1.1 第2课时 垂线（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

本讲义聚焦初中数学“垂线”核心知识点，系统梳理垂线的定义（相交成90°的判定条件）、性质（垂线段最短）、点到直线的距离概念，以及综合运用（角度计算、动态转动问题），构建从基础定义到实际应用的学习支架。 该资料通过生活实例（如水泵房选址）培养几何直观，多题型（选择、填空、解答）训练推理能力，规范解题步骤强化符号意识。课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固基础、提升综合应用能力，有效落实数学眼光、思维与语言素养。

第2课时　垂线 1.如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中，不能说明AB⊥CD的是(　C　) 第1题图 A.∠AOD＝90° B.∠AOC＝∠BOC C.∠BOC＋∠BOD＝180° D.∠AOC＋∠BOD＝180° 2.在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，画出了如图所示的四种图形，其中正确的是(　A　) 第2题图 A.① B.②③ C.①④ D.①③④ 3.如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论中，正确的有(　B　) 第3题图 ①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离。 A.①③④ B.①④⑤ C.②③⑤ D.③④⑤ 4.如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD。若∠AOE＝54°，则∠BOD的度数为(　B　) 第4题图 A.27° B.36° C.46° D.54° 5.已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是(　C　) 6.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE是射线.若∠1＝30°，∠2＝60°，则OE与AB的位置关系是　OE⊥AB　。  第6题图 【解析】 ∵∠1＋∠2＝90°，∴∠AOE＝180°－(∠1＋∠2)＝90°，∴OE⊥AB。 7.如图，某单位要在河岸CD上建一个水泵房引水到A处，他们的做法是：过点A作AB⊥CD于点B，并将水泵房建在了B处，因为这样做水管长度最短，节省材料。其中的数学原理是　垂线段最短　。  第7题图 8.如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6 cm，PB＝5 cm，PC＝7 cm，则点P到直线l的距离是　5　cm。  第8题图 9.(1)如图，已知∠AOB和一点P，过点P分别画∠AOB两边的垂线。 第9题图 (2)用垂直符号表示出图形①中的垂直关系。 解：(1)如答图所示。 第9题答图 (2)PC⊥OA，PD⊥OB。 10.如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线的距离的垂线段有(　D　) 第10题图 A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 11.如图，O是直线AB上一点，OC是一条射线，且∠AOC＝32°。若过点O作射线OD，使OD⊥OC，则∠BOD的度数为　58°或122°　。  第11题图 【解析】 过点O作射线OD，使OD⊥OC，有两种情况，如答图所示。 第11题答图 ∵OD⊥OC， ∴∠COD＝90°。 ∵∠AOC＝32°， ∴∠BOD＝180°－(90°－32°)＝122°(图1)或∠BOD＝180°－32°－90°＝58°(图2)。 12.如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB。 (1)若∠1＝∠2，试说明：ON⊥CD。 (2)若∠1＝∠BOC，求∠BOD的度数。 第12题图 解：(1)∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝∠BOM＝90°， ∴∠1＋∠AOC＝90°。 ∵∠1＝∠2， ∴∠2＋∠AOC＝90°，即∠CON＝90°， ∴ON⊥CD。 (2)∵∠1＝∠BOC， ∴∠BOM＝2∠1＝90°，解得∠1＝45°， ∴∠BOD＝180°－∠BOM－∠1＝45°。 13.如图，已知OB，OC，OD是∠AOE内的三条射线，OB平分∠AOE，OD平分∠COE。 (1)若∠AOB＝70°，∠DOE＝20°，求∠BOC的度数。 第13题图 (2)若∠AOE＝136°，AO⊥CO，求∠BOD的度数。 (3)若∠DOE＝20°，∠AOE＋∠BOD＝220°，求∠BOD的度数。 解：(1)∵OB平分∠AOE，OD平分∠COE， ∴∠BOE＝∠AOB＝70°， ∠COE＝2∠DOE＝40°， ∴∠BOC＝∠BOE－∠COE＝30°。 (2)∵OB平分∠AOE，OD平分∠COE， ∴∠BOE＝∠AOE，∠DOE＝∠COE。 又∵∠BOD＝∠BOE－∠DOE， ∴∠BOD＝(∠AOE－∠COE)＝∠AOC。 ∵AO⊥CO，∴∠AOC＝90°， ∴∠BOD＝45°。 (3)∵OB平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠BOE。 又∵∠AOE＋∠BOD＝220°， ∴2∠BOE＋∠BOD＝220°。 ∵∠DOE＝20°， ∴2∠BOE＋∠BOD＋∠DOE＝220°＋20°， ∴2∠BOE＋∠BOE＝240°， 即3∠BOE＝240°，∴∠BOE＝80°， ∴∠BOD＝∠BOE－∠DOE＝60°。 14.[推理能力]如图1，点A，O，B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度转动，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度转动，直线MN保持不动，如图2.设转动时间为t秒(0≤t≤60)。 第14题图 (1)当t＝5时，求∠AOB的度数。 (2)在转动过程中，当∠AOB 第二次达到60°时，求t的值。 (3)在转动过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直?如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由。 解：(1)当t＝5时，∠AOB＝180°－4°×5－6°×5＝130°。 (2)由题意，得4t＋6t＝180＋60，解得t＝24， ∴t的值为24。 (3)存在。 当0≤t≤18时，180－4t－6t＝90，解得t＝9； 当18≤t≤60时，4t＋6t＝180＋90或4t＋6t＝180＋270，解得t＝27或t＝45。 综上所述，t的值为9或27或45。 学科网（北京）股份有限公司 $