16.1 二次根式及其性质 课件 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

该初中数学课件围绕二次根式的概念、有意义的条件及两个性质展开，通过面积计算、围栏宽度、自由落体时间等生活实例导入，引导学生观察带根号式子的共同特征，搭建从具体情境到抽象概念的学习支架。 其亮点在于采用探究式学习，通过填表观察推导二次根式性质，培养学生推理意识，结合数轴化简、实际问题应用等例题，强化数学语言表达能力。学生能提升抽象能力与运算能力，教师可借助实例增强教学互动性，帮助学生建立数学与现实的联系。

16.1 二次根式及其性质 第16章 二次根式 沪科版 八年级下册 情景导入 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)面积为3的正方形的边长为_____；若面积为S ，则边长为_____． (2)一个长方形的围栏，若长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为_____m． (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系，如果用含有h的式子表示t，那么 t为_____． 2 （1）这些式子分别表示什么意义？ 分别表示3，S，65，的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． （2）这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. 知识讲解 知识点1 二次根式的概念 当时，是有意义的，它表示的算术平方根，符号“”叫作二次根号. 我们把形如（a≥0）的式子叫作二次根式. 注意：a可以是数，也可以是式. “”中一般把根的指数2省略，写成“”. 解读 被开方数可以是非负数或单项式、多项式、分式等 两个要素 ①形式上含有“” ②被开方数a ≥ 0 4 知识点2 二次根式有意义的条件 1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反之也成立， 即：有意义⇔a≥0. 2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之也成立， 即：无意义⇔a＜0. 解读 式子 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是 为二次根式的前提条件. 5 探究1 根据算术平方根及平方的意义填空，你发现了什么？ 0 2 4 算数平方根 0 2 … … 平方运算 … 0 2 4 观察两者有什么关系？ 知识点3 二次根式的性质1 6 5 0 探究2 根据探究1直接写出结果. 由于是2的算术平方根，根据平方根的意义，应有（）²=2. 类似地，计算： 7 二次根式的性质1 ＝a (a ≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件. 总结 8 2 0.1 0 算数平方根 4 … … 平方运算 … 2 0.1 观察两者有什么关系？ 0 0 知识点4 二次根式的性质2 探究1 根据平方及算术平方根的意义填空，你发现了什么？ 9 探究2 根据探究1直接写出结果. ，类似地，计算： _________，_________，_________. 又如=-(-3)，再计算： _________，_________. 10 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身的绝对值. 总结 二次根式的性质2 11 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零. (3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 分析 例1 例题解读 12 总结 二次根式的识别方法： 判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数． 注意 二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结果上判断，如是二次根式.像+1（a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式. 13 例2 实数x为何值时,下列式子有意义？ 解：（1）要使有意义，必须 x+3 ≥ 0， 解这个不等式，得x. 即当时，有意义. 归纳 要使二次根式有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零. （1）； （2）. （2）因为为任何实数时都有 x²≥ 0， 所以当x为一切实数时，有意义. 14 计算： 例3 （1）； （2）. 解：（1）或. （2）. 15 例4 先化简再求值：，其中. 解：=. 当时，∵＜4，∴4＞0. == ∴当时，=. 16 归纳 计算 一般有两个步骤： ①去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式，即 =|a|； ②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简，即|a|= 17 课堂小结 二次根式 二次根式有意义的条件 概 念 形如的式子叫作二次根式 被开方数必须为非负数 基本性质 ＝a (a ≥0). 1. 若 是二次根式，则a的值不可以是（　B　） A. 6 B. －3.14 C. D. 20 B 课堂练习 2. （2025·滁州天长期末）下列各式中，是二次根式的是　　 （　D　） A. B. C. D. D 3. （2025·六安期末）若x＝3能使某二次根式有意义，则这个 二次根式可以是（　B　） A. B. C. D. B 4. 若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 （　C　） A. x＜2 B. x＞2 C. x≥2 D. x≥0 C 5. 当a取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） ； 解：（1）由题意，得10－3a≥0，解得a≤ ， 即当a≤ 时， 在实数范围内有意义. （2） ； 解：（2）a取任意实数. （3） ； 解：（3）由题意，得 解得a＞ ， 即当a＞ 时， 在实数范围内有意义. （4） ＋ . （4）由题意，得 解得 即当－3≤a≤5时， ＋ 在实数范围内有意义. 6. 计算： （1）（ ）2＝ ⁠； （2）（－ ）2＝ ⁠； （3）（－ ）2＝ 　 　. 6　 5　 　 7. 类比2＝（± ）2，把下列正数写成一个数的平方形式： 3＝（　 　± 　　）2， ＝（　 　± 　　）2. 【拓展学习】因为多项式x2－3可写成x2－ ，所以x2－ 3在实数范围内可因式分解为（x＋ ）（x－ ）.请你根据 上述内容，在实数范围内分解下列因式： （1）4x2－5＝ ⁠； （2）a2－2 a＋3＝ 　（a－ ）2　. ± 　 ± 　 （2x＋ ）（2x－ ）　 （a－ ）2　 8. 计算： （1）（－ ）2； 解：原式＝ . （2）（2 ）2－ . 解：原式＝24－5 　　 ＝19. 9. 计算： ＝ ， ＝ ， ＝ 　 　， ＝ ⁠. 0.7　 0　 　 π－3　 10. 若x＜2，则 ＝ ⁠. 2－x　 11. （2025·安庆期中）若 ＝6－a，则a的取值范 围是 ⁠. a≤6　 12. （教材P3例3变式）先化简，再求值： ，其 中x＝2 . 解： ＝ ＝｜x－3｜. 当x＝2 时，原式＝｜2 －3｜＝3－2 . 13. 若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 （　D　） A. x≥－3 B. x＞－3 C. x＞－3且x≠1 D. x≥－3且x≠1 D 14. （2025·安庆期中）已知实数x，y满足y＝ ＋ －2，则yx的值是（　B　） A. －2 B. 4 C. －4 D. 无法确定 B 15. （教材P5习题T4变式）已知 是正整数，则正整数x 的最大值为 ⁠. 9　 16. （易错）若 ＝4，则x的值为 ⁠. ±4　 17. 已知－1＜a＜ ，化简：｜a＋1｜＋ ＝ ⁠. [变式] 化简 ＋ 的结果是 ⁠. 3　 －2a＋6 18. （2025·合肥五十中期中）在没有空气阻力的条件下，自由 下落物体的下落距离h（单位：m）与下落时间t（单位：s） 有如下关系：h＝4.9t2.今有一铁球从距离地面44.1 m的高处 自由落下，则铁球落到地面所用的时间是 s. 3　 19. （2025·安庆潜山期中）实数a，b，c在数轴上的位置如图 所示，根据它们的位置关系化简： ＋ ＋3 . 解：观察数轴，得a＜0＜b＜c，｜c｜＞｜a｜＞｜b｜， ∴a－b＜0，b－c＜0，a＋c＞0， ∴ ＋ ＋3 ＝b－a＋c－b＋3（a＋c）＝2a＋4c. 20. 已知实数a满足 ＋ ＝a.求： （1）a的取值范围； 解：（1）∵ 有意义， ∴a－2 025≥0，解得a≥2 025， ∴a的取值范围是a≥2 025. 20. 已知实数a满足 ＋ ＝a.求： （2）a－2 0242的值. 解：（2）由（1），知a≥2 025，∴｜2 024－a｜＝a－ 2 024. ∵｜2 024－a｜＋ ＝a， ∴a－2 024＋ ＝a， ∴ ＝2 024，∴a－2 025＝2 0242， ∴a－2 0242＝2 025. $