甘肃省酒泉市2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题

酒泉市普通高中2025~2026学年度第一学期期末考试 徐，08，【 高二数学试卷 隐旺{，修果张 昌 5(G) 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4本卷命题范围：直线与圆、圆锥曲线、数列。 的 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 长 1到★).0 的 1.已知数列{a.}的一个通项公式为a,=(-1)”·2"十a,且a=-5,则实数a等于 A.-1 B-3 低 D.3 2.过点P(1,-2)且方向向量为=(1,2)的直线方程为 3.点.（首上融x.拉A点》 如郑，「政学@自强1 A.x-2y-4=0 B.x+2y-5=0 :,平 恍，动中的L虽分对( C.2x+y-5=0 D.2x-y-4=0 点家出：纸，边家红卧g红直：(8) 3.在等差数列{an}中，若a3=5,a7=13,则a1o A.17 B.18 C.19 D.20 4.圆心为(1，一2)且与直线3x十4y一5=0相切的圆的方程为 A.(x-1)2+(y+2)2=4 B.(x十1)2+(y-2)2=4 C.(x-1)2+(y+2)2=9 D.(x+1)2+(y-2)2=9 5.抛物线x=y2的准线方程是 B.y=-1 C- D.y=-Z 6.已知等比数列{an}满足a1十a2十a4=2,公比q=2,则a6十a,十ag= A.32 B.64 C.128 D.256 【高二期末考试·数学蟹第1页（共4页）】 又关于贵线，二写下列家 =1,下列叙述不正确的是 司回智酸。代共，弦小子共醒本：显答踪，阳 〔代1往饰露代本1 A.当m<1时，曲线表示的图形是双曲线 t。3w且，=宝际a资线国 B.当1<m<5时，曲线表示的图形是椭圆 :城图是。·山陵.世蓝1 C.当m>5时，曲线表示的图形是双曲线 :大公菌只(3 D.无论m取何值，曲线表示的图形都不是抛物线 8,某同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的 光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性 质解决下面问题：已知椭圆C的方程为坛+益-1，其左右焦点分别是R, F2,直线L与椭圆C切于点P,且|PF,|=6,过点P且与直线l垂直的直线 m与稀圆长轴交于点Q,则8 账本) A零 B C2品洗2 D.3:, 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列关于直线的说法正确的是 瘟来，法过0=【，一++、烟查法浴( A直线2红-3y+6=0的斜率为号 B.直线x=5的倾斜角为90° C.过点(1,2)且与x轴垂直的直线方程为x=1 D.直线y=3x+1与y=3x-2平行 10.已知等差数列{an}的前n项和为S.,且a1>0,S=S.,则下列说法正确的是 A.ag=0 B.S是S.的最大值t1设.I C.Sn7<0 D.公差d<0 0,气性. :)阁峰联山 1山已知双曲线C号-普-1o>0,6>0)的离心率为2，左，右焦点分别为RR,点P在双曲 线C上，且∠FPF,=60°，则下列说法正确的是 王=：道件线定的同不技(G 及AIPF.L-IPF.=6后写，点两，B点P到z轴的距离为61购直在8 C.△FPFz的面积为3b D.|PF12车1PF22=12.6.14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.等差数列{a.}的前n项和为S,S=3a3十2，写出一个满足条件的{an}的通项公式 13.已知P,Q分别为直线3x十4y-12=0与6x十8y十1=0上任意一点，则|PQ|的最小值为 14.已知点A(一1，一1)，B(-1,3),C(2,-1),点P在圆x2+y2=1上运动，则|PA|2+|PB|2 +|PC?的取值范围是 【高二期末考试·数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 体县，， 已知数列{an}满足a1=2,且a+1=2an十3(n≥1). (1)证明：数列{an十3}是等比数列； 取8、价，用 (2)求{a.}的通项公式； 发识：，你：网识3 (3)求{a.}的前n项和S. 闭在火：以2中 的圆游带在身-健划告3网过 年数水是利4子之年的门烟：行瑞 为6商，的与5点好，8-9且.王尚： 省网%粒清解1 9, 16.(本小题满分15分) 直线l与直线x-y一1=0垂直，且经过点M(-3,1). (1)求1的方程： 代1头，论》底院，语心头露衣：：张，二 (2)若圆x2+y+2x一2十m=0截直线1所得弦长为4，求实数m的值；标会州 (3)若点N在圆x2+y2+2x-2y十1=0上运动，求线段MN中点的轨迹方程. 代季，的时06线 碎丹哈、处行川 1心的光攻许福、2，越， 州5-士85圆 图，1，W当 17.(本小题满分15分) 已知椭圆C号+芳=1a6>0)的离心率为2，且过点P2,0. 0 2:摘公.国 (1)求椭圆C的标准方程； (2)对不同的实数m,讨论直线L:y=x十m与椭圆C的公共点的个数 1日● (3)若直线L:y=x十m与椭圆C相交于A,B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点 M(t,0),求t关于m的表达式. 头的，A, 2,化公沙小品，圆小天共充：藏宝 G-店.么翔t心如帆造 :,改衫1是运致9,4 23”1 【高二期末考试·数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知等比数列a,)的公比g>1,若a1十a十a4=14,且a2,a,+1,a4分别是等差数列(6.}的 第1项，第3项，第5项。 1)求数列(a}和}的通项公式兰造二高 (2)记c,=,求数列(c,}的前n项和S a :意 。会同如洗，处0法，谷说网以+两 ,敦密建然料”4券是座欢安绵大发谷家决光。登童别分之生快，行 卧落温的八的，法粱8生班，子方兴是你：，文 且些榜4学学为光多”秋贞能滋领5边况专含前子品品 别微草，暖，效婆等冠牛赋源含酱肤老补诉这心必活 ,天会 的，游地第，济动龙义：面自买今生木 袍 或一奇月，中数个的出蚀程心卷路。食以时，公之列内登，器容名夹短去.改， 出 化文经位留 19.(本小题满分17分) 已知抛物线C:y=4x的焦点为F,过点F且斜率不为0的直线L交抛物线C于A,B两点 (点A在x轴上方)，点D,E都在抛物线C的准线上，且AD∥x轴，BE∥x轴. (1)若直线l的斜率为1，求|AB1的值； 备 (2)设R是DE的中点，判断AR与EF是否平行，并说明理由； (3)证明：直线BD恒过定点，并求出该定点坐标 ,3升 S , 期 设算食年多化，+5心.代·得 江(1》 ·1(区4 G(8-4Ix1 0中时一 代器人=的. h. 一… 中+，9明，《为公，”江，6中：山4：许学世国 8 的过 【高二期末考试·数学第4页（共4页）】酒泉市普通高中2025~2026学年度第一学期期末考试·高二数学试卷 参考答案、提示及评分细则 1.D 2.D 3.C 4.A 5.A 6.B 7.B 8.C 9.BCD 10.ABD 11.ACD 12.a=号（满足公若d=-号即可）13号14.[18,2] 15.(1)证明：由ag1=2an十3，得a+1+3=2an十3十3=2(an十3)，…2分 因为a=2,所以41十3=5≠0，所以an十3≠0，…4分 所以十3=2，所以{a,十3别是首项为5，公比为2的等比数列. an+3 6分 (2)解：由(1)可得an十3=5X2-1,所以an=5X20-1-3.…8分 (3)解：由(2)知Sm=(5×20-3)+(5×21一3)+(5×22-3)+…+(5×2=1-3) =(5×2°+5×21+5×22++5×2m-1)-3n =50-）-3n=5X20-5-3l… 13分 1-2 16.解：(1)因为直线x一y一1=0的斜率为1，依题意，直线l的斜率为一1，…2分 又l过点M(-3,1), 所以直线l的方程为y一1=一[x一（一3）]，化简，得所求直线方程为x十y十2=0.…4分 (2)法一： (x2+y2+2x-2y+m=0, 得2x2十8.x+8+m=0,△=82-4X2×(8+m)>0,解得m<0.…6分 x+y+2=0, 设直线l与圆交于A(0,y),B(2,),则有m十2=-4,2=4十 2 1AB1=√/1+(-1)1m-2=2√(c1+)-40x2=E·√/(-4)2-4(4+g)=2·V2m=4, …………8 解得m=4.…9分 法二：由x2+y2+2x-2y+m=0,得(x+1)2+(y-1)2=2-m, 所以m<2,且圆心坐标为(-1,1)，半径为r=2一m,……6分 【高二期末考试·数学参考答案第1页（共4页）】 所以圆心(-1,1)到直线1的距离d=-1+1+2-2, 7分 √2 因为直线1被圆所截弦长为4，所以(2-m)2=(2)+(号)月 8分 解得=一4.…9分 x=2-3 2 (x0=2x+3, (3)设N(x,),线段MN的中点坐标为(x,y),则 解得 …11分 y=场1 y0=2y-1, 2 因为点N为圆上的动点，满足x后十y%十2x0一2y%+1=0,即(x0十1)2+(y%一1)2=1，…12分 代入得(2x十4)2+(2y一2)2=1，化为圆的标准方程为(x十2)2+(-1)2=4， .…14分 所以线段MN中点的轨迹方程为(a十2)2+(y-1)2= 4 …15分 12.解：(1)依题意。=。=之a=2,所以6-万， a +皆 所以椭圆C的标准方程为 4分 y=x十n, (2)由 消去y并整理，得7x2+8m.x+4m2一12=0， △=(8m)2-4X7X(4m2-12)=48(-m2+7).. 6分 当△>0，即一√7<m<√7时，方程有两个不同的实数解， 此时直线和椭圆有两个公共点，即直线和椭圆相交；… 7分 当△=0，即=一√7或m=√7时，方程有两个相等的实数根， 此时直线和椭圆有一个公共点，即直线和椭圆相切：…8分 当△<0，即<一√7或m√7时，方程没有实数根， 此时直线和椭圆没有公共点，即直线和椭圆相离.…9分 (3)当直线l与椭圆相交于A,B两点，设A(,y),B(x2,), 由(2)知一/7<m<7,且m+2=-8四. 7 11分 【高二期末考试·数学参考答案第2页（共4页）】 因为点A,B在直线l上，所以y=x1十m,2=x2十m, 所以y十y=x1十m+2十m=0+2十2m=-8m+2m=6m, 7 7 所以AB中点坐标为N(一”，3）). 12分 又因为直线AB的斜率为1，所以线段AB的垂直平分线斜率为一1， 所以AB的垂直平分线的方程为y—织=-(+织），即)=一工一只.… 13分 令y=0,得x=一%，即M(-号，0)，所以1=-号 15分 a19+a1q+a1q3=14, a=1, 18.解：(1)依题意得a1q十a1g=2(a1q2+1),解得 g=2, 9>1, 所以{an}的通项公式为an=2m-1.… 5分 依题意b1=a2=2,b3=a3十1=22+1=5， 设等差数列a的公老为d则d-会宁=受， 所以a,的通项公式为6，=多+宁 10分 3 1 (2)由(1D得c,=么=之”+2 _3+1 an 2-1 所以8=专++…实 12分 =++…+， 2+1, 两式相碱，得宁5.=专十是十多十…十是-2， 15分 3 所以5=4号+是+… 3十1=4 3n+1=7-3m+7 2n-1 2n …17分 2 19.(1)解：抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),因为直线l的斜率为1， 所以直线l的方程为y=x-1,……1分 【高二期末考试·数学参考答案第3页（共4页）】 y=4x, 联立 消去y得x2-6.x+1=0,△=36-4=32>0， y=x-1, 设A(x1,y),B(x22),则x1+2=6,x1x2=1, 3分 因为弦AB过C的焦点，p=2,根据抛物线定义， 得AB=AF到+BF到=a十号十十号=十十p=6+2=8..5分 (2)解：AR与EF平行，…6分 理由如下： 由题意知AD∥x轴，BE∥x轴，且D,E在准线x=一1上， 设An),B%)则D-1y),E-1g,R(-1,产）月 因为点A,B在抛物线C上，则有=上， …7分 依题意，直线l过焦点且斜率不为0，设直线l的方程为x=y十1， 代人y2=4x,得y2-4my-4=0, 质以+2=4m,为三二4，即三三二 8分 y-当十业 业二业 好+4 2 2 2 2y1 42 k=-(1D=x十 十1 好+42y=为， k= =义= -2 2=kR,又A,R,E不共线，从而AR∥EE.… -2y1 11分 (3)证明：要证直线BD过定点，可验证B,D,O(0,0)三点共线， 5+4 由(2)得D=二=当二y次二（一2） 2 4 …13分 2一(-1)2十12+1十42， 4 B=2=2=生=k丽， 229 15分 4 所以B,O,D三点共线，即直线BD过定点O(0,0).…17分 【高二期末考试·数学参考答案第4页（共4页）】