精品解析：陕西省宝鸡市新建路中学2025-2026学年九年级上学期12月素质拓展数学试卷

九年级12月素质拓展数学试卷 （满分：120 时间：120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，且必须是整式，逐项判断即可． 【详解】解：二次函数需满足整式且最高次项为2次，且， 选项A：，最高次为1次，故不符合题意； 选项B：，含有分式，不是整式，故不符合题意； 选项C：，是整式且最高次项为2次，故符合题意； 选项D：，含有分式，不是整式，故不符合题意， 故选：C． 2. 榫卯（）是古代中国建筑的主要结构方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据俯视图是从上面观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：“卯”的俯视图为： 故选：B． 3. 一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入个除了颜色外其余均相同的白球，随机的从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则红球的个数为（　　） A. 11 B. 14 C. 17 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据口袋中有个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可． 【详解】解：设红球的个数为个，根据题意得： ∴， 解得：， 经检验是原方程的解， 则红球的个数为个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键． 4. 顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点，所形成的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】构建任意对角线垂直的四边形，利用三角形中位线定理、平行四边形以及矩形的判定与性质，即可得解． 【详解】解：由题意，建立四边形，，与交于点O，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H，如图所示： ∵E、F、G、H分别为各边的中点， ∴，，，，（三角形的中位线平行于第三边） ∴四边形是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） ∵，，， ∴， ∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）， ∴， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 故选B． 【点睛】本点考查了中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 5. 若关于x的方程有实数根，则m的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此得到，进而求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， 选项A、B、C中的1、3、4满足，不符合题意，选项D中的5不满足，符合题意， 故选：D． 6. 在同一平面坐标系内函数与的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数和一次函数的图象的性质判断即可． 【详解】解：当中，该函数图象的两个分支在第一，三象限内，则的图象过第一、二、三象限，只有B选项符合； 当中，该函数图象的两个分支在第二，四象限内，则的图象过第一、二、四象限，没有选项符合； 故选：B． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数图象的判断，正确理解函数的性质是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或. 根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，点E的坐标为， ∴点E的对应点的坐标为或，即或， 故选：C． 8. 如图，在正方形中，，点E是上一点，将沿折叠，点B的对应点恰好落在对角线上，连接交于点P，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由正方形的性质以及勾股定理可得，再结合折叠的性质可得，再说明是等腰直角三角形，即进而得到，再根据相似三角形的判定与性质以及比例线段求解即可． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，，， ∴， ∵将沿折叠，点B的对应点恰好落在对角线上， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为： 10. 若，则锐角_______°． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了根据三角函数值求角的度数，根据特殊角的三角函数值可得，求解即可． 【详解】解：∵，为锐角， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，．若，则______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用相似三角形的性质求解，相似三角形的判定与性质综合等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，根据相似三角形的性质有，再求得，由此可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴(负值舍去)， 故答案为：． 12. 如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连结，若点，，，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像的性质；熟练运用反比例函数性质是解题的关键． 先求长度，再求点坐标，进而得出函数解析式，可求得面积； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， ∴该反比例函数的表达式为：， ∴． 故答案：9． 13. 如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形等知识的综合，理解等边三角形的性质，构造三角形全等，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接，证明，得到，当时，的值最小，根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，结合坐标与图形即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：4 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分） 14. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，计算即可． 【详解】解： ． 15. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 先算括号里的运算，把除法转为乘法，最后约分即可． 【详解】解： ． 16. 解下列方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 则 ∴， 17. 如图．已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点．使．且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】先作的平分线，再作的垂直平分线，直线交于点，则点满足条件． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． 18. 如图，在中，点在边上，，，点、分别在边、上．求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、平行线的性质，根据两直线平行， 同位角相等，可证、，根据有两个角对应相等的三角形相似，可证结论成立． 【详解】略 19. 红色研学作为一种独特的教育实践活动，其意义深远而重大，不仅是一次历史的追溯，更是一次心灵的洗礼和精神的传承．向阳中学利用假期时间带领学生进行山西革命圣地红色研学活动，七年级统一安排去晋察冀军区司令部旧址纪念馆研学，八年级和九年级由年级主任随机从下列三个红色景点中抽取一个进行研学． （1）九年级抽到A一平型关大捷遗址的概率为 ． （2）若八年级主任先从三个景点中随机抽取一个，接着九年级主任再从剩余的两个景点中机抽取一个，求至少有一个年级抽到景点C一太原解放纪念馆的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先画树状图或列表，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【小问1详解】 解：∵八年级和九年级由年级主任随机从三个红色景点中抽取一个进行研学， ∴九年级抽到A一平型关大捷遗址的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的情况，其中至少有一个年级抽到景点C太原解放纪念馆的结果有4种， ∴至少有一个年级抽到景点C太原解放纪念馆的概率为． 20. 西安某文化创意公司为推广古都文化，计划推出一款“长安印象”系列文创茶叶罐、该茶叶罐的设计灵感来源于西安大雁塔的唐代莲花纹样和城市徽章．设计者给出了茶叶罐的从不同方向看的视图，如图所示（单位：mm）． （1）图中的立体图形的名称是：_____． （2）请你按照视图求这个茶叶罐的表面积．（结果保留） 【答案】（1）圆柱 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了由三个方向看几何体，计算圆柱的表面积，正确还原几何体是解题关键． （1）根据从左面看和从正面看是长方形，则该几何体是柱体，再由从上面看为圆可知该几何体是圆柱； （2）根据圆柱表面积计算公式求出圆柱的表面积即可得到答案． 【小问1详解】 解：由已知条件判断，图中的立体图形的名称是：圆柱； 故答案为：圆柱． 【小问2详解】 ， ， 制作一个茶叶罐所需铁皮的表面积为． 21. 如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，） 【答案】山顶C点处的海拔高度为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点C作交的延长线于点，在和中，利用三角函数的定义列式计算即可求解． 【详解】解：过点C作交的延长线于点，设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴山顶C点处的海拔高度为． 22. 岳池县是电子商务百强县，某商店积极利用网络优势销售当地特产—西板豆豉．已知每瓶西板豆豉的成本价为16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．为了回馈广大顾客，该商店现决定降价销售（销售单价不低于成本价）．经市场调查反映：若销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶． （1）当销售单价降低1元时，每天的销售利润为__________元； （2）为尽可能让利于顾客，若该商店销售西板豆豉每天的实际利润为350元，求西板豆豉的销售单价． 【答案】（1）360； （2）西板豆豉的销售单价为18.5元． 【解析】 【分析】（1）利用“每天的销售利润=每瓶的销售利润×日销售量”，即可求出答案； （2）设每瓶西板豆豉的销售单价降低元，则每瓶的销售利润为元，每天的销售量为瓶，根据每天的实际销售利润为350元，可列出关于x的一元二次方程，解方程取较大值即可． 【小问1详解】 解：元． 【小问2详解】 解：设每瓶西板豆豉的销售单价降低元，则每瓶的销售利润为元，每天的销售量为瓶， 依题意，得， 化简，得， 解得，． 又∵尽可能让利于顾客， ∴， ∴ 答：西板豆豉的销售单价为18.5元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系“每天的销售利润=每瓶的销售利润×日销售量”是解题关键． 23. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明： ∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）24． 【解析】 【分析】（1）通过为菱形得到，，又，所以可知，从而得到为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形． （2）易知是直角三角形，为斜边的中点，得到，进而可得到是等边三角形，再通过角度计算出，再通过勾股定理求出，进而可得到四边形的周长． 【详解】解：（1）略 （2） ∵， ∴是直角三角形． ∵为的中点， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵． ∴． ∴， ∴． ∵四边形为菱形． ∴． 在中，， ∴ ∴（负值舍去）． ∵四边形为菱形， ∴菱形的周长为． 【点睛】本题考查菱形的证明及基本性质，等边三角形性质，勾股定理、直角三角形斜边上中线等于斜边一半，熟练掌握基本知识点是解题关键． 24. 如图，直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，并且． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，根据图象直接写出此条件下x的取值范围； （3）在x轴上取一点，当的面积为12时，求m的值． 【答案】（1） （2）或 （3）1或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别求出点的坐标，再结合，得出点D的坐标为，再把点D的坐标代入，进行计算，即可作答． （2）因为直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，则，解得，运用数形结合思想，即可作答； （3）依题意，得出，结合的面积为12，列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：在直线中，当时，， ∴点A的坐标为， 当时，， 解得：， ∴点B的坐标为， ∵，且A、B、C、D四点共线， ∴点A是线段的中点， ∴点D的坐标为， 将点D的坐标代入反比例函数解析式得：， ∴反比例函数解析式为y； 【小问2详解】 解：∵直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点， ∴ 得或， ∴， 观察图象可得：当时，x的取值范围为或． 【小问3详解】 解：依题意， ∵ ∴， ∴， 解得或． 25. 如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）几秒后，的长度等于？ （2）线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【答案】（1）或 （2）能， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用； （1）根据题意得，，由勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）分类讨论：当时，当时，分别列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得 ，， ， ， 解得，， 故或后，的长度等于． 【小问2详解】 解：能； ， ； 当时， ， ， 整理得， 解得； 当时， ， ， 整理得， ， 此时方程无实数解， 故此种情况不存在； 综上所述：当时，线段能将分成面积的两部分． 26. 【问题提出】（1）如图1，在直线上找一点P，使点P到C、D的距离之和最小； 【问题探究】（2）如图2，已知点D是边上一点，．求的长； 【问题解决】（3）如图3，在一块边长为40米的正方形的花园中，点P是内部一点，为了有好的欣赏效果，设计者在之间修三条小路（宽度不计），将花园分为三部分种植不同的花卉．根据调查可知修路每米200元，修路每米100元，修路每米100元．测得长为20米．设计者想知道修三条小路的费用是否有最小值，若有，求出总费用的最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）如图所示，连接交于点P，点P即为所求； （2）3； （3）元 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，两点之间线段最短等等： （1）根据两点之间，线段最短，连接交于点P，点P即为所求； （2）过点A作于E，设，则，利用勾股定理建立方程，解得，则，则，由勾股定理得，则； （3）在上取一点H，使得米，证明，得到，则当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长，在中，由勾股定理得米，再由总费用进行求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图所示，过点A作于E， 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （3）如图所示，在上取一点H，使得米， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长， 在中，由勾股定理得米， ∵总费用 ， ∴总费用最小为元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级12月素质拓展数学试卷 （满分：120 时间：120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 榫卯（）是古代中国建筑的主要结构方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入个除了颜色外其余均相同的白球，随机的从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则红球的个数为（　　） A. 11 B. 14 C. 17 D. 20 4. 顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点，所形成的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 5. 若关于x的方程有实数根，则m的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 在同一平面坐标系内函数与的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是（　　） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，在正方形中，，点E是上一点，将沿折叠，点B的对应点恰好落在对角线上，连接交于点P，则的长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，则的值为________． 10. 若，则锐角_______°． 11. 如图，．若，则______________ 12. 如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连结，若点，，，则________． 13. 如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为__________． 三、解答题（本大题共13小题，共81分） 14. 计算． 15. 化简：． 16. 解下列方程：． 17. 如图．已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点．使．且．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在中，点在边上，，，点、分别在边、上．求证：． 19. 红色研学作为一种独特的教育实践活动，其意义深远而重大，不仅是一次历史的追溯，更是一次心灵的洗礼和精神的传承．向阳中学利用假期时间带领学生进行山西革命圣地红色研学活动，七年级统一安排去晋察冀军区司令部旧址纪念馆研学，八年级和九年级由年级主任随机从下列三个红色景点中抽取一个进行研学． （1）九年级抽到A一平型关大捷遗址的概率为 ． （2）若八年级主任先从三个景点中随机抽取一个，接着九年级主任再从剩余的两个景点中机抽取一个，求至少有一个年级抽到景点C一太原解放纪念馆的概率． 20. 西安某文化创意公司为推广古都文化，计划推出一款“长安印象”系列文创茶叶罐、该茶叶罐的设计灵感来源于西安大雁塔的唐代莲花纹样和城市徽章．设计者给出了茶叶罐的从不同方向看的视图，如图所示（单位：mm）． （1）图中的立体图形的名称是：_____． （2）请你按照视图求这个茶叶罐的表面积．（结果保留） 21. 如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，） 22. 岳池县是电子商务百强县，某商店积极利用网络优势销售当地特产—西板豆豉．已知每瓶西板豆豉的成本价为16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．为了回馈广大顾客，该商店现决定降价销售（销售单价不低于成本价）．经市场调查反映：若销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶． （1）当销售单价降低1元时，每天的销售利润为__________元； （2）为尽可能让利于顾客，若该商店销售西板豆豉每天的实际利润为350元，求西板豆豉的销售单价． 23. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 24. 如图，直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，并且． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，根据图象直接写出此条件下x的取值范围； （3）在x轴上取一点，当的面积为12时，求m的值． 25. 如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）几秒后，的长度等于？ （2）线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 26. 【问题提出】（1）如图1，在直线上找一点P，使点P到C、D的距离之和最小； 【问题探究】（2）如图2，已知点D是边上一点，．求的长； 【问题解决】（3）如图3，在一块边长为40米的正方形的花园中，点P是内部一点，为了有好的欣赏效果，设计者在之间修三条小路（宽度不计），将花园分为三部分种植不同的花卉．根据调查可知修路每米200元，修路每米100元，修路每米100元．测得长为20米．设计者想知道修三条小路的费用是否有最小值，若有，求出总费用的最小值；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $