精品解析：重庆市第七中学校2025-2026学年八年级上学期第二次月考数学试卷

重庆市第七中学校2025-2026学年度上期 初2027届第二次定时作业数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四个实数、π、、中，无理数的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由于开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数定义来即可判定选择项． 【详解】解：=3 在四个实数、π、、中，无理数是π、，共2个， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了无理数定义．解题注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是因式分解的概念，利用因式分解的概念（把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解）进行判定是解题的关键．根据因式分解的概念，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、是多项式的乘法运算，不是因式分解，不符合题意； B、符合因式分解的定义，符合题意； C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 3. 如图，，若，，则等于（　　） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 4. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，根据无理数的估算方法得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴，则， 故选：C． 5. 如图是我市某景点6月份内日每天的最高温度折线统计图，由图信息可知该景点这10天中，气温出现的频率是（ ） A. 3 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 【答案】D 【解析】 【分析】通过折线统计图和频率的知识求解． 【详解】解：由图知10天的气温按从小到大排列为：22.3，24，24，26，26，26，26.5，28，30，30， 26有3个， 因而26出现的频率是：=0.3. 故选D. 【点睛】本题考查了频率的计算公式，理解公式是关键． 6. 已知，求的值是（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，根据幂的乘方法则和同底数幂的除法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 7. 在勾股定理的证明中，小云用与全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形的面积为16，正方形的面积为4，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、二元一次方程组的应用等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，根据正方形的性质得到，然后根据勾股定理列方程组求得a、b，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵正方形的面积为16，正方形的面积为4， ∴， 由题意可得：，解得：， ∴． 故选：C． 8. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可． 【详解】解：由作法得EF垂直平分AB， ∴MB＝MA， ∴BM+MD＝MA+MD， 连接MA、DA，如图， ∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号）， ∴MA+MD的最小值为AD， ∵AB＝AC，D点为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵ ∴ ∴BM+MD长度的最小值为5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 9. 如图，在中，点M，N为AC边上的两点，，于点D，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据看垂直平分线的性质可得，和可得平分，进而得到，最后由三角形内角和求出即可． 【详解】∵，，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10. 若，其中均为自然数，为正整数，满足，且对于任意的正整数，均有，则下列说法正确的个数是（ ） ①若，则n的最小值与最大值的和为6； ②若不仅为自然数，也可以为负整数，当时， ，当为奇数时， 当为偶数时，，则； ③若M满足，则这样的整式有个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据多项式的定义，代数式求值，整式的规律探索，不等式的定义，熟练掌握题中多项式的关键信息是解题的关键．根据定义分别得出最小值与最大值即可判断①；分别令，，即可求出和，即可判断②；利用最小为，此时最小为，最小为，结合，得最小为，即，又（因为系数 ），得，则，，，再分别讨论和即可． 【详解】解：要使最小， 则，此时多项式为； 要使最大， ∵对于任意的正整数，均有， ∴相邻系数的差取最小值， ∵， 从开始，依次取，，，，， ∴此时多项式为，； ∴的最小值与最大值的和为， 故说法①正确； 对于， 首先，令，将其代入多项式中， 得， ∴． ∴ ． 令，代入多项式中， 得到 ． 当为奇数时，， ∴， ∴； 当为偶数时，， ∴， ∴ ． 最后，计算的值为，故说法②正确； ∵最小为，对于任意的正整数n，均有， ∴最小为，最小为， ∵， ∴最小为，即， ∵（因为系数 ）， ∴， ∴，，， 则当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； ∴共有（个）， 故命题③正确． 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 用科学记数法表示：______． 【答案】 【解析】 【分析】为负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字是小数点后第几位；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可． 本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故答案为：． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解： ． 13. 如图，，点B和点D，点C和点E是对应顶点，点D在边上，且，，则的度数是______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形中的等量关系是解题的关键． 结合，可知，且，由等边对等角可得，最后计算出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，平分，于D，连接．若的面积为8，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 延长交于点，证明，得到，进而得到． 【详解】解：延长交于点， ∵平分，于D， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 15. 已知关于的分式方程的解为正数，关于的不等式有且仅有3个整数解，则符合条件的整数的个数为______． 【答案】1##1个 【解析】 【分析】根据分式方程的解、增根的定义确定m的取值范围，再根据一元一次不等式组的整数解的个数进一步确定m的取值范围，进而确定整数m的值即可．本题考查解一元一次不等式组，分式方程的解，掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，理解整数解的定义是正确解答的关键． 【详解】解：解分式方程，去分母，得：， 解得， 方程的解为正数， ∴ 解得：， 当时是方程的增根， ， 解得， 且； 解不等式组，由， 解得， 由， 解得， 此不等式组有且仅有3个整数解， ， ， 综上，； 所有符合条件的整数的值为5，共1个 故答案为：1． 16. 一个各位数字都不为且互不相等的四位自然数，若千位与个位数字之和等于百位与十位数字之和，则称这个四位数为“均衡数”，最大的均衡数是________；将“均衡数”的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数n．记，，，均为整数，则满足条件的m的最大值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了数字问题，新定义，四位数的表示，整式的加减，二元一次方程的解，整数被某数整除时求字母的值，难度比较大，能够理解新定义并熟练掌握所学知识是解题的关键．设的千位，百位，十位，个位数字分别为，，，，根据题意，表示出和，再表示出和，根据和均为整数来确定，，，的值． 【详解】解：设的千位，百位，十位，个位数字分别为，，，，则有，且各位数字都不为0且互不相等， ∴当这个均衡数最大时，，则， ∴最大的均衡数为； ∵的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数， ∴，， ， 不妨设， 则， 当，即时，为整数； ， 当被整除时为整数，可得最大等于， ∵各位数字都不为0且互不相等，且， ∴排除，为和，只能是和， 再根据均衡数的定义，求得，， ∴满足条件的的最大值是， 故答案为：，． 三、解答题：（本大题8个小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零次幂、负指数次幂、幂的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． （1）先用零次幂、负整数次幂、立方根化简，然后再计算加减即可； （2）先用同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方、幂的乘方化简，然后再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据完全平方公式，平方差公式展开，再合并同类项，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：（1） ； 解：（2）， ， ， 则， ∴， 解得， 经检验：当时，则， 故是原分式方程的解． 19. 高新区某中学为推动“学校安全教育”校园主题活动，计划开展五项活动：A：安全知识竞赛，B：安全主题演讲，C：应急技能比拼，D：安全情景模拟，E：安全主题创作，校团委为了调查学生最喜欢哪一项活动，随机抽取了部分学生调查，并将调查结果绘制成图1，图2两幅不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题： 根据以上信息解答下列问题： （1）本次共调查了________名学生；将图2的条形统计图补充完整； （2）在图1中项目D所在扇形的圆心角等于________； （3）若该校共有2400名学生参加本次活动，请通过计算估计学生喜爱活动“C：应急技能比拼”的人数． 【答案】（1）200， 补充的条形统计图如下： （2） （3）480人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的结合，圆心角的计算及用样本估计总体． （1）根据项目A的人数及所占百分比即可求得总人数，再用总人数减去A，B，D，E的人数即为项目C的人数并补全条形图即可； （2）用项目D的人数除以总人数再乘即可得出答案； （3）根据项目C调查的人数除以总人数得出频率不变，再用该校总人数乘频率即可得出项目C在该校的人数． 【小问1详解】 解：由题意知，项目A有50人喜欢，且占比为， ∴调查的总人数为（人）， 故答案为：200． ∴项目C的人数为：（人）． 【小问2详解】 解：项目D所在扇形的圆心角为：． 故答案为：． 【小问3详解】 解：由（1）知，项目C调查的人数为40人，频率为， ∴该校学生喜爱活动C的人数为：（人）． 20. 如图，在中，． （1）基本作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：．请完成下面的证明过程： 证明：平分， ________， 在与中 ，________， ，且 ________， ________， 【答案】（1） 如图： （2）；；； 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、等角对等边． （1）根据角平分线的作图方法作图可得的角平分线，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，连接即可； （2）根据角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，结合题目上下步骤的逻辑关系填空即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：平分， ， 在与中 ， ， ，， ，且， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；；；. 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 22. 端午节食粽是我国的传统习俗，新世纪超市根据顾客口味，上架了蜜枣粽和咸肉粽两种类型的粽子．已知顾客购买5个蜜枣粽和6个咸肉粽需要122元，购买10个蜜枣粽和15个咸肉粽需要280元． （1）求超市蜜枣粽和咸肉粽的单价分别是多少元？ （2）为了吸引顾客，超市对两种粽子降价销售．降价后，咸肉粽单价是蜜枣粽单价的1.25倍，小北花了120元购买蜜枣粽，180元购买咸肉粽，并且购买的蜜枣粽比咸肉粽少3个，则蜜枣粽的单价降低了多少元？ 【答案】（1）蜜枣粽单价为10元，咸肉粽单价为12元 （2）蜜枣粽的单价降低了2元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程（组）是解题的关键． （1）设超市蜜枣粽单价为x元，咸肉粽的单价是y元，根据题意得，然后解方程组即可； （2）设降价后蜜枣粽的单价为a元，则咸肉粽单价是元，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：设超市蜜枣粽单价为x元，咸肉粽的单价是y元， 根据题意得，， 解得：， 答：超市蜜枣粽单价为10元，咸肉粽的单价是12元； 【小问2详解】 解：设降价后蜜枣粽的单价为a元，则咸肉粽单价是元， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴蜜枣粽的单价降低了元， 答：蜜枣粽的单价降低了2元． 23. 如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，． （1）请判断的形状，并说明理由； （2）过点作于点，求线段的长． 【答案】（1） 解：∵在中，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）6 【解析】 【分析】（1）先在中用勾股定理求的长；再计算与的关系，判断的形状； （2）利用的面积法求，再结合勾股定理求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是直角三角形，，， ∴， 即， 化简得，即， ∴ 在中，， ∴． 24. 阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：． 例如：求代数式的最小值． 原式． ， 当时，有最小值是2． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式（利用配方法）：； （2）求多项式的最小值； （3）已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、乘法公式，熟练掌握利用配方法分解因式是解题关键． （1）先原式配方为，再利用完全平方公式可得，然后利用平方差公式分解因式即可得； （2）利用配方法和完全平方公式可得，再求出，由此即可得； （3）先利用配方法和完全平方公式可得，则可得，求出的值，由此即可得． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，是的三边长， ∴的周长为． 25. （一）猜测探究 在等边中，点是直线上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，当点在边上运动时，线段，和的关系是 ___________； （2）如图2，当点运动到线段的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （二）拓展应用 如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，连接，若，，，求线段的长． 【答案】（一）猜测探究：（1）； （2）不成立，应为， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即； （二）拓展应用：10 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （一）猜测探究： （1）结合旋转的性质可得是等边三角形，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）结合旋转的性质可得是等边三角形，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可证明，可得结论； （二）拓展应用： 在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质可得，，进而证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】解：（一）猜测探究： （1）∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （二）拓展应用： 在上取一点，使， 由题意得，，， ∴， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即线段的长为10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第七中学校2025-2026学年度上期 初2027届第二次定时作业数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四个实数、π、、中，无理数的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，若，，则等于（　　） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 4. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 5. 如图是我市某景点6月份内日每天的最高温度折线统计图，由图信息可知该景点这10天中，气温出现的频率是（ ） A. 3 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 6. 已知，求的值是（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 7. 在勾股定理的证明中，小云用与全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形的面积为16，正方形的面积为4，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，在中，点M，N为AC边上的两点，，于点D，且，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，其中均为自然数，为正整数，满足，且对于任意的正整数，均有，则下列说法正确的个数是（ ） ①若，则n的最小值与最大值的和为6； ②若不仅为自然数，也可以为负整数，当时， ，当为奇数时， 当为偶数时，，则； ③若M满足，则这样的整式有个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 用科学记数法表示：______． 12. 因式分解：________． 13. 如图，，点B和点D，点C和点E是对应顶点，点D在边上，且，，则的度数是______． 14. 如图，平分，于D，连接．若的面积为8，则的面积为______． 15. 已知关于的分式方程的解为正数，关于的不等式有且仅有3个整数解，则符合条件的整数的个数为______． 16. 一个各位数字都不为且互不相等的四位自然数，若千位与个位数字之和等于百位与十位数字之和，则称这个四位数为“均衡数”，最大的均衡数是________；将“均衡数”的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数n．记，，，均为整数，则满足条件的m的最大值为________． 三、解答题：（本大题8个小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）计算：． （2）解方程：． 19. 高新区某中学为推动“学校安全教育”校园主题活动，计划开展五项活动：A：安全知识竞赛，B：安全主题演讲，C：应急技能比拼，D：安全情景模拟，E：安全主题创作，校团委为了调查学生最喜欢哪一项活动，随机抽取了部分学生调查，并将调查结果绘制成图1，图2两幅不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题： 根据以上信息解答下列问题： （1）本次共调查了________名学生；将图2的条形统计图补充完整； （2）在图1中项目D所在扇形的圆心角等于________； （3）若该校共有2400名学生参加本次活动，请通过计算估计学生喜爱活动“C：应急技能比拼”的人数． 20. 如图，在中，． （1）基本作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：．请完成下面的证明过程： 证明：平分， ________， 在与中 ，________， ，且 ________， ________， 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 端午节食粽是我国的传统习俗，新世纪超市根据顾客口味，上架了蜜枣粽和咸肉粽两种类型的粽子．已知顾客购买5个蜜枣粽和6个咸肉粽需要122元，购买10个蜜枣粽和15个咸肉粽需要280元． （1）求超市蜜枣粽和咸肉粽的单价分别是多少元？ （2）为了吸引顾客，超市对两种粽子降价销售．降价后，咸肉粽单价是蜜枣粽单价的1.25倍，小北花了120元购买蜜枣粽，180元购买咸肉粽，并且购买的蜜枣粽比咸肉粽少3个，则蜜枣粽的单价降低了多少元？ 23. 如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，． （1）请判断的形状，并说明理由； （2）过点作于点，求线段的长． 24. 阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：． 例如：求代数式的最小值． 原式． ， 当时，有最小值是2． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式（利用配方法）：； （2）求多项式的最小值； （3）已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 25. （一）猜测探究 在等边中，点是直线上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，当点在边上运动时，线段，和的关系是 ___________； （2）如图2，当点运动到线段的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （二）拓展应用 如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，连接，若，，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $