH四部分， 其中矩形EFGH的边EF在边BC上，顶点H，G分别在边 AB，AC上，AD与HG交于点K. 现计划在△AHG上种草，每 平方米投资6元；在△BHE，△GFC上种花，每平方米投资10 元；在矩形EFGH上兴建爱心鱼池，每平方米投资4元. （1）当FG的长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？ 1 2 3 4 上一页 下一页 解：（1）设FG＝x m，则AK＝（80－x）m. 由题意，得△AHG∽△ABC，BC＝120 m，AD＝80 m， ∴ ＝ ，∴HG＝（120－ x）m， ∴BE＋FC＝120－（120－ x）＝ x（m）， ∴ （120－ x）（80－x）＝ x· x， 解得x＝40. 答：当FG的长为40 m时，种草的面积与种花的面积相等. 1 2 3 4 上一页 下一页 1. 某校计划将一块形状为锐角三角形的空地进行生态环境改 造.如图，已知△ABC的边BC为120 m，高AD为80 m.学校计 划将它分割成△AHG，△BHE，△GFC和矩形EFGH四部分， 其中矩形EFGH的边EF在边BC上，顶点H，G分别在边 AB，AC上，AD与HG交于点K. 现计划在△AHG上种草，每 平方米投资6元；在△BHE，△GFC上种花，每平方米投资10 元；在矩形EFGH上兴建爱心鱼池，每平方米投资4元. （2）当FG的长为多少米时，△ABC空地改造的总投资最小？ 最小总投资为多少元？ 1 2 3 4 上一页 下一页 解：（2）设改造的总投资为W元， 则W＝ （120－ x）×（80－x）×6＋ x· x·10＋x（120－ x）×4＝6x2－240x＋28 800 ＝6（x－20）2＋26 400. ∵6＞0，0＜x＜80，∴当x＝20时，W最小值＝26 400. 答：当FG的长为20 m时，△ABC空地改造的总投资最小，最 小总投资为26 400元. 1 2 3 4 上一页 下一页 类型2　利润问题 2. 某经销商购进一款成本为60元的水杯，其销售单价不低于成 本价.按物价部门规定，销售利润率不得高于65％.据市场调查 发现，这款水杯每天的销售数量y（个）与销售单价x（元） 满足一次函数关系，且当销售单价为70元时，销售数量为160 个；当销售单价为80元时，销售数量为140个. （1）求y与x之间的函数关系式.（不需写出自变量x的取值 范围） 1 2 3 4 上一页 下一页 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0）. 根据题意，得 解得 ∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋300. 1 2 3 4 上一页 下一页 （2）若该经销商每天想要获利3 600元，又想尽量减少库存， 则这款水杯的销售单价应定为多少元？ 解：（2）由题意，得（x－60）（－2x＋300）＝3 600， 解得x1＝90，x2＝120. ∵想尽量减少库存，∴x＝90. 答：这款水杯的销售单价应定为90元. 2. 某经销商购进一款成本为60元的水杯，其销售单价不低于成 本价.按物价部门规定，销售利润率不得高于65％.据市场调查 发现，这款水杯每天的销售数量y（个）与销售单价x（元） 满足一次函数关系，且当销售单价为70元时，销售数量为160 个；当销售单价为80元时，销售数量为140个. 1 2 3 4 上一页 下一页 2. 某经销商购进一款成本为60元的水杯，其销售单价不低于成 本价.按物价部门规定，销售利润率不得高于65％.据市场调查 发现，这款水杯每天的销售数量y（个）与销售单价x（元） 满足一次函数关系，且当销售单价为70元时，销售数量为160 个；当销售单价为80元时，销售数量为140个. （3）设这款水杯每天的总利润为W（元），那么当销售单价 定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少元？ 1 2 3 4 上一页 下一页 解：（3）由题意，得W＝（x－60）（－2x＋300）＝－2x2＋ 420x－18 000＝－2（x－105）2＋4 050. ∵销售单价不低于成本价，且销售利润率不得高于65％， ∴60≤x≤60×（1＋65％）， 即60≤x≤99. ∵－2＜0， ∴当60≤x≤99时，W随x的增大而增大， ∴当x＝99时，W取得最大值， W最大＝－2×（99－105）2＋4 050＝3 978（元）. 答：当销售单价定为99元时，可获得最大利润，最大利润是 3 978元. 1 2 3 4 上一页 下一页 类型3　抛物线型问题 3. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 12 m，宽是4 m.按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 y＝－ x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为 3 m，到地面OA的距离为 m. （1）求该抛物线的函数表达式，并计算出隧道顶部D到地面 OA的距离. 1 2 3 4 上一页 下一页 解：（1）由题意，知点B（0，4），C（3， ）， ∴ 解得 ∴该抛物线的函数表达式为y＝－ x2＋2x＋4， ∴当x＝－ ＝6时，y＝10， ∴隧道顶部D到地面OA的距离为10 m. 1 2 3 4 上一页 下一页 3. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 12 m，宽是4 m.按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 y＝－ x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为 3 m，到地面OA的距离为 m. （2）一辆货车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果 隧道内为双向车道，那么这辆货车能否安全通过？ 1 2 3 4 上一页 下一页 解：（2）这辆货车能安全通过.理由如下： 由（1），知抛物线的对称轴为直线x＝6. ∵货车宽4 m，∴当x＝2或x＝10时，y＝ ＞6， ∴这辆货车能安全通过. 1 2 3 4 上一页 下一页 3. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 12 m，宽是4 m.按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 y＝－ x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为 3 m，到地面OA的距离为 m. （3）在抛物线型隧道内壁上需要安装两排灯，使它们离地面 的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的 水平距离最小是多少米？ 1 2 3 4 上一页 下一页 解：（3）令y＝8，得－ x2＋2x＋4＝8， 解得x1＝6＋2 ，x2＝6－2 . ∵x1－x2＝4 ， ∴两排灯的水平距离最小是4 m. 1 2 3 4 上一页 下一页 4. 如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8 m的 A处射门，已知球门OB高为2.44 m，球射向球门的路线呈抛物 线.当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球的竖 直高度为3 m.现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系. （1）求该抛物线的函数表达式； 1 2 3 4 上一页 下一页 解：（1）∵8－6＝2， ∴抛物线的顶点坐标为（2，3）. 设该抛物线的函数表达式为y＝a（x－2）2＋3. 把点A（8，0）的坐标代入，得36a＋3＝0，解得a＝－ ， ∴该抛物线的函数表达式为y＝－ （x－2）2＋3. 1 2 3 4 上一页 下一页 4. 如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8 m的 A处射门，已知球门OB高为2.44 m，球射向球门的路线呈抛物 线.当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球的竖 直高度为3 m.现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系. （2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； 解：（2）当x＝0时，y＝－ ×4 ＋3＝ ＞2.44， ∴球不能射进球门. 1 2 3 4 上一页 下一页 （3）对本次足球训练进行分析，若该足球运动员射门路线的 形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动多少 米后射门，才能让足球经过点O的正上方2.25 m处？ 4. 如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8 m的 A处射门，已知球门OB高为2.44 m，球射向球门的路线呈抛物 线.当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球的竖 直高度为3 m.现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系. 1 2 3 4 上一页 下一页 解：（3）设该足球运动员带球向正后方移动m m，则移动后的抛物线的函数表达式为y＝－ （x－2－m）2＋3. 把点（0，2.25）的坐标代入，得2.25＝－ （0－2－m）2＋3， 解得m1＝－5（舍去），m2＝1， ∴他应该带球向正后方移动1 m 后射门，才能让足球经过点O 的正上方2.25 m处. 1 2 3 4 上一页 下一页 谢谢观看 $