精品解析：江西省南昌市第一中学2025-2026学年高三上学期数学周测（八）

南昌一中2025-2026学年度高三数学周练八 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，且，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集运算可得，化简求出，结合复数的模长公式可得答案. 【详解】因为，，，所以， 即，所以，所以. 故选：B 2. 设是双曲线上的动点，则到该双曲线两个焦点的距离之差为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由双曲线的定义即可求出. 【详解】由双曲线方程可得， 则. 故选：A. 3. 已知为等差数列，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列等差中项的性质可得公差，进而确定通项及. 【详解】由，， 可得，，则，， 所以，解得， 所以， 所以， 故选：C. 4. 一个平行于圆锥（其底面半径和母线均为定值）底面的平面将圆锥分成上下两部分，设圆锥所分的上下两部分的侧面积分别为，，则函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为，则由题意可得，从而可得结论 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为， 因为圆锥所分的上下两部分的侧面积分别为，， 所以，即， 因为为常数，所以函数的图像大致是一条线段， 故选：B 5. 在中，已知，，则C的大小为（ ） A. 90° B. 45° C. 135° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和正切公式及三角形内角和定理可得结果. 【详解】∵，， ∴， ∴， 又， ∴. 故选：C. 6. 已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由求出，结合周期可得答案. 【详解】函数的最小正周期，由题可得， 分别在同一周期内取得最小值的自变量的两侧，且， ， 由得，解得， 由得，或 解得，或， 因为，若，则，所以； 若，则，所以，即的取值范围是． 故选：C. 7. 已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正三棱柱的性质，结合勾股定理即可求得外接球表面积. 【详解】 边长为6的正三角形的内切圆半径为：， 所以正三棱柱的高为， 则外接球半径， 所以外接球的表面积为：， 故选：D. 8. 在正三角形中，为中点，为三角形内一动点，且满足，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设边长为，由向量坐标运算可表示出点轨迹，利用两点间距离公式可得；当时，可求得；当时，令，根据的几何意义，利用直线与圆的位置关系可求得的范围，进而得到最小值；综合两种情况可得结果. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系， 不妨设正三角形的边长为，则，，， 设，则，， ，， ，即； 点轨迹为：， ； 当时，，； 当时，令，则表示与连线的斜率， 设直线与圆相切， 则圆心到直线距离，解得：或， ， 则当时，取得最小值，； 综上所述：最小值为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举特例可判断AD；利用作差法可判断B；利用指数函数的单调性可判断C. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，由， 因为，所以，， 所以，即，故B正确； 对于C，由，得， 由于函数在上单调递增，所以，故C正确； 对于D，当时，满足，而，故D错误. 故选：BC. 10. 已知定义在上的偶函数可导，的导数为是奇函数，则（ ） A. B. 的一个周期为8 C. D. 的图象关于对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性以及导数的运算法则逐项判断即可. 【详解】因为是奇函数，所以， 令，可得，解得，A错误； 因为是偶函数，则，且， 用代替可得，即. 又，则，所以，从而有， 所以的一个周期为8，B正确； 因为是偶函数，则，两边求导得， 所以是奇函数，所以，C正确； 由，两边同时对求导得， 即，所以函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：BCD 11. 如图，在五边形中，四边形为正方形，，，F为AB中点，现将沿折起到面位置，使得，则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 若为的中点，则平面 C. 折起过程中，点的轨迹长度为 D. 三棱锥的外接球的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先说明，结合已知，从而证明平面，即可判断A，由，即可证明B，过点作交于点，求出，即可求出点的轨迹长度，从而判断C，连接，即可证明平面，从而得到三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球，求出外接球的半径，即可求出球的体积，即可判断D. 【详解】对于A：由题意得，所以，即， 而已知，且注意到，，平面，平面， 所以平面，平面，所以平面平面，故A正确； 对于B：因为为的中点，所以，又，所以， 又平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C： 因为四边形为正方形，，，所以， 过点作交于点，则， 所以折起过程中，点的轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧， 所以点的轨迹长为，故C错误； 对于D：连接，则，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又四边形为边长为的正方形，则三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球， 又四边形外接圆的直径为，， 设四棱锥的外接球的半径为，则，即， 所以， 所以外接球的体积， 即三棱锥的外接球的体积为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题关键是证明平面平面，从而确定点的旋转角，即可判断B，D选项关键是转化为求四棱锥的外接球的体积. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若定义域为R的奇函数在上的解析式为，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇偶性有，结合已知解析式可解. 【详解】因为为奇函数， 所以， 又在上的解析式为， 所以. 故答案为： 13. 已知平面向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由两边平方可得，向量在向量方向上的投影化简为，再由基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以， 因为向量在向量方向上的投影为 ， 当且仅当时等号成立， 故向量在向量方向上的投影的最小值为. 故答案为：． 14. 已知实数a，b满足，记a的取值集合为M，则M中的整数有______个． 【答案】3 【解析】 【分析】设，则，根据几何意义，根据点与圆的位置关系求得a的取值集合，即可求解. 【详解】设，则根据题意得， 由的几何意义知， a为曲线上的点到原点的距离的平方， 由于曲线为圆的一部分，如图： 圆心为，半径，圆心到原点的距离为， 所以圆上一部分的点到原点的距离范围为， 此时，又当时，， 综上，当时，， 所以M中的整数有0，1，2共计3个． 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角的正弦公式可求出结果； （2）由面积公式列式求出，再由余弦定理求出即可得的周长. 【小问1详解】 由，得， 因为，，所以，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 由，得，得. 所以. 故的周长为. 16. 各项均不为0的数列对任意正整数满足：． （1）若为等差数列，求； （2）若，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由递推关系首先得，进一步结合已知为等差数列，并在已知式子中令，即可得解. （2）由（1）得时，数列是等差数列，故首先求得的值，进一步分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意， 当时，， 两式相减得， 因为为等差数列，在式子：中令， 得，所以， 所以或， 若，则，但这与矛盾，舍去， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 而当时，，所以此时， 所以此时， 而也满足上式， 综上所述，的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：取的中点N，连接， 如图所示：为棱的中点，， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面． （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证四边形是平行四边形，可知，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）先利用面面垂直的性质定理证明平面，再证，，两两垂直，然后以为坐标原点建立空间直角坐标系，（ⅰ）利用向量法求平面与平面的夹角即可；（ⅱ）设，利用向量法表示出点到平面的距离，可得关于的方程，解之即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ∵平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面，而，  ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， 为棱的中点，                      （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为，           ， ∴平面PDM与平面BDM的余弦值为； （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设，则，       由（2）知平面的一个法向量为，， ∴点Q到平面的距离是，  ． 18. 设集合为的非空子集，随机变量分别表示取到子集中元素的最大值和最小值． （1）若的概率为，求； （2）若，求且的概率； （3）已知：对于随机变量，有．求随机变量的期望． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用组合数性质来计算概率即可. （2）利用组合数思想，来计算这六个数中选取不同个数的组合数的和，就能计算该事件的概率。 （3）利用两个随机变量的分布列来分别计算它们的期望，再利用加法原理，来对它们求和即可. 【小问1详解】 的非空子集个数为， 则， 解得，所以. 【小问2详解】 当集合中的最大元素和最小元素分别为9，2时， 集合元素个数最少时，；集合元素个数最多时，， 而集合的可能情况有种， 当时，集合的非空子集个数为个， 所以． 【小问3详解】 集合的非空子集个数为， 最大值为的子集可视为的子集与集合的并集，共计个， 同理为的子集共计个，为的子集共计个，…，为1的子集共计个， 因此， 最小值为1的子集可视为的子集与集合的并集，共计个， 同理为2的子集共计个，为3的子集共计个，…，为的子集共计个， 因此， 于是 ， 所以． 【点睛】关键点点睛：首先从第一问和第二问找到解决问题的办法，其实就是研究包含某些元素的子集个数的研究，只有特殊的弄清楚了计算原理，对于后面的就是写清楚概率通项公式，即可求期望. 19. 已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. （1）判断曲线为何种圆锥曲线. （2）若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？ （3）设曲线为曲线，斜率为且的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，试证明直线过定点. 【答案】（1）椭圆 （2）且 （3）（i）； （ii）因为点关于轴的对称点为点，所以， 则直线的方程为， 根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上， 令，得 . 当且时， ， 故直线过定点. 【解析】 【分析】（1）设，根据曲线的定义，可得的坐标满足的方程，分析可得结果. （2）将整理为，根据双曲线方程的特点分析可得结果. （3）（i）先根据为曲线可得曲线的方程，利用双曲线的性质及弦长公式易得结果； （ii）先设出直线的点斜式方程，由对称性得直线经过的定点必在轴上，令，结合韦达定理化简可得定点坐标. 【小问1详解】 设，由，得， 当时，，即，所以曲线为椭圆. 【小问2详解】 由，得. 若曲线为双曲线，则， 所以可化为， 所以，则； 故应满足且曲线为双曲线. 【小问3详解】 由，得曲线的方程为， 则的右焦点坐标为，所以直线的方程为. 联立得. 设，则 （i）若，则 . （ii）略 【点睛】本题难点在于理解并应用曲线的定义进行分析，考查对新定义的理解和应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌一中2025-2026学年度高三数学周练八 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，且，则（    ） A. B. C. D. 2. 设是双曲线上的动点，则到该双曲线两个焦点的距离之差为（ ） A. 4 B. C. D. 3. 已知为等差数列，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 一个平行于圆锥（其底面半径和母线均为定值）底面的平面将圆锥分成上下两部分，设圆锥所分的上下两部分的侧面积分别为，，则函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知，，则C的大小为（ ） A. 90° B. 45° C. 135° D. 60° 6. 已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在正三角形中，为中点，为三角形内一动点，且满足，则最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知定义在上的偶函数可导，的导数为是奇函数，则（ ） A. B. 的一个周期为8 C. D. 的图象关于对称 11. 如图，在五边形中，四边形为正方形，，，F为AB中点，现将沿折起到面位置，使得，则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 若为的中点，则平面 C. 折起过程中，点的轨迹长度为 D. 三棱锥的外接球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若定义域为R的奇函数在上的解析式为，则_________. 13. 已知平面向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为__________． 14. 已知实数a，b满足，记a的取值集合为M，则M中的整数有______个． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 各项均不为0的数列对任意正整数满足：． （1）若为等差数列，求； （2）若，求的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 设集合为的非空子集，随机变量分别表示取到子集中元素的最大值和最小值． （1）若的概率为，求； （2）若，求且的概率； （3）已知：对于随机变量，有．求随机变量的期望． 19. 已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. （1）判断曲线为何种圆锥曲线. （2）若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？ （3）设曲线为曲线，斜率为且的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，试证明直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $