精品解析：黑龙江省牡丹江市多校联考2024-2025学年高二上学期期末数学试卷

黑龙江省牡丹江市多校联考2024-2025学年高二上学期期末 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 18 D. 24 2. 若是等差数列，表示前项和，，，则中最小的项是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知动点P在椭圆上，，则的最小值为（　　） A. 5 B. C. 2 D. 1 5. 已知过抛物线 焦点 的动直线交抛物线 于 两点， 为线段 的中点， 为抛物线 上任意一点，则 的最小值为（ ） A. 6 B. 3 C. 12 D. 9 6. 已知点是曲线上不同的两点，且满足，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前n项和为；等比数列的前n项和为，且，则（ ） A. 22 B. 34 C. 46 D. 50 8. 如图，､是椭圆与双曲线的公共焦点，､分别是､在第二､四象限的交点，若，且，则与离心率之积为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题意，全选对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分） 9. 已知正项等比数列的公比为，若，且，则（ ） A. B. C. 是数列中的项 D. ，，成等差数列 10. 已知椭圆左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为16 B. 面积的最大值为12 C. 存在点P，使得∠ D. 的取值范围为 11. 已知数列满足：，，，数列的前项的积为，记，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 当为奇数时， D. 当为偶数时， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程_____. 13. 椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任一点，且最小值为，则椭圆的离心率是__________. 14. 若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前n项和为．给出下列结论： ①； ②奇数； ③； ④． 则所有正确结论的序号是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 设，分别为数列，的前n项和，，，数列是公比为的等比数列，． （1）求，的通项公式； （2）比较和的大小． 16. 已知抛物线过其中两点，为的焦点. （1）求的方程； （2）若过点的直线与相交于两点，且的面积为4，求直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，且平面平面，，为的中点． （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 动点到直线与直线的距离之积为，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若点为曲线与抛物线的一个公共点，点. ①求的取值范围；②当，且时，求直线斜率的取值范围. 19. 在数列中，已知，（）． （1）证明：数列为等比数列； （2）记，数列的前项和为，求使得的整数的最小值； （3）是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省牡丹江市多校联考2024-2025学年高二上学期期末 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列下标和性质，结合等差中项列出等式求解即可. 【详解】在正项等比数列中，设公比为， 则，又，，10成等差数列， 则，则， 故， 故选：C 2. 若是等差数列，表示的前项和，，，则中最小的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项的性质及求和公式可得，，进而可确定数列的最小项. 【详解】由数列为等差数列， 则，且， 即，， 所以当时，取最小值， 即数列的最小项为， 故选：B. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数公式直接计算即可. 【详解】由解析式知，所以. 故选：B 4. 已知动点P在椭圆上，，则的最小值为（　　） A. 5 B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆定义，将问题化为的最小值，数形结合求最小值. 【详解】由题设是椭圆的右焦点，令是椭圆的左焦点， 由，即在椭圆外，又， 所以，则， 所以最小，只需最小， 由图知，， 当且仅当三点共线且在之间取等号， 所以的最小值为1. 故选：D 5. 已知过抛物线 的焦点 的动直线交抛物线 于 两点， 为线段 的中点， 为抛物线 上任意一点，则 的最小值为（ ） A. 6 B. 3 C. 12 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线方程写出焦点坐标和准线方程，设出动直线方程为，与抛物线方程联立并利用韦达定理和抛物线定义计算可得结果. 【详解】由抛物线 可得，其准线方程为, 作垂直于准线，垂足为，如下图所示： 设过的直线方程为，； 联立直线与抛物线方程可得； 因此可得，所以, 可得， 由抛物线定义可知 ， 当三点共线时， 的最小值为， 此时，即动直线垂直于轴时， 的最小值为6. 故选：A 6. 已知点是曲线上不同的两点，且满足，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原条件等价转换为过点的直线与半圆弧有两个不同的交点，从而结合点到直线的距离公式可判断直线与圆的位置关系即可得解. 【详解】由得， 所以曲线为以为圆心，2为半径的上半圆弧. 由为不同两点，且可转化为， 则过点的直线与半圆弧有两个不同的交点. 如图，当直线位于直线的位置时，，斜率为. 当过点的直线与圆相切于点时，设直线方程为，即：， 由圆心到直线的距离，解得（舍），或， 即直线的斜率为. 如图可知，要使直线与半圆弧有两个不同的交点， 则直线斜率的取值范围为，即. 故选：B. 7. 已知等差数列的前n项和为；等比数列的前n项和为，且，则（ ） A. 22 B. 34 C. 46 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，解出d和q，再求出和，即可. 【详解】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 因为， 解得：d=1，q=2. 则， ， 所以15+31=46. 故选：C 【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质． 8. 如图，､是椭圆与双曲线的公共焦点，､分别是､在第二､四象限的交点，若，且，则与离心率之积为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的对称性，求出椭圆的离心率，然后求解双曲线的离心率即可. 【详解】F1､F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A､B分别是C1､C2在第二､四象限的公共点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O=，则为等边三角形且A，B关于原点对称， 可得A（-，c），B（，c）， 代入椭圆方程可得：，可得， 可得e4﹣8e2+4=0，解得e=. 代入双曲线方程可得，可得， 可得：e4﹣8e2+4=0，解得e=， 则C1与C2的离心率之积为：2. 故选A. 【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，注意椭圆以及双曲线的对称性的应用是解题的关键. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题意，全选对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分） 9. 已知正项等比数列公比为，若，且，则（ ） A. B. C. 是数列中的项 D. ，，成等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，求得公比，进而确定通项公式，再逐项判断即可. 【详解】对于选项A：由，可得， 且，所以，故A正确； 对于选项B：所以，故B正确； 对于选项C：可得， 令，即， 显然该方程无整数解，所以不是数列中的项，故C错误； 对于选项D：因为，，， 且，即 所以，，成等差数列，故D正确； 故选：ABD 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为16 B. 面积的最大值为12 C. 存在点P，使得∠ D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出给定椭圆长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及几何性质逐项判断即可. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A：的周长为，A错误； 对于B：设，，则，B正确； 对于C：由，得以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交， 当P为此交点时，，因此存在点P，使得∠，C正确； 对于D：，，D正确. 故选：BCD 11. 已知数列满足：，，，数列的前项的积为，记，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 当为奇数时， D. 当为偶数时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题设中数列的递推关系式得到，结合条件得到，两边取对数得到数列，即可判断选项A；在此基础上求出，进而得到与的关系即可判断选项B；结合条件分为奇数和为偶数两种情况求，进而得到即可判断C、D. 【详解】显然，．因为，所以， 又，所以，即当时，．显然， 对于A，∵，∴，又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，故A正确； 对于B，由选项A知， ，所以，，两式相除得，故B错误； 对于C，当为奇数时， ， 所以有，故C正确； 对于D，当为偶数时， ， 所以有，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程_____. 【答案】或（写出其中一条即可） 【解析】 【分析】设切点，利用导数求出切线斜率，得出切线方程，代入所过点坐标即可得解. 详解】，设切点， 则切线方程为，即， 因为过点，所以， 解得或， 所以切线方程为或 故答案为：或（写出其中一条即可） 13. 椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任一点，且最小值为，则椭圆的离心率是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用基本不等式及椭圆的定义，进行代换，得到答案. 【详解】由基本不等式及椭圆的定义可知， 所以当且仅当 由题意知，解得 所以，所以, 故答案为： 14. 若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前n项和为．给出下列结论： ①； ②是奇数； ③； ④． 则所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据递推公式求出即可判断①；观察数列的奇偶特点即可判断②；根据递推公式，结合累加法即可判断③；根据递推公式可得，结合累加法计算即可判断④. 【详解】对于①，由，且，可得斐波那契数列：，，，，，，，，故故①正确； 对于②：由斐波那契数列：，，，，，，，，，，，， 可得每三个数中前两个为奇数，后一个偶数，且，所以是奇数，故②正确； 对于③：因为， 相加可得：，故③错误； 对于④：因为斐波那契数列总满足，且， 所以， ， ， 类似的有，， 其中 累加得， ， 故：，故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】关键点睛：本题的关键是理解斐波那契数列的特点，直接计算可判断①②，利用累加法即可判断③④. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 设，分别为数列，的前n项和，，，数列是公比为的等比数列，． （1）求，的通项公式； （2）比较和的大小． 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）通过求得，即可求，构造，通过其为等差数列，即可求； （2）由，通过累加求得，利用等比数列求和公式求得，再通过的奇偶性讨论即可. 【小问1详解】 令，则，所以，， ，解得，所以 ； 由可知，，所以为等差数列， 所以，故． 【小问2详解】 当时，， 累加可得，， 所以，. 当n是奇数时，， 当n是偶数时，记，， 单调递增，，，所以． 综上，当n是奇数时，； 当n是偶数时，. 16. 已知抛物线过其中两点，为的焦点. （1）求的方程； （2）若过点的直线与相交于两点，且的面积为4，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）分别选两点，代入抛物线方程求解即可； （2）设直线方程，联立抛物线方程，根据韦达定理及面积求出即可. 【小问1详解】 若点在上，则，解得， 此时，点B不在E上； 若点在E上，则，无解； 若点在E上，则，无解. 综上，E的方程为. 【小问2详解】 如图，可知直线斜率可能不存在，但不为0， 设 联立l及E的方程得，则 此时，，解得. 故直线的方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，且平面平面，，为的中点． （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别取的中点为，连接，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求点到面的距离； （2）利用空间向量法求两平面夹角. 【小问1详解】 分别取的中点为，连接， 因为底面是正方形，分别为的中点，所以． 因为侧面是等边三角形，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以． 如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则令，则， 所以平面的一个法向量为， 设点到平面的距离为，则． 即点到平面的距离为． 【小问2详解】 由（1），得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 18. 动点到直线与直线的距离之积为，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若点为曲线与抛物线的一个公共点，点. ①求的取值范围；②当，且时，求直线斜率的取值范围. 【答案】（1）或. （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用点到直线距离公式列式化简即得. （2）①联立的方程与抛物线方程，用表示并建立不等式求出范围；②利用斜率坐标公式，结合二次函数性质求出范围. 【小问1详解】 依题意，，化简得， 所以曲线的方程为：或. 【小问2详解】 ①由（1）可知，或， 当时，由，得，而，，无解； 当时，由，得，由，解得， 所以的取值范围为. ②直线的斜率，由①知，且， 令，则，则， 当，即时，， 当，时，， 所以直线的斜率取值范围为. 19. 在数列中，已知，（）． （1）证明：数列为等比数列； （2）记，数列的前项和为，求使得的整数的最小值； （3）是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）不存在，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）证明数列为等比数列，即转化变形方向为与的关系.首先分离与，然后两边同取倒数，再同减去1，即可得证； （2）先由(1)结论求出，再化简，根据分式形式，裂项求和得，求解不等式，估值可得整数的最小值； （3）假设存在正整数、、，使得、、成等差数列，得到、、的等量关系，根据整数性质，等式左偶右奇不可能成立． 【详解】（1）证明：由，得，从而， ， 又，故数列为等比数列； （2）解：由(1)得，，故， 所以， ， 令，则， 解得，，. 故使得的整数的最小值为10； （3）解：假设存在正整数、、满足题意，则， 即， 即 两边同除以得， (*) 由得，，； 所以为奇数，而、均为偶数， 故(*)式不能成立； 即不存在正整数、、，且，使得、、成等差数列. 【点睛】数列常见裂项形式： （1）； （2）； （3）； （4）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $