江苏省启东中学2025-2026学年高一上学期数学周考试卷7

高一数学周考7(数学) 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.命题“，”的否定为    A. ， B. ， C.  ， D. ， 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查全称量词命题的否定，属于基础题. 根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得. 【解答】 解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题，可知命题“，”的否定为“，”. 故选： 2.已知扇形的半径为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为(    ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查弧长及扇形面积公式，属于基础题. 先求出扇形的弧长，进而即可得出答案. 【解答】 解：由已知可得，扇形的半径，圆心角的弧度数， 所以扇形的弧长为， 扇形的周长为 故选： 3.设全集，集合，则    A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解集合M的不等式： 由，因式分解得， 解得，即。 计算M与N的交集： 集合， 根据交集定义， 即。 4.已知，，则的值为   A. B. C. D. 【答案】D  【解析】根据诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”，是的奇数倍，故根据诱导公式规则，将视为锐角时，在第四象限，余弦值为正，因此结果取正。 由且，根据同角三角函数平方关系，得： 因此。 5.已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为    A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】解：点在幂函数的图象上， ，， ，在上单调递减， ，，， ， ，即 故选： 把点代入幂函数的解析式求出的值，进而可得在上单调递减，再结合对数函数的性质可知，从而比较出a，b，c的大小． 本题主要考查了幂函数的定义和性质，考查了对数函数的性质，属于基础题． 6.已知角的终边过点，则的值为    A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查任意角的三角函数，诱导公式和同角三角函数的基本关系，属于基础题． 利用任意角的三角函数得，再利用诱导公式和同角三角函数的基本关系从而得结论． 【解答】 因为点在角终边上， 所以 又因为， 故选 ： 7.沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏如图上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过tmin时剩余的细沙量为，且为常数，经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为    A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查利用指数函数模型解决实际问题，对数运算，属于中档题. 依题意有，解得，，由此能得出结果． 【解答】 解：依题意有，即， 两边取对数得，所以，得到， 当容器中只有开始时的时，则有，所以， 两边取对数得，所以 故选： 8.已知函数，若存在，使得成立，则x的取值范围   A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：因为函数 可得函数为减函数， 又当时，，则， 当时，，则， 所以可化为， 则，即， 若存在，则， 解得或， 所以x的取值范围为 故选： 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.已知，，且，则下列结论正确的是    A. B. C. D. 【答案】ABC  【解析】对于A，因为  ，所以  当且仅当  时取等号， 所以  ，当且仅当  时取等号，所以A正确； 对于B，因为  ， 当且仅当  时取等号，所以B正确； 对于C，因为  ， 当且仅当  时取等号，所以C正确； 对于D，因为  ，所以  ，所以  ， 当且仅当  时取等号，所以D错误， 故选： 10.在平面直角坐标系xOy中，点，角的终边与单位圆圆心在原点，半径为1的圆交于点不重合，下列说法正确的是   A. 若，则点A和点B关于x轴对称 B. 若，则点A和点B关于y轴对称 C. 若点A和点B关于直线对称，则 D. 若OA和OB相互垂直，则 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查由一个三角函数值求其他三角函数值，任意角的三角函数的定义，属于中档题. 设角的终边与单位圆圆心在原点，半径为1的圆交于点A，根据点A的坐标能够写出， A、B选项可根据的正负判断的终边所在象限，从而判断出点A和点B的对称关系; C选项：可根据点A和点B关于直线对称写出点B的坐标，从而求出 D选项：若OA和OB相互垂直，则或，再利用诱导公式可以求出和，从而求出 【解答】 解：设角的终边与单位圆圆心在原点，半径为1的圆交于点A，由题可知， A选项：若，则， 又，B不重合，则点B在第三象限，故点A和点B关于x轴对称，A正确. B选项：，则B点可能在第一象限或第四象限. 当点B在第一象限时，点A和点B关于y轴对称; 当点B在第四象限时，点A和点B关于原点对称; 故B不正确. C选项：若点A和点B关于直线对称，则，则，故C正确. D选项：若OA和OB相互垂直，则或 当时，，， 当时，，， 故D正确. 故选 11.已知对任意的，都有，且当时，则     A. B. 的图象关于y轴对称 C. ， D. 不等式的解集是 【答案】ABD  【解析】解：令，得，即，则A正确； 令，得，用代替x，得， 则，即是偶函数， 从而的图象关于y轴对称，故B正确； 因为当时，， 令，则， 即，故在上单调递增． 因为是偶函数，所以在上单调递减． ，所以， 所以，，则C错误； 由，得或， 解得或或，则D正确． 故选： 对于A选项，令即可； 对于B选项，令，得，用代替x，得，即可； 对于C选项，在上单调递增，，则，，即可； 对于D选项，或，解得或或，即可． 本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性，属于中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.写出满足条件“存在使得”的一个实数a的值为          . 【答案】满足的a的值均可  【解析】【分析】 本题考查函数最值，属于基础题. 令，将条件转化为即得. 【解答】 解：即， 令， 由单调性的运算，单调递增，， 条件可转化为，即， 故可取满足的a的值均可 13.已知，若是第二象限角，则的值为          . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用与之间的关系求值以及三角函数值的符号特征，属于中档题. 由题意结合与之间的关系求出，结合三角函数值的符号特征求出的值. 【解答】 解：因为， 所以， 所以， 所以， 又因为是第二象限角，所以，， 所以. 故答案为. 14.已知函数的零点为若，则k的值是          ；若函数的零点为，则的值是          . 【答案】1 ； 2  【解析】【分析】 本题考查零点存在定理，考查互为反函数的函数的性质，属于中档题. 第一空利用零点存在定理即可求解；第二空利用互为反函数的函数的性质求出的值 【解答】 解：函数的定义域为，且单调递增， 因为， 所以，所以； 的零点与的零点相同， 为与交点的横坐标，为与交点的横坐标， 因为函数与互为反函数，且关于直线对称， 直线与直线的交点坐标为， 故由对称性知 故答案为：1； 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知求值： ； 【答案】解： ， 因为， 所以原式； ， 因为， 所以原式   【解析】本题考查三角函数的诱导公式，属于中档题. 诱导公式化简后，分子分母同时除以，进一步计算即可； 分母变为，分子分母同时除以，进一步计算即可. 16.本小题12分 设全集，已知集合 若，求实数m的取值范围； 若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】解：由，解得，所以， 因为，且，所以或，解得或， 所以实数m的取值范围是或； 因为“”是“”的充分条件，所以， 所以，解得， 所以实数m的取值范围是  【解析】本题考查了含参数的交集运算问题、充分条件的应用、由集合的包含关系求参数，涉及一元二次不等式的求解，属于一般题． 求解集合，由，可得或，，从而求取值范围； 由题意得，从而得不等式组，从而解得． 17.本小题12分 已知，求在上的最小值.                                                  已知，求在上的最大值. 【答案】解：， 对称轴为，函数开口向上， 需分区间与对称轴的位置关系讨论： 情况区间在对称轴左侧，即函数在上单调递减， 最小值； 情况区间包含对称轴，即，最小值为； 情况区间在对称轴右侧最小值为， 综上，最小值为： 解：对称轴为，开口向上， 分情况讨论： 情况即对称轴在区间中点左侧，右端点离对称轴更远，最大值为：； 情况即对称轴在区间中点右侧，左端点离对称轴更远，最大值为：， 综上，最大值为：  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.本小题12分 已知函数 若函数为奇函数，求a的值； 当时，用函数单调性的定义证明：函数在R上单调递增； 若函数有两个不同的零点，求a的取值范围. 【答案】解：由函数为奇函数所以，得， 此时 当时， 任取，，且， 则 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在R上单调递增. 有两个不同的零点，等价于有两个不同的实数解 令，则在有两个不同的实数解， 所以 解得 所以a的取值范围为  【解析】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性，函数的零点问题，属于中档题. 根据，解得a，再验证即可； 根据函数单调性的定义证明； 利用换元法，将原问题转化为在有两个不同的实数解，即可求解. 19.本小题12分 已知函数的定义域为D，若存在常数，使得对D内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”. 判断函数，是否为“利普希兹条件函数”，并说明理由； 若函数是“利普希兹条件函数”，求k的最小值； 设，若是“利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，证明：方程在区间上有解. 【答案】解：因为， 所以是“2一利普希兹条件函数”. 取，，则， 所以不是“利普希兹条件函数”. 对的任意，，有， 所以， 所以k的最小值为 由是“利普希兹条件函数”可知，， 由是函数和的零点可知，， 又，即，所以 方程即 考虑函数， 因为， ， 所以在内存在零点. 即方程在区间上有解.  【解析】本题主要考查函数恒成立问题，考查函数的新定义，考查运算求解能力，属于中档题． 利用“利普希兹条件函数”的定义进行判断； 利用定义求出k的最小值； 由是“利普希兹条件函数”可知，，求出，方程即考虑函当，结合零点存在定理得出结论. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学周考7(数学) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.命题“，”的否定为    A. ， B. ， C.  ， D. ， 2.已知扇形的半径为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为(    ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3.设全集，集合，则    A. B. C. D. 4.已知，，则的值为   A. B. C. D. 5.已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为    A. B. C. D. 6.已知角的终边过点，则的值为    A. B. C. D. 7.沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏如图上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过tmin时剩余的细沙量为，且为常数，经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为    A. B. C. D. 8.已知函数，若存在，使得成立，则x的取值范围   A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.已知，，且，则下列结论正确的是    A. B. C. D. 10.在平面直角坐标系xOy中，点，角的终边与单位圆圆心在原点，半径为1的圆交于点不重合，下列说法正确的是   A. 若，则点A和点B关于x轴对称 B. 若，则点A和点B关于y轴对称 C. 若点A和点B关于直线对称，则 D. 若OA和OB相互垂直，则 11.已知对任意的，都有，且当时，则     A. B. 的图象关于y轴对称 C. ， D. 不等式的解集是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.写出满足条件“存在使得”的一个实数a的值为          . 13.已知，若是第二象限角，则的值为          . 14.已知函数的零点为若，则k的值是          ；若函数的零点为，则的值是          . 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知求值： ； 16.本小题12分 设全集，已知集合 若，求实数m的取值范围； 若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围. 17.本小题12分 已知，求在上的最小值.                                                  已知，求在上的最大值. 18.本小题12分 已知函数 若函数为奇函数，求a的值； 当时，用函数单调性的定义证明：函数在R上单调递增； 若函数有两个不同的零点，求a的取值范围. 19.本小题12分 已知函数的定义域为D，若存在常数，使得对D内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”. 判断函数，是否为“利普希兹条件函数”，并说明理由； 若函数是“利普希兹条件函数”，求k的最小值； 设，若是“利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，证明：方程在区间上有解. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $