精品解析：吉林省吉林市蛟河市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级数学试题 数学试卷包括3道大题，共22道小题．试卷满分120分（试题18分，卷面书写2分）．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 缘木求鱼 2. 如图，把放大后得到，则与的相似比是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图像上，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 5. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 6. 如图，周长为三角形纸片，其中．小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的直线DE剪下一个三角形纸片．则三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 抛物线的顶点坐标为__________． 8. 随着我国电子技术的高速发展，全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为______米． 9. 已知关于的一元二次方程的两个根，满足，则的值为_____． 10. 中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为，观测者的眼睛（图中用点表示）与在同一水平线上．若经测量得到数据，，则测杆上的长是___________cm． 11. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，的面积为2，则k的值为______． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-22题10分，共85分） 12. 解方程：． 13. 验光师通过检测发现近视眼镜度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，求近视眼镜的度数减少了多少度． 14. 如图，在锐角三角形中，点D，E分别在边，上，，F，G分别是，的中点． （1）求证：∽； （2）若，直接写出的值． 15. 笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（或），再经过第二道门（或或）才能出去． （1）松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是_____； （2）请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过门出去的概率． 16. 如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，，求直径的长． 17. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点． （1）求证：AE＝CD； （2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数． 18. 学习完二次函数性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是 ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是 ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 19. 停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．如图2为停车楔工作模型侧面示意图，水平地面与车轮切于点，为的直径，射线与射线交于点，于点，连接． （1）求证：平分． （2）若，，求车轮的半径． 20. 项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 21. 如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． （1）的长为_______． （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （3）当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值． 22. 如图，正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转得到． （1）观察猜想：如图1，线段与的数量关系是______，位置关系是______． （2）探究实践：如图2，连接，若，，，求的度数． （3）拓展延伸：如图3，A，P，Q三点在一条直线上，若，，请求出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 数学试卷包括3道大题，共22道小题．试卷满分120分（试题18分，卷面书写2分）．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 缘木求鱼 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断．本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件，不可能事件，随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、水涨船高，是必然事件，不符合题意； B、水中捞月，不可能事件，不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，符合题意； D、缘木求鱼，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，把放大后得到，则与的相似比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求两个位似图形的相似比，根据题意把放大后得到，则与位似，从而得到与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解题的关键． 【详解】解：∵放大后得到， ∴与位似， ∴与的相似比为， 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图像上，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，将点代入反比例函数解析式，求解的值． 【详解】解：∵点 在的图像上， ∴， ∴的值为， 故选：A． 4. 如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握中心对称的性质，勾股定理解直角三角形，中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等． 根据与关于点成中心对称，得到，并利用勾股定理求得的值，最后得到的值，完成求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， 故, 根据勾股定理，， 故． 故选：B． 5. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题；根据二次函数的图象开口向上，可得，再由二次函数的图象的对称轴为直线，可得，可判断①；根据二次函数的图象与x轴有2个交点，可得，可判断②；根据当时，，可判断③；根据当时，以及，可判断④． 【详解】解：二次函数的图象开口向上， ∴， ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴有2个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，故②正确； ∵当时，， ∴，故③正确； ∵当时，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故选：D 6. 如图，周长为的三角形纸片，其中．小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的直线DE剪下一个三角形纸片．则三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查切线长定理． 设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理，等量代换，即可得三角形的周长． 【详解】解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示： 由切线长定理可得，，，，， ∵，， ∴，， ∴ ， ∴三角形的周长是． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 抛物线的顶点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，通过配方法将一般式转化为顶点式，从而直接读出顶点坐标． 【详解】解：， 因此抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 8. 随着我国电子技术的高速发展，全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形弧长公式的应用．扇形弧长公式为（其中为弧长，为圆心角度数，为扇形半径），将，代入公式即可求解． 【详解】根据扇形的弧长公式，该可视区域形成的扇形弧长（米）， 故答案为：． 9. 已知关于的一元二次方程的两个根，满足，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根可得判别式为零． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根，满足， ∴， 解得． 故答案为：． 10. 中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为，观测者的眼睛（图中用点表示）与在同一水平线上．若经测量得到数据，，则测杆上的长是___________cm． 【答案】28 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； 故答案为28． 11. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，的面积为2，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征．设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴，则点D到的距离为a， ∵为的直径， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：8． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-22题10分，共85分） 12. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．方程可以变形为，利用因式分解法解方程即可得． 【详解】解：， ， 或， 或， 所以方程的解为，． 13. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，求近视眼镜的度数减少了多少度． 【答案】度． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：设y与x的函数关系式为， 把代入中得，， ∴， 当时，， 当时， ∴度数减少了度． 14. 如图，在锐角三角形中，点D，E分别在边，上，，F，G分别是，的中点． （1）求证：∽； （2）若，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形对应边上的中线比等于相似比计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， 由题意知，、分别是和对应边上中线， ∴， ∵， ∴． 15. 笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（或），再经过第二道门（或或）才能出去． （1）松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是_____； （2）请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过门出去的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的求解方法以及画树状图或列表法是解题关键． （1）根据松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择，即可求解； （2）根据题意画出树状图，找出总的可能情况和松鼠经过门出去的情况，即可求出概率． 【小问1详解】 解：∵松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择， ∴松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是， 故答案为： 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能的情况，其中松鼠经过门出去的情况有2种， ∴松鼠经过门出去的概率是 16. 如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，，求直径的长． 【答案】（1）见解析 （2）的直径是 【解析】 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理，得到，等腰三角形三线合一，即可得出结论； （2）连接，设的半径是r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，且过圆心O ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，设的半径是r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的直径是． 17. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点． （1）求证：AE＝CD； （2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFE＝105°． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD（SAS），进而得证；  （2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合， ∴BD＝BE，∠EBD＝120°， ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°， ∴∠DBC＝∠ABE， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD； （2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°， ∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°， ∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE ＝180°﹣30°﹣45°＝105°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是解题的关键． 18. 学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是 ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是 ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 【答案】（1）①③；（2）直线；（3）时，最小值为；（4） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质， （1）分别求出每一个函数的对称轴，再结合函数的性质确定即可； （2）根据二次函数性质，直接求对称轴即可； （3）将代入函数的解析式，即可求最小值； （4）先求出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）①的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ②的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ③的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； 故答案为：①③． （2）函数 的对称轴是直线； 故答案为：直线． （3）当时，函数 有最小值 （4）∵，，． ∴ ∴当时，的最小值为． 19. 停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．如图2为停车楔工作模型侧面示意图，水平地面与车轮切于点，为的直径，射线与射线交于点，于点，连接． （1）求证：平分． （2）若，，求车轮的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、等边对等角，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）根据切线的性质和垂直得到，再利用等边对等角得到，即可证明结论成立； （2）利用勾股定理列方程并解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：连结． 切于点， ． ， ， ． ， ∴， ， 平分． 【小问2详解】 设的半径为，则． 在中，，，，， 解得，即的半径为． 20. 项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 21. 如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． （1）的长为_______． （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （3）当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值． 【答案】（1）7 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何图形问题，正方行的性质、三角形相似、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线利用数形结合的思想进行求解； （1）当重合时，通过勾股定理分别求出即可求解； （2）将正方形与重叠部分图形的面积分割成一个三角形的面积和直角梯形的面积之和来求解即可； （3）根据正方形的对称中心与点B重合时，得出，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：当重合时，如下图： ，以为边作正方形， 是等腰直角三角形， ， 即， 解得：（负的舍去）， ， ， ， 故答案为：7； 【小问2详解】 解：当在线段上运动时， ， 当在线段的延长线上运动时，即点在线段上运动，如下图： ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； 【小问3详解】 解：当正方形的对称中心与点B重合时， ， ， 即， 解得：， ， ． 22. 如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转得到． （1）观察猜想：如图1，线段与数量关系是______，位置关系是______． （2）探究实践：如图2，连接，若，，，求的度数． （3）拓展延伸：如图3，A，P，Q三点在一条直线上，若，，请求出的长度． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，掌握旋转的性质，分类讨论是解题的关键． （1）延长交分别于点，根据旋转的性质以及正方形的性质可得，，则，，进而根据三角形内角和定理，可得，即可得出； （2）连接，由旋转性质可得：，，勾股定理求得，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，进而即可求解； （3）①当点在正方形内时，作于．勾股定理求得，根据，②当点在正方形外时，根据即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，延长交分别于点， ∵将绕点顺时针方向旋转得到，四边形是正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 连接 由旋转性质可得：，， ∴，， 由得： ∴，， ∵， ∴是直角三角形，即， ∴； 【小问3详解】 作于．则， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $