精品解析：福建省福州市福州延安中学2025-2026学年上学期九年级1月月考数学试卷

福州延安中学2025-2026学年第一学期适应性训练(1月) 初三数学试卷 （满分150分，完卷时间120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； 故选：D． 2. 若 ，则以下事件为必然事件的是（     ） A. B. C. 或 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，根据实数乘积的性质，若两数乘积为零，则至少有一个数为零． 【详解】解：∵， ∴或， 所以或是必然事件． 故选：C． 3. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．将已知根代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，将代入方程得： 化简得： 解得， 故选：B． 4. 下列抛物线，对称轴是直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称轴，算出每个选项中函数的对称轴逐一进行判断即可． 【详解】A、对称轴为直线，本选项不合题意； B、对称轴为直线，本选项不合题意； C、对称轴为直线，本选项不合题意； D、对称轴为直线，本选项符合题意； 故选：D． 5. 用打印机将如图所示的六边形放大，关于放大后的六边形，下列说法错误的是（ ） A. 的对应角也放大 B. 放大后内角和不变 C. 各对应边放大的比例一样 D. 周长也放大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与相似多边形，根据多边形的内角和与相似多边形的性质进行判断即可． 【详解】解：用打印机将如图所示的六边形放大后所得图形与原图形相似， 则对应角相等，对应边及周长均放大，内角和不变， 故选：A 6. 福州花花工艺品厂一月份生产脱胎漆器50万个，三月份生产脱胎漆器60.5万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用中的增长率问题，根据平均每月增长率模型，从一月至三月经过两个月增长，三月份产量应为一月份产量乘以，即可解答． 【详解】解：设该厂二、三月份平均每月的增长率为， 根据题意，得． 故选：C． 7. 反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，观察函数图象利用反比例函数图象上点的坐标特征找出的取值范围是解题的关键． 根据点、的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：据点、的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征， 观察函数图象可知：，即． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，如果将线段绕点逆时针旋转至，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，含度角的直角三角形的性质以及解直角三角形．正确的作出辅助线是解题的关键．根据已知得出，，根据旋转的性质得出是等边三角形，进而可得，则，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴ ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转至， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴即， ∴ 故选：B． 9. 如图，是的直径，点D是弧的中点，，的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的应用，连接，求解，可得，求解，结合，可得答案． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D是弧的中点， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 10. 已知实数，满足，（），则的值是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 设，则，进而得到，即是方程的根，进而得到是方程的根，由得到，根据可知，是方程的两个根，则或，排除，进而根据计算即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴是方程的根， ∵， ∴是方程的根， ∵， ∴两边同时除以得， 即， ∵， ∴ ∵ ∴，是方程的两个根， ∵是方程的根， ∴或， 当时，，不成立； 当时， ． 故选：D． 二、填空题：本题共6题，每题4分，共24分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变换规律，即如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数． 根据原点对称的点的坐标变换规律，得到点关于原点对称的点的坐标为． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故坐标为， 故答案为：． 12. 若圆锥的母线长为4，底面半径为3，则该圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可． 【详解】解：∵圆锥的母线长为4，底面半径为3， ∴圆锥的侧面积是； 故答案为∶． 13. 如图是福州城市形象，为了估算出图案面积（含文字），兴趣小组先将图片打印在面积为的长方形纸片上，再利用计算机软件进行随机投点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落在图案上（含文字）的频率稳定在0.35左右，据此估计在该图中，此中图案（含文字）的面积约为________平方厘米． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，频率和概率之间的关系，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键．用频率和概率之间的关系解答即可． 【详解】解：∵长方形纸片的总面积为：， ∵点落在图案上（含文字）的频率稳定在0.35左右， ∴图案（含文字）的面积约为， 故答案为：70． 14. 如图，在中，，当，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由得出，再由相似三角形的性质得出，进而得出，代入计算即可得出结果，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点是轴上一点，点，分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由轴，可知、的横坐标相同，设，，则，根据的面积为2.5，得出，求得答案即可． 【详解】解：∵轴， 、的横坐标相同， 设，，，则， ， ∵的面积为， ∴， ． 故答案为：． 16. 实数满足，这四个数在数轴上对应的点分别为，若，，则称为的“大黄金数”，为的“小黄金数”，当时，__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知推出，再设，则，代入列方程求出的值，即可解决问题． 【详解】解：如图 由，，得 ， 得：， ， ， ， 设，则， 由，得 ， 解得：（负数，舍去）， ，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离和黄金分割的定义及一元二次方程，做好此题的关键是能正确表示数轴上两点的距离：若表示、表示，则． 三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 18. 已知关于的一元二次方程．请你判断方程根的情况，并说明理由． 【答案】 解：方程有两个不相等的实数根，理由如下： ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴方程有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．计算根的判别式的值得到，根据，则可判断，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】略 19. 如图，在中，，分别是边，上的点，连接，且．如果是的中点，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质．运用如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似与相似三角形对应边成比例列出比例算式和方程的思想是本题解题的关键． 由，可得，，则有，由是的中点，则，可设即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的中点， 设， ∴． ∵，， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 20. 如图，点是反比例函数图象上的一个动点，作轴于点，点是的中点，设点的坐标为． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，根据中点坐标特征得出点的坐标是解题的关键． （1）根据中点坐标特征得出点的坐标为，代入反比例函数解析式中即可得到与之间的函数关系式； （2）求得时的值，然后结合图象即可求得当时的取值范围． 【小问1详解】 解：作轴于点，点是的中点，点的坐标为， ， 点是反比例函数图象上的一个动点， ， 即与之间的函数关系式； 【小问2详解】 解：，，； 函数图象在第一象限，随的增大而减小， 当时，， 当时，的取值范围是． 21. 2026年福州市中考抽选考项目已确定，抽选结果如下：引体向上（男）/斜身引体（女），双手头上前掷实心球，1分钟仰卧起坐．三个项目中自选两项． （1）若小明随机选两项，选中“仰卧起坐”和“掷实心球”概率是_____． （2）若小华（男）与小刚（男）随机抽选两项，求他们选的两个项目都相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）设引体向上（男）为，双手头上前掷实心球为，1分钟仰卧起坐为，小明随机选两项，所有可能的情况有、、，共种，其中选中“仰卧起坐”和“掷实心球”的情况有种，再由概率公式计算即可得出结果； （2）先分别确定小华和小刚所有可能的选法，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：设引体向上（男）为，双手头上前掷实心球为，1分钟仰卧起坐为， 小明随机选两项，所有可能的情况有：、、，共种，其中选中“仰卧起坐”和“掷实心球”的情况有种， 故选中“仰卧起坐”和“掷实心球”概率是； 【小问2详解】 解：设引体向上（男）为，双手头上前掷实心球为，1分钟仰卧起坐为， 小刚随机选两项，所有可能的情况有：、、，共种， 小华随机选两项，所有可能的情况有：、、，共种， 那么小华和小刚选项目的所有可能组合情况有：、、、、、、、、，共9种， 两人选的项目相同的情况有：、、，共3种， 他们选的两个项目都相同的概率为． 22. 如图，四边形是矩形，以点B为圆心，长为半径的半圆，交于点M． （1）按要求完成尺规作图：（i）以为直径作，交弧于点E；（ii）延长线段交于点F． （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，以为半径作与交于点E，如下图： （2）2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，以为半径作与交于点E，即可； （2）设，．由四边形是矩形得到，，，，证明，则．由勾股定理得：，则．，得到，，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， 如图，设，． ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 又∵． ∴， ∴． 由勾股定理，得：， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 已知二次函数． （1）求证：二次函数的图象必过点； （2）若该函数图象与x轴有两个交点，求证：． 【答案】（1） 证明：当时， ， 即二次函数的图象必过点； （2） 证明：∵该函数图象与x轴有两个交点， ∴，， 且， ∴ ， ∵，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的综合应用． （1）将代入求出即可； （2）根据根与系数的关系和根的判别式得到，，代入计算即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 24. 综合实践： 【操作】如图①），边长为的两个完全相同的正方形纸片重叠放置，两个正方形的边互相垂直，阴影部分的两端长度均为，则阴影部分的面积为__________．（用含n的式子表示）           【探究应用】如图②，在边长为的方格纸中，每个小正方形的边长都是，现用边长为的正整数）的相同正方形纸片沿对角线方向覆盖方格纸直至下端C，且正方形纸片第一张的两条边分别在方格纸的边和上，从第二张开始，每张纸片向右、向下都平移． （1）根据不同的值，把需要的纸片的张数填在格中． 2 3 纸片张数（张） （2）根据表格，所需覆盖的纸片张数为_____________张．（用含n的式子表示） （3）设，方格纸被纸片所覆盖的面积与未覆盖的面积是否可以相等？如果相等求n的值，如果不相等说明理由 【答案】[操作]； [探究应用]（1） 如图表示， 2 3 纸片张数（张 11 10 （2）； （3）方格纸被纸片所覆盖的面积与未覆盖的面积可以相等，此时． 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的规律及一元二次方程的应用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的方法是解题的关键． [操作]：先计算正方形的面积，再计算重叠部分的面积，由此即可求解； [探究应用]： （1）根据图形，找出计算方法即可求解； （2）由计算找出规律即可； （3）被纸片所覆盖的面积是，未覆盖的面积是，若方格纸被纸片所覆盖的面积与未覆盖的面积相等，列出方程求解即可． 【详解】解：[操作]： 由条件可知阴影部分的面积为， 故答案为：； [探究应用]： （1）当时，所需纸张数为：（张， 当时，所需纸张数为：（张， （2）根据题意，所需纸张数为（张， 方格的边长为， ， 故答案为：； （3）根据题意，被纸片所覆盖的面积是， 未覆盖的面积是， 若方格纸被纸片所覆盖的面积与未覆盖的面积相等， 则， 整理得：， 解得：（舍去）， 方格纸被纸片所覆盖的面积与未覆盖的面积可以相等，此时． 25. 如图所示，点D在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点F，若，． （1）求证：； （2）若，求的长度； （3）当时，求的比值． 【答案】（1） 证明：∵直角三角形的斜边为，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质， 直角三角形的性质和勾股定理，掌握好相似三角形的判定定理并添加正确的辅助线是解题关键． （1）根据夹角相等，两边对应成比例的相似判定进行证明即可； （2）作，垂足为G，容易证出，用相似三角形的性质和含角的直角三角形的性质求出，进一步求出； （3）作，垂足为H，容易证出，得到的三边关系．根据可以证明，从而得到，利用相似的性质计算出，最后求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作，垂足为G，设， 在直角中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴，解得，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，作，垂足为H，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴解得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州延安中学2025-2026学年第一学期适应性训练(1月) 初三数学试卷 （满分150分，完卷时间120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若 ，则以下事件为必然事件的是（     ） A. B. C. 或 D. 且 3. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 4. 下列抛物线，对称轴是直线的是（ ） A. B. C. D. 5. 用打印机将如图所示的六边形放大，关于放大后的六边形，下列说法错误的是（ ） A. 的对应角也放大 B. 放大后内角和不变 C. 各对应边放大的比例一样 D. 周长也放大 6. 福州花花工艺品厂一月份生产脱胎漆器50万个，三月份生产脱胎漆器60.5万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，如果将线段绕点逆时针旋转至，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，点D是弧的中点，，的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数，满足，（），则的值是（     ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6题，每题4分，共24分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 12. 若圆锥的母线长为4，底面半径为3，则该圆锥的侧面积是______． 13. 如图是福州城市形象，为了估算出图案面积（含文字），兴趣小组先将图片打印在面积为的长方形纸片上，再利用计算机软件进行随机投点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落在图案上（含文字）的频率稳定在0.35左右，据此估计在该图中，此中图案（含文字）的面积约为________平方厘米． 14. 如图，在中，，当，，则的长为______． 15. 如图，点是轴上一点，点，分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为，则的值为______． 16. 实数满足，这四个数在数轴上对应的点分别为，若，，则称为的“大黄金数”，为的“小黄金数”，当时，__________． 三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 已知关于的一元二次方程．请你判断方程根的情况，并说明理由． 19. 如图，在中，，分别是边，上的点，连接，且．如果是的中点，，，求的长． 20. 如图，点是反比例函数图象上的一个动点，作轴于点，点是的中点，设点的坐标为． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的取值范围． 21. 2026年福州市中考抽选考项目已确定，抽选结果如下：引体向上（男）/斜身引体（女），双手头上前掷实心球，1分钟仰卧起坐．三个项目中自选两项． （1）若小明随机选两项，选中“仰卧起坐”和“掷实心球”概率是_____． （2）若小华（男）与小刚（男）随机抽选两项，求他们选的两个项目都相同的概率． 22. 如图，四边形是矩形，以点B为圆心，长为半径的半圆，交于点M． （1）按要求完成尺规作图：（i）以为直径作，交弧于点E；（ii）延长线段交于点F． （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 23. 已知二次函数． （1）求证：二次函数的图象必过点； （2）若该函数图象与x轴有两个交点，求证：． 24. 综合实践： 【操作】如图①），边长为的两个完全相同的正方形纸片重叠放置，两个正方形的边互相垂直，阴影部分的两端长度均为，则阴影部分的面积为__________．（用含n的式子表示）           【探究应用】如图②，在边长为的方格纸中，每个小正方形的边长都是，现用边长为的正整数）的相同正方形纸片沿对角线方向覆盖方格纸直至下端C，且正方形纸片第一张的两条边分别在方格纸的边和上，从第二张开始，每张纸片向右、向下都平移． （1）根据不同的值，把需要的纸片的张数填在格中． 2 3 纸片张数（张） （2）根据表格，所需覆盖的纸片张数为_____________张．（用含n的式子表示） （3）设，方格纸被纸片所覆盖的面积与未覆盖的面积是否可以相等？如果相等求n的值，如果不相等说明理由 25. 如图所示，点D在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点F，若，． （1）求证：； （2）若，求的长度； （3）当时，求的比值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $