精品解析：河南省洛阳市东方第二初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级12月练习数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的性质，是解答本题的关键． 根据中心对称图形的性质，找到对称中心，绕中心旋转后与自身重合，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 选项是中心对称图形，故本选项符合题意； 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法求解一元二次方程．掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， ， ∴， 故选：B 3. 如图，绕点逆时针旋转一定角度后得到，点在上，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转得，，，可得，进而可得答案． 【详解】解：由旋转得，，， ． 故选：A． 4. 如图，点在二次函数的图象上，则方程解的一个近似值可能是（ ） A. 2.18 B. 2.68 C. -0.51 D. 2.45 【答案】D 【解析】 【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是-0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，-0.51）、B（2.68，0.54）， ∴当x=2.18时，y=-0.51；x=2.68时，y=0.54， ∴当y=0时，2.18＜x＜2.68， 只有选项D符合， 故选：D． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与x轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关． 5. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（ ） A. 50° B. 65° C. 115° D. 130° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求出的度数，再根据圆的内接四边形对角互补的性质求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补的性质． 6. 如图，某市规划部门计划在新建公园旁边的一块长方形空地上修建一个停车场（如图中阴影部分），将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整块长方形空地的长为，宽为，如果停车场的面积占这个长方形空地面积的，所建通道的宽度为，则根据题意列出的方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先表示出阴影长方形的长为，宽为，根据两个长方形的面积关系列方程解答即可． 本题考查一元二次方程的实际应用，根据长方形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得阴影长方形的长为，宽为， 故， 故选：D． 7. 对于二次函数，下列结论中，错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 当时，函数的最大值为0 D. 开口向下 【答案】B 【解析】 【分析】二次函数是顶点式，结合它的图象顶点，开口方向，图象位置等，逐一判断． 【详解】解：根据二次函数的性质，可得：二次函数的图象顶点为（，0），对称轴为，开口向下， 故当时，函数的最大值为0，当时，y随x的增大而减小； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，了解二次函数的性质是解决本题的关键． 8. 如图，、切⊙O于点A、B，，切于点E，交、于C、D两点，则的周长是（　　） A. 10 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线长定理得出，，，求出的周长是，代入求出即可． 【详解】解：∵、切⊙O于点A、B，切于点E， ∴，，， ∴的周长是 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线长定理的应用，解题的关键是求出的周长． 9. 如图，在中，点、分别在边、上，则下列条件中：；②；；，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：∵， ∴当添加时，则根据“两角对应相等的两个三角形相似”判定，故①符合题意； 当添加可判定，故②符合题意； 当添加时，可根据“两组对应边成比例，且它们的夹角也相等的两个三角形相似”判定；故③符合题意； 当添加，即，不能判定这两个三角形相似，故④不符合题意； 故选C． 10. 如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图像的应用，勾股定理，从函数图形获取信息是解题关键．当时，点在处，即；当时，点在处，即．只需设，由勾股定理即可求解． 【详解】解：由函数图像可知：当时，，即点在处， ，即， 设则． 又知当点运动到点处时，有最大值为， 此时，所以． 在中，由勾股定理得， 即， 解得：，（舍去）， ． 是的中点， ， 即的长为 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式等知识点．根据根的判别式列不等式再结合二次项系数不为零是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 12. 如图，在所给的电路图中，同时闭合两个开关能让小灯泡发光的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：设、、、分别用1、2、3、4表示， 画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果， ∴能够让灯泡发光的概率为：， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知函数和，点为轴正半轴上一点，为轴上一点，过作轴的垂线分别交，的图象于，两点，连接，，则的面积为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意设点，则，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，设点，则 ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、三角形面积公式是解题的关键． 14. 如图1是杭州第19届亚运会会徽一“潮涌”，其主体为图2中的扇环．延长交于点O，，若，，则图2中扇环的面积为______（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式、垂径定理等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解答本题的关键． 如图过O作，然后根据垂径定理以及解直角三角形求得，进而求得；然后由图可知：阴影部分的面积等于以为半径的扇形面积减去以为半径的扇形面积，据此求解即可． 【详解】解：如图：过O作， ∵， ∴,， ∴， ∴ ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】对是以为腰的等腰三角形分类讨论，当时，设，可得到，再根据折叠可得到，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程计算即可；当时，过A作AH垂直于于点H，然后根据折叠可得到，在结合，利用互余性质可得到，然后证得△ABE≌△AHE，进而得到，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到，然后在根据数量关系得到． 【详解】解：当时，设，则， ∵沿翻折得， ∴， 在Rt△ABE中由勾股定理可得：即， 解得：； 当时，如图所示，过A作AH垂直于于点H， ∵AH⊥，， ∴， ∵， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴， 在△ABE和△AHE中， ∴△ABE≌△AHE（AAS）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 综上所述，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据配方法可进行求解； （2）根据因式分解法可进行求解． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴． 17. 一个黑箱子里装有红，白两种颜色的球4只，除颜色外完全相同．小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，重复实验，将多次实验结果列出如下频率统计表． 摸球次数 100 200 500 800 1500 摸到白球次数 24 51 122 205 372 摸到白球频率 （1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到，若从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是______； （2）从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率． 【答案】（1）、 （2）摸到一个红球一个白球的概率为． 【解析】 【分析】（1）当试验次数达到1500次时，摸到白球的频率接近于，据此可得答案； （2）用总数量乘以摸到白球的频率求出其个数，再列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得答案． 【小问1详解】 解：由表格知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近， 从箱子中摸一次球，摸到红球的概率为， 故答案为：、； 【小问2详解】 解：由题可知，白球的个数（个），红球个数（个）， 记红球为红1，红2，红3， 列出表格为： 白 红1 红2 红3 白 白红1 白红2 白红3 红1 红1白 红1红2 红1红3 红2 红2白 红2红1 红2红3 红3 红3白 红3红1 红3红2 共有12种情况，其中一红一白的有6种， 所以摸到一个红球一个白球的概率为． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．也考查了列表法与树状图法． 18. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点与点关于轴对称，求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2） （3）不等式的解集为或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、利用数形结合的思想求不等式的解集是解题的关键． （1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）分别求出C，D的坐标，再求出点到的距离，根据三角形面积公式计算即可； （3）根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 点在上， ， ． 把，坐标代入，则， 解得， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知直线，， 直线交轴于， ， ，关于轴对称， ， ， 轴，． 点到的距离为． ． 【小问3详解】 解：根据图象得：不等式的解集为或． 19. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 20. 如图，为O的直径，C为上一点，与过C点的直线互相垂直，垂足为D，平分． （1）求证：为的切线； （2）若，，求劣弧的长． 【答案】（1） 证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 过， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，求出，求出，再根据切线的判定求出即可； （2）求出，求出，求出和，再根据弧长公式求出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 连接． ∵是的直径， ， ， ， ， ， 解得：， 即， ∴劣弧的长是． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，平行线的性质和判定，弧长公式等知识点，能熟记切线的判定和弧长公式是解此题的关键． 21. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】（1），球不能射进球门 （2）当时他应该带球向正后方移动1米射门 【解析】 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 22. 已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … （1）__________；将其配方成的形式为__________； （2）在下面平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象； （3）填空： ①当时，随的增大而减小，则的取值范围是__________； ②直接写出原抛物线关于轴对称的抛物线的函数表达式为__________． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，坐标与图形变化—轴对称等等，熟练掌握以上知识点是关键． （1）求出当时的函数值即可求出m的值，再利用配方法把解析式化为顶点式即可； （2）利用描点法画出对应的函数图象即可； （3）①确定开口方向和对称轴，进而确定增减性即可得到答案； ②设为翻折后的函数图象上的一点，那么点为图象上的一点，把代入中求出m、n的函数关系式即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ； ， 故答案为：；； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 ①函数解析式为，， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而减小， ， 故答案为：； ②设为翻折后的函数图象上的一点，那么点为图象上的一点， ， ， 关于轴对称的函数解析式为， 故答案为：． 23. 如图1，与都是等边三角形，边长分别为4和，连接为高，连接，N为的中点． （1）求证：； （2）将绕点A旋转，当点E在上时，如图2，与交于点G，连接，求线段的长； （3）连接，在绕点A旋转过程中，求的最大值． 【答案】（1） 证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）； （2）； （3）的最大值． 【解析】 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）证明垂直平分线段，推出，利用勾股定理求出，再利用三角形中位线定理求出； （3）在旋转过程中，，而且当点H在线段上时，可以取到最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为等边的高， ∴， ∴， ∵， ∴，即G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴； 【小问3详解】 解：如图，取的中点H，连接． ∵为等边的中线， ∴， 由（2）同理可得， ∵N为的中点， ∴是的中位线， ∴， 在旋转过程中，， ∴而且当点H在线段上时，可以取到最大值， ∴的最大值． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级12月练习数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，绕点逆时针旋转一定角度后得到，点在上，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，点在二次函数的图象上，则方程解的一个近似值可能是（ ） A. 2.18 B. 2.68 C. -0.51 D. 2.45 5. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（ ） A. 50° B. 65° C. 115° D. 130° 6. 如图，某市规划部门计划在新建公园旁边的一块长方形空地上修建一个停车场（如图中阴影部分），将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整块长方形空地的长为，宽为，如果停车场的面积占这个长方形空地面积的，所建通道的宽度为，则根据题意列出的方程（ ） A. B. C. D. 7. 对于二次函数，下列结论中，错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 当时，函数的最大值为0 D. 开口向下 8. 如图，、切⊙O于点A、B，，切于点E，交、于C、D两点，则的周长是（　　） A. 10 B. 18 C. 20 D. 22 9. 如图，在中，点、分别在边、上，则下列条件中：；②；；，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围为______． 12. 如图，在所给的电路图中，同时闭合两个开关能让小灯泡发光的概率为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知函数和，点为轴正半轴上一点，为轴上一点，过作轴的垂线分别交，的图象于，两点，连接，，则的面积为___________． 14. 如图1是杭州第19届亚运会会徽一“潮涌”，其主体为图2中的扇环．延长交于点O，，若，，则图2中扇环的面积为______（结果保留）． 15. 如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰的等腰三角形． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 解下列方程 （1）； （2）． 17. 一个黑箱子里装有红，白两种颜色的球4只，除颜色外完全相同．小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，重复实验，将多次实验结果列出如下频率统计表． 摸球次数 100 200 500 800 1500 摸到白球次数 24 51 122 205 372 摸到白球频率 （1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到，若从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是______； （2）从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率． 18. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点与点关于轴对称，求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 19. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 20. 如图，为O的直径，C为上一点，与过C点的直线互相垂直，垂足为D，平分． （1）求证：为的切线； （2）若，，求劣弧的长． 21. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 22. 已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … （1）__________；将其配方成的形式为__________； （2）在下面平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象； （3）填空： ①当时，随的增大而减小，则的取值范围是__________； ②直接写出原抛物线关于轴对称的抛物线的函数表达式为__________． 23. 如图1，与都是等边三角形，边长分别为4和，连接为高，连接，N为的中点． （1）求证：； （2）将绕点A旋转，当点E在上时，如图2，与交于点G，连接，求线段的长； （3）连接，在绕点A旋转过程中，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $