江苏省启东中学2025-2026学年高一2班上学期强化班数学周练7

高一2班数学周练7(数学) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知集合，，那么       A. B. C. D. 2.命题“，”的否定是     A. ， B. ， C. ， D. ， 3.         A. B. C. D. 4.流行病学基本参数：基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：其中是开始确诊病例数描述累计感染病例随时间单位：天的变化规律，指数增长率r与，T满足，有学者估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当时，t的值为 A. B. C. D. 5.在下列区间中，函数的零点所在的区间为     A. B. C. D. 6.函数的图象大致为        A. B. C. D. 7.设，，，则        A. B. C. D. 8.函数，，满足，若，在有两个实根，则m的取值范围为        A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.函数其中，，的部分图象如图所示，则        A. B. 函数的最小正周期是 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象关于直线对称 10.下列结论中，正确的是        A. 若，则函数的最小值为 B. 若，，则的最小值为8 C. 若x，，，则xy的最大值为1 D. 若，，，则xy的最大值为 11.给出定义：若其中m为整数，则m叫做离实数x最近的整数，记作设函数，则下列命题正确的是        A. 函数为的增函数 B. 函数为偶函数 C. 函数的最大值为 D. 函数有无数个解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设，则          结果用含m的式子表示 13.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则           14.已知函数的定义域为R.当时，；当时，；当时，，则          ；          . 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 求下列各式的值． ； 16.本小题12分 在城镇化的旧房改造进程中，小明家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面.小明准备将店面改建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为2米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行.平板车平板面为矩形ABEF，它的宽为1米.直线EF分别交直线AC、BC于M、N，过墙角D作于P，于Q；请你结合所学知识帮小明解决如下问题： 若平板车卡在直角走廊内，且，试将平板面的长AB表示为的函数； 若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米? 17.本小题12分 已知函数，，其中 若函数在上单调递增，求a的取值范围; 设，求函数的最小值. 18.本小题12分 已知函数 证明函数在上为减函数； 求函数的定义域，并求其奇偶性； 若存在，使得不等式能成立，试求实数a的取值范围． 19.本小题12分 对于函数，若实数满足，其中H，M为非零实数，则称为的一个“泊点”. 已知任意实数x都是函数的“泊点”，若，求； 设函数，若是的“泊点”，求M的最大值； 设函数若恰有2个“泊点”，求实数t的取值范围. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一2班数学周练7(数学) 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知集合，，那么       A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查交集，属于基础题. 【解答】 解：因为，， 所以 故选： 2.命题“，”的否定是     A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查存在量词命题的否定，属于基础题. 【解答】 解：存在量词命题的否定是全称量词命题，命题“，”的否定是， 故选A 3.         A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查诱导公式，属于基础题. 【解答】 解： 故选： 4.流行病学基本参数：基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：其中是开始确诊病例数描述累计感染病例随时间单位：天的变化规律，指数增长率r与，T满足，有学者估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当时，t的值为 A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查指数函数模型的实际运用，以及指对互化，属于基础题． 根据所给数据求得，代入已知模型，再由，得，求解t值得答案． 【解答】解：把，代入，得， 解得，， 由，得，则， 两边取对数得，得 故选 5.在下列区间中，函数的零点所在的区间为     A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了函数零点的判断方法，函数值，属于基础题． 由即可得到函数的零点所在区间. 【解答】 解：因为函数在上连续且单调递增， 且， 所以函数的零点在区间内，故选 6.函数的图象大致为        A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：令， 则， 则函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B； 又，故排除C； 当且仅当时等号成立，又，故排除 故选 7.设，，，则        A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查数的大小比较，涉及幂函数与单调性，属于中档题. 【解答】 解：，，，函数在单调递增，， 故选B 8.函数，，满足，若，在有两个实根，则m的取值范围为        A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查三角函数的图象，题目较难，作出图象是关键. 【解答】 解：因为，所以是的对称轴， 所以，即， 因为，所以， 所以， 当时，令，则， 作图象如图所示： 当即时，当即时，， 由图知若，在有两个实根，则m的取值范围为 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.函数其中，，的部分图象如图所示，则        A. B. 函数的最小正周期是 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查的图象与性质，属基础题. 根据函数的部分图象求出函数的解析式，结合正弦函数性质逐项判断即可. 【解答】 解：由题意知，，所以，选项B错误，且， 所以， 图象过点， 故， 结合，解得， 所以， 则，选项A正确， 代入，得，选项C错误， 代入，得，选项D正确. 10.下列结论中，正确的是        A. 若，则函数的最小值为 B. 若，，则的最小值为8 C. 若x，，，则xy的最大值为1 D. 若，，，则xy的最大值为 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查基本不等式求最值，属于中档题. 【解答】 解：对于A选项，，所以选项A错误； 对于B选项，由得，，由，及得x， 所以，检验等号成立，所以选项B正确； 对于C选项，由得，，所以，检验等号成立，则xy的最大值为1，所以选项C正确 对于D选项，由得，令，， 则，，，检验等号成立，所以选项D正确. 11.给出定义：若其中m为整数，则m叫做离实数x最近的整数，记作设函数，则下列命题正确的是        A. 函数为的增函数 B. 函数为偶函数 C. 函数的最大值为 D. 函数有无数个解 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题属于函数新定义题型，涉及到的方法有： 函数零点可利用零点存在定理，也可利用图像转化为两个函数的交点求解； 奇偶性的判断除了使用定义外，也可利用函数对称性来判断； 分段函数的单调性结合图像判断，同时满足各个区间段上单调和区间分段点上函数单调. 根据新定义得出函数解析式，再取m几个特殊值进行画图像，从图像中研究函数的规律进行判断. 【解答】 解：由题意可得， 即，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 画出图像，由是将在x轴下方的图像翻折上去， 可以判断函数在不断上升，满足在递增，所以A正确； 由函数图像可得，，即，则不是偶函数，所以B错误； 当，由图像可得，所以选项C正确； 画出，与在y轴右侧图像有交点， 令，， 当，时，，， ，即， 根据零点存在定理，时， 一定有零点，故函数有无数个解， 所以选项D正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设，则          结果用含m的式子表示 【答案】  【解析】【分析】 本题考查诱导公式、利用同角三角函数基本关系化简，属于基础题. 利用诱导公式和同角三角函数的基本关系化简求解即可. 【解答】 解：因为， 所以 故答案为 13.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则           【答案】  【解析】【分析】 本题考查诱导公式，考查斜率。属于基础题. 【解答】 解：由点可知， 14.已知函数的定义域为R.当时，；当时，；当时，，则          ；          . 【答案】0 ；   【解析】【分析】 本题考查函数值的求解，考查分段函数的求值问题，属于中档题. 令得即可求解，即可求解. 【解答】 解：由题知：； 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 求下列各式的值． ； 【答案】解： 原式  【解析】本题考查指对运算，注意化简变形，属于基础题. 16.本小题12分 在城镇化的旧房改造进程中，小明家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面.小明准备将店面改建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为2米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行.平板车平板面为矩形ABEF，它的宽为1米.直线EF分别交直线AC、BC于M、N，过墙角D作于P，于Q；请你结合所学知识帮小明解决如下问题： 若平板车卡在直角走廊内，且，试将平板面的长AB表示为的函数； 若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米? 【答案】解：，， ，，                                            “平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角， 平板车的长度不能超过的最小值，即平板车的长度； 记，有， 则 记，，则， 函数在上的单调递减； 当时取得最小值为   【解析】本题考查三角函数解决实际问题，属于较难题，考查学生分析问题，解决问题的能力． 17.本小题12分 已知函数，，其中 若函数在上单调递增，求a的取值范围; 设，求函数的最小值. 【答案】解：函数，，图象开口向上. 由得，所以a的取值范围 ①若即， 当时递减，且， 当时最小值为， 此时有，所以 ②若即时， 当时在时取得最小值， 当时在时取得最小值为 ， 若，则，此时， 若，则，此时 ③若即， 当时在时取得最小值， 当时，递增， 此时有，所以 综上，   【解析】本题考查函数的最值和单调区间，考查了分段函数，二次函数的图象和性质，综合性很强，属于难题． 由单调性，根据对称轴与区间端点的关系列不等式，求解即可； 去绝对值可得的分段函数形式，然后讨论二次函数对称轴与分段区间的关系，分类讨论求最值即可. 18.本小题12分 已知函数 证明函数在上为减函数； 求函数的定义域，并求其奇偶性； 若存在，使得不等式能成立，试求实数a的取值范围． 【答案】解：证明：任取， 则，，， ， 故在上单调递减， 由题意可得，，， 解可得，，， 故x的范围，， 因为故为奇函数， 由可得，设， 故原题可转化为存在，使得， 因为，所以， 即，当且仅当时取等号， 故a的取值范围为  【解析】结合函数的单调性的定义即可证明， 结合对数函数及正切函数的定义域即可求解，然后结合奇偶性的定义检验函数的奇偶性， 原题可转化为存在，使得，分离系数后利用基本不等式可求． 本题综合考查了函数单调性，奇偶性的定义的应用及基本不等式，不等式的恒成立与最值求解的相互转化． 19.本小题12分 对于函数，若实数满足，其中H，M为非零实数，则称为的一个“泊点”. 已知任意实数x都是函数的“泊点”，若，求； 设函数，若是的“泊点”，求M的最大值； 设函数若恰有2个“泊点”，求实数t的取值范围. 【答案】解：因为任意，， 所以， 所以，函数的周期为2， 所以 因为是的“泊点”， 所以在上有解， 因为， 所以，， 法一：因为， 当且仅当，时，即时取得等号， 所以， 所以M的最大值为 法二：因为， 令，， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 此时， 所以M的最大值为 法三：因为在上有解， 即在上有解， 设，， 所以在区间上有解， 因为函数在上关于对称， 所以解得， 所以M的最大值为 因为函数恰有2个“泊点”， 所以在定义域内恰有2个解， 因为， ①当时，则， 所以，即，所以，舍去; ②当时， 所以，即 ③当时，，所以， 即 依据条件，和共有2个不同实数解; 对于式，令，， 设，所以在上递增，，， 所以关于m的方程在上解的情况如下： 当，即时，没有实数根; 当，即时，没有实数根; 当即时，只有一个实数根. 对于式，令，， 设，， 因为， 函数的对称轴为，由得： 当时，在内需2个零点，且，， 所以即，无解; 当时，在内需2个零点，但，至多一个零点，舍去; 当时，在内需1个零点，且， 所以在上递增， 所以即解得 所以 综上所述，t的取值范围是  【解析】本题主要考查函数新定义，属于较难题. 由题意可得，可得； 由题意可得，，设，，问题转化为在区间上有解，研究二次方程可得解； 在定义域内恰有2个解，讨论，，结合题意可得实数t的取值范围. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $