江苏省镇江市实验高级中学、茅以升中学等六校2025-2026学年高三上学期1月阶段性监测数学试题

2025-2026学年第一学期高三年级阶段性监测 数学试卷 2026.1 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1．已知集合 ， ，则 （    ） A． B． C． D． 2．设复数 ，则复数 的虚部为（    ） A．17 B．－17 C．23 D．－23 3．已知 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 （    ） A．40 B．14 C．36 D．80 4．直线 和直线 ，则“ ”是“ ”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若 ，则 （   ） A． B． C． D． 6．已知 展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则 展开式中 的系数为（   ） A． B．252 C． D．28 7．如图，双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 的直线交双曲线的右支于A，B两点，且 ，则此双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 8．设函数 和 的定义域为 ，若存在非零实数 ，使得 ，则称函数 和 在 上具有性质 ．现有四组函数：① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， ．其中具有性质 的组数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列结论错误的是（   ） A．两个变量的相关性越强，相关系数 越大 B．利用样本点求经验回归方程，则样本点可能都不在回归直线上 C．对于独立性检验， 的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越大 D．在 列联表中，若每个数据都变为原来的2倍，则 变为原来的2倍 EMBED Equation.DSMT4 ） 10．过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于点 ，交其准线于点 在线段 上，若 ，且 为原点则下列说法正确的是（    ） A． B．以 为直径的圆与准线相切 C．直线 斜率为 D． 11．已知直线l的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则（   ） A．若 ， ，则 B．若 ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 在 上的投影向量的坐标为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．焦点为 的抛物线的标准方程为 ． 13．若把一句话“我爱中国”的汉字顺序写错了，则可能出现的错误共有 种． 14．血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者 给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的 ，当血药浓度为峰值的 时，给药时间（即从患者服药时开始到此刻的时间）为 小时． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.） 15．（13分）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ， . (1)求角 的大小； (2)若 ， ，求 . 16．已知数列 是公比 的等比数列，前三项和为39，且 成等差数列． (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求 的前 项和 ． 17．（15分）如图，在三棱锥 中， 平面 ，D是 的中点，平面 平面 ，且 . （1）求证： ； （2）求平面 与平面 的夹角的余弦值. 18．（17分）对于两个定义域均为D的函数 和 ，若存在 ，使得 且 ，则称 和 “局部相等”. (1)判断函数 与 是否“局部相等”，并说明理由； (2)若函数 与 “局部相等”，求实数m的值； (3)对于给定的实数m，若存在实数n，使得函数 与 “局部相等”，求实数m的取值范围. 19．（17分）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ， 、 分别是其左、右焦点，过 的直线 交椭圆于 、 两点. (1)若 且点 在第一象限，求点 的坐标； (2)若 的面积为 ，求直线 的方程； (3)若 、 两点不在 轴上，设 为线段 的中点， 于 ，求 的取值范围. 试卷第2 = 2 页，共13 = 13 页 试卷第1 = 1 页，共13 = 13 页 $ 2025-2026学年第一学期高三年级阶段性监测 数学试卷 2026.1 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得， 故选：D. 说明：本题来源于共案“集合”考查概念理解. 2．设复数，则复数的虚部为（    ） A．17 B．－17 C．23 D．－23 【答案】B 【详解】∵ ∴复的虚部为－17 故选：B 说明：本题来源于周考6第2题.考查了复数的乘法运算，由复数的代数式确定虚部，考查概念理解，运算能力. 3．已知是等差数列的前项和，若，，则（    ） A．40 B．14 C．36 D．80 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为， . 故选A 说明：本题来源于课本原题.考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力. 4．直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】，则，解得或，题中应是充分不必要条件， 故选：B． 说明：本题来源于共案“直线的位置关系”课后作业的第1题(原题).考查概念理解及运算能力. 5．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，． 故选：A 说明：本题来源于共案“三角恒等变换”基础训练的第2题（原题）.利用诱导公式和二倍角的余弦公式求值，要观察角与角之间的关系，考查概念理解，运算能力. 6．已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（   ） A． B．252 C． D．28 【答案】B 【分析】根据组合数的性质可得最大，进而得，即可根据通项公式求解. 【详解】由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故， 展开式中的系数为， 故选：B 说明：本题为原创题，考查二项式定理，二项式系数、系数.考查知识的记忆、运算能力. 7．如图，双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于A，B两点，且，则此双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的性质结合勾股定理求出关系后计算离心率. 【详解】设，则，， 易得，故， 故在中，，故． 故选：D 说明：本题来源于共案“离心率”的例2，考查双曲线的性质结合勾股定理,考查转化与化归思想. 8．设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得，则称函数和在上具有性质．现有四组函数：①，；②，；③，；④，．其中具有性质的组数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①，令，解得(舍去)或， 存在非零实数，使得. ②，令 结合指数函数的单调性，在定义域内单调递减，，故无其他零点， 不存在非零实数，使得. ③，存在，使得. ④， ，在上单调递增，又，故无其他零点， 不存在非零实数，使得. 故选：B. 说明：本题来源于共案“导数的综合”.考查利用导数研究函数的单调性，涉及到构造函数法以及函数单调性的应用.考查构造函数法、函数与方程思想. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列结论错误的是（   ） A．两个变量的相关性越强，相关系数越大 B．利用样本点求经验回归方程，则样本点可能都不在回归直线上 C．对于独立性检验，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越大 D．在列联表中，若每个数据都变为原来的2倍，则变为原来的2倍） 【答案】AC 【分析】根据相关系数、回归方程、的实际意义判断A、B、C；利用卡方公式判断D. 【详解】A，两个变量的相关性越强，越大，A错误； B，由经验回归方程的实际意义，样本点有可能都不在直线上，B正确； C，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越小，C错误； D，若，每个数据都变为原来的2倍， 则，D正确． 故选：AC 说明：本题来源于课本. 考查统计部分对基本量的认知。考查了记忆和简单运算能力. 10．过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点在线段上，若，且为原点则下列说法正确的是（    ） A． B．以为直径的圆与准线相切 C．直线斜率为 D． 【答案】ABD 【详解】由题意，不妨设在第一象限，分别过作垂直于准线，垂足分别为，作图如下： 对于A，由图可知，， 在中，由，则， 易知，在中，， 由，则为线段的中点，即在中，， 所以，故A正确； 对于B，由A易知，由，则， 即，所以以为直径的圆的半径， 在直角梯形中，中位线的长度为， 则以为直径的圆的圆心到准线的距离，故B正确； 对于C，由A可得，则直线的倾斜角为，即斜率为， 当在第四象限时，同理可得斜率为，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：ABD. 说明：本题为共案“抛物线”原题，考查抛物线定义、方程，焦点弦等.数形结合、转化与化归思想. 11．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则在上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，，显然不共线，因此与平面不垂直，A错误； 对于B，由，得，则，即，B正确； 对于C，当时，，则，C正确； 对于D，当时，，， 因此在上的投影向量为，D正确. 故选：BCD. 说明：本题为原创题，考查空间中点、线、面的位置关系定性判断空间中的角的运算，考查直观想象、逻辑推理、数学运算素养；考查转化与化归思想. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．焦点为的抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【详解】由题意设抛物线的方程为 ， 由焦点为，则，则， 所以抛物线的方程为：. 故答案为：. 说明：本题来源于课本（原题）.考查基础知识的掌握情况. 13．若把一句话“我爱中国”的汉字顺序写错了，则可能出现的错误共有 种． 【答案】23 【详解】“我爱中国”,这四个字的全排列有种，其中有一种是正确的，故错误的有23种. 故答案为23. 说明：本题来源于共案“排列组合应用”的课后作业第3题.考查转化能力. 14．血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间（即从患者服药时开始到此刻的时间）为 小时． 【答案】 【详解】设检测第次时，给药时间为，则是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以， 设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为， 则数列是首项为，公比为0.4的等比数列，所以， 令，即，解得， 当血药浓度为峰值的时，给药时间为． 故答案为： 说明：本题来源于期中考试卷的第6题.数列应用题.考查运算能力、转化与化归能力. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.） 15．（13分）在中，角、、的对边分别为、、，. (1)求角的大小； (2)若，，求. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得， ……1分 因为、，则，所以，， ……2分 则， ……5分 故. ……6分 （2）解：由平面向量数量积的定义 可得， ……7分 可得， ……9分 由余弦定理 可得， ……11分 解得. ……13分 说明：本题来源于根据周考3的第15题改编.考查三角形中的边角关系，向量与三角形的联系。考查整体思想、转化思想. 16．已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前项和． 【详解】（1）由题意可得， ……2分 即得，则， 即，可得，由于，故得，则， ……6分 故； ……7分 （2）由（1）结论可得 ……9分 ， ……11分 故的前项和 ……13分 . ……15分 说明：本题来源于共案“数列求和”的例题.考查等差数列、等比数列基本量的运算，对数的运算法则，裂项相消求和。考查运算能力. 17．（15分）如图，在三棱锥中，平面，D是的中点，平面平面，且. （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【解析】（1）如图，作于点， ……1分 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， ……3分 又因为平面，所以 ……4分 因为平面，又平面，所以， ……5分 因为平面，平面，所以平面 ……7分 因为平面，所以 ……8分 【小问2详解】 由（1），平面，平面，所以， 又平面，平面，所以， 又平面，，所以平面， 又，，所以， ……9分 如图，以点为坐标原点，过点垂直于的为轴， 分别为轴的空间直角坐标系， ……10分 则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， ， ……12分 又平面，且， ……13分 设平面与平面的夹角为， ， ……14分 所以平面与平面的夹角的余弦值为. ……15分 说明：本题来源于周考6的17题改编.本题考查利用面面垂直、线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查计算能力、空间想象能力. 18．（17分）对于两个定义域均为D的函数和，若存在，使得且，则称和“局部相等”. (1)判断函数与是否“局部相等”，并说明理由； (2)若函数与“局部相等”，求实数m的值； (3)对于给定的实数m，若存在实数n，使得函数与“局部相等”，求实数m的取值范围. 【详解】（1）， 根据题意可令，解得， ……2分 所以函数与是“局部相等”； ……3分 （2）， 若函数与“局部相等”， 则， ……5分 解得，； ……7分 （3） ……8分 根据题意可得关于m的不等式：有解， ……10分 消去n可得关于的不等式有解， ……12分 设，所以， 所以的符号为： 所以在单调递增，在单调递减， ……14分 所以，且时，；时，， ……15分 所以 所以 ……17分 说明：本题来源于共案“ 函数中的极值与最值”例4改编.考查利用导数研究函数的单调性，考查方程思想、转化与化归思想、函数与方程思想. 19．（17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. (1)若且点在第一象限，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 【详解】（1），，设，且， 则且， ……2分 解得，， ……4分 因此的坐标为. ……5分 （2）直线为水平直线时，不存在， ……6分 设直线方程为，联立， 得， ……7分， ……8分 设，，则. ……9分 由于在线段上，，其中， 因此，整理得， 所以，解得（负值舍）， 因此直线方程为，即或. ……12分 （3）由题设，直线斜率不可能为0， 而直线斜率不存在时，、重合，； ……13分 若直线斜率存在，设直线，与联立得，因此； ……14分 而联立直线与可得； ……15分 所以 ……16分 即取值范围是. 综上，的取值范围为. ……17分 说明：本题来源于共案“直线与圆锥曲线位置关系”考查分类讨论思想，考察直观想象、逻辑推理、运算能力. 试卷第2页，共13页 试卷第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $