2025-2026学年高二上学期数学期末复习自编模拟试卷（云南省昆明市）

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 保密★启用前 2025-2026学年人教版高二数学上学期期末复习自编模拟试卷（云南省昆明市）解析版 考试范围：必修一、必修二、选修一；考试时间：120分钟；总分：150分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】利用集合的交补集运算即可求解. 【详解】由或，则， 又因为，所以， 故选：B. 2．已知命题，则是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据存在量词命题否定的定义，改变量词，否定结论，进而判断即可. 【详解】由于命题是存在量词命题， 所以，改变量词、否定结论后，可得是全称量词命题. 故选：B. 3．正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、函数不等式恒成立问题、基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为对任意实数x恒有求解. 【详解】 正数满足，， 故， 当且仅当，即时等号成立， 不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒有， 对任意实数x恒成立， 对任意实数x恒成立， 又， ，即实数的取值范围是， 故选：A 4．若复数满足，则（   ） A．5 B．2 C． D．1 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】先根据条件求出，再利用复数的乘法可得答案. 【详解】因为，所以， 所以，即. 故选：B 5．幂函数过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的解析式、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断 【分析】设，代入点解出，再由单调性和偶函数的性质解不等式即可. 【详解】设， 由题意可得，解得， 所以在上单调递增，且，为偶函数， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：C. 6．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、指数幂的运算 【分析】通过观察图像，可知先判断函数的奇偶性进行排除，再利用特值法，分析的函数值与的大小和的函数值与的大小，从而得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由，所以函数为奇函数， 图象关于原点对称，可得排除A、D项； 当时，可得，所以，此时； 当时，可得，所以，此时， 所以选项B符合函数的图象的形状． 故选：B． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题、二倍角的正弦公式 【分析】先展开，然后平方，最后用二倍角公式化简计算可得出答案. 【详解】解： 即， 等式两边平方得， 继续展开， 化简得 所以 故选：C 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，为的内心，交轴于点，且，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】利用内心的性质得出相应线段比例关系，进而求出，利用斜率推出相应角的余弦值，再利用余弦定理构造方程求出的关系，最后利用离心率公式计算求解． 【详解】 为的内心， 为角平分线交点， 又 ，故， ， ， 又 ， ， 直线的斜率为， ， 在中，由余弦定理得， 整理得，故D正确． 故选：D． 评卷人 得分 二、多选题 9．由正四棱锥和四棱锥拼接得到一个组合体，与在平面的异侧.若该组合体的所有顶点都在球的球面上，且正四棱锥的所有棱长都为1，则（    ） A．球的表面积为 B．组合体体积最大值为1 C．当组合体体积为时，点的轨迹是半径为的圆 D．当组合体的体积最大时，其表面积为 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、正棱锥及其有关计算 【分析】设正方形外接圆半径为,由球体的性质结合勾股定理求出球体半径为,从而可判断A; 由球体的性质得当平面，即时，组合体体积最大，从而可求出组合体体积最大值，即可判断B; 设到平面的距离为，由组合体体积为求出，结合勾股定理求出的轨迹圆的半径，即可判断C; 由选项B的推导过程得，当组合体的体积最大时，，即可求出组合体表面积，从而可判断D. 【详解】 选项A:如图，设正方形外接圆半径为，球体半径为, 到平面距离为，由已知得， 则到平面的距离， 由球体的性质得，得， 球的表面积为，故A正确； 选项B:由选项A知球心为正方形的中心，在球上， 当平面，即时，组合体体积最大， 最大值为，故B错误； 选项C:设到平面的距离为， 则，故， 则的轨迹圆的半径，故C错误； 选项D:由选项B的推导过程得，当组合体的体积最大时，， 此时组合体表面积为，故D正确. 故选：AD. 10．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在元的学生有45人，则下列说法正确的是（    ） A．样本中支出在元的频率为 B．的值为150 C．采用分层抽样从这45人中抽出10人，则在中共需抽出5人 D．该校学生一周生活方面支出的第75百分位数大约是52元（精确到个位数） 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、总体百分位数的估计 【分析】对于A，利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可判断；对于B，利用频率、频数以及样本总容量的关系可判断；对C，计算出样本中支出在的频率，结合分层抽样可判断；对D，根据百分位数的定义计算. 【详解】对于A，样本中支出在元的频率为，故A错误； 对于B，由A知，故B正确； 对于C，样本支出在的频率为，则在中共需抽出人，故C错误； 对于D因为样本中支出在的频率为，所以第75百分位数位于区间内，记为， 则，解得，所以第75百分位数大约是52元，故D正确. 故选：BD. 11．甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、概率的基本性质 【分析】对于A项，重复一次操作，甲袋中有1红的情况有两种，运用互斥事件的概率加法公式计算即得；对于B、C，运用积事件的概率公式计算即得；对于D项，运用和事件的概率公式计算即得. 【详解】因在操作前，甲袋中：1红2白，乙袋中：1红2白． 对于项，要求，则1次操作后甲、乙两个口袋中各取一个红球或各取一个白球即可， 则，故项正确； 对于项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球， 且2次操作后甲口袋中恰有1个红球，且3次操作后甲口袋中恰有2个红球， 所以，故项正确； 对于C项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球， 且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 所以，故C错误； 对于D项，由，，， 所以，故D项正确． 故选：． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 三、填空题 12．已知向量、满足，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】由向量的坐标运算可得，再求模长即可． 【详解】因为，故． 故答案为：． 13．若圆上到直线（为实数）的距离为的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径 【分析】由题可知，圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 【详解】由题意得圆心为，半径为，圆心到直线的距离为， 因为圆上到直线的距离为的点有且仅有个，所以，即， 解得或， 故答案为：. 14．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点A，过点A作，垂足为，直线交轴于点，若的外接圆的面积为，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】根据题意结合抛物线的性质可得是 的外接圆的直径，可知，过点A作轴，结合抛物线的定义可得，即可得方程. 【详解】如图，因为直线的倾斜角为，， 所以，， 设准线与轴交于点，则坐标原点是线段的中点，， 可知点是线段的中点，则，即为直角三角形，为斜边， 所以是 的外接圆的直径， 由题意可得，解得． 过点A作轴，垂足为， 在 中，， 又因为，则，即， 所以抛物线的方程为． 故答案为：. 评卷人 得分 四、解答题 15．已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，总有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数为R上的奇函数，证明见解析 (2)在上的单调递增，证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据奇函数的定义即可证明； （2）先说明，再根据函数单调性的定义即可证明； （3）由（1）（2）得，在上单调递增，问题转化为对恒成立，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）函数为R上的奇函数， 证明如下：函数的定义域为， 令，则，又， 所以，所以函数为奇函数． （2）在上的单调递增， 证明如下：由（1）知，， 当时，，所以， 从而， ，则 ， 因为，所以，又当时，， 所以，所以，所以， 故在上的单调递增． （3）由（1）知，函数为R上的奇函数，所以， 由（2）知，当时，，且在上的单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，函数的最大值为，最小值为， 又任意，总有恒成立， 所以，即， 由题意，对恒成立， 令，则， 所以，解得或， 故实数的取值范围是． 16．已知在中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若的周长为，面积为，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角及正弦的和角公式得，即可求解； （2）利用三角形的面积公式及余弦定理，再结合条件得，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又，所以，则，得到， 又，所以. （2）由（1）知，所以，得， 又因为，又，得， 由的周长为， 所以，整理得到， 解得. 17．如图，正方形与梯形所在平面垂直，． (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若点满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）方法一：利用空间向量证明线线垂直即可； 方法二：连接，由面面垂直的性质定理和判定定理可得； （2）方法一：利用空间向量方法证明线面垂直即可； 方法二：设与交于点，的中点为，连接，由中位线的性质结合线面平行的判定定理可得； （3）分别求出平面和平面的法向量，代入空间二面角公式计算可得. 【详解】（1）方法一：因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又，所以两两互相垂直， 故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知得． （1）， 所以，所以． 方法二：如图，连接． 因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以． 因为四边形是正方形，所以， 又，， 所以平面，平面， 因此． （2）设平面的法向量为，因为， 所以，取． 则， 又平面，所以平面． 方法二：设与交于点，的中点为，连接． 因为是的中点，是的中点，所以，且． 因为，所以 ，， 所以四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． （3），则， 从而，所以． 设平面的法向量为， 则取． 易知平面的一个法向量为． 由题意知， 化简整理得，解得或（舍去）． 18．已知椭圆的离心率，左右焦点分别为，直线过椭圆的右焦点分别交椭圆于两点，周长为 (1)求椭圆的方程． (2)若弦长为，求直线的方程． (3)是否存在使为直径的圆过，若存在求出直线方程，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，直线方程为或. 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题、求椭圆中的弦长 【分析】（1）根据椭圆性质和三角形周长解出，进而确定求椭圆方程； （2）假设直线得方程并和椭圆联立，根据韦达定理和弦长公式求解； （3）由以为直径的圆过，得，再根据韦达定理结果解方程求. 【详解】（1）由题知椭圆的离心率，周长为， 则，所以，即得 因为，所以，故椭圆的方程为. （2）椭圆右焦点为，当直线斜率不存在时，直线的方程为， 假设交点位于第一象限，则，此时弦长， 故直线斜率存在，设直线的方程为，， 联立直线和椭圆方程可得，消去得， 由韦达定理可得， 由弦长公式可知， 整理得，解得； 所以直线的方程为或.    （3）由以为直径的圆过，可知，即①， 又由（2）知当直线斜率不存在时，直线的方程为， 假设交点位于第一象限，则，则，故直线的斜率存在， 设直线的方程为，则②，③， 联立①②③可得， 因为， 所以，解得，即， 故直线存在，直线方程为或. 19．甲、乙两人进行象棋比赛，每局正赛无平局时，甲赢的概率为．局正赛后，胜场多的一方获胜，若胜场数相同，则加赛一局，谁赢谁获胜（加赛局不会出现平局）．设表示每局正赛无平局时，进行局正赛（或再加赛一局）后，甲获胜的概率．每局比赛的结果相互独立． (1)求（结果用表示）； (2)证明：； (3)若每局正赛可以出现平局时，甲赢的概率为，乙赢的概率为，且，设表示每局正赛可以出现平局时，进行局正赛（或再加赛一局）后，甲获胜的概率．试讨论与的大小关系． 【答案】(1)；. (2)证明过程见解析. (3)当，；当时；当时. 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立重复试验的概率问题、独立事件的乘法公式 【分析】(1)先分析的表达含义，再利用独立事件的概率计算公式计算即可； (2)先分别定义的表达式，并利用组合数性质进行化简即可得到两者相等； (3)分类讨论与的关系，再结合情况分析的关系. 【详解】（1）表示进行两局正赛(或加赛)后甲获胜，分两种情况： ①两局正赛甲胜两局的概率为； ②两局正赛甲乙各胜一局，加赛一局甲胜的概率为， 所以. 表示进行三局正赛，不可能出现胜场数相同的情况，则无需加赛.甲获胜场数要多于乙，即甲胜两局或三局. ①甲胜三局的概率为； ②甲胜两局，乙胜一局的概率为， 所以. 故. （2）证明：局正赛为偶数局，甲获胜分两种情况： ①局中甲胜局，概率为， ②局中甲乙各胜局，加赛甲胜的概率为， 因此 (1). 局正赛为奇数局，无胜场相同情况，无需加赛， 甲获胜需获胜局的概率为， 又因为， 所以(2)， 对(2)中的第一个求和式整理，当时，，故求和上限可改为， 即， 对(2)中的第二个求和式整理，令，则，求和范围变为到， 式子变为， 将两部分合并整理，即 ， ， 对比(1)式，可得，证毕. （3）在有平局的比赛中，单局比赛只有三种结果：甲胜概率为，乙胜概率为， 平局概率为.其中在有胜负的结果比赛中，甲获胜的条件概率为， 根据题设，可得. 这意味着，若不考虑平局，只看分出胜负的单局比赛，甲获胜的概率仍为，是进行局无平局比赛后甲获胜的概率，是进行局有平局比赛后甲获胜的概率.在局比赛中，分出胜负的比赛局数是一个随机变量，可以视为在局决胜局中甲获胜的概率的期望值. 当时，甲为较强方，增加比赛的局数有利于强者获胜，即随增大而增大(不严格单调，但趋势如此).有平局的比赛相当于减少了有效比赛局数，对强者不利，故； 当时，甲为较弱方，减少比赛局数有利于弱者爆冷获胜，有平局的比赛相当于减少了有效比赛局数，对弱者有利，故； 当时，双方实力相当，任何赛制下甲获胜的概率均为，故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 保密★启用前 2025-2026学年人教版高二数学上学期期末复习自编模拟试卷 （云南省昆明市） 考试范围：必修一、必修二、选修一；考试时间：120分钟；总分：150分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题（8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知命题，则是（ ） A． B． C． D． 3．正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若复数满足，则（   ） A．5 B．2 C． D．1 5．幂函数过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，为的内心，交轴于点，且，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 评卷人 得分 二、多选题（3小题，每题6分，共18分） 9．由正四棱锥和四棱锥拼接得到一个组合体，与在平面的异侧.若该组合体的所有顶点都在球的球面上，且正四棱锥的所有棱长都为1，则（    ） A．球的表面积为 B．组合体体积最大值为1 C．当组合体体积为时，点的轨迹是半径为的圆 D．当组合体的体积最大时，其表面积为 10．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在元的学生有45人，则下列说法正确的是（    ） A．样本中支出在元的频率为 B．的值为150 C．采用分层抽样从这45人中抽出10人，则在中共需抽出5人 D．该校学生一周生活方面支出的第75百分位数大约是52元（精确到个位数） 11．甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．已知向量、满足，，则 ． 13．若圆上到直线（为实数）的距离为的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 14．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点A，过点A作，垂足为，直线交轴于点，若的外接圆的面积为，则抛物线的方程为 ． 评卷人 得分 四、解答题（5小题，共77分） 15． （13分） 已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，总有恒成立，求实数的取值范围． 16．（15分）已知在中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若的周长为，面积为，求． 17．（15分）如图，正方形与梯形所在平面垂直，． (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若点满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 18．（17分）已知椭圆的离心率，左右焦点分别为，直线过椭圆的右焦点分别交椭圆于两点，周长为 (1)求椭圆的方程． (2)若弦长为，求直线的方程． (3)是否存在使为直径的圆过，若存在求出直线方程，若不存在，说明理由． 19．（17分）甲、乙两人进行象棋比赛，每局正赛无平局时，甲赢的概率为．局正赛后，胜场多的一方获胜，若胜场数相同，则加赛一局，谁赢谁获胜（加赛局不会出现平局）．设表示每局正赛无平局时，进行局正赛（或再加赛一局）后，甲获胜的概率．每局比赛的结果相互独立． (1)求（结果用表示）； (2)证明：； (3)若每局正赛可以出现平局时，甲赢的概率为，乙赢的概率为，且，设表示每局正赛可以出现平局时，进行局正赛（或再加赛一局）后，甲获胜的概率．试讨论与的大小关系． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $