精品解析：湖北省孝感市汉川市城关中学2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试卷

2025−2026学年度上学期九年级第三次阶段性检测 数学试卷 温馨提示： 1、答题前，考生务必将自己所在学校、姓名、考号填写在答题卡上指定的位置． 2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效． 3、本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下面是国内常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，进行逐一判断即可． 【详解】解：A，B，D不是中心对称图形，C是中心对称图形， 故选：C． 2. 已知方程的一个根是2，则k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，由于是方程的一个根，将其代入方程即可求出k的值． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴， ∴ ． 故选：B． 3. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 旭日东升 D. 夕阳西下 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，事件分为不可能事件、随机事件、必然事件，不可能事件可能性为0，必然事件可能性为1，随机事件可能性介于0和1之间，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 水中捞月是不可能事件，可能性为0； B. 守株待兔是随机事件，可能性大于0但小于1； C. 旭日东升是必然事件，可能性为1； D. 夕阳西下是必然事件，可能性为1﹒ 故选：A 4. 抛物线的顶点坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法． 抛物线方程为顶点形式，直接读取顶点坐标． 【详解】解：∵是顶点形式， ∴顶点坐标为， 故选：B． 5. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程的步骤，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 根据配方法的一般步骤，把常数项移到等号的右边，将二次项的系数化为1，等式两边同时加上一次项系数一半的平方即可求解． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得 ， 化简，得， 故选：C． 6. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由旋转的性质可知：，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴， ∴； 故选A． 7. 如图，，是的切线，切点分别为A，B，若，，则的半径为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键． 根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，可知的度数，连接，，，可知，故在中，根据角所对的直角边等于斜边的一半可表示出，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：连接，， ∵为的切线， ∴， ∵为的切线，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得 , ∴ 故选：B． 8. 如图，正六边形内接于，点在上，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键．由正六边形的性质得出，由圆周角定理求出． 【详解】解：连接，， 多边形是正六边形， ， ， 故选：C． 9. 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积（，其中为圆心角的度数、为半径），熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积即可得． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积等于 ， 故选：D． 10. 如图，已知顶点为的抛物线过．则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤．其中结论正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点，即可判断的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把代入，得，故③正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④错误；由抛物线的顶点为，，得，再由，得，故⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ， ∴对于任意的，均有，故②错误； 抛物线过， ∴，故③正确； ∵抛物线过，关于直线对称的点为， ∴若，则或，故④错误； 抛物线的顶点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． ∴正确的个数为 故选：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，若点A与点B关于原点O对称，则点B的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标关系，掌握相关知识是解题的关键．根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，即可得点B的坐标． 【详解】解：点A的坐标为，点A与点B关于原点O对称， 点B的横坐标为，纵坐标为，即点B的坐标为， 故答案为：． 12. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后代入代数式计算． 【详解】解：由根与系数的关系，得 ，， ． 故答案为：． 13. 为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影．小明和小红两位同学从这三部电影中随机选择一部观看，他们恰好选择看同一部电影的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，概率公式，列表或画树状图可得出所有等可能的结果以及这两人选择同一部电影的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A B C 由表知，共有9种等可能结果，其中两人选择同一部电影的有3种结果， 小明和小红两位同学恰好选择看同一部电影的概率为， 故答案为：． 14. 如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为_____． 【答案】（﹣4，﹣6） 【解析】 【分析】过A作AB⊥NM于B，连接AM，然后根据垂径定理得到MB=NB，再根据⊙A经过M、N的坐标，确定MN长度，进而得到OB的长，然后在Rt△ABN中应用勾股定理即可求得AB的长，即可完成解答. 【详解】解：过A作AB⊥NM于B，连接AM， ∵AB过A， ∴MB＝NB， ∵半径为5的⊙A与y轴相交于M（0，﹣3）、N（0，﹣9）， ∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5， ∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6， 由勾股定理得：AB＝＝4， ∴点A的坐标为（﹣4，﹣6）， 故答案为（﹣4，﹣6）． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出BM和BN的长是解答本题的关键 15. 如图1，在中，，点在边上，动点在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为S．当点由点运动到点时，S是一个关于的二次函数，图象如图2所示，则的周长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．结合图形得到动点P在各个拐点时S与t的值是解决本题的关键． 当点P在上时，易得，整理可得S与t的函数关系式，求得当时，t的值，即可求得当点P在点B时时，．进而根据图2中的顶点坐标为，用顶点式表示出图2中S与t的关系式，把代入可得a的值，进而取．求得t的值，得到点P在点A时面积为，进而求出t的值，则可以求得的长，根据勾股定理可得的长，则可求得的周长． 【详解】解：当点P在上时，在中，，， ． 当时，． 解得 (取正值)， ． 图2中的抛物线经过点． 由图象可知，图2中的抛物线顶点为． 设抛物线解析式为：． 将代入，得，解得：． ． 当时，， 解得或 (舍去)． ． 在中，由勾股定理得：． 的周长为． 故答案为；． 三、解答题（本大题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 用合适的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解方程即可． 【小问1详解】 解： ， 或， ，； 【小问2详解】 整理得， ， 或， ，． 17. 如图，的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题： （1）将绕原点O旋转得到，在表格中画出； （2）直接写出的坐标为 ； 【答案】（1） 如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了画已知图形关于某点对称的图形，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据旋转的性质，分别得出点，再依次连接，即可作答． （2）直接观察平面直角坐标系，得出，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：观察平面直角坐标系，得出． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为任何实数，方程有两个不相等的实数根． （2）若方程两个根，互为相反数，求的值． 【答案】（1） 证明： ， ， ， 无论为任何实数，方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，得到即可确定无论为任何实数，方程有两个不相等的实数根； （2）根据题意，得到，再根据一元二次方程根与系数的关系列式，从而得到关于的一元一次方程，求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程两个根，互为相反数， ， 再根据一元二次方程根与系数关系得到， ，解得． 【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式的关系、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 19. 如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、． （1）求证：； （2）若，，求的直径． 【答案】（1） 证明：∵为的直径，是弦，且于点E， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）根据垂径定理和圆的性质，等弧所对的圆周角相等，即可求证． （2）根据垂径定理求出，设的半径为R，则，根据勾股定理及圆的性质求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：设的半径为，则， ，， ， 在中，由勾股定理可得， ， 解得， 的直径为． 20. 如图，是等边三角形，点在边上，将绕点旋转得到． （1）求证：是等边三角形 （2）若，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， 将绕点旋转得到． ， 是等边三角形 ； （2）15 【解析】 【分析】（1）由旋转性质及等边三角形的判定即可得到证明； （2）由旋转的性质及等边三角形的性质即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵将绕点旋转得到． ， 的周长 又， 的周长 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，掌握这些知识并灵活运用是关键． 21. 如图，为的直径，，为上的两点，，过点作直线，交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ∴， ， ，而为半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，推出，得到，于是得到结论； （2）根据圆周角定理求得，然后利用含直角三角形的性质求得，则有，再利用含角的直角三角形的性质即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为的直径， ， ，， ∴， 即， ， ． 22. “秋风起，蟹脚痒”金秋十月是螃蟹大量上市时．东营某校开展社会实践活动，要求学生调查当地某种规格的螃蟹的市场行情．如表是“智多星”小组的调查记录表，请根据下表中的相关信息解决两个实际问题． 东营某校社会实践调查记录表 团队名称 智多星 活动时间 2025.10.2 活动地点 某水产超市 实践内容 调查螃蟹的市场行情，解决销售问题，让顾客得到更大的实惠 调研信息 螃蟹的进价为40元/千克． 当螃蟹售价为50元/千克时，每天可销售100千克． 若每千克螃蟹每涨价1元，销售量每天就会减少2千克． 解决问题 问题1 涨价后，若该水产超市某天正好销售螃蟹70千克，则获利多少元？ 问题2 当螃蟹的售价定为多少元/千克时，该店当日销售螃蟹所获利润最大？ 【答案】问题1：获利1750元；问题2：当螃蟹的售价定为70元/千克时，该店当日销售螃蟹所获利润最大 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，解题的关键在于根据题目所给条件建立利润与售价之间的函数关系，然后利用函数的性质来求解问题． 问题1：先根据售价的变化求出销售量的变化，进而得到实际售价，再根据利润公式计算获利． 问题2：先设出售价，根据售价与销售量的关系表示出销售量，再根据利润公式建立利润与售价的函数关系，最后根据二次函数的性质求出最大值． 【详解】解：问题1：设每千克螃蟹涨价x元， 则销售量每天为千克， 由题意得：， 解得：， 元）， 答：获利1750元； 问题2：设售价定为m元/千克，该店当日销售螃蟹所获利润为y元， 由题意得： ， ，函数图象开口向下， 当时，y最大，最大值为1800元． 答：当螃蟹的售价定为70元/千克时，该店当日销售螃蟹所获利润最大． 23. 如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、． （1）探究模型：求证：； （2）类比模型；如图2，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积． （3）应用模型：如图3，中，，，将绕点顺时针旋转，得，连接，求的面积． 【答案】（1） 证明：， ， 又， ， 又， （2）8 （3）9 【解析】 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）过作于，构造全等三角形解决问题即可； （3）过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，证明即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，如图，过作于，则， ，， ，， ， 在和中， ， ， ； 【小问3详解】 如图，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，则， ，， ， 由旋转得，，， ，， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，“三垂”模型等知识，掌握相关知识是解题的关键． 24. 如图1，若二次函数图象与轴交于点A和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的面积最大值为，此时 （3）点P的坐标为，，或． 【解析】 【分析】（1）代入点坐标求出参数值即可； （2）利用分割法或作差法，先求出的解析式，再设出参数，表示出对应三角形的底和高，构造的面积的函数，利用二次函数求最值的方法即可； （3）设出点P的坐标，分别用参数表示，，计算出，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点，代入，得解得 ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点P作轴，交于点Q， 设直线的解析式为， 代入点，得，解得， ∴， 设点，则点， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时， ∴． 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∴设点， ∴， ， ， 分三种情况， 第一种，当为斜边时，， ∴， 解得， 第二种，当为斜边时，， ∴， 解得， 第三种，当为斜边时，， ∴， 解得， ∴点P的坐标为，，或． 【点睛】本题考查了“待定系数法求解析式”“坐标系中面积的求值”“二次函数的图象与性质”“直角三角形的分类讨论”，根据设问，设出参数，利用参数构造出相应的函数和方程是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年度上学期九年级第三次阶段性检测 数学试卷 温馨提示： 1、答题前，考生务必将自己所在学校、姓名、考号填写在答题卡上指定的位置． 2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效． 3、本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下面是国内常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知方程的一个根是2，则k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 3 3. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 旭日东升 D. 夕阳西下 4. 抛物线的顶点坐标是（    ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，是的切线，切点分别为A，B，若，，则的半径为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 如图，正六边形内接于，点在上，则的大小为（　　） A. B. C. D. 9. 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知顶点为的抛物线过．则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤．其中结论正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，若点A与点B关于原点O对称，则点B的坐标是________． 12. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为________． 13. 为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影．小明和小红两位同学从这三部电影中随机选择一部观看，他们恰好选择看同一部电影的概率为_______． 14. 如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为_____． 15. 如图1，在中，，点在边上，动点在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为S．当点由点运动到点时，S是一个关于的二次函数，图象如图2所示，则的周长为________． 三、解答题（本大题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 用合适的方法解下列方程： （1） （2） 17. 如图，的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题： （1）将绕原点O旋转得到，在表格中画出； （2）直接写出的坐标为 ； 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为任何实数，方程有两个不相等的实数根． （2）若方程两个根，互为相反数，求的值． 19. 如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、． （1）求证：； （2）若，，求的直径． 20. 如图，是等边三角形，点在边上，将绕点旋转得到． （1）求证：是等边三角形 （2）若，求的周长． 21. 如图，为的直径，，为上的两点，，过点作直线，交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. “秋风起，蟹脚痒”金秋十月是螃蟹大量上市时．东营某校开展社会实践活动，要求学生调查当地某种规格的螃蟹的市场行情．如表是“智多星”小组的调查记录表，请根据下表中的相关信息解决两个实际问题． 东营某校社会实践调查记录表 团队名称 智多星 活动时间 2025.10.2 活动地点 某水产超市 实践内容 调查螃蟹的市场行情，解决销售问题，让顾客得到更大的实惠 调研信息 螃蟹的进价为40元/千克． 当螃蟹售价为50元/千克时，每天可销售100千克． 若每千克螃蟹每涨价1元，销售量每天就会减少2千克． 解决问题 问题1 涨价后，若该水产超市某天正好销售螃蟹70千克，则获利多少元？ 问题2 当螃蟹的售价定为多少元/千克时，该店当日销售螃蟹所获利润最大？ 23. 如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、． （1）探究模型：求证：； （2）类比模型；如图2，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积． （3）应用模型：如图3，中，，，将绕点顺时针旋转，得，连接，求的面积． 24. 如图1，若二次函数图象与轴交于点A和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $