精品解析：河南省南阳市唐河县2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025年12月学科素养评估 八年级数学（华师版） 注意事项： 1.本试卷共4页，三个大题，满分120分.考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若，□，则“□”内应填的运算符号为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，解题的关键是掌握同底数幂的除法运算法则．利用同底数幂的除法运算法则计算即可． 【详解】解：若，， 则“□”内应填的运算符号为， 故选：C． 2. 多项式和的公因式是（ ） A. B. x C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求公因式，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 将第二个多项式因式分解，提取公因式后得到，与第一个多项式对比，可知公因式为． 【详解】解：∵ ， ∵ 第一个多项式为， ∴二者的公因式为， 故选D． 3. 如图，，如果，，，那么的长是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的对应边相等解答． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 4. 用反证法证明“若在同一平面内，，，则”时，应假设（ ） A. 与平行 B. 与相交 C. D. 与不平行，与不平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反证法，解题的关键是区分命题的条件与结论．由于反证法的步骤是首先假设结论不成立，进而得出答案． 【详解】解：求证：，若用反证法证明该题，则需要从结论的反面出发， 第一步应假设与不平行，则与相交． 故选：B． 5. 如图，两个完全一样的三角板摆放在内，它们的顶点重合于点M，连接则（ ） A. B. C. D. 点M在BC边的垂直平分线上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定定理，通过作辅助线将“三角板完全一样”转化为“点到角两边的距离相等”，得到，即可推出C选项． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点． 由于两个三角板完全一样，且顶点重合于，因此三角板到、的垂直距离分别对应相等，即． 选项A：缺少条件，无法推出是的平分线，即不一定等于，故A错误； 选项B：缺少条件，无法推出是的平分线，即不一定等于，故B错误； 选项C：因为，且，所以点在的平分线上，即平分，所以，故C正确； 选项D：缺少条件，无法推出点M在边的垂直平分线上，故D错误． 故选C． 6. 如图，以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形中的数字及字母m表示所在正方形的边长，其中m的值为（ ） A. 5 B. 25 C. 7 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理可知边长为4和边长为3的正方形的边长的平方和等于边长为的正方形边长的平方，据此可得答案． 本题考查了勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关键． 【详解】解：每个正方形中的数及字母表示所在正方形的边长， 由勾股定理得：, 则（负数舍去）． 故选：A． 7. 下列定理中，没有逆定理的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 三个角都相等的三角形是等边三角形 C. 全等三角形的对应角相等 D. 等角对等边 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键在于判断其逆命题的真假． 分别写出各选项中定理的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：选项A：逆命题为“同位角相等，两直线平行”，是真命题，故A有逆定理，不符合题意要求； 选项B：逆命题为“等边三角形的三个角都相等” ，是真命题，故B有逆定理，不符合题意要求； 选项C：逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，是假命题，故C没有逆定理，符合题意要求； 选项D：逆命题为“等边对等角”，是真命题，故D有逆定理，不符合题意要求； 故选：C． 8. 已知的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，掌握无理数的取值范围是解题的关键． 先估算的整数部分，再求的小数部分，最后计算即可． 【详解】∵，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分， ∴， 故选D． 9. 如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 连接，，根据题意可得，，根据等边三角形的判定和性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得，， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 10. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明，则还需补充的条件是：______．（写一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．由，得，利用即可推出． 【详解】解：补充的条件是：，理由如下： ， ， 在和中， ， 故答案为：． 13. 某同学在计算加上一个多项式时错将加法算成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解题关键． 先根据题意算出这个多项式，再与相加即可． 【详解】解：由题意可知这个多项式为， 则正确计算结果为， 故答案为：． 14. 如图，点A表示的数为0，点B表示的数为1，以线段的长为边长向上作一个正方形，连接，以点B为圆心，线段的长为半径画圆，交数轴于点E和点F（点E在点F的左侧），则点E表示的数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求得是解题的关键．利用勾股定理求出的长度，进而得到长度，再求得的长度即可得出点E表示的数． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵以点B为圆心，线段的长为半径画圆，交数轴于点E和点F（点E在点F的左侧）， ∴， ∴， ∴点E表示的数是． 故答案为：． 15. 如图，在中，，点为边上的定点，，，，，是线段上的动点，交于点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，等面积法求三角形的高，推导出的最小值即为中边上的高是解题的关键． 先根据垂直平分线的判定与性质可得，再根据垂线段最短得出的最小值即为中边上的高，利用勾股定理计算出，即可得到的长，再运用等面积法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当、、三点共线，且时，的值最小，最小值为， ∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）9 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及立方根的求解，化简绝对值，完全平方公式的运用等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据乘方运算法则，绝对值的意义，立方根和平方根的求解计算各项再算加减即可； （2）先根据完全平方公式，多项式乘单项式去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间t（h）可以用下面的公式来估计；，其中是雷雨区域的直径． （1）如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ （2）如果一场雷雨持续的时间t符合，那么这场雷雨区域的直径是多少？ 【答案】（1）这场雷雨大约能持续 （2）这场雷雨区域的直径是 【解析】 【分析】本题考查了求函数的自变量的值或函数值，算术平方根和立方根，根据题意，直接把数值代入函数表达式即可解答． 【小问1详解】 解：当时，由， 得（负值舍去）． 答：这场雷雨大约能持续． 【小问2详解】 解：当时，， ∴． 答：这场雷雨区域的直径是． 18. 如图，是等边三角形、是的中线，交的延长线于点E，，则和是否相等？为什么？ 【答案】 ． 理由如下： ∵是等边三角形， ∴． ∵是的中线， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质及三角形外角的性质，根据等边三角形的性质得到，再利用三线合一得到，由，得，再利用外角的性质得到，进而即可得出答案． 【详解】解：略． 19. 第十五届全运会由广州、深圳等广东15个地市及香港、澳门共19个城市联合承办，在区域融合、制度实践、民生发展等多个维度都影响深远．运动场馆的选择和修缮首先要考虑噪音对周边居民的影响．如图，全运会前夕、施工队正在对场馆的一边进行修缮，居民楼在场馆的一边附近的点C处，点C距离点A、B分别为和，，施工作业周围的以内为受噪声影响区域． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）居民楼会受噪声影响吗？为什么？ 【答案】（1） 解：是直角三角形． 理由如下：∵，，， ∴． ∴是直角三角形，且． （2） 解：居民楼不会受噪声影响． 理由如下：如图，过点C作于点D． 则． ∴． ∴． ∵施工作业周围的以内为受噪声影响区域，， ∴居民楼不会受噪声影响． 【解析】 【分析】该题考查了勾股定理的应用． （1）根据勾股定理逆定理即可解答； （2）如图，过点C作于点D，根据等面积法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 在数学课外探究小组活动中，有一道这样的题目：对多项式进行因式分解．老师的讲解过程如下． 解：令， 则原式． ∵， ∴原式． 老师的讲解到此就停止了，并提出了以下两个问题： （1）上述讲解的结果没有分解到最后，最后的结果是______； （2）请仿照以上方法对多项式进行因式分解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，读懂题意，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）检查解答的结果继续应用完全平方公式进行分解即可； （2）利用题目提供的信息进行分解因式即可． 【小问1详解】 解：原式； 故答案为：； 【小问2详解】 令， 则 ． ∵， ∴原式． 21. 若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、及相应的逆运算，解题的关键是将底化相同； （1）将等式左边化成以为底，得出，求解即可； （2）将方程左边提取公因式，得出，求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∴． ∴． 解得． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 解得． 22. 用4块相邻两边长分别为，的小长方形，拼成如图所示的“回形”正方形． （1）根据图形，请你用等式表示，，之间的数量关系：______； （2）结合（1）中的结论，如果，，求的值； （3）结合以上结论，如果，求的值． 【答案】（1） （2）的值为15或 （3） 【解析】 【分析】（1）用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各部分的面积之间的关系，即可得出答案； （2）根据（1）中的结论，再利用平方差公式进行计算即可； （3）将和分别看作一个整体，结合（1）中结论即可求解． 本题主要考查了完全平方公式的几何背景以及平方差公式的运用，熟练掌握平方差和完全平方公式的计算方法进行求解是解决本题关键． 【小问1详解】 解：由题可知，大正方形的面积等于四个长方形的面积加小正方形的面积， ． 【小问2详解】 解：，，， ． 或． ， ∴当时，； 当时，． 综上，的值为或． 【小问3详解】 解：设，，则， ． ． ． 故答案为：． 23. 中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣． 【发现】 （1）某兴趣小组从赵爽弦图（图1）中提炼出三角形全等的模型图（图2），由图中可以通过推理得到，进而得到______，______．我们可以把这个数学模型称为“一线三等角”模型； 【类比】 （2）如图3，在中，，点D，A，E都在直线l上，并且．若，，求的长； 【拓展】 （3）如图4，在中，，，于点E，于点D，当，时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）9；（3）2 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定方法有：、、、、，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键． （1）根据全等三角形的性质即可得答案； （2）利用外角性质可得出，利用可证明，根据全等三角形的性质得出，，利用线段的和差关系即可得答案； （3）利用角的和差关系得出，利用可证明，根据全等三角形的性质得出，再利用勾股定理可得到的长，然后利用线段的和差关系即可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，． 故答案为：，； （2）∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，， ∴，． ∴； （3）∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年12月学科素养评估 八年级数学（华师版） 注意事项： 1.本试卷共4页，三个大题，满分120分.考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若，□，则“□”内应填的运算符号为（ ） A. B. C. D. 2. 多项式和的公因式是（ ） A. B. x C. D. 3. 如图，，如果，，，那么的长是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4. 用反证法证明“若在同一平面内，，，则”时，应假设（ ） A. 与平行 B. 与相交 C. D. 与不平行，与不平行 5. 如图，两个完全一样的三角板摆放在内，它们的顶点重合于点M，连接则（ ） A. B. C. D. 点M在BC边的垂直平分线上 6. 如图，以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形中的数字及字母m表示所在正方形的边长，其中m的值为（ ） A. 5 B. 25 C. 7 D. 14 7. 下列定理中，没有逆定理的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 三个角都相等的三角形是等边三角形 C. 全等三角形的对应角相等 D. 等角对等边 8. 已知的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简的结果是______． 12. 如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明，则还需补充的条件是：______．（写一种即可） 13. 某同学在计算加上一个多项式时错将加法算成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是______． 14. 如图，点A表示的数为0，点B表示的数为1，以线段的长为边长向上作一个正方形，连接，以点B为圆心，线段的长为半径画圆，交数轴于点E和点F（点E在点F的左侧），则点E表示的数是______． 15. 如图，在中，，点为边上的定点，，，，，是线段上的动点，交于点，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间t（h）可以用下面的公式来估计；，其中是雷雨区域的直径． （1）如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ （2）如果一场雷雨持续的时间t符合，那么这场雷雨区域的直径是多少？ 18. 如图，是等边三角形、是的中线，交的延长线于点E，，则和是否相等？为什么？ 19. 第十五届全运会由广州、深圳等广东15个地市及香港、澳门共19个城市联合承办，在区域融合、制度实践、民生发展等多个维度都影响深远．运动场馆的选择和修缮首先要考虑噪音对周边居民的影响．如图，全运会前夕、施工队正在对场馆的一边进行修缮，居民楼在场馆的一边附近的点C处，点C距离点A、B分别为和，，施工作业周围的以内为受噪声影响区域． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）居民楼会受噪声影响吗？为什么？ 20. 在数学课外探究小组活动中，有一道这样的题目：对多项式进行因式分解．老师的讲解过程如下． 解：令， 则原式． ∵， ∴原式． 老师的讲解到此就停止了，并提出了以下两个问题： （1）上述讲解的结果没有分解到最后，最后的结果是______； （2）请仿照以上方法对多项式进行因式分解． 21. 若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值． 22. 用4块相邻两边长分别为，的小长方形，拼成如图所示的“回形”正方形． （1）根据图形，请你用等式表示，，之间的数量关系：______； （2）结合（1）中的结论，如果，，求的值； （3）结合以上结论，如果，求的值． 23. 中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣． 【发现】 （1）某兴趣小组从赵爽弦图（图1）中提炼出三角形全等的模型图（图2），由图中可以通过推理得到，进而得到______，______．我们可以把这个数学模型称为“一线三等角”模型； 【类比】 （2）如图3，在中，，点D，A，E都在直线l上，并且．若，，求的长； 【拓展】 （3）如图4，在中，，，于点E，于点D，当，时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $