1.1相交的直线 学案 2025--2026学年浙教版七年级数学下册

数学七年级下册第1章相交线与平行线 1.3平行线 【知识重点】 1．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行． 2．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．“平行”用符号“∥”表示． 3．平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 4．用三角尺和直尺画平行线的方法：一贴，二靠，三推，四画．(注意：作图题要写结论) 【经典例题】 例题1、下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线 B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 例题2、如图，已知直线l和直线外一点P。用三角尺和直尺画四条和直线l平行的直线，并要求其中有直线经过点P。 例题3、用符号“∥”表示图中平行四边形的两组分别平行的对边。 例题4、如图，用三角尺和直尺画直线b与已知直线a平行。请你按图示方法画一画。你能概括出这种画法的基本步骤吗? 例题5、如图，点P是∠ABC内一点.（以下作图工具不限） （1）过点P画直线l平行于BC； （2）过点P画直线PQ垂直AB，垂足为Q； （3）量出点P到AB的距离. （精确到 0.1cm） 例题6、如图，点M，N代表两个城市，MA，MB是两条公路。现规划建造两条经N市的公路，这两条公路分别与MA，MB平行，并在与MB，MA的交会处分别建一座立交桥。请在图中画出规划建造的两条公路及立交桥的位置。 例题7、找出图中各对互相平行的直线，并用符号“∥”把它们表示出来。 例题8、如图，在三角形ABC中，P是AC边上一点。过点P分别画AB，BC的平行线。 【基础训练】 1．过一点画已知直线的平行线（　　） A．有且只有一条 B．不存在 C．有两条 D．不存在或有且只有一条 2．下列说法中不正确的有（　　） ①过任意一点可作已知直线的一条平行线 ②同一平面内两条不相交的直线是平行线 ③过已知直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 ④平行于同一直线的两直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．如图，过点 画直线 的平行线，能画　 　条，依据是：　 　. 4．如图， 在长方体 中， 与 平行的棱是　 　 5．直线l的同侧有A，B，C三点，如果A，B两点确定的直线l1与B，C两点确定的直线l2都与l平行，那么A，B，C三点在同一条直线上，理由是　 　 6．下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有　 　（填序号）． 7．如图， 观察长方体 ， 用符号“∥”或“ ”填空： （1） 　 　． （2） 　 　EH． （3） 　 　． （4） 　 　． 8．如图，P是∠ABC内一点，点Q在AB上。 （1）过点P画一条直线a平行于BC； （2）过点Q画一条直线b平行于BC。 9．已知直线l(如图)，任意画两条直线，使它们都和直线l平行。 10．如图， 是 内的一点. 按下列要求画图， 并回答问题. （1） 过点 画直线 ， 交直线 于点 . （2） 过点 画直线 ， 交直线 于点 . （3） 分别量出 的度数， 你有什么发现？ 【培优训练】 11．如图，在4×6的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F都在格点上，连接C，D，E，F中任意两点得到的所有线段中，与线段AB平行的线段是　 　 12．观察如图所示的长方体，填空． （1）用符(号(“∥”或“⊥")表示下列两条棱的位置关系： A1B1　 　AB，A1A　 　AB， A1D1　 　CD，AD　 　BC； （2）A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们　 　(填“是”或“不是”)平行线， 由此可知，在　 　内，两条不相交的直线才能叫做平行线． 13．如图，直线CD与直线AB相交于C，解答下列问题. （1）过点P画PQ∥CD，交AB于点Q； （2）过点P画PR⊥CD，垂足为R，连接PC，判断PC与PR的大小，并说明理由 14．按下列要求画图并填空． 如图，P是的边上一点， （1）过点P作射线的垂线，垂足为H； （2）过点P作射线的垂线，交于点C； （3）过点P作直线 （点D在点P的右侧）； （4）与的数量关系是_________． （5）线段，，这三条线段大小关系是________（用“”号连接），依据是________． 15．如图，在 的正方形网格中， 点 ， 都在格点上， 连结点 得到线段 ． （1） 连结 中的任意两点， 共可得到 条线段，在图中画出来； （2） 在 (1) 中所连得的线段中， 与 平行的线段是　 　 （3） 用三角尺或量角器度量、检验， 及 (1)中所连得的线段中， 互相垂直的线段有几对？（用“⊥”表示出来） 16．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G，H，M，N均为网格线的交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由． （1）如图1，在线段上找点，连结，使平分的面积； （2）如图2，在线段上找点，连结，使； （3）如图3，在直线上求作点，使得． 【期末常考】 17．下列说法中，正确的个数有（　　）个 （1）两点之间的所有连线中，线段最短； （2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）同一平面内，两直线的位置关系是相交、平行和垂直 （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （5）直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【课后作业】 1．经过直线外一点，能画几条直线与这条直线平行（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 2．在同一个平面内的直线a，b，c，若，，则b与c的关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定 3．下列语句正确的有（　　）个 ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若直线， ，则． A．4 B．3 C．2 D．1 4．下列说法错误的是（　　） A．对顶角相等 B．平行于同一条直线的两直线平行 C．相等的角是对顶角 D．等角的余角相等 5．如图， 已知 ， 则点 在同一条直线上. 理由是　 　. 6．已知a， b是在同一个平面内的两条直线，根据以下的条件写出a， b的位置关系： （1）若a，b没有交点，则　 　 （2）若a，b都平行于直线c，则　 　 （3）若a，b有且仅有一个公共点，则　 　 （4）若a∥c，b∥d，且直线c与直线d不平行，则　 　 7．两条直线相交，交点的个数是　 　 ，两条直线平行，交点的个数是　 　 ． 8．在如图的网格纸中，AB∥　 　，AB⊥　 　. 9．如图， 过点 作直线 ， 过点 作直线 ． 10．如图， 是 边上一点， 按下列要求作图， 并回答问题： （1） 过点 画直线 ， 垂足为 ； （2） 过点 画直线 ， 交 于点 ； （3） 过点 画直线 ， 交 于点 ； （4） 过点 画直线 ， 猜想 与 有什么位置关系？ www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学七年级下册第1章相交线与平行线 1.4平行线的判定（1） 【知识重点】 1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单地说，同位角相等，两直线平行. 2.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 【经典例题】 例题1、如图，在平移三角尺画平行线的过程中，理由是　 　 ． 例题2、如图，直线AB，CD被直线EF所截，已知∠1=∠2，下面是证明AB//CD的过程，请补充完成。 证明：因为∠1=∠2(已知)， ∠2=∠3 　 　 . 所以　 　(等量代换)， 所以　 　，　 　。 例题3、如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD为75°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转　 　度. 例题4、如图，已知∠1=∠2。若直线b⊥m，则直线a⊥m。请说明理由。 【基础训练】 1．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a//b，理由是(　　) A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 2．在铺设铁轨时， 两条直轨必须是互相平行的， 如图， 若已经知道 是直角， 再度量图中已标出的某个角， 仍不能判断两条直轨平行， 则该角为（　　） A． B． C． D． 3．如图所示， ， 则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 4．斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路。某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出∠1=∠2=83°，这种验证方法依据的基本事实是　 　。 5．如图，请添加一个条件：　 　，使 DE//BC. 6．如图，CD⊥AB，请添加一个条件：　 　 ，使得CD∥EF． 7．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线　 　 ． （1）它的理由如下：（如图1） ∵b⊥a，c⊥a，∴∠1=∠2=90°， ∴b∥c（　 　 ） （2）如图2是木工师傅使用角尺画平行线，有什么道理？　 　 ． 8．已知直线AB和直线外一点C(如图)。你能用一把三角尺过点C画AB的平行线吗?如果能，说明方法，并画出图形。 9．如图，直线l1，l2被直线l3所截，∠1=45°，∠1=135° 。判断l1与l2是否平行，并说明理由。 10．如图，AB⊥EF，CD⊥EF，E，F分别为垂足。直线AB与CD平行吗?请说明理由。 【培优训练】 11． 在一次数学活动课上， 老师让同学们借助一副三角尺画平行线 ． 下图是小楠、小曼两位同学的作法． 关于两位同学的作法， 下面说法正确的是（　　） A．仅小楠的作法正确 B．仅小曼的作法正确 C． 两位同学的作法都不正确 D．两位同学的作法都正确 12．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=80°，∠2=40°，要使木条a与b平行，木条a需按顺时针方向旋转的最小度数是(　　) A．10° B．20° C．30° D．40° 13．不相邻的两个直角，如果它们有一边在同一直线上，那么另一边相互(　　) A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．平行或垂直或相交 14．如图，直线被所截，有下列条件：①；②；③，其中能判断的条件是　 　 15．下面是验证纸条两条边线a，b是否平行的不同折叠方式： ①小明：如图①，展开后测得∠1=∠2； ②小丽：如图②，测得∠1=∠2； ③小君：如图③，展开后测得∠1+∠2=180°； ④小晨：如图④，展开后测得∠2=∠4。 其中能判定两条边线a//b的是　 　(填序号)。 16．如图， 已知 平分 ， 则 ． 请说明理由． 解： ， 根据 ， 得 ．又 平分 ， 根据 ， 得 ° 而 ， ． 根据 ． 17． 如图， 点 在同一条直线上， ， 且 分别是 和 的角平分线． 与 平行吗？ 请说明理由． 18．如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，求证：BE∥DF. 【期末常考】 19．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=68°，∠2=51°，要使木条ａ与b平行，木条ａ需顺时针旋转的度数是（　　） A．13° B．15° C．17° D．19° 【课后作业】 1．对于图中标记的各角， 下列条件能够推理得到 的是(　　) A． B． C． D． 2．如图， 直线 被直线 所截， 下列条件中， 不能得到 的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示， ， 有下列结论： ①若 ，则 ；②若 ， 则 ； ③若 ， 则 ； ④若 ， 则 ． 其中正确的有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．如图， 直线 被直线 所截， 若 ， 则直线　 　与直线　 　平行． 5．如图，直线a、b被c所截，，当　 　°时， 6． 如图，AB⊥CD于点B，AE与BF相交于点G，且.∠FGE=60°， ∠ABG=30°。判断AE与CD是否平行，并说明理由。 7．小王骑自行车从A地出发，沿正东方向前进至B地后，右转15°，沿直线向前骑行到C地(如图)。这时他想仍向正东方向前进，那么他应怎样调整骑行方向?请画出他继续骑行的路线，并说明理由。 8．如图， 已知直线 被直线 所截， 且 ， 试判断直线 与 是否平行， 并说明理由． 9． 如图， 直线 被直线 所截， 为 与 的交点， 于点 ， ． 判断 与 是否平行， 并说明理由． 10．如图，已知 ． （1） 吗？ 为什么？ （2） 吗？ 为什么？ www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学七年级下册第1章相交线与平行线 1.5 平行线的性质（1） 【知识重点】 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单地说，两直线平行，同位角相等. 【经典例题】 例题1、如图，已知∠1=∠2。若直线b⊥m，则直线a⊥m。请说明理由。 【答案】解： ∵∴∴ ∵∴∴∴ 例题2、已知，如图，、是直线，，，，求证：． 证明：已知 已知 已知 即 【答案】；两直线平行，同位角相等；；等量代换；等式的性质；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行. 【解析】证明：，（已知） ，（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ，（等量代换） ，（已知） ，（等式的性质） 即：， ，（等量代换） ， （内错角相等，两直线平行） 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；等量代换；等式的性质；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 例题3、已知：如图，在中，，． （1）试说明：； （2）若是的平分线，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 是的角平分线， ， ， ． 【基础训练】 1．如图，a//b，∠1=70°，则∠2的度数是（　　） A．110° B．100° C．80° D．70° 【答案】A 【解析】∵a∥b， ∴∠3=∠1=70°， ∴∠2=180°-∠3=110°。 故答案为：A. 2．如图，小明将一块直角三角板摆放在直尺上，直角顶点落在直尺的边上。若∠1=55°，则∠2的度数为（　　） A．255° B．35° C．455° D．555° 【答案】B 【解析】如图，∵∠1=55°，AB//CD， ∴∠3=∠1 =55°， ∴∠2= 180-90-∠3=35°. 故答案为：B. 3． 如图，CD 平分 ，. 若 ，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ∵CD平分∠ACB，∠1=35°， ∴∠ACB=2∠1=70°， ∵DE∥AC， ∴∠2=∠ACB=70°（两直线平行，同位角相等） 故答案为：C. 4．如图，已知，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图， ∵，， ∴∠1=∠2， ∴a∥b， ∴∠5=， ∴∠4=180°-∠5=． 故答案为：D． 5．光在不同介质中的传播速度不同，故从一种介质射向另一种介质时，光会发生折射.如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，已知点G在射线EF上，∠HFB=20°，∠FED=45°，则∠GFH的度数为 . 【答案】解：∵AB∥CD ∴∠FED=∠GFH=45° ∴∠GFH=45°-20°=25° 6．如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形的直角顶点，交斜边于点；直尺的另一边缘分别交、于点、，若，，则　 　度． 【答案】20 【解析】∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：20． 7．如图，AB是平面镜，一束平行于BC的光线ED经平面镜上的点D反射后光线落在BC上的点F处，∠1=∠2。若∠ABC=32°，则∠EDF的度数是　 　°。 【答案】116 【解析】∵ED∥BC，且∠1=∠2 ∴∠1=∠2=∠ABC=32°. ∴∠EDF=180°-∠1-∠2=180°-32°-32°=116°. 故答案为：116. 8．如图，平分，若，则　 　． 【答案】72° 【解析】∵CD平分∠ACB，∠1=36°， ∴∠ACB=2∠1=72°， ∵DE∥AC， ∴∠2=∠ACB=72°. 故答案为：72°. 9．如图， 已知，， 求证． 阅读下面的解答过程，并填空 （理由或数学式）． 解∶ ∵（已知） ， （ ） ∴ （ ） ∴ （同位角相等， 两直线平行） ， ∴（ ）， ∵（ ） ， ∴（ ） ， ∴（ ）． 【答案】平角的定义；，同角的补角相等；； 两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【解析】 ∵（已知） ， （平角的定义）， ∴（同角的补角相等）， ∴（同位角相等， 两直线平行） ， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知） ， ∴（等量代换） ， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：平角的定义；，同角的补角相等；； 两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行． 10．如图，在同一平面内，，判断与是否平行，并说明理由． 【答案】解：理由如下： 如图：过、作直线， ， 两直线平行、同位角相等． ， ，即， 同位角相等，两直线平行． 【培优训练】 11．小明在坪山区中心公园沿着一条小路散步，小明两次拐弯后方向与原来相同，已知第一次拐的角∠CBD=15°，第二次拐的角∠FDE是（　　） A．30° B．15° C．165° D．35° 【答案】B 【解析】两次拐弯后方向与原来相同，说明小路平行（ ）， 与 是同位角，根据两直线平行，同位角相等，所以. 故答案为： . 12．将一副三角板（含，，，角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则的余角度数是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如下图所示： 依题意得：，， ， ， ， 根据直尺的对边平行得， 的余角为：． 故选：A． 13．有一条长方形纸带，按如图方式折叠，形成的锐角∠α的度数为（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 【答案】A 【解析】如图， ∵BD//AC， ∴∠1=∠DEF=30°． 由折叠性质得2α+∠1＝180°， 解得：α＝75°． 故答案为：A． 14．如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，将点C、D分别折至 、 .若 ，则用含x的式子可以将 表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，延长EF到H. ∵这是长方形纸带， ∴BC∥AD. ∴∠DEF=∠CFH. ∵折叠， ∴∠CFH=∠C'FH。 ∴∠DEF=∠CFH=∠C'FH=. 故答案为：A. 15． 如图所示，在数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向上折叠，点A落在点A'处，当DA'∥BC时，∠DEC＝ 　 　 度． 【答案】57.5 【解析】∵DA//BC ∴∠ADA'=∠B=65° 由折叠的性质，可得：∠ADE=∠A'DE ∵∠ADA'=∠ADE+∠A'DE， ∴ ∵∠DEC是△ADE的外角， ∴∠DEC=∠A+∠ADE=25°+32.5°=57.5° 故答案为：57.5. 16．将一副三角板按如图所示的方式放置，边AC，EF在直线MN上，∠BAC=∠EDF=90°，∠ABC=30°，∠DFE=45°。三角板ABC保持不动，将三角板DEF绕点F顺时针旋转，当EF第一次与BC平行时，∠DFN的度数是　 　度。 【答案】75 【解析】如图， ∵ EF∥BC， ∴ ∠EFC=∠ACB=60°， ∵ ∠DFE=45°， ∴ ∠DFN=180°-∠EFC-∠DFE=75°. 故答案为：75. 17．在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带，点在上，点在上，把长方形纸带沿折叠，若，则的度数是　 　． 【答案】100 【解析】由题知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：100． 18．光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射如图，这是一块玻璃的，两面玻璃上下两个面的示意图，且，一束光从玻璃面的处射向玻璃面的处，但从玻璃面的处射出时发生了折射，使光线从变成了，为光线延长线上一点，已知，，则的度数为　 　． 【答案】20 【解析】如图 ∵a∥b，∠1=135°， ∴∠4=∠1=135°， ∴∠2+∠3=180°-135°=45°， ∵∠2=25°， ∴∠3=20°. 故答案为：20. 19． 如图，已知，. （1） 求证：. 请将下面证明过程补充完整： 证明：∵ (已知)， ∴ ( ▲ )， 又∵ (已知)， ∴ ▲ ( ▲ )， ∴ ▲ (内错角相等，两直线平行)， ∴( ▲ ). （2） 若AC平分，于点E，，求的度数. 【答案】（1）解：证明：(已知)， (两直线平行，同旁内角互补)， 又 (已知)， (同角的补角相等)， (内错角相等，两直线平行)， (两直线平行，同位角相等)； （2）解： 平分 ， ， 由(1) 得 ， . ， ， ， ， ， ， . 20．如图，已知，点E，G分别在AB，CD上，连结DE，BG，延长AD和BG交于点。 （1）判断AF与BC是否平行，并说明理由． （2）若，求的度数． 【答案】（1）解：AF∥BC，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠A=∠FDC， ∵∠A=∠C， ∴∠FDC=∠C， ∴AF∥BC； （2）解：∵AB∥CD，DE∥BF， ∴∠A=∠FDC，∠F=∠ADE， ∵∠A+∠F=110°， ∴∠FDC+∠ADE=110°， ∵∠FDC+∠EDG+∠ADE=180°， ∴∠EDG=70°. 【期末常考】 21．如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3＋∠4＝180°，试说明∠1＝∠2.（请通过填空完善下列推理过程） 解：∵∠3＋∠4＝180°（已知）， ∠FHD＝∠4（对顶角相等） ∴∠3＋ ▲ ＝180°． ∴FG∥BD（ ▲ ） ∴∠1＝（ ▲ ） ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝ ▲ ． ∴∠1＝∠2 【答案】解：解：∵∠3＋∠4＝180°（已知）， ∠FHD＝∠4（对顶角相等 ）． ∴∠3＋∠FHD＝180° ∴FG∥BD（同旁内角互补，两直线平行 ） ∴∠1＝∠ABD（两直线平行，同位角相等） ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠2 ∴∠1＝∠2 【课后作业】 1．如图，直线，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图 ∵ ∴∠3=∠1=120° ∵∠3+∠2=180° ∴∠2=180°-∠3=60° 故答案为：C. 2．如图，，分别交、E于点B、D，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，， ∴， 故答案为：C． 3．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（　　） A．32° B．58° C．68° D．60° 【答案】B 【解析】根据题意可知， 故答案为：B. 4．将一副三角板如图放置，斜边交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图： 依题意由三角板的特征得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵+=180°， ∴， 故答案选：A． 5．如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝　 　 【答案】50° 【解析】∵DE∥AF， ∴∠2＝∠A， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠2＝∠A， ∵∠DCF＝∠A+∠1＝2∠A＝100°， ∴∠A＝50°， 故答案为：50°． 6．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则等于　 　度． 【答案】55 【解析】如图： ∵， ∴， ∵直尺两边平行， ∴， 故答案为：． 7．光线在不同介质中的传播速度不同， 从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面 与水杯下沿 平行， 光线 从水中射向空气发生折射， 光线变成 ， 点 在射线 上．若 ， 则 　 　 【答案】40° 【解析】如图，∵AB∥CD， ∴∠GFB=∠FED， ∵∠FED=65°， ∴∠GFB=65°， ∵∠HFB=25°， ∴∠GFH=∠GFB-∠HFB=65°-25°=40°. 故答案为：40°. 8．如图，根据已知条件完成如下证明： （1）已知，求证：． （2）直线，求证：． 【答案】（1）证明：，， ， . （2）证明：， ， 又， ． 9． 完成下面的证明并填上推理根据． 如图所示，点C，F分别为三角形ABE的边BE，AE上的一点，点D在线段CF的延长线上，且，，，求证：． 证明：∵（　 　）， ∴（　 　）． ∵（已知）， ∴（　 　）． ∵（已知）， ∴　 　（　 　）， 即　 　， ∴　 　（等式的基本事实）， ∴（　 　）． 【答案】已知；两直线平行，同位角相等；等量代换；；等式性质；；；内错角相等，两直线平行 10．已知，，，求证：． 【答案】证明：∵，， ∴∠B+∠2=90°，∠B+∠3=90°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学七年级下册第1章相交线与平行线 1.2 同位角、内错角、同旁内角 【知识重点】 同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 【经典例题】 例题1、如图。 （1）∠4与∠8是同位角吗?还有哪几对是同位角? （2）∠4与∠6是内错角吗?内错角一共有几对? （3）除∠3与∠6外，还有其他同旁内角吗? 例题2、找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。 例题3、已知直线l1，l2，l3，l4(如图)。 （1）当哪两条直线被哪条直线所截时，∠1与∠3是同位角?当哪两条直线被哪条直线所截时，∠1与∠4是内错角? （2）请说出图中一对同位角、一对内错角、一对同旁内角，并分别说明是哪两条直线被哪条直线所截而成的。 例题4、观察图形，回答下列问题： （1）∠1的同位角是哪些角? （2）∠2的内错角是哪些角? （3）∠3的同旁内角是哪些角? 【基础训练】 1．如图，在所标注的角中，可以看成是一对内错角的是（　　） A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠1和∠3 D．∠2 和∠4 2． 如图，直线a，b，c两两相交.和是一对（　　） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 3． 下列图形中，与的位置关系属于同旁内角的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，直线l截直线a，b所得的同位角有　 　对，它们是　 　；内错角有　 　对，它们是　 　；同旁内角有　 　对，它们是　 　；对顶角有　 　对，它们是　 . 5．如图，下列说法正确的是　 　(填写序号)。 ①∠1与∠2是同位角；②∠2与∠4是内错角；③∠4与∠5是同旁内角；④∠3与∠4是同位角。 6．如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠1的内错角是　 　. 7．如图，直线AB，CD被直线EF所截。请找出一对同位角、一对内错角和一对同旁内角。 8．如图，直线DE交∠ABC的边BA于点F。如果内错角∠1与∠2相等，那么同位角∠1与∠4相等，同旁内角∠1与∠3互补。请说明理由。 9．如图，找出用数字标注的各角中的同位角、内错角和同旁内角。 10．如图， 把一根筷子一端放在水里， 一端露出水面， 筷子看起来变弯了． 它真的弯了吗？ 其实没有．这是光的折射现象： 筷子反射的光从水中射入空气中， 光的传播方向发生了改变． （1）写出 的同位角． （2）写出 的内错角． 【培优训练】 11．下列图形中，与不是同位角的是（　　） A．B．C．D． 12．如图，∠2的内错角是（　　） A．∠1 B．∠3 C．∠C D．∠4 13．如图，两条光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，则下列选项中的同旁内角为（　　） A． B． C． D． 14．如图，下列说法中，正确的是（　　） A．∠2与∠3是同旁内角 B．∠1与∠2是同位角 C．∠1 与∠3是同位角 D．∠1与∠2 是内错角 15．如图所示，与∠C构成同旁内角的有　 　个． 16．看图填空： （1） 若ED，BF被AB所截，则∠1与　 　是同位角； （2） 若ED，BC被AF所截，则∠3与　 　是内错角； （3）∠1与∠3是AB和AF被　 　所截构成的　 　角； （4）∠2与∠4是　 　和　 　被BC所截构成的　 　角。 17．如图，若∠2=100°，则∠1的同位角等于　 　度，∠1的内错角等于　 　度，∠1的同旁内角等于　 　度． 18．如图，∠1与∠3是直线AB，CD被直线　 　所截构成的　 　角，∠2与∠4是直线　 　，　 　被直线BD所截构成的　 　角. 19．如图， 请写出所有能与 构成同旁内角的角：　 　. 20．如图，在所在的平面内各画一条直线，使得： （1）与成同旁内角的角有3个； （2）与成同旁内角的角有4个． 【期末常考】 21． 如图，与是同旁内角的是（　　） A． B． C． D． 22．如图，直线a，b被直线c所截，下列各角中与∠1是内错角的是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 23．数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（　　） A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角 C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角 【课后作业】 24．下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 25．如图，直线AB，CD被CE所截，则与是（　　） A．对顶角 B．同旁内角 C．同位角 D．内错角 26．下列四幅图中，∠1和∠2是同旁内角的是（　　） A． B． C． D． 27．如图，下列各角与是同位角的是（　　） A． B． C． D． 28．如图，已知与，其中与相交，下列结论中错误的是（　　） A．与是同旁内角 B．与是对顶角 C．与是内错角 D．与是同位角 29．如图，与∠1构成同位角的角有　 　个。 30．如图， 如果 ， 那么 的同位角等于　 　 ， 的内错角等于　 　 ， 的同旁内角等于　 　 31．如图，数字“4”中有a对同位角，b对内错角，c对同旁内角，则a+b-c=　 　。 32． 如图， 的同位角是　 　， 内错角是　 　同旁内角是　 　 33． 如图，CD交∠AOB的边AO于点E，∠1=∠2。找出图中和∠2相等的角，以及和∠2互补的角，并说明理由。 34．两条直线被第三条直线所截，∠1与∠2是同旁内角，∠3与∠2是内错角. （1）根据上述条件，画出符合题意的图形. （2）若∠1=3∠2，∠2=3∠3，求∠1、∠2的度数. 35．如图，找出标注角中的同位角．内错角和同旁内角． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 【浙教2024版同步训练】数学七年级下册第1章相交线与平行线 1.1直线的相交（1） 【知识重点】 1、相交与交点： 如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交,这个公共点叫作这两条直线的交点。 2、对顶角：如图1-1,直线AB与CD相交,其交点是O,∠1,∠2,∠AOD和∠COB是AB与CD相交所成的角。我们把其中相对的任何一对角:∠1与∠2或∠AOD与∠COB叫作对顶角。 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线。 （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 【经典例题】 例题1. （1） 如图①，O，P是直线AB上的两点，∠1=∠2。∠1与∠2是对顶角吗?请说明理由。 （2） 如图②，已知∠3=∠4。∠3与∠4是对顶角吗? 请说明理由。 【答案】（1）不是，因为顶点不相同。 （2）不是，因为与的两边不是互为反向延长线。 【分析】根据对顶角的定义：有公共顶点且两条边互为反向延长线的两个角判断即可. 例题2.如图，三条直线相交于一点O，请说出图中的对顶角。 【答案】解：对顶角分别是： ∠FOA与∠EOB；∠FOC与∠EOD； ∠AOC与∠BOD；∠AOE与∠BOF； ∠COE与∠DOF；∠COB与∠DOA. 【分析】根据对顶角的定义：有公共顶点且两条边互为反向延长线的两个角判断即可. 例题3.如图，直线，相交于点O，，求的度数． 【答案】解：∵， ∴， ∴．​​​​​​​ 【分析】题中可以根据条件先求出，再根据对顶角相等即可求解． 例题4.如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，OF⊥OE，若∠BOD＝40°，求∠DOF的度数． 【答案】解：∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOC． ∵∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝40°，∴∠AOC＝40°．∴∠COE＝×40°＝20°． ∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°． ∴∠DOF＝180°﹣∠EOF﹣∠COE＝180°﹣90°﹣20°＝70°． 【分析】本题考查了角平分的定义、对顶角的性质，由OE平分∠AOC，结合对顶角相等，得到∠AOC＝40°，进而求得∠COE的度数，利用OF⊥OE，结合角的和差，即可求得∠DOF的度数，得到答案． 【基础训练】 1．下列四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】A、此选项中的∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，故此选项不符合题意； B、此选项中的∠1与∠2虽有公共顶点， 但它们的两边并非互为反向延长线 ，不是对顶角，故此选项不符合题意； C、此选项中的∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，故此选项不符合题意； D、此选项中的∠1与∠2既有公共顶点，又存在角的两边互为反向延长线，是对顶角，故此选项符合题意. 故答案为：D. 2．下列各图中，的是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】A、，∴此选项符合题意； B、，∴此选项不符合题意； C、，∴此选项不符合题意； D、，∴此选项不符合题意. 故答案为：A． 3． 如图，直线相交于点，如果，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∵，∴. 故答案为：． 4．如图，直线，相交于点．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵∠1与∠BOD是对顶角，∴，∴， 故答案为：C ． 5．如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是　 　． 【答案】对顶角相等 【解析】利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，根据是对顶角相等， 故答案为：对顶角相等． 6．如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2=220°，那么∠3=　 　. 【答案】70° 【解析】∵∠1和∠2是对顶角，∴∠1=∠2. ∵∠1+∠2=220°，∴∠1=∠2=110°，∴∠3=180°－∠1=70°. 故答案为：70°. 7．如图，直线a，b相交，，求的度数。 【答案】解：∠1与∠2是邻补角，所以它们的和等于180°，∠2 = 180°－∠1=180-38°=142°。 ∠1与∠3是对顶角，所以 ∠3 = ∠1=38°。 ∠2与∠4是对顶角，所以 ∠4 = ∠2。 ∠4 = ∠2 = 142° 综上，∠2=142°，∠3=38°，∠4=142°。 8．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB。已知∠BOD=45°，求∠COE的度数。 【答案】解： 因为 OE⊥AB，所以∠AOE=90°。 又因为∠AOC与∠BOD是对顶角，根据“对顶角相等”，得∠AOC=∠BOD=45°， 所以∠COE=∠AOC+∠AOE=45°+90° =135°。 9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC=∠COB-30°，求∠AOE的度数。 【答案】解：因为，所以。 又因为， 所以，所以， 所以，所以。 因为OE平分，所以。 因为，所以. 10．如图，直线AB、CD、EF相交于点O． （1）写出∠COE的邻补角； （2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角； （3）如果∠BOD=60°，∠BOF=90°，求∠AOF和∠FOC的度数． 【答案】（1）【解答】∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD （2）【解答】∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF （3）【解答】∵∠BOF=90°，∴AB⊥EF∴∠AOF=90°，又∵∠AOC=∠BOD=60° ∴∠FOC=∠AOF+∠AOC=90°+60°=150°． 【培优训练】 11．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】A、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不合题意； B、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不合题意； C、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不合题意； D、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意； 故答案为：D. 12．同一平面内互不重合的3条直线的交点的个数是（　　） A．可能是0，1，2 B．可能是0，2，3 C．可能是0，1，2或3 D．可能是1，可能是3 【答案】C 【解析】 同一平面内互不重合的3条直线的位置关系如下： ①互相平行，此种情况交点个数为0个； ②其中两条平行，此种情况交点个数为2个； ③三条直线相交于一点，此种情况交点个数为1个； ④两条直线两两相交，此种情况交点个数为3个. 综上所述， 同一平面内互不重合的3条直线的交点的个数是0，1，2或3. 故答案为：C. 13．如图，直线，相交于点O，下列命题中，是真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则与互为对顶角 C．若，则 D．若，则与互为邻补角 【答案】A 【解析】．∵，， ∴，即，该命题是真命题，故A选项符合题意； ．与不是对顶角，该命题是假命题，故B选项不符合题意； ．无法得出，该命题是假命题，故C选项不符合题意； ．与不是邻补角，该命题是假命题，故D选项不符合题意； 故答案为：A． 14．如图，直线AB、CD相交于点O， 于点O.若 ，则 　 　. 【答案】130° 【解析】∵与为邻补角，且 ， ∴、. ∴. ∵ ， ∴. ∴. 故答案为：130° . 15．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOE=144°，则∠AOC的度数是　 　． 【答案】72° 【解析】∵AB、CD相交于O， ∴∠AOC与∠DOB是对顶角，即∠AOC=∠DOB， ∵∠AOE=144°， ∴∠BOE=180°﹣∠AOE=36°， 又∵OE平分∠BOD，∠BOE=30°， ∴∠BOD=2∠BOE=2×36°=72°， ∴∠BOD=∠AOC=72°， 故答案为：72°． 16．如图，直线AE与CD相交于点°，.求和的度数. 【答案】解：∵BF⊥AE， ∴∠EBF=90°， ∵∠DBE=60°， ∴∠FBD=∠EBF-∠DBE=90°-60°=30°， ∠CBF=180°-∠FBD=180°-30°=150°. 17．如图，已知直线和相交于点O，，平分，，求和的度数． 【答案】解：∵，∴， ∵，∴， ∴， ∵平分，∴， ∴． ∴，． 18．如图， 交 于 ， ． （1）若 ，求 的度数； （2）若 ，求 的度数． 【答案】（1） ， ， ， ， ； （2）设 ， ， ， ， ， ∴ ，∴ ∵∠AOD与∠BOC为对顶角， ． 19．如图4，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，EO⊥AB于点O，FO⊥CD于点O. （1） 若∠AOD=40°，求∠EOC的度数； （2） 若∠AOD： ∠EOF=1：5，求∠BOP的度数. 【答案】（1）解： ∵EO⊥AB，∴∠AOE=90°. ∵∠AOD=40°， ∴∠EOC＝180°－ ∠AOD－ ∠AOE ＝180°－40°－90° ＝50°. （2）解： ∵ ∠AOD： ∠EOF＝1：5，设∠AOD为x°， 则∠EOF为5x° ∵DO⊥FO，∴∠DOF＝90°. ∵∠AOD+∠AOE+∠EOF+∠DOF＝360°， ∴ x + 90°+ 5x + 90°＝360°. 解得x＝30°，即∠AOD＝30°. 又∴∠BOC＝∠AOD＝30°(对顶角相等) ∵OP是∠BOC的平分线， ∴∠POB＝ ∠BOC ＝ 20．我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，… （1）10条直线交于一点，对顶角有多少对？ （2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有多少对？ 【答案】（1）解：如图①两条直线交于一点，图中共有 =2对对顶角；如图②三条直线交于一点，图中共有 =6对对顶角；如图③四条直线交于一点，图中共有 =12对对顶角； …； 按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有： =90， 故答案为：90 （2）解：由（1）得：n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有： =n（n﹣1）． 故答案为：n（n﹣1）． 【期末常考】 21．下列日常使用的工具或学具中，没有应用到对顶角及其相关知识的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 A、B、C 选项中工具的工作原理都涉及到对顶角相等的知识，而D中的圆规主要是利用了弧长与半径等相关知识来画圆等操作，没有应用到对顶角及其相关知识，所以选 D。 22．如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型，固定木条a，转动木条b，当减小时，下列说法正确的是（　　） A．增大 B．增大 C．减小 D．与的和增大 【答案】A 【解析】A、和是邻补角，当减小时，增加，故选项正确，符合题意； B、和是对顶角，当减小时，也减小，故选项错误，不符合题意； C、和是邻补角，当减小时，增加，故选项错误，不符合题意； D、和都与是邻补角，当减小时，和都增加，与的和增大，故选项错误，不符合题意； 故答案为：A． 23． 如图，直线相交于点O，于点O．若，则的度数为　 　． 【答案】130° 【解析】【解答】解：∵∠BOD：∠BOC=2：7，∠BOD+∠BOC=180°， ∴， ∴∠BOD=∠AOC=40° ∵EO⊥CD， ∴∠EOC=90°， ∴∠AOE=∠EOC+∠AOC=90°+40°=130°， 故答案为：130°. 24．如图，直线、、相交于点，若，则　 　 【答案】30 【解析】【解答】解：， ． 故答案为：． 【课后作业】 1．下列各图中，一定有的是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】A.两直线不平行，内错角不一定相等，所以∠1≠∠2，故A不符合题意； B. 两直线不平行，同位角不一定相等，所以∠1≠∠2，故B不符合题意； C. 互为邻补角不一定相等，所以∠1≠∠2，故C不符合题意； D. 对顶角相等，所以∠1=∠2，故D符合题意； 故答案为：D. 2．如图， 直线 相交于点 ， 下列命题中， 是真命题的是（ ） A．若 ， 则 B．若 ， 则 与 互为对顶角 C．若 ， 则 D．若 ， 则 与 互为邻补角 【答案】A 【解析】A、∵，，∴∠AOM=∠BOM=90°，∴，∴A正确，符合题意； B、∵∠1=∠2，无法证出 与 互为对顶角，∴B不正确，不符合题意； C、∵，无法证出，∴C不正确，不符合题意； D、∵无法证出 与 互为邻补角，∴D不正确，不符合题意； 故答案为：A. 3．小明在做一道数学题．直线AB，CD相交于点O，∠BOC＝25°，过点O作 ，求∠AOE的度数．小明得到 ，但老师说他少了一个答案．那么∠AOE的另一个值是（　　） A．105° B．115° C．125° D．135° 【答案】B 【解析】依题意，另一情况画图如下： ∵OE⊥CD，∴∠DOE＝90°， ∵∠AOD＝∠BOC＝25°，∴∠AOE＝90°+25°＝115°， ∴∠AOE的另一个值为115°. 故答案为：B. 4．如图，对顶角量角器测得零件的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为对顶角相等，所以对顶角量角器测得零件的度数是30°， 故答案为：A. 5．平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是（　　）. A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【解析】每两条直线相交构成2对对顶角，三条直线两两相交构成 对对顶角，故选B． 6．如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，表示的点在直线b上，则　 　． 【答案】75 【解析】∵， ∴， 故答案为：75． 7．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足是点O，∠BOC＝140°，则∠DOE＝　 　 ． 【答案】50° 【解析】∵ ∠BOC＝140°， ∴∠AOD=∠BOC=140°， ∵OE⊥AB，垂足是点O， ∴∠AOE=90°， ∴ ∠DOE =140°-90°=50°。 故答案为：50° 8．如图，直线AB与CD相交于点E，∠CEB＝50°，EF⊥AE，则∠DEF的度数为 　 　． 【答案】140° 【解析】∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， 又∵∠AED＝∠CEB＝50°， ∴∠DEF＝∠DEA+∠AEF＝50°+90°＝140°． 故答案为：140° 9．如图，直线和交于O点，平分于点，则　 　． 【答案】 【解析】∵、相交于点，∴， ∵平分，∴， ∵，∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，直线相交于点O，，垂足为O，，求的度数． 【答案】解：， ， ，， ， ． 11．如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分，若，求． 【答案】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，直线，相交于点，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）解：∵平分， ∴， ； （2）解：∵， ∴设，， 根据题意得， 解得， ∴， ∴， ． 13．如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD的内部，∠AOC＝70°﹣∠AOE． （1）如图1，当∠AOE＝40°时，请写出与∠BOD互余的角，并说明理由； （2）如图2，若OF平分∠BOE，求∠DOF的度数． 【答案】（1）解：∠AOE与∠BOD互为余角，理由如下： ∵∠AOC＝70°﹣∠AOE，∠AOE＝40°， ∴∠AOC＝70°﹣×40°＝50°， ∴∠BOD＝∠AOC＝50°， ∴∠BOD+∠AOE＝50°+40°＝90°， 即∠AOE与∠BOD互为余角； （2）解：∵OF平分∠BOE， ∴∠BOF＝∠EOF＝∠BOE， ∵∠AOE+2∠BOF＝180°， ∴∠AOE+2∠DOF+2∠BOD＝180°， ∵∠AOC＝70°﹣∠AOE＝∠BOD， ∴∠AOE+2∠DOF+140°﹣∠AOE＝180°， 即∠DOF＝20°． 【解析】【分析】（1）根据角的大小计算得到∠AOC＝50°，再利用对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC＝50°，进而求出找到∠BOD的余角即可； （2）根据角平分线的定义可得∠BOF＝∠EOF＝∠BOE，利用那个平角定义可知∠AOE+2∠DOF+2∠BOD＝180°，进而得∠AOE+2∠DOF+140°﹣∠AOE＝180°，即可求解． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学七年级下册第1章相交线与平行线 1.4平行线的判定（1） 【知识重点】 1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单地说，同位角相等，两直线平行. 2.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 【经典例题】 例题1、如图，在平移三角尺画平行线的过程中，理由是　 　 ． 【答案】同位角相等，两直线平行　 【解析】解：由作图可得∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行可得a∥b， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 例题2、如图，直线AB，CD被直线EF所截，已知∠1=∠2，下面是证明AB//CD的过程，请补充完成。 证明：因为∠1=∠2(已知)， ∠2=∠3 　 　 . 所以　 　(等量代换)， 所以　 　，　 　。 【答案】对顶角相等；∠1=∠3；AB∥CD；同位角相等， 两直线平行 【解析】【解答】证明：∵∠1=∠2(已知)， ∠2=∠3（对顶角相等） ， ∴∠1=∠3， ∴AB∥CD，同位角相等， 两直线平行， 故答案为：对顶角相等；∠1=∠3；AB∥CD；同位角相等， 两直线平行. 例题1、如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD为75°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转　 　度. 【答案】5 【解析】若OD旋转到OD′时，则OD′∥AC. ∵OD′∥AC， ∴∠BOD′=∠A=70°. ∴∠DOD′=∠BOD-∠BOD′=75°-70°=5°. ∴要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转5度. 故答案为：5. 33．如图，已知∠1=∠2。若直线b⊥m，则直线a⊥m。请说明理由。 【答案】解： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【基础训练】 1．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a//b，理由是(　　) A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【解析】工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a//b，其理由是：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行， 故答案为：B. 2．在铺设铁轨时， 两条直轨必须是互相平行的， 如图， 若已经知道 是直角， 再度量图中已标出的某个角， 仍不能判断两条直轨平行， 则该角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A、∠1与∠2是邻角，不能判定两条直轨平行，A符合题意； B、∠2与∠3是同旁内角，同旁内角互补，可判断两条直轨平行，B不符合题意； C、∠2和∠4是同位角，同位角相等，可判断两条直轨平行，C不符合题意； D、∠2和∠5是内错角，内错角相等，可判断两条直轨平行，D不符合题意. 故答案为：A. 3．如图所示， ， 则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵∠1=∠2， ∴AD∥EF. 故答案为：C. 4．斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路。某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出∠1=∠2=83°，这种验证方法依据的基本事实是　 　。 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 ∠1=∠2=83°， ∴ 斑马线平行， 这种验证方法依据的基本事实是同位角相等，两直线平行 故答案为：同位角相等，两直线平行 5．如图，请添加一个条件：　 　，使 DE//BC. 【答案】（​​​​​​​答案不唯一） 【解析】∵ ∴ 故答案为：. 6．如图，CD⊥AB，请添加一个条件：　 　 ，使得CD∥EF． 【答案】EF⊥AB 【解析】添加EF⊥AB， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC=∠AFE=90°， ∴CD∥EF， 故答案为：EF⊥AB 7．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线　 　 ． （1）它的理由如下：（如图1） ∵b⊥a，c⊥a，∴∠1=∠2=90°， ∴b∥c（　 　 ） （2）如图2是木工师傅使用角尺画平行线，有什么道理？　 　 ． 【答案】平行　；同位角相等，两条直线平行　；垂直于同一条直线的两条直线平行　 【解析】解：∵在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，∴这两条直线互相平行． 故答案为：平行； （1）∵b⊥a，c⊥a，∴∠1=∠2=90°，∴b∥c（同位角相等，两条直线平行）． 故答案为：同位角相等，两条直线平行； （2）垂直于同一条直线的两条直线平行，故答案为：垂直于同一条直线的两条直线平行． 8．已知直线AB和直线外一点C(如图)。你能用一把三角尺过点C画AB的平行线吗?如果能，说明方法，并画出图形。 【答案】解：过点先作于点，再作，如图， ∵ ∴ ∴． 9．如图，直线l1，l2被直线l3所截，∠1=45°，∠1=135° 。判断l1与l2是否平行，并说明理由。 【答案】解： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 10．如图，AB⊥EF，CD⊥EF，E，F分别为垂足。直线AB与CD平行吗?请说明理由。 【答案】解：∵ ∴ ∴ 【培优训练】 11． 在一次数学活动课上， 老师让同学们借助一副三角尺画平行线 ． 下图是小楠、小曼两位同学的作法． 关于两位同学的作法， 下面说法正确的是（　　） A．仅小楠的作法正确 B．仅小曼的作法正确 C． 两位同学的作法都不正确 D．两位同学的作法都正确 【答案】D 【解析】∵AB⊥BD，CD⊥BD ∴AB∥CD ∵∠ABC=∠BCD=90° ∴AB∥CD ∴两位同学的作法都正确 故答案为：D. 12．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=80°，∠2=40°，要使木条a与b平行，木条a需按顺时针方向旋转的最小度数是(　　) A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】D 【解析】设顺时针旋转的最小度数为x， ∵ ∴要使木条a与b平行，只需 则， 故答案为：D． 13．不相邻的两个直角，如果它们有一边在同一直线上，那么另一边相互(　　) A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．平行或垂直或相交 【答案】A 【解析】结合图形，由平行线的判断定理进行分析． 如图所示： 不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，内错角相等，或同旁内角互补，那么另一边互相平行． 故选：A． 14．如图，直线被所截，有下列条件：①；②；③，其中能判断的条件是　 　 【答案】① 【解析】解答】解：①， 根据同位角相等，两直线平行， ． 故答案为：①. 15．下面是验证纸条两条边线a，b是否平行的不同折叠方式： ①小明：如图①，展开后测得∠1=∠2； ②小丽：如图②，测得∠1=∠2； ③小君：如图③，展开后测得∠1+∠2=180°； ④小晨：如图④，展开后测得∠2=∠4。 其中能判定两条边线a//b的是　 　(填序号)。 【答案】①②③ 【解析】①∵∠1=∠2， ∴a//b，则①符合题意； ②∵∠1=∠2， ∴a//b，则②符合题意； ③∵∠1+∠2=180°， ∴a//b，则③符合题意； ④∵∠4与∠2是两条边线a，b与AB所成的内错角， ∴不能判定a//b，则④不符合题意； 综上所述，其中能判定两条边线a//b的是①②③， 故答案为：①②③. 16．如图， 已知 平分 ， 则 ． 请说明理由． 解： ， 根据 ， 得 ．又 平分 ， 根据 ， 得 ° 而 ， ． 根据 ． 【答案】解： ， 根据平角的意义 得 ．又 平分 ， 根据角平分线的意义， 得 ， 而 ， ． 根据 同位角相等，两直线平行 ． 17． 如图， 点 在同一条直线上， ， 且 分别是 和 的角平分线． 与 平行吗？ 请说明理由． 【答案】解：． 理由如下： 由 分别是 和 的平分线， ∴， ， ∵；∴， ∴ 18．如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，求证：BE∥DF. 【答案】解：∵ AB⊥BC ，∴∠3+∠4=90°. ∵∠2=∠3，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠4 .∴ BE∥DF. 【期末常考】 19．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=68°，∠2=51°，要使木条ａ与b平行，木条ａ需顺时针旋转的度数是（　　） A．13° B．15° C．17° D．19° 【答案】C 【解析】∵∠1与∠2为同位角，要使木条a与b平行，∠1=∠2才行， ∵∠1=68°，∠2=51°， 顺时针旋转的度数为∠1-∠2=17°. 故选：C. 【课后作业】 1．对于图中标记的各角， 下列条件能够推理得到 的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 A、∵，∴∠1=∠5，∴，故A正确 B、C、D、都得不出 故选A 2．如图， 直线 被直线 所截， 下列条件中， 不能得到 的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A、∠1和∠3是对顶角，无法判断a∥b，A符合题意； B、∠2=∠4，同位角相等，a∥b，B不符合题意； C、∠3+∠4=180°，∠3+∠2=180°，∠4=∠2，同位角相等，a∥b，C不符合题意； D、∠1+∠2=180°，∠4=∠2，同位角相等，a∥b，D不符合题意. 故答案为：A. 3．如图所示， ， 有下列结论： ①若 ，则 ；②若 ， 则 ； ③若 ， 则 ； ④若 ， 则 ． 其中正确的有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【解析】解：，不能判定，故①错误； ，，∴，∴，故②正确； ， 不能判定，故③错误； ，，∴，∴，故④正确. 故答案为：B. 4．如图， 直线 被直线 所截， 若 ， 则直线　 　与直线　 　平行． 【答案】a；b 【解析】∵∠1和∠2是由直线d截取两直线a、b所得，且 ∴a//b， 故答案为：a；b. 5．如图，直线a、b被c所截，，当　 　°时， 【答案】50 【解析】 由题意得∠1与∠2是同旁内角， ∴当∠1+∠2=180°时， ∵∠1=130°， ∴当∠2=50°时， 故答案为：50． 6． 如图，AB⊥CD于点B，AE与BF相交于点G，且.∠FGE=60°， ∠ABG=30°。判断AE与CD是否平行，并说明理由。 【答案】解：∵， ∴。 ∵， ∴。 ∵， ∴， ∴． 7．小王骑自行车从A地出发，沿正东方向前进至B地后，右转15°，沿直线向前骑行到C地(如图)。这时他想仍向正东方向前进，那么他应怎样调整骑行方向?请画出他继续骑行的路线，并说明理由。 【答案】解：在处左转，路线如下图， ∵， ∴． 8．如图， 已知直线 被直线 所截， 且 ， 试判断直线 与 是否平行， 并说明理由． 【答案】解：AB∥CD.理由如下： ∵∠2=60°，∠AHG=∠2， ∴∠AHG=60°， 又∵∠1=60°， ∴∠1=∠AHG， ∴AB∥CD. 9． 如图， 直线 被直线 所截， 为 与 的交点， 于点 ， ． 判断 与 是否平行， 并说明理由． 【答案】解：平行，理由如下： ∵， ∴∠GHD=90°， ∵， ∴∠4=180°-90°-30°=60°， ∵， ∴AB∥CD 10．如图，已知 ． （1） 吗？ 为什么？ （2） 吗？ 为什么？ 【答案】（1）解：，理由如下： ∵， ∴（同位角相等，两直线平行） （2）解：，理由如下： ∵ ∴∠EAC=∠FBD=90°， ∴∠EAC+∠1=∠FBD+∠2，即∠EAB=∠FBN， ∴（同位角相等，两直线平行） www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学七年级下册第1章相交线与平行线 1.3平行线 【知识重点】 1．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行． 2．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．“平行”用符号“∥”表示． 3．平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 4．用三角尺和直尺画平行线的方法：一贴，二靠，三推，四画．(注意：作图题要写结论) 【经典例题】 例题1、下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线 B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 【答案】C 【解析】在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故A错误，不符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故B错误，不符合题意； 同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故C正确，符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故D错误，不符合题意； 故选：C． 例题2、如图，已知直线l和直线外一点P。用三角尺和直尺画四条和直线l平行的直线，并要求其中有直线经过点P。 【答案】解：如图， . 例题3、用符号“∥”表示图中平行四边形的两组分别平行的对边。 【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴. 例题4、如图，用三角尺和直尺画直线b与已知直线a平行。请你按图示方法画一画。你能概括出这种画法的基本步骤吗? 【答案】解：步骤如下：一、一、把三角尺的斜边和直线重合； 二、把直尺的一边与三角尺的较短的一条直角边重合； 三、固定直尺，把三角尺沿直尺的方向向上平移到一个位置； 四、沿三角尺的斜边画直线；则所画直线与已知直线平行. 例题5、如图，点P是∠ABC内一点.（以下作图工具不限） （1）过点P画直线l平行于BC； （2）过点P画直线PQ垂直AB，垂足为Q； （3）量出点P到AB的距离. （精确到 0.1cm） 【答案】（1）解：如图 （2）解：如图 （3）解：1.2cm（1.1cm~1.3cm 都可以） 【解析】（1）可以把三角尺的一边与BC重合，然后把直尺的一边与三角尺的一边重合，然后推动三角尺，使三角尺的一边经过点P画出直线即可. （2） 将三角尺的一条直角边与AB重合，滑动使三角尺的另外一条直角边经过点P，沿该直角边画直线，垂足为Q即可. （3） 用刻度尺测量PQ的长度，精确到0.1cm即可. 例题6、如图，点M，N代表两个城市，MA，MB是两条公路。现规划建造两条经N市的公路，这两条公路分别与MA，MB平行，并在与MB，MA的交会处分别建一座立交桥。请在图中画出规划建造的两条公路及立交桥的位置。 【答案】解： 如图，过点N分别作直线NP∥MA，交MB于点P；作直线NQ∥MB，交MA于点Q。NP，NQ分别为规划建造的两条经N市的公路，立交桥应分别建在P，Q处. 【解析】过点N分别作直线NP∥MA，交MB于点P；作直线NQ∥MB，交MA于点Q，则NP，NQ分别为规划建造的两条经N市的公路，立交桥应分别建在P，Q处. 例题7、找出图中各对互相平行的直线，并用符号“∥”把它们表示出来。 【答案】解：。 例题8、如图，在三角形ABC中，P是AC边上一点。过点P分别画AB，BC的平行线。 【答案】解：如图所示，，直线即为所求。 【基础训练】 1．过一点画已知直线的平行线（　　） A．有且只有一条 B．不存在 C．有两条 D．不存在或有且只有一条 【答案】D 【解析】若点在直线上，过这点不能画已知直线的平行线； 若点在直线外，根据平行公理，有且只有一条直线与已知直线平行． 故答案为：D． 2．下列说法中不正确的有（　　） ①过任意一点可作已知直线的一条平行线 ②同一平面内两条不相交的直线是平行线 ③过已知直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 ④平行于同一直线的两直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 3．如图，过点 画直线 的平行线，能画　 　条，依据是：　 　. 【答案】1；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【解析】过点A画直线l的平行线，能画一条， 依据是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：1；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 4．如图， 在长方体 中， 与 平行的棱是　 　 【答案】棱， 棱， 棱 【解析】【解答】 在长方体 中， 与 平行的棱是 棱， 棱， 棱. 5．直线l的同侧有A，B，C三点，如果A，B两点确定的直线l1与B，C两点确定的直线l2都与l平行，那么A，B，C三点在同一条直线上，理由是　 　 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】根据平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”进行分析. 6．下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有　 　（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 【分析】将三角板的一条直角边靠在直线上，另一条直角边靠着直尺，固定直尺不动，推动三角板即，能与另一直角边重合，即可判断平行． 7．如图， 观察长方体 ， 用符号“∥”或“ ”填空： （1） 　 　． （2） 　 　EH． （3） 　 　． （4） 　 　． 【答案】（1）∥（2）∥（3）∥（4）⊥ 【解析】由长方形的特点和平行、垂直的定义可得AB∥EF，BC∥EH，BF∥CG，BC⊥CD 故答案为：∥；∥；∥；⊥. 【分析】根据长方形的特征和平行、垂直的定义逐一判断即可. 8．如图，P是∠ABC内一点，点Q在AB上。 （1）过点P画一条直线a平行于BC； （2）过点Q画一条直线b平行于BC。 【答案】（1）作法：①将三角尺的斜边与BC重合； ②将直尺与三角尺的一条直角边紧贴在一起； ③沿直尺平移三角尺至点，使点经过三角尺的斜边； ④沿着三角尺的斜边画一条直线，所画直线平行于BC，如图所示。 （2）同（1）的作法，可得直线b平行于BC，如（1）图所示。 9．已知直线l(如图)，任意画两条直线，使它们都和直线l平行。 【答案】解：如图中所画直线。 10．如图， 是 内的一点. 按下列要求画图， 并回答问题. （1） 过点 画直线 ， 交直线 于点 . （2） 过点 画直线 ， 交直线 于点 . （3） 分别量出 的度数， 你有什么发现？ 【答案】（1）解：如图：直线PD就是所求作的直线； （2）解：如图：直线PC就是所求作的直线； （3）解：， 发现：两直线平行，同位角相等. 【培优训练】 11．如图，在4×6的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F都在格点上，连接C，D，E，F中任意两点得到的所有线段中，与线段AB平行的线段是　 　 【答案】FD 【解析】如图所示：只有FD所在直线与AB所在直线不相交，故与AB平行的线段是FD. 故答案为：FD 12．观察如图所示的长方体，填空． （1）用符(号(“∥”或“⊥")表示下列两条棱的位置关系： A1B1　 　AB，A1A　 　AB， A1D1　 　CD，AD　 　BC； （2）A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们　 　(填“是”或“不是”)平行线， 由此可知，在　 　内，两条不相交的直线才能叫做平行线． 【答案】（1）∥；⊥；⊥；∥ （2）不是；同一个平面 【解析】（1）∵长方体， ∴ A1B1 ∥AB，A1A⊥AB，A1D1⊥CD，AD∥BC； 故答案为：∥，⊥，⊥，∥. （2）A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们不是平行线， 由此可知，在同一个平面内内，两条不相交的直线才能叫做平行线. 故答案为：不是，同一个平面内. 13．如图，直线CD与直线AB相交于C，解答下列问题. （1）过点P画PQ∥CD，交AB于点Q； （2）过点P画PR⊥CD，垂足为R，连接PC，判断PC与PR的大小，并说明理由 【答案】解：（1）如图，PQ∥CD，交AB于点Q； （2）如图PR⊥CD， PC与PR的大小为：PC＞PR，理由是：垂线段最短． 14．按下列要求画图并填空． 如图，P是的边上一点， （1）过点P作射线的垂线，垂足为H； （2）过点P作射线的垂线，交于点C； （3）过点P作直线 （点D在点P的右侧）； （4）与的数量关系是_________． （5）线段，，这三条线段大小关系是________（用“”号连接），依据是________． 【答案】（1）解：如图，即为所求作的垂线； （2）解：如图，即为所求作的垂线； （3）解：如图，即为所求作的平行线； （4）互余 （5）；垂线段最短 【解析】（4）∵，， ∴， ∴， ∴与互余； 解：（5）线段，，这三条线段大小关系是，依据是垂线段最短． 15．如图，在 的正方形网格中， 点 ， 都在格点上， 连结点 得到线段 ． （1） 连结 中的任意两点， 共可得到 条线段，在图中画出来； （2） 在 (1) 中所连得的线段中， 与 平行的线段是　 　 （3） 用三角尺或量角器度量、检验， 及 (1)中所连得的线段中， 互相垂直的线段有几对？（用“⊥”表示出来） 【答案】（1）解：6，如图， （2）FD （3）， 【解析】（2）与AB平行的线段是FD. 故答案是FD. （3）互相垂直的线段为，. 故答案为，. 16．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G，H，M，N均为网格线的交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由． （1）如图1，在线段上找点，连结，使平分的面积； （2）如图2，在线段上找点，连结，使； （3）如图3，在直线上求作点，使得． 【答案】（1）解：如图：点O即为所求； （2）解：如图：点Q即为所求； （3）解：如图：点P即为所求； 【期末常考】 17．下列说法中，正确的个数有（　　）个 （1）两点之间的所有连线中，线段最短； （2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）同一平面内，两直线的位置关系是相交、平行和垂直 （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （5）直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】（1）两点之间的所有连线中，线段最短，故（1）正确； （2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故（2）正确； （3）同一平面内，两直线的位置关系是相交或平行，故（3）错误； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故（4）正确； （5）直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故（5）错误； ∴说法正确的有（1）（2）（4）； 故答案为：B． 【课后作业】 18．经过直线外一点，能画几条直线与这条直线平行（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【解析】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 故答案为：B． 19．在同一个平面内的直线a，b，c，若，，则b与c的关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【解析】根据“同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”可知， 在同一个平面内的直线a，b，c，若，， 则. 故答案为：A. 20．下列语句正确的有（　　）个 ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若直线， ，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 21．下列说法错误的是（　　） A．对顶角相等 B．平行于同一条直线的两直线平行 C．相等的角是对顶角 D．等角的余角相等 【答案】C 22．如图， 已知 ， 则点 在同一条直线上. 理由是　 　. 【答案】经过直线外一点， 有且只有一条直线与这条直线平行 【解析】 已知 ， 则点 在同一条直线上，理由是：经过直线外一点， 有且只有一条直线与这条直线平行. 故答案为：经过直线外一点， 有且只有一条直线与这条直线平行. 23．已知a， b是在同一个平面内的两条直线，根据以下的条件写出a， b的位置关系： （1）若a，b没有交点，则　 　 （2）若a，b都平行于直线c，则　 　 （3）若a，b有且仅有一个公共点，则　 　 （4）若a∥c，b∥d，且直线c与直线d不平行，则　 　 【答案】（1）a∥b（2）a∥b（3）a与b相交（4）a与b相交 【解析】（1）∵ a， b是在同一个平面内的两条直线，且a、b没有交点，∴a∥b； 故答案为：a∥b； （2）∵ a， b是在同一个平面内的两条直线，且a∥c，b∥c，∴a∥b； 故答案为：a∥b； （3）∵ a， b是在同一个平面内的两条直线，且a、b有且仅有一个公共点，∴a与b相交； 故答案为：a与b相交； （4）∵ a， b是在同一个平面内的两条直线，又 a∥c，b∥d，且直线c与直线d不平行 ，∴a与b相交. 故答案为：a与b相交. 24．两条直线相交，交点的个数是　 　 ，两条直线平行，交点的个数是　 　 ． 【答案】1；0 【解析】两条直线相交，交点的个数是1，两条直线平行，交点的个数是0． 25．在如图的网格纸中，AB∥　 　，AB⊥　 　. 【答案】CD；AE 【解析】由图可得，CD可由AB向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到； AE可由AB以A为顶点，逆时针旋转90°得到， 故答案为：CD；AE. 26．如图， 过点 作直线 ， 过点 作直线 ． 【答案】解：如图，PQ、PM即为所求， 27．如图， 是 边上一点， 按下列要求作图， 并回答问题： （1） 过点 画直线 ， 垂足为 ； （2） 过点 画直线 ， 交 于点 ； （3） 过点 画直线 ， 交 于点 ； （4） 过点 画直线 ， 猜想 与 有什么位置关系？ 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）作图见解析，猜想 . 【解析】如图，（1）PG即为所求， （2）PD即为所求， （3）PE即为所求， （4）∵PE∥AB，CF∥AB ∴PE∥CF 故答案为PE∥CF. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学七年级下册第1章相交线与平行线 1.2 同位角、内错角、同旁内角 【知识重点】 同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 【经典例题】 例题1、如图。 （1）∠4与∠8是同位角吗?还有哪几对是同位角? （2）∠4与∠6是内错角吗?内错角一共有几对? （3）除∠3与∠6外，还有其他同旁内角吗? 【答案】（1）解： ∠4与∠8是同位角. 还有∠1与∠5、∠2和∠6、∠3和∠7是同位角. （2）解：∠4与∠6是内错角，还有∠3和∠5也是内错角. （3）解：∠4与∠5也是一对同旁内角. 【解析】同位角：当一条直线（称为截线）与两条平行线相交时，位于相同相对位置的角称为同位角； 内错角：当一条直线（称为截线）与两条平行线相交时，位于两条平行线之间且在截线两侧的角称为内错角； 同旁内角：当一条直线（称为截线）与两条平行线相交时，位于两条平行线之间且在截线同侧的角称为同旁内角. 例题2、找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。 【答案】解：同位角：∠A与∠EDC，∠C 与∠ABF； 内错角：∠EDC与∠C，∠A与∠ABF； 同旁内角：∠A 与∠ABC，∠A 与∠ADC，∠C 与∠ABC，∠C与∠ADC 【解析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫作同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫作内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫作同旁内角，据此即可求解. 例题3、已知直线l1，l2，l3，l4(如图)。 （1）当哪两条直线被哪条直线所截时，∠1与∠3是同位角?当哪两条直线被哪条直线所截时，∠1与∠4是内错角? （2）请说出图中一对同位角、一对内错角、一对同旁内角，并分别说明是哪两条直线被哪条直线所截而成的。 【答案】（1）解：当直线被直线所截时，与是同位角；当直线被直线所截时，与是内错角. （2）解：答案不唯一. 如：与是直线被直线所截构成的同位角；与是直线被直线所截构成的内错角；与是直线被直线所截构成的同旁内角. 【解析】（1）根据同位角的定义，从同种寻找∠1、∠3的公共线即可，即直线被直线所截时，与是同位角；而根据内错角的定义，两个互为内错角的角必然位于同一直线的两侧，即直线被直线所截时，∠1与∠4成内错角； （2）根据同位角、内错角、同旁内角定义寻找即可，答案不唯一. 同位角：当一条直线（称为截线）与两条平行线相交时，位于相同相对位置的角称为同位角； 内错角：当一条直线（称为截线）与两条平行线相交时，位于两条平行线之间且在截线两侧的角称为内错角； 同旁内角：当一条直线（称为截线）与两条平行线相交时，位于两条平行线之间且在截线同侧的角称为同旁内角. 例题4、观察图形，回答下列问题： （1）∠1的同位角是哪些角? （2）∠2的内错角是哪些角? （3）∠3的同旁内角是哪些角? 【答案】（1）解：∠1的同位角是∠3 （2）解：∠2的内错角是∠1和∠6 （3）解：∠3的同旁内角是∠4， ∠5 和∠8 【基础训练】 1．如图，在所标注的角中，可以看成是一对内错角的是（　　） A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠1和∠3 D．∠2 和∠4 【答案】B 【解析】选项A中∠1和∠2是对顶角；选项B中∠2和∠3是内错角；选项C中∠1和∠3是同位角；选项D中，∠2和∠4是同位角. 故答案为：B. 2． 如图，直线a，b，c两两相交.和是一对（　　） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】C 【解析】直线a，b，c两两相交，∠1和∠2是一对同旁内角， 故答案为：C. 3． 下列图形中，与的位置关系属于同旁内角的是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】对于选项A，∠1与∠2是同位角，不是同旁内角，故A不符合题意； 对于选项B，∠1与∠2是内错角，不是同旁内角，故B不符合题意； 对于选项C，∠1与∠2是同旁内角，故C符合题意； 对于选项D，∠1与∠2不同旁内角，故D不符合题意． 故选：C． 4．如图，直线l截直线a，b所得的同位角有　 　对，它们是　 　；内错角有　 　对，它们是　 　；同旁内角有　 　对，它们是　 　；对顶角有　 　对，它们是　 　. 【答案】4；∠1与∠5，∠4与∠6，∠2与∠8，∠3与∠7；2；∠4与∠8，∠3与∠5；2；∠4与∠5，∠3与∠8；4；∠1与∠3，∠4与∠2，∠6与∠8，∠5与∠7 【解析】 直线l截直线a，b所得的同位角有4对，它们是∠1与∠5，∠4与∠6，∠2与∠8，∠3与∠7； 直线l截直线a，b所得的内错角有2对，它们是∠4与∠8，∠3与∠5； 直线l截直线a，b所得的同旁内角有2对，它们是∠4与∠5，∠3与∠8； 直线l截直线a，b所得的对顶角有4对，它们是∠1与∠3，∠4与∠2，∠6与∠8，∠5与∠7. 故答案为：4，∠1与∠5，∠4与∠6，∠2与∠8，∠3与∠7；2，∠4与∠8，∠3与∠5；2，∠4与∠5，∠3与∠8；4，∠1与∠3，∠4与∠2，∠6与∠8，∠5与∠7. 5．如图，下列说法正确的是　 　(填写序号)。 ①∠1与∠2是同位角；②∠2与∠4是内错角；③∠4与∠5是同旁内角；④∠3与∠4是同位角。 【答案】①③④ 【解析】因为两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角， 所以②错误， 因为两个角都在截线的同旁，又分别处在两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做同位角， 所以①④正确， 因为两个角都在截线的同一侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角， 所以③正确， 故答案为：①③④. 6．如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠1的内错角是　 　. 【答案】∠3 【解析】根据内错角的定义可得∠3， 故答案为∠3. 7．如图，直线AB，CD被直线EF所截。请找出一对同位角、一对内错角和一对同旁内角。 【答案】解：答案不唯一. 同位角：与与与，与； 内错角：与与； 同旁内角：与与. 8．如图，直线DE交∠ABC的边BA于点F。如果内错角∠1与∠2相等，那么同位角∠1与∠4相等，同旁内角∠1与∠3互补。请说明理由。 【答案】解：因为∠2与∠4是对顶角， 所以∠2=∠4。 又已知∠1=∠2，所以∠1=∠4。 因为∠2与∠3互为补角， 所以∠2+∠3=180°， 所以∠1+∠3=180°，即∠1与∠3互补。 9．如图，找出用数字标注的各角中的同位角、内错角和同旁内角。 【答案】解：同位角：∠4和∠5； 内错角：∠3和∠6，∠1 和∠5； 同旁内角：∠2和∠5， ∠5和∠6， ∠2和∠6 【解析】根据内错角的定义：两条直线被第三条直线所截，如果两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫作内错角；同位角的定义 ：两条直线被第三条直线所截，如果两个角分别在两条直线的同侧，且在第三条直线的同旁，那么这两个角叫做同位角；同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁 ，且在被截线之内的两角，叫作同旁内角，据此即可求解. 10．如图， 把一根筷子一端放在水里， 一端露出水面， 筷子看起来变弯了． 它真的弯了吗？ 其实没有．这是光的折射现象： 筷子反射的光从水中射入空气中， 光的传播方向发生了改变． （1）写出 的同位角． （2）写出 的内错角． 【答案】（1）解： 的同位角有 3 个， ． （2）解： 的内错角有 2 个， 【培优训练】 11．下列图形中，与不是同位角的是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 解：∵A、C、D都是两条直线被第三条直线所截得到的同位角，而B选项中是四条直线，∠1和∠2没有一条边在同一条直线上，不是同位角. 故答案为：B. 12．如图，∠2的内错角是（　　） A．∠1 B．∠3 C．∠C D．∠4 【答案】D 【解析】∵∠2的内错角是∠4， 故答案为：D. 13．如图，两条光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，则下列选项中的同旁内角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∠3的同旁内角为∠2； 故答案为：B. 14．如图，下列说法中，正确的是（　　） A．∠2与∠3是同旁内角 B．∠1与∠2是同位角 C．∠1 与∠3是同位角 D．∠1与∠2 是内错角 【答案】A 【解析】A、∠2与∠3是同旁内角，此选项符合题意； B 、∠2与∠1不是同位角，此选项不符合题意； C 、∠1与∠3是内错角，不是同位角，此选项不符合题意； D、∠2与∠1不是同位角，此选项不符合题意. 故答案为：A. 15．如图所示，与∠C构成同旁内角的有　 　个． 【答案】3 【解析】AC把EB、DC相截，与∠C构成同旁内角的有∠EBC； AC把BD、DC相截，与∠C构成同旁内角的有∠DBC； DC把BD、BC相截，与∠C构成同旁内角的有∠BDC； 综上所述，与∠C构成同旁内角的有共3个． 故答案为：3． 16．看图填空： （1） 若ED，BF被AB所截，则∠1与　 　是同位角； （2） 若ED，BC被AF所截，则∠3与　 　是内错角； （3）∠1与∠3是AB和AF被　 　所截构成的　 　角； （4）∠2与∠4是　 　和　 　被BC所截构成的　 　角。 【答案】（1） （2） （3）ED；内错 （4）AB；AF；同位 【解析】由图可知，∠1与∠2为一对同位角，∠3与∠4为一对内错角，∠1与∠3所在直线被ED所截，也为一对内错角，∠2与∠4是AB与AF被BC所截构成的一对同位角， 故答案为：（1）∠2；（2）∠4；（3）ED、内错；（4）AB、AF、同位. 17．如图，若∠2=100°，则∠1的同位角等于　 　度，∠1的内错角等于　 　度，∠1的同旁内角等于　 　度． 【答案】80；80；100 【解析】如图， ∵∠2+∠3=180°，∠2=100°， ∴∠3=80°， ∵∠2与∠4，∠3与∠5都是对顶角， ∴∠4=∠2=100°，∠3=∠5=80°， ∵∠3与∠1是同位角， ∴ ∠1的同位角等于80°； ∵∠5与∠1是内错角， ∴ ∠1的内错角等于80°； ∵∠4与∠1是同旁内角， ∴ ∠1的同旁内角等于100°. 故答案为：80，80，100. 18．如图，∠1与∠3是直线AB，CD被直线　 　所截构成的　 　角，∠2与∠4是直线　 　，　 　被直线BD所截构成的　 　角. 【答案】BD；内错；AD；BC；内错 【解析】∵∠1与∠3是直线AB、CD被直线BD所截构成的内错角；∠2与∠4是直线BC、AD被直线BD所截构成的内错角. 故答案为：BD、内错；AD、BC、内错. 19．如图， 请写出所有能与 构成同旁内角的角：　 　. 【答案】∠ADC、∠ADE、∠ABF、∠E 【解析】 观察图片，形成∠A的边有AD与AE(或AB)，根据同旁内角的定义： ①若以AD为截线，AE、DC为被截线，则∠ADC与∠A构成同旁内角； ②若以AD为截线，AE、DE为被截线，则∠ADE与∠A构成同旁内角； ③若以AB为截线，AD、BF为被截线，则∠ABF与∠A构成同旁内角； ④若以AE为截线，AD、ED为被截线，则∠E与与∠A构成同旁内角， 综上所述， 能与∠A构成同旁内角的角有∠ADC、∠ADE、∠ABF、∠E. 故答案为：∠ADC、∠ADE、∠ABF、∠E. 20．如图，在所在的平面内各画一条直线，使得： （1）与成同旁内角的角有3个； （2）与成同旁内角的角有4个． 【答案】（1）解：如图即为所求作，与、、成同旁内角。 （2）解：如图即为所求作，与、、、成同旁内角。 【期末常考】 21． 如图，与是同旁内角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 与 是同位角； 与 是内错角； 与 是同旁内角； 与 不是同旁内角； 故答案为： D. 22．如图，直线a，b被直线c所截，下列各角中与∠1是内错角的是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【答案】B 【解析】根据内错角的定义，∠1与∠3互为内错角， 故答案为：B. 23．数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（　　） A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角 C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角 【答案】D 【解析】根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知 第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角． 故选：D． 【课后作业】 1．下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】A、∠1和∠2位于截线同侧，且在被截直线的同一方向，符合同位角的定义，则本项不符合题意； B、∠1和∠2同样位于截线同侧，且方向一致，符合同位角的定义，则本项不符合题意； C、∠1和∠2位于截线两侧，不满足同位角“同旁”的条件，因此不是同位角，符合题意。 D、∠1和∠2处于截线同侧，方向一致，符合同位角的定义，则本项不符合题意； 故答案为：C. 2．如图，直线AB，CD被CE所截，则与是（　　） A．对顶角 B．同旁内角 C．同位角 D．内错角 【答案】C 【解析】 直线AB，CD被CE所截，∠EFB与∠ECD都在AB、CD的上方，且在CE的右侧， ∴∠EFB与∠ECD是同位角. 故答案为：C. 3．下列四幅图中，∠1和∠2是同旁内角的是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】根据同旁内角的定义，只有C选项符合题意. 故答案为：C. 4．如图，下列各角与是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解∶ A．与是同一个角，故该选项不符合题意； B．与不是同位角，故该选项不符合题意； C．与是同位角，故该选项符合题意； D．与是同旁内角，故该选项不符合题意； 故选：C． 5．如图，已知与，其中与相交，下列结论中错误的是（　　） A．与是同旁内角 B．与是对顶角 C．与是内错角 D．与是同位角 【答案】C 【解析】A，与在被截线BC，EF 之间，且在截线AB 同侧，是同旁内角，原说法正确，不符合题意； B，与有公共顶点，两边互为反向延长线是对顶角，原说法正确，不符合题意； C，与不满足"两直线之间，截线两旁"的内错角位置关系不是内错角，原说法错误，符合题意； D，与在被截线AB，DE 同侧，截线EF 同旁是同位角，原说法正确，不符合题意. 故选：C． 6．如图，与∠1构成同位角的角有　 　个。 【答案】3 【解析】如图， ∠1构成同位角的角有∠2，∠3，∠4，共3个， 故答案为：3. 7．如图， 如果 ， 那么 的同位角等于　 　 ， 的内错角等于　 　 ， 的同旁内角等于　 　 【答案】；； 【解析】如图： ∵∠2=100°， ∴∠1的同位角=∠3=180°-∠2=180°-100°=80°， ∠1的内错角=∠5=180°-∠2=180°-100°=80°， ∠1的同旁内角=∠4=∠2=100°． 故答案为：80°；80°；100°． 8．如图，数字“4”中有a对同位角，b对内错角，c对同旁内角，则a+b-c=　 　。 【答案】1 【解析】同位角有：∠ABD与∠ECD，共1对，则a＝1； 内错角有：∠ABC与∠BCF，共1对，则b＝1； 同旁内角有：∠ABC与∠ECB，共1对，则c＝1； ∴ a+b-c=1． 故答案为：1． 9． 如图， 的同位角是　 　， 内错角是　 　同旁内角是　 　 【答案】；； 和 【解析】 的同位角是； 的内错角是； 的同旁内角是 和 故答案为：；； 和. 10． 如图，CD交∠AOB的边AO于点E，∠1=∠2。找出图中和∠2相等的角，以及和∠2互补的角，并说明理由。 【答案】解：①. 理由：因为，所以。 ②都与互补. 理由：因为，所以. 而，所以， 所以都与互补. 11．两条直线被第三条直线所截，∠1与∠2是同旁内角，∠3与∠2是内错角. （1）根据上述条件，画出符合题意的图形. （2）若∠1=3∠2，∠2=3∠3，求∠1、∠2的度数. 【答案】（1）解：画图如下， （2）解：由题意画出图形可知：设∠3为x，∵∠2=3∠3，∴∠2=3x，∵∠1=3∠2，∴∠1=9∠3=9x，∵∠1+∠3=180°，∴9x+x=180°，∴x=18°，∴∠3=18°，∴∠2=54°，∠1=9x=162°. 12．如图，找出标注角中的同位角．内错角和同旁内角． 【答案】解：将原图分解为四个基本图形如下： ， 图中的同位角有：∠2与∠3，∠4与∠8，∠4与∠7； 内错角有：∠1与∠3，∠6与∠8，∠6与∠7； 同旁内角有：∠1与∠4，∠1与∠7，∠3与∠8. 【解析】将原图分解为四个基本图形，进而根据两条直线被第三条直线所截，形成的8个角中，在被截直线的同侧，且在截线同旁的两个角就是同位角；两条直线被第三条直线所截，形成的8个角中，在被截直线之间，且在截线异侧的两个角就是内错角；两条直线被第三条直线所截，形成的8个角中，在被截直线之间，且在截线同旁的两个角就是同旁内角，逐个判断得出答案. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学七年级下册第1章相交线与平行线 1.5 平行线的性质（1） 【知识重点】 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单地说，两直线平行，同位角相等. 【经典例题】 例题1、如图，已知∠1=∠2。若直线b⊥m，则直线a⊥m。请说明理由。 例题2、已知，如图，、是直线，，，，求证：． 证明：已知 已知 已知 即 例题3、已知：如图，在中，，． （1）试说明：； （2）若是的平分线，，求的度数． 【基础训练】 1．如图，a//b，∠1=70°，则∠2的度数是（　　） A．110° B．100° C．80° D．70° 2．如图，小明将一块直角三角板摆放在直尺上，直角顶点落在直尺的边上。若∠1=55°，则∠2的度数为（　　） A．255° B．35° C．455° D．555° 3． 如图，CD 平分 ，. 若 ，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知，，，则等于（　　） A． B． C． D． 5．光在不同介质中的传播速度不同，故从一种介质射向另一种介质时，光会发生折射.如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，已知点G在射线EF上，∠HFB=20°，∠FED=45°，则∠GFH的度数为 . 6．如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形的直角顶点，交斜边于点；直尺的另一边缘分别交、于点、，若，，则　 　度． 7．如图，AB是平面镜，一束平行于BC的光线ED经平面镜上的点D反射后光线落在BC上的点F处，∠1=∠2。若∠ABC=32°，则∠EDF的度数是　 　°。 8．如图，平分，若，则　 　． 9．如图， 已知，， 求证． 阅读下面的解答过程，并填空 （理由或数学式）． 解∶ ∵（已知） ， （ ） ∴ （ ） ∴ （同位角相等， 两直线平行） ， ∴（ ）， ∵（ ） ， ∴（ ） ， ∴（ ）． 10．如图，在同一平面内，，判断与是否平行，并说明理由． 【培优训练】 11．小明在坪山区中心公园沿着一条小路散步，小明两次拐弯后方向与原来相同，已知第一次拐的角∠CBD=15°，第二次拐的角∠FDE是（　　） A．30° B．15° C．165° D．35° 12．将一副三角板（含，，，角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则的余角度数是 A． B． C． D． 13．有一条长方形纸带，按如图方式折叠，形成的锐角∠α的度数为（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 14．如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，将点C、D分别折至 、 .若 ，则用含x的式子可以将 表示为（　　） A． B． C． D． 15． 如图所示，在数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向上折叠，点A落在点A'处，当DA'∥BC时，∠DEC＝ 　 　 度． 16．将一副三角板按如图所示的方式放置，边AC，EF在直线MN上，∠BAC=∠EDF=90°，∠ABC=30°，∠DFE=45°。三角板ABC保持不动，将三角板DEF绕点F顺时针旋转，当EF第一次与BC平行时，∠DFN的度数是　 　度。 17．在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带，点在上，点在上，把长方形纸带沿折叠，若，则的度数是　 　． 18．光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射如图，这是一块玻璃的，两面玻璃上下两个面的示意图，且，一束光从玻璃面的处射向玻璃面的处，但从玻璃面的处射出时发生了折射，使光线从变成了，为光线延长线上一点，已知，，则的度数为　 　． 19． 如图，已知，. （1） 求证：. 请将下面证明过程补充完整： 证明：∵ (已知)， ∴ ( )， 又∵ (已知)， ∴ ( )， ∴ (内错角相等，两直线平行)， ∴( ). （2） 若AC平分，于点E，，求的度数. 20．如图，已知，点E，G分别在AB，CD上，连结DE，BG，延长AD和BG交于点。 （1）判断AF与BC是否平行，并说明理由． （2）若，求的度数． 【期末常考】 21．如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3＋∠4＝180°，试说明∠1＝∠2.（请通过填空完善下列推理过程） 解：∵∠3＋∠4＝180°（已知）， ∠FHD＝∠4（对顶角相等） ∴∠3＋ ＝180°． ∴FG∥BD（ ） ∴∠1＝（ ） ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝ ． ∴∠1＝∠2 【课后作业】 1．如图，直线，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，，分别交、E于点B、D，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（　　） A．32° B．58° C．68° D．60° 4．将一副三角板如图放置，斜边交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝　 　 6．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则等于　 　度． 7．光线在不同介质中的传播速度不同， 从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面 与水杯下沿 平行， 光线 从水中射向空气发生折射， 光线变成 ， 点 在射线 上．若 ， 则 　 　 8．如图，根据已知条件完成如下证明： （1）已知，求证：． （2）直线，求证：． 9． 完成下面的证明并填上推理根据． 如图所示，点C，F分别为三角形ABE的边BE，AE上的一点，点D在线段CF的延长线上，且，，，求证：． 证明：∵（　 　）， ∴（　 　）． ∵（已知）， ∴（　 　）． ∵（已知）， ∴　 　（　 　）， 即　 　， ∴　 　（等式的基本事实）， ∴（　 　）． 10．已知，，，求证：． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 【浙教2024版同步训练】数学七年级下册第1章相交线与平行线 1.1直线的相交线（1） 【知识重点】 1、相交与交点： 如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交,这个公共点叫作这两条直线的交点。 2、对顶角：如图1-1,直线AB与CD相交,其交点是O,∠1,∠2,∠AOD和∠COB是AB与CD相交所成的角。我们把其中相对的任何一对角:∠1与∠2或∠AOD与∠COB叫作对顶角。 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线。 （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 【经典例题】 例题1. （1） 如图①，O，P是直线AB上的两点，∠1=∠2。∠1与∠2是对顶角吗?请说明理由。 （2） 如图②，已知∠3=∠4。∠3与∠4是对顶角吗? 请说明理由。 例题2.如图，三条直线相交于一点O，请说出图中的对顶角。 例题3.如图，直线，相交于点O，，求的度数． 例题4.如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，OF⊥OE，若∠BOD＝40°，求∠DOF的度数． 【基础训练】 1．下列四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各图中，的是（　　） A． B． C． D． 3． 如图，直线相交于点，如果，那么等于（　　） A． B． C． D． 4．如图，直线，相交于点．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是　 　． 6．如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2=220°，那么∠3=　 　. 7．如图，直线a，b相交，，求的度数。 8．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB。已知∠BOD=45°，求∠COE的度数。 9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC=∠COB-30°，求∠AOE的度数。 10．如图，直线AB、CD、EF相交于点O． （1）写出∠COE的邻补角； （2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角； （3）如果∠BOD=60°，∠BOF=90°，求∠AOF和∠FOC的度数． 【培优训练】 11．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 12．同一平面内互不重合的3条直线的交点的个数是（　　） A．可能是0，1，2 B．可能是0，2，3 C．可能是0，1，2或3 D．可能是1，可能是3 13．如图，直线，相交于点O，下列命题中，是真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则与互为对顶角 C．若，则 D．若，则与互为邻补角 14．如图，直线AB、CD相交于点O， 于点O.若 ，则 　 　. 15．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOE=144°，则∠AOC的度数是　 　． 16．如图，直线AE与CD相交于点°，.求和的度数. 17．如图，已知直线和相交于点O，，平分，，求和的度数． 18．如图， 交 于 ， ． （1）若 ，求 的度数； （2）若 ，求 的度数． 19．如图4，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，EO⊥AB于点O，FO⊥CD于点O. （1） 若∠AOD=40°，求∠EOC的度数； （2） 若∠AOD： ∠EOF=1：5，求∠BOP的度数. 20．我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，… （1）10条直线交于一点，对顶角有多少对？ （2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有多少对？ 【期末常考】 21．下列日常使用的工具或学具中，没有应用到对顶角及其相关知识的是（　　） A． B． C． D． 22．如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型，固定木条a，转动木条b，当减小时，下列说法正确的是（　　） A．增大 B．增大 C．减小 D．与的和增大 23． 如图，直线相交于点O，于点O．若，则的度数为　 　． 24．如图，直线、、相交于点，若，则　 　 【课后作业】 1．下列各图中，一定有的是（　　） A． B． C． D． 2．如图， 直线 相交于点 ， 下列命题中， 是真命题的是（ ） A．若 ， 则 B．若 ， 则 与 互为对顶角 C．若 ， 则 D．若 ， 则 与 互为邻补角 3．小明在做一道数学题．直线AB，CD相交于点O，∠BOC＝25°，过点O作 ，求∠AOE的度数．小明得到 ，但老师说他少了一个答案．那么∠AOE的另一个值是（　　） A．105° B．115° C．125° D．135° 4．如图，对顶角量角器测得零件的度数是（　　） A． B． C． D． 5．平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是（　　）. A．7 B．6 C．5 D．4 6．如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，表示的点在直线b上，则　 　． 7．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足是点O，∠BOC＝140°，则∠DOE＝　 　 ． 8．如图，直线AB与CD相交于点E，∠CEB＝50°，EF⊥AE，则∠DEF的度数为 　 　． 9．如图，直线和交于O点，平分于点，则　 　． 10．如图，直线相交于点O，，垂足为O，，求的度数． 11．如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分，若，求． 12．如图，直线，相交于点，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 13．如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD的内部，∠AOC＝70°﹣∠AOE． （1）如图1，当∠AOE＝40°时，请写出与∠BOD互余的角，并说明理由； （2）如图2，若OF平分∠BOE，求∠DOF的度数． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $