精品解析：天津市河北汇森中学2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试卷

九年级数学 一、单选题 1. 下列四个环保标志分别表示“国家节水、中国环境、循环再生、有机食品”，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的值等于　　 A. B. C. D. 1 3. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 当时，有最大值是 4. 若点，，在反比例函数的图像上，则x1，x2，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 设方程的两实数根为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 5 6. 如图，从边长为的等边三角形中剪一个最大的扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（ ） A. 2 B. 6 C. 4 D. 8 9. 如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　） A. ①③ B. ③ C. ①③④ D. ①②③④ 10. 如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题 11. 一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球、1个绿球，这些小球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为______． 12. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是________． 13. 已知函数，当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”）． 14. 若一个正多边形的内角和为540度，则这个正多边形的中心角为______度． 15. 已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是________． 16. 当时，二次函数的最大值为______． 17. 如图，在中，，，，将绕点C旋转得到，当点D恰好落在射线上时，的长为________． 18. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点O，点E在的延长线上，，连接． （1）线段的长为_________； （2）若F为的中点，则线段的长为_________． 三、解答题 19. 如图，一次函数的图象分别交轴，轴于两点，交反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 20. 已知是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点． （1）如图，连接，，若，求的大小； （2）若，求AB的长． 21. 如图，某座山的顶部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：． 22. 已知点是抛物线（为常数，）与x轴的一个交点． （1）当时，求该抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线与x轴的另一个交点为，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，． ①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且时，求点F的坐标； ②取的中点N，当m为何值时，的最小值是？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、单选题 1. 下列四个环保标志分别表示“国家节水、中国环境、循环再生、有机食品”，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故选项不符合题意； D．是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解决问题的关键． 2. 的值等于　　 A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：原式． 故选A． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 3. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 当时，有最大值是 【答案】B 【解析】 【分析】将二次函数的一般式转化为二次函数的顶点式，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴由知抛物线开口向上， 故选项错误； ∵顶点坐标是， 故选项正确； ∵对称轴是直线， 故选项错误； ∵当时，取得最小值2，无最大值， 故选项错误； 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，学会将二次函数的一般式转化为二次函数的顶点式是解题的关键． 4. 若点，，在反比例函数的图像上，则x1，x2，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据A、B、C三点纵坐标的特点判断出三点所在的象限，由函数的增减性及四个象限内点的横纵坐标的特点即可解答． 【详解】解：∵反比例函数y＝中，k=12>0， ∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小， ∵y1＜y2＜0＜y3， ∴． 故选B． 【点睛】本题比较简单，考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性． 5. 设方程的两实数根为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再计算它们的和． 【详解】解：∵ 方程 中，，，， ∴ ， ， ∴ ， 故选：A． 6. 如图，从边长为的等边三角形中剪一个最大的扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算和弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据圆锥的底面周长为扇形的弧长即可求出底面半径． 【详解】解：如图，连接， 则，， ， 设圆锥底面半径为， ， ． 故选：C． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意， 选项B：一次函数图像经过一、二、四象限，因此a＜0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向下，对称轴在y轴左侧，不合题意， 选项C：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，符合题意， 选项D：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意． 故选：C． 8. 如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（ ） A. 2 B. 6 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 9. 如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　） A. ①③ B. ③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质判断即可． 【详解】解：①， ， 由旋转的性质可知，， ，故本选项结论错误，不符合题意； ②当为等边三角形时，，除此之外，与不平行，故本选项结论错误，不符合题意； ③由旋转的性质可知，，， ，， ， ，本选项结论正确，符合题意； ④只有当点为的中点时，，才有，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是旋转变换，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 10. 如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； ②当时，解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 二、填空题 11. 一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球、1个绿球，这些小球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式． 根据概率公式，摸出红球的概率等于红球数量与总球数的比值． 【详解】解：袋子中总共有7个小球，其中红球有6个， 因此摸出红球的概率为． 故答案为：． 12. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数平移，二次函数顶点式的图象及性质，根据平移规律，直接求出新抛物线的顶点坐标． 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为， 向左平移1个单位，顶点横坐标变为； 向下平移2个单位，顶点纵坐标变为． 故平移后抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 13. 已知函数，当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标是，对称轴是直线．根据二次函数的性质，通过顶点坐标和开口方向判断函数的增减性． 【详解】解：∵二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴对称轴为直线． 当时，即对称轴左侧，随的增大而减小． 故答案为：减小． 14. 若一个正多边形的内角和为540度，则这个正多边形的中心角为______度． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和和正多边形的中心角，首先设此多边形为n边形，根据题意得：，即可求得，再由除以5，即可求得答案． 【详解】解：设此多边形为n边形， 根据题意得：， 解得：， ∴这个正多边形的中心角为：． 故答案为：72． 15. 已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，解分式方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用待定系数法求得两个函数的解析式，然后联立解方程，即可得出答案． 【详解】解：∵直线与双曲线的一个交点坐标是， ∴， ∴， ∴直线为，双曲线为， 联立，解得或， 所以它们的另一个交点坐标是； 故答案为：． 16. 当时，二次函数的最大值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数在一定范围内的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 先根据二次函数的图象和性质判断出对称轴为直线，然后再找最大值即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ∵，，， ∴当时，二次函数，此时最大， 故答案为：10． 17. 如图，在中，，，，将绕点C旋转得到，当点D恰好落在射线上时，的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质角所对直角边为斜边的一半）、图形旋转的性质（对应边相等）及勾股定理，解题的关键是通过作高构造直角三角形，利用勾股定理计算线段长度． 先在中，利用“角所对直角边为斜边的一半”得，再由勾股定理得；作，在中，结合（直角三角形两锐角互余），得、；由旋转性质知，在中用勾股定理求出，进而得；最后由，算出． 【详解】解：在中， ∵， ∴，； 过点C作于H，在中，， ∴，； 由旋转性质，得，在中， ， ∴， ∴． 故答案为：6． 18. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点O，点E在的延长线上，，连接． （1）线段的长为_________； （2）若F为的中点，则线段的长为_________． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键； （1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解； （2）作辅助线，构造中位线求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ， ∴在中，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，延长到点G，使，连接，过点E作于点H， 为的中点，A为的中点， 为的中位线， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ． 三、解答题 19. 如图，一次函数的图象分别交轴，轴于两点，交反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，已知函数值求自变量值，求一次函数与坐标轴交点，函数与几何结合面积问题，结合图象比较函数大小等． （1）将代入反比例函数解析式得，后将代入中求出点坐标，再将，代入中得出一次函数解析式； （2）令一次函数求出点坐标，继而求出本题答案； （3）结合图象，观察当反比例函数图象低于一次函数图象时即符合题意为本题答案． 【小问1详解】 解：由题意得：将代入反比例函数解析式： ，解得：， ∴反比例函数：， ∴将代入中得：， ∴， ∴将，代入： ，解得：， ∴一次函数的解析式：； 【小问2详解】 解：∵一次函数的解析式：， ∴令得：， ∴， ∴， ∴的面积：； 【小问3详解】 解：由图象可知 当时，点左侧和轴与之间符合题意， ∵，， ∴或． 20. 已知是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点． （1）如图，连接，，若，求的大小； （2）若，求AB的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，，根据三角形的外角关系得，最后得到，从而计算得解； （2）设，根据勾股定理列方程、解方程，利用半径与直径的关系得到AB的长． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵是的切线 ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 【小问2详解】 解：如图（1）， 设 ∵ ∴ 解方程得 ∴ 【点睛】本题考查了圆的切线、勾股定理、等边对等角、三角形外角等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 21. 如图，某座山的顶部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】这座山的高度约为 【解析】 【分析】在中，，在中，，利用，即可列出等式求解． 【详解】解：如图，根据题意，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． ∴． 答：这座山的高度约为． 【点睛】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程． 22. 已知点是抛物线（为常数，）与x轴的一个交点． （1）当时，求该抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线与x轴的另一个交点为，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，． ①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且时，求点F的坐标； ②取的中点N，当m为何值时，的最小值是？ 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为；（2）①点F的坐标为或；②当m的值为或时，MN的最小值是． 【解析】 【分析】（1）根据，则抛物线的解析式为，再将点A（1，0）代入，求出b的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标； （2）①首先用含有m的代数式表示出抛物线的解析式，求出，点. 过点A作于点H,在Rt中，利用勾股定理求出AE的值，再根据，，可求出m的值，进一步求出F的坐标； ②首先用含m的代数式表示出MC的长，然后分情况讨论MN什么时候有最值. 【详解】解：（1）当，时，抛物线的解析式为． ∵抛物线经过点， ．解得． 抛物线的解析式为． ， 抛物线的顶点坐标为． （2）①∵抛物线经过点和，， ， ，即． ，． 抛物线的解析式为． 根据题意，得点，点． 过点A作于点H． 由点，得点． 在Rt中，，， ． ， ．解得． 此时，点，点，有． 点F在y轴上， 在Rt中，． 点F的坐标为或． ②由N是EF的中点，得． 根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上． 由点，点，得，． 在中，． 当，即时，满足条件的点N落在线段MC上， MN的最小值为，解得； 当，时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上， MN的最小值为，解得． 当m的值为或时，MN的最小值是． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $