17.4三角形全等的判定（同步练习作业设计、题型归纳、分类训练、综合提升） 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

沪教版（新教材）七年级数学下册（同步练习、题型归纳、分类训练、综合提升） 17.4全等三角形的判定（1） 知识点梳理: 1. 三角形的稳定性：如果一个三角形的三条边长固定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性； 2. 全等三角形的判定公理：三边对应相等的两个三角形全等(简记为“边边边”或“SSS”)； 3. 尺规作图：在数学中，把只使用没有刻度的直尺和圆规在有限步之内完成作图的方法，叫作尺规作图.无刻度的直尺只能用来作经过两点的直线，圆规只能以一个定点为圆心、以给定的线段长为半径作圆. 分类训练 题型1三角形的稳定性 1.（24-25七年级下·上海静安·阶段测试）港珠澳大桥全长约55公里，是迄今世界最长的跨海大桥，其中的斜拉桥是三角形结构．如图，斜拉桥中运用的数学原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：斜拉桥是三角形结构．如图，斜拉桥中运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 2.（24-25七年级下·上海静安·阶段测试）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：A、B、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；C选项伸缩门是用到了菱形的不稳定性， 故选：C． 3．（24-25七年级下·上海青浦·期中）下列图形中不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是判断图形是否由三角形完全分割（三角形具有稳定性，未被三角形分割的多边形不具有稳定性）． 【详解】解：A、该图形包含未被三角形完全分割的四边形结构，不具有稳定性，此选项符合题意； B、图形由多个三角形组成，三角形具有稳定性，此选项不符合题意； C、四边形被对角线分隔为两个三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意； D、图形是三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意． 故选：A． 4.（24-25七年级下·上海·月考）空调安装在墙上时，一般都采用右图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形具有稳定性， 故答案为：稳定性． 5．（24-25七年级下·上海嘉定·月考）如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的依据是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查的知识点是三角形的稳定性．将四边形的上部固定为两个三角形，根据的原理就是三角形的稳定性． 【详解】解：钉上斜拉的木板条后，门框的结构中会形成三角形，而三角形的三边一旦确定，形状和大小就不会改变，这种特性就是三角形的稳定性，能有效防止门框变形． 故答案为：三角形具有稳定性． 题型2用SSS证明三角形全等 6．（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，已知，，是的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查两个三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是关键；由是的中点，可得，再结合已知条件用边边边的判定即可证明． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴． 7．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ． 8.（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，点E，B，F，C在一条直线上，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在与中， ∴． 题型3全等的性质和SSS综合 9.（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ； （2）解： 由（1)可知：， ， ， ， ． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，若，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和，正确作出辅助线是解题的关键． 根据证，根据全等得出，，根据周角为结合可求出和，通过三角形内角和为，求出和，由此可求出的度数，即为的度数． 【详解】解：如图，连接． 在和中， ， ，． ， ， ， ． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知，，，B，D，E三点共线．试说明：． 【答案】说明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 先通过证明，可得，，通过三角形内角和为结合邻补角的性质可得，即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ，． ，， ． 题型4用尺规作一个角等于已知角 12.（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键．由作法易得，，，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：由作图方法可知，，， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． 故答案为：． 13.（24-25七年级下·上海闵行·月考）尺规作图． 已知：（如图）． 求作：，使与全等． 要求： (1)不写作法，保留作图痕迹； (2)写出作图时选取的相等的边或角． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）利用，作射线，截取，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即可； （2）根据进行作答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由作图，． 14.（24-25七年级下·上海闵行·月考）已知：，（图1、图2）．在图2中，以为一边，在的内部作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图画已知角，掌握尺规作图画已知角是解题的关键． 分别以顶点与点为圆心，任意长度为半径画弧，再以弧与的交点为圆心，以弧与交点长度为半径画弧，连接点与两弧交点并延长，即可得到 ． 【详解】解：如图所示，即为所求： 15．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知：线段a和． 求作：一个三角形，使一边，（不写作法，保留尺规作图痕迹）． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了三角形的一些基本作法．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】解：根据作一个角等于已知角，先作，再作，、交于点C， 三角形即为所求． 16.（24-25七年级下·上海崇明·月考）在探究用尺规作一个与相等的时，小明和小华分别提出了自己的想法，图1是他们二人的作图痕迹，请你观察思考，解决问题． (1)你认为他们的作法是否正确？__________．（请把你认为正确的选项填写在横线上） A．小明和小华的作法都正确    B．小明的作法正确，小华的作法不正确 C．小明的作法不正确，小华的作法正确    D．小明和小华的作法都不正确 (2)如图2所示，已知，以为一边，在的左侧作，使，若，为的平分线，求的度数． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，作一个角等于已知角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法，根据作图可得，即可得出结论； （2）根据已知条件可知，进而得到，根据角平分线的性质可得，最后求解即可． 【详解】（1）解：小明的作法：，，， ， ，即， 小华的作法：，，， ， ，即， 综上所述，小明和小华的作法都正确， 故答案为：A． （2）解：，， ， ， 为的平分线， ， ． 题型5用尺规过直线外一点作已知直线的平行线 17.（24-25七年级下·上海崇明·课后练习）尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．利用同位角相等，两直线平行作出图形即可． 【详解】解：如图，直线即为所求． 作，利用同位角相等，两直线平行可知． 18.（24-25七年级下·上海崇明·课后练习）如图，用尺规作图“过点C作”，图中，这两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， 故选：B． 19.（24-25七年级下·上海崇明·课后练习）尺规作图：请在中，在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； 【答案】图见解析； 【分析】根据题意作即可； 三边关系即可求解． 【详解】解：如图所示      20.（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在三角形中，点在线段上，点，在线段上，． (1)请利用直尺和圆规过点作，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查平行线的尺规作图及平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的尺规作图及平行线的性质与判定是解题的关键； （1）作，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后根据可进行求证． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）证明：， ， ， 又∵， ， ． 拓展提升 1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图像信息．根据 证明三角形全等即可． 【详解】解：在△和△中， ， ， ． 故选：A． 2．如图，在中，，．直接利用“SSS”可以判定（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用判定三角形全等的方法，逐一分析选项中两个三角形的三边是否对应相等． 【详解】解：A、在和中，已知，但与、与的关系不明确，无法用判定全等，不符合题意； B、在和中，与、与的关系不明确，无法用判定全等，不符合题意； C、在和中，，，，满足 ，可以判定全等，符合题意； D、在和中，，，但与的关系不明确，无法用判定全等，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了判定三角形全等的知识点，解题关键是准确分析每个选项中三角形的三边对应关系，确认是否满足条件． 3．我国传统工艺中，油纸伞的制作工艺非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图，这是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；根据全等三角形的判定定理可直接进行求解． 【详解】解：在和中， ， ∴； 故选：A． 4．要求过直线外一点，作直线，使得，嘉嘉和淇淇尺规作图的过程如图所示，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都不正确 D．两人的都正确 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图的基本操作、平行线的判定定理、全等三角形的判定与性质，解读两人尺规作图对应的几何逻辑是解题关键． 根据直线平行的判定法则对嘉嘉和淇淇的尺规作图过程进行分析． 【详解】解：嘉嘉的作法正确．理由：由作图可知， ∴； 淇淇的作法正确．理由：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：． 5．如图，在中，D为边上一点，现要利用尺规作图过点D作，下列作法不可行的是（   ）． A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，一个角等于已知角，过直线外一点作已知直线的平行线，平行线的判定等知识，根据作角平分线，一个角等于已知角，平行线的判定逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由作图可知，， ∴，故不符合题意； 、如图，由作图可知，， ∵， ∴， ∴，故不符合题意； 、如图， 由作图可知，， ∴，故不符合题意； 、由作图可知，不能说明，故符合题意； 故选：． 6．如图，建筑工地上的塔吊机的框架由数个三角形拼接而成，其数学依据是（    ）    A．两点之间线段最短 B．三角形内角和为 C．三角形具有稳定性 D．三角形两边的和大于第三边 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，根据三角形具有稳定性即可得到答案． 【详解】解：塔吊机的框架由数个三角形拼接而成，其数学依据是三角形具有稳定性， 故选：C ． 7．下列图形具有稳定性的是（   ） A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，掌握并理解三角形的特性是解题的关键．另外补充知识：四边形如正方形、长方形、平行四边形不具有稳定性．根据三角形三边长度固定后，其形状和大小唯一确定，可得答案． 【详解】∵三角形三边长度固定后，其形状和大小唯一确定， ∴三角形具有稳定性． ∵四边形四边长度固定时，其角度可改变，形状不固定， ∴四边形不具有稳定性． 因此，具有稳定性的是三角形． 故选：D． 8．如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，，分别为，的中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中（不加任何其余线段），利用两个三角形全等，总能得到，则判定两个三角形全等的依据是 （填字母）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用线段的中点定义可得，，从而可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，可证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 10.如图，，E，F是AC上的两个动点，且． (1)若点E，F运动至图①所示的位置，且．试说明：． (2)若点E，F运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由． (3)若点E，F不重合，且，则AD和CB平行吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）由推出，结合已知的，用判定 （2）仍由推出，再结合已知边，用SSS判定全等，判断结论成立 （3）由全等三角形的对应角相等，得到内错角相等，从而证明AD∥CB。 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即． 在和中， ∴． （2）解：成立．理由如下： ∵， ∴， 即． 在和中， ∴． （3）解：．理由如下： 由（1）（2）知， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与平行线的判定，掌握 利用判定三角形全等，以及通过全等三角形的对应角相等推导平行线是解题的关键． 11．如图，在中，D是的中点，连接． 尺规作图：过点C作，交的延长线于点E（保留作图痕迹，不写作法）． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定、作一个角等于已知角，准确作图是关键． 作，根据内错角相等两直线平行即可得到所求； 解：如图，即为所求．（答案不唯一） 12.（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知线段，且与不平行． (1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图： （1）根据作一个角等于已知角的的作法画出射线，即可求解； （2）先作，连接，再作，即可求解； （3）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，点D，E即为所求； （3）解：由作法得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版（新教材）七年级数学下册（同步练习、题型归纳、分类训练、综合提升） 17.4三角形全等的判定（1） 知识导航: 1. 三角形的稳定性：如果一个三角形的三条边长固定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性； 2. 三角形全等的判定公理：三边对应相等的两个三角形全等(简记为“边边边”或“SSS”)； 3. 尺规作图：在数学中，把只使用没有刻度的直尺和圆规在有限步之内完成作图的方法，叫作尺规作图.无刻度的直尺只能用来作经过两点的直线，圆规只能以一个定点为圆心、以给定的线段长为半径作圆. 分类训练 题型1三角形的稳定性 1.（24-25七年级下·上海静安·阶段测试）港珠澳大桥全长约55公里，是迄今世界最长的跨海大桥，其中的斜拉桥是三角形结构．如图，斜拉桥中运用的数学原理是 ． 2.（24-25七年级下·上海静安·阶段测试）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A． B．C． D． 3．（24-25七年级下·上海青浦·期中）下列图形中不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25七年级下·上海·月考）空调安装在墙上时，一般都采用右图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有 ． 5．（24-25七年级下·上海嘉定·月考）如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的依据是 ． 题型2用SSS证明三角形全等 6．（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，已知，，是的中点，求证：． 7．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，．求证：． 8.（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，点E，B，F，C在一条直线上，已知，，．求证：． 题型3全等的性质和SSS综合 9.（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，若，，，，求的度数． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知，，，B，D，E三点共线．试说明：． 题型4用尺规作一个角等于已知角 12.（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是 ． 13.（24-25七年级下·上海闵行·月考）尺规作图． 已知：（如图）． 求作：，使与全等． 要求： (1)不写作法，保留作图痕迹； (2)写出作图时选取的相等的边或角． 14.（24-25七年级下·上海闵行·月考）已知：，（图1、图2）．在图2中，以为一边，在的内部作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 15．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知：线段a和． 求作：一个三角形，使一边，（不写作法，保留尺规作图痕迹）． 16.（24-25七年级下·上海崇明·月考）在探究用尺规作一个与相等的时，小明和小华分别提出了自己的想法，图1是他们二人的作图痕迹，请你观察思考，解决问题． (1)你认为他们的作法是否正确？__________．（请把你认为正确的选项填写在横线上） A．小明和小华的作法都正确    B．小明的作法正确，小华的作法不正确 C．小明的作法不正确，小华的作法正确    D．小明和小华的作法都不正确 (2)如图2所示，已知，以为一边，在的左侧作，使，若，为的平分线，求的度数． 题型5用尺规过直线外一点作已知直线的平行线 17.（24-25七年级下·上海崇明·课后练习）尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线． 18.（24-25七年级下·上海崇明·课后练习）如图，用尺规作图“过点C作”，图中，这两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 19.（24-25七年级下·上海崇明·课后练习）尺规作图：请在中，在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； 20.（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在三角形中，点在线段上，点，在线段上，． (1)请利用直尺和圆规过点作，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)求证：． 拓展提升 1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，．直接利用“SSS”可以判定（    ） A． B． C． D． 3．我国传统工艺中，油纸伞的制作工艺非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图，这是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 4．要求过直线外一点，作直线，使得，嘉嘉和淇淇尺规作图的过程如图所示，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都不正确 D．两人的都正确 5．如图，在中，D为边上一点，现要利用尺规作图过点D作，下列作法不可行的是（   ）． A．B．C． D． 6．如图，建筑工地上的塔吊机的框架由数个三角形拼接而成，其数学依据是（    ）    A．两点之间线段最短 B．三角形内角和为 C．三角形具有稳定性 D．三角形两边的和大于第三边 7．下列图形具有稳定性的是（   ） A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形 8．如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，，分别为，的中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中（不加任何其余线段），利用两个三角形全等，总能得到，则判定两个三角形全等的依据是 （填字母）． 9．如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，．求证：． 10.如图，，E，F是AC上的两个动点，且． (1)若点E，F运动至图①所示的位置，且．试说明：． (2)若点E，F运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由． (3)若点E，F不重合，且，则AD和CB平行吗？请说明理由． 11．（25-26八年级上·山西晋城·月考）如图，在中，D是的中点，连接． 尺规作图：过点C作，交的延长线于点E（保留作图痕迹，不写作法）． 12.（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知线段，且与不平行． (1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $