17.1 一元二次方程 课件 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

该初中数学课件围绕一元二次方程的概念、一般形式及根展开，通过复习一元一次方程等旧知，结合蔬菜产量增长率、长方形空地修路两个实际问题导入，帮助学生在已有知识基础上构建新知联系。 其亮点在于以实际问题为载体，引导学生用数学眼光观察现实，通过列方程建模发展数学思维和模型意识，如产量增长率问题抽象出方程x²+2x-1=0。采用情境导入与分层练习结合，小结结构化梳理知识，学生能提升应用能力，教师可高效开展概念教学。

17.1 一元二次方程 第17章 一元二次方程及其应用 沪科版 八年级下册 1、我们曾学过哪些方程？ 一元一次方程、 二元一次方程、 分式方程 2、什么是一元一次方程？ 一元一次方程具有哪些特点？ 只含有一个未知数 (元) ， 叫作一元一次方程. 并且未知数的最高次数是 1 的 整式方程 ③ 方程两边都是整式 ① 只含有一个未知数 (元) ② 未知数的次数是 1 一元一次方程的一般形式： ax+b=0 (a≠0) 3、什么是方程的解(或根)? 使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解(或根). 复习回顾 新知引入 思考：根据以往的经验，你想用什么方法来解决这个实际问题？ 方程 问题 1 某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划 明年无公害蔬菜的产量比去年翻一翻（即为 200 t）.要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？（精确到1%） 知识点1 一元二次方程的概念 100(1+x)+100(1+x)x=100(1+x)2(t). 解：设这个生产基地无公害蔬菜产量的年平均增长率是x， 根据题意，得 100（1+x）2 =200 . 整理，得 （1+x）2 =2 . 那么，今年无公害蔬菜产量为 100+100x=100(1+x)(t)， 明年无公害蔬菜产量为 化简，得 x2+2x-1=0. 用图表示为： 下节课讨论求解. 问题２ 如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑三条等宽的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成6块，建成小花坛.要使花坛的总面积为 570 m2，小路的宽应是多少？ 32 20 x (单位：m) 新知引入 1、若设小路的宽是 x m，则横向小路的面积是______m2，纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2. 32x 2、由于花坛的总面积是 570 m2.你能根据题意，列出方程吗？ 2×20x 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570. 2x2 整理，得 x2-36x＋35=0. 思考 (单位：m) 32 20 x 还有其他的列法吗？试说明原因. (32-2x)(20-x)=570. 32-2x 20-x 32 20 整理，得 x2-36x＋35=0. 想一想 (单位：m) x2+2x-1＝0 x2-36x+35＝0 观察上面所列的方程，这两个方程之间有什么共同的特点？ ③ 方程两边都是整式 ① 只含有一个未知数 (元) ② 未知数的最高次数是 2 特点： 只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2的 整式方程， 叫作 一元二次方程. 观察 概念学习 一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0 其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c是常数项． （a，b，c为常数，a≠0）, 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0， 当 a ≠ 0，b = 0 时 ax2＋c = 0， 当 a ≠ 0，c = 0 时 ax2＋bx = 0， 当 a ≠ 0，b = c =0 时 ax2 = 0， 总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数. 不符合定义； 符合定义； 符合定义； 符合定义． 想一想 知识点2 一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的根. 练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4. 解： 3 和 -2. 你注意到了吗？一元二次方程不止一个根. 例 已知方程. （1）把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项； （2）判断-1是否为该方程的根. 解：（1）去括号，得. 移项、合并同类项，得方程的一般形式：. 它的二次项系数是3，一次项系数是-5，常数项是-8. 教材例题 （2）把代入原方程的左右两边，得 . . 因为左边=右边，所以-1是该方程的根. 注意：不要忘记前面的符号. 例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理为 x2 - 3x + 2 = 0 少了先决条件 a ≠ 0 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程，若是则进一步化简整理后再作判断. 例题解读 例2 a 为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1) ax2－x = 2x2 ； (2) (a－1)x|a|+1－2x－7 = 0. 解：(1) 将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0，所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程. (2) 由 |a| + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = -1 时，原方程是一元二次方程. 方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，根据未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可得解． 例3 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化为一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2 - 3x = 5x + 10. 移项、合并同类项，得该方程的一般形式为 3x2 - 8x - 10 = 0. 其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x，系数是 -8；常数项是 -10. 系数和项均包含前面的符号. 注意 例4 已知 a 是方程 x2 + 2x－2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值. 解：由题意得 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值. 课堂小结 一元二次方程 概念 一般形式 ①是整式方程； ②含一个未知数； ③未知数最高次数是2 ax2 + bx + c = 0 (a,b,c为常数，a ≠ 0) 根 使方程左右两边相等的未知数的值 1. 下列方程是一元二次方程的是（　B　） A. 3x＋2＝9 B. x2＋2x－3＝0 C. y2＋3x＝7 D. ＋x＝1 B 随堂练习 2. （2025·阜阳颍上期中）若方程6x－2＝□是关于x的一元二 次方程，则“□”可以是（　A　） A. －3x2 B. －22 C. －2y2 D. －x A 3. （2025·六安期末）若方程kx2＋x＝3x2＋1是关于x的一元二 次方程，则k的取值范围是 ⁠. [变式] （易错）若（k－1）x｜k＋1｜－3x＋5＝0是关于x的一元 二次方程，则k＝ ⁠. k≠3　 －3　 4. 方程3x2－6x－9＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分 别为（　B　） A. －6，3，－9 B. 3，－6，－9 C. 3，－6，9 D. －3，－6，9 B 5. （2025·合肥四十六中期末）把一元二次方程x（2x－1）＝ 4x化成一般形式，则a，b，c的值分别是（　B　） A. 1，4，1 B. 2，－5，0 C. 3，4，0 D. －2，－5，1 B 6. 将下列方程化成一般形式，并写出它们的二次项系数、一次 项系数和常数项. （1）x2＋2（x－1）＝2x； 解：一元二次方程x2＋2（x－1）＝2x的一般形式为x2－2＝ 0， ∴它的二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为－2. 6. 将下列方程化成一般形式，并写出它们的二次项系数、一次 项系数和常数项. （2）（4x＋1）（2x－3）＝5x2＋1. 解：一元二次方程（4x＋1）（2x－3）＝5x2＋1的一般形式为 3x2－10x－4＝0， ∴它的二次项系数为3，一次项系数为－10，常数项为－4. 7. 已知一元二次方程 x2＋kx－3＝0有一个根为1，则k的值为 （　B　） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 B 8. （教材P22练习T4变式）x＝1 方程 2x2＋5x－3＝0 的根；x＝－3 方程2x2＋5x－3＝0的根.（填“是”或 “不是”） 不是　 是　 9. 某小区新增了一家快递站，第一天揽件200件，第三天揽件 242件.设该快递站揽件量的日平均增长率为x，根据题意，下 面所列方程正确的是（　A　） A. 200（1＋x）2＝242 B. 200（1－x）2＝242 C. 200（1＋2x）＝242 D. 200（1－2x）＝242 A 10. 已知两个连续奇数的积为99.设其中较小的一个奇数为x， 则可列方程为 ⁠. x（x＋2）＝99　 11.某校暑假期间组织志愿者参加公益活动，将108名志愿者排成方队，已知每行的人数比行数多3，设每行有x人.根据题意列方程，并化为一般形式： ⁠ ⁠. x2－3x－108＝0 12. 在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场， 共比赛36场.设共有x个队参赛，根据题意，可列方程为 ⁠ ⁠. x（x－1）＝36　 13. （2025·合肥包河区月考）若关于x的一元二次方程（a＋ 1）x2＋2x＋a2－1＝0的常数项为0，则a的值为（　B　） A. ±1 B. 1 C. －1 D. 0 B 14. （2025·淮南寿县期末）若关于x的方程x2＋nx－2m＝0的 一个根是2，则m－n的值是（　D　） A. 4 B. －4 C. －2 D. 2 D 15. （2025·安庆期中）把一块长与宽之比为2∶1的铁皮的四角 各剪去一个边长为10 cm的小正方形，折起四边，可以做成一 个无盖的盒子.若这个盒子的体积是1 500 cm3，设铁皮的宽为x cm，则下列方程正确的是（　C　） A. （2x－20）（x－20）＝1 500 B. 10（2x－10）（x－10）＝1 500 C. 10（2x－20）（x－20）＝1 500 D. 10（x－10）（x－20）＝1 500 C 16. 若a－b＝－2，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0必 有一个实数根为 ⁠. －1　 17. 【新考法·新定义】定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝ 0（a≠0）满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐 方程”. （1）判断一元二次方程2x2＋7x＋5＝0是不是“和谐方程”， 并说明理由. 解：（1）一元二次方程2x2＋7x＋5＝0是“和谐方程”.理由 如下： 在一元二次方程2x2＋7x＋5＝0中，a＝2，b＝7，c＝5. ∵2－7＋5＝0， ∴一元二次方程2x2＋7x＋5＝0是“和谐方程”. （2）已知3x2－mx＋n＝0是关于x的“和谐方程”.若－2是此 “和谐方程”的一个根，求m，n的值. 解：（2）∵3x2－mx＋n＝0是关于x的“和谐方程”， ∴3－（－m）＋n＝0，∴3＋m＋n＝0. ∵－2是此“和谐方程”的一个根， ∴3×（－2）2－m×（－2）＋n＝0，∴12＋2m＋n＝0. 联立 解得 $