江苏省启东中学2025-2026学年高一（创新班）上学期周练四数学试题

高一创新班数学周练四(数学) 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，则     A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：集合M中元素，是奇数， 集合N中元素，是整数， 因此M是N的真子集，即， 则，  故选 2.已知平面向量，且，则     A. 9 B. 3 C. 4 D. 16 【答案】C  【解析】【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积运算律求得，进而求出目标值. 【详解】由，得，由，得 则，而，所以 故选：C 3.若，则下列结论不正确的是     A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了不等式的基本性质，由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题． 由题意得到，然后逐个判断即可求解. 【解答】 解：，， ， 故A正确． ，故B正确； ，当且仅当，即时，取等号，又，所以，故C正确； 能够得到 ，故D错误. 故选 4.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为    A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为， 设圆台的高为h，由体积可得，解得， 圆台的轴截面如下：上底面圆心为，下底面圆心为， 设球心O在直线上，连接， 设，则， 则该圆台的外接球半径为， 由勾股定理可得：，解得，所以， 则该圆台的外接球表面积为 故选： 5.定义域为R的函数周期为4，且的图象关于y轴对称，当时，，则     A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因周期为4， 故 因图象关于y轴对称，故， 因此， ， 所以 6.若函数存在最小值，则实数a的取值范围为    A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：当时，单调递增，所以， 当时，， 显然当时，在上单调递增，此时函数没有最小值，不合题意； 当时，函数，存在最小值，符合题意； 当时，在上单调递减，最小值， 在上值域为，要满足函数存在最小值， 则只需要 综上可得：实数a的取值范围为， 故选 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 7.下列四个结论中，正确的结论是(    ) A. “”的充分不必要条件是“”． B. 若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是 C. 已知，则的取值范围是 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BC  【解析】解：对于A，集合是集合的真子集， 则“”是“”的充分不必要条件，A错误； 对于B，由命题“”为假命题，得方程无实根， 则，解得，B正确； 对于C，由，得，则，而， 因此，即，C正确； 对于D，依题意，，解得， 则函数的定义域为不正确. 故选： 8.设，函数则下列结论正确的是    A. 若，则为偶函数 B. 若，则的最小值为 C. 若为增函数，则k的取值范围为 D. 若曲线关于直线对称，则 【答案】ABD  【解析】解：若，则，则，则为偶函数，故A正确； 若，则，令，则， 故在上单调递增，因时；时， 故函数在上存在唯一的零点，即，即， 则得；得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为，故B正确； 若为增函数，则在上恒成立，则在上恒成立，故，故C错误； 若曲线关于直线对称，则，则，得， 当时，则， 故关于直线对称，故D正确. 故选： 9.一个封闭的直三棱柱容器内装有高度为3的水如图所示，底面处于水平状态记水面为，，，现以AB所在直线为旋转轴，将容器逆时针旋转的过程中，下列说法正确的是   A. 水面形状的变化依次为三角形，等腰梯形，矩形 B. 水面不可能是正三角形 C. 当经过C时，与面的交线长为 D. 当逆时针旋转时，水面的面积为 【答案】ACD  【解析】解：A选项，水的体积 ， ， 所以当水面经过时，水面与棱相交，如图3， 当水面经过点 C时，水面与面相交，如图4， 则在此之前水面形状均为三角形， 继续旋转直至之前，水面形状为等腰梯形，如图5， 转至时，水面形状为矩形，如图6，故A选项正确； B选项，初始位置，如图1，， 当水面经过时，如图3，此时， 所以，， 所以在转动过程中，存在，使得水面是正三角形，故B选项不正确； C选项，如图4，，且由于与相似， 则，，故C选项正确； D选项，当逆时针旋转时，如图6，， 且由于与相似，则，则， 则水面的面积为，故D选项正确. 故选     三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 10.如图所示，已知在水平放置的的斜二测直观图中，，，若该以BC为旋转轴，旋转一周，则旋转形成几何体的侧面积为          . 【答案】  【解析】解：如图，将斜二测图形还原成， 在中，，，， 所以， 由题意绕BC所在直线旋转一周后所形成的几何体为圆锥， 圆锥的母线，底面半径 则圆锥的侧面积为 故答案为 11.若一次函数满足，则          . 【答案】 或 3  【解析】解：设  ，， 则  ， 所以  ， 解得  或  ， 当  时，  ，此时，  ， 当  时，  ，此时  ， 故答案为：  或  12.将一个各棱长都为6cm的正三棱柱铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为           【答案】  【解析】解：一个棱长为6cm的正三棱柱，要使制作成球体零件的体积最大， 则球直径不得超过侧棱，即，且半径不得超过底面内切圆半径， 即 ， 综上可得最大零件的半径，  可能制作的最大零件的体积为 故答案为 13.直角梯形ABCD中，，，，，点O，E为AB，BC的中点，F在BC边上运动包含端点，则的取值范围为          . 【答案】  【解析】解：建立平面直角坐标系如图， 则，，，， 因为点O，E为的中点，则，， 可得，，， 又因为点F在BC边上运动包含端点，设， 则， 可得， 所以的取值范围为 故答案为： 14.在中，设角的对边分别是，若，则角B的最大值为          ；则的最小值为          . 【答案】  ；   【解析】【分析】第一空，由已知条件结合正弦定理角化边可得，利用余弦定理以及基本不等式化简，即可求得答案.第二空，将变形为，继而利用正弦定理角化边，结合基本不等式以及角B的范围，即可求得答案. 【详解】由题意知，则， 故， 当且仅当时，等号成立， 故角B的最大值为； ， 当且仅当时，等号成立， 由于 即的最小值为 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知函数，定义域为 试判断函数在上的单调性，并用定义法证明． 求函数的值域； 【答案】解：证明：设， 则， 化简得：， 因为， 所以，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； ， 因为，即， 则，可得， 所以 因此函数在区间上的值域为   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.本小题12分 已知函数 若，函数都有意义，求实数a的取值范围； 若函数的值域为求实数a的取值范围； 求函数的定义域． 【答案】解：根据题意得在上恒成立， 即在上恒成立，令， 由此可得在上恒成立， 所以问题可以转换为， 又的对称轴为，所以在单调递减， 所以，当且仅当 综上，a的取值范围是 根据题意得能取遍 当时， ，当时，； 当时，有，解得 综上所述， a的取值范围是 求函数的定义域等价于求不等式的解集， 当且 时，即或 时， 方程的根为， a分类讨论的临界值为0和， 当时，的定义域为； 当时，的定义域为； 当时，的定义域为； 当时，，的定义域为    【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.本小题12分 在中，角的对边分别为，已知， 求角C的值； 求的最大值； 若AB边上的中线CD长为，求的面积. 【答案】【详解】因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理得，所以，所以 又因为，所以 因为，由正弦定理得， 可得，， 因为，所以， 则， 又，则， 当，即时，取得最大值为 由题意知：， 由知，即， 因为CD为AB边上的中线，所以， 两边平方得， 所以， 联立方程组，解得，所以， 所以的面积   【解析】【分析】由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，即可求解； 根据正弦定理，得到，，化简得到，进而结合正弦函数的性质即可求解； 由得到，再由CD为AB边上的中线，利用，得到，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 18.本小题12分 已知函数为奇函数. 求实数a的值； 若，求实数x的取值范围； 设函数，若对任意的，总存在使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】解：函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得，解得，此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意， 所以 由知，其定义域为， 显然在，上均单调递减， 且当时，，，，所以， 同理可得当时，， 若，可能满足以下几种情况： ①，解得， ②，解得， ③，解得，显然无解， 综上，实数x的取值范围是 由知，， 当时，，故， 所以在上值域为 又，， 令，， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在使得成立， 则可得，解得 所以实数m的取值范围是   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.本小题12分 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记， 若，，求向量夹角的余弦值； 若向量共线． ⅰ求证：是直角三角形； ⅱ求的取值范围． 【答案】解：若，，则， ， 可得，，， 则， 所以向量夹角的余弦值为 ⅰ若向量 共线，且， ， 则  ， 且，则，可得， 则，所以是直角三角形； ⅱ由ⅰ可知： ， 由正弦定理得： ， 令， 因为，则， 可得且， 则， 因为的图象开口向上，对称轴为直线， 可知在区间内单调递增，且，， 可得 所以的取值范围为   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高一创新班数学周练四(数学) 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、单选题:本题共6小题,每小题5分,共30分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.设集合,则 A. B. C. D. 2.已知平面向量,且,则 A. 9 B. 3 C. 4 D. 16 3.若,则下列结论不正确的是 A. B. C. D. 4.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2,体积为,则该圆台的外接球表面积为 A. B. C. D. 5.定义域为R的函数周期为4,且的图象关于y轴对称,当时,,则 A. B. C. D. 6.若函数存在最小值,则实数a的取值范围为 A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分。 7.下列四个结论中,正确的结论是( ) A. “”的充分不必要条件是“”. B. 若命题“”为假命题,则实数m的取值范围是 C. 已知,则的取值范围是 D. 函数的定义域为,则函数的定义域为 8.设,函数则下列结论正确的是 A. 若,则为偶函数 B. 若,则的最小值为 C. 若为增函数,则k的取值范围为 D. 若曲线关于直线对称,则 9.一个封闭的直三棱柱容器内装有高度为3的水如图所示,底面处于水平状态记水面为,,,现以AB所在直线为旋转轴,将容器逆时针旋转的过程中,下列说法正确的是 A. 水面形状的变化依次为三角形,等腰梯形,矩形 B. 水面不可能是正三角形 C. 当经过C时,与面的交线长为 D. 当逆时针旋转时,水面的面积为 三、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分。 10.如图所示,已知在水平放置的的斜二测直观图中,,,若该以BC为旋转轴,旋转一周,则旋转形成几何体的侧面积为 . 11.若一次函数满足,则 . 12.将一个各棱长都为6cm的正三棱柱铁块磨成一个球体零件,则可能制作的最大零件的体积为 13.直角梯形ABCD中,,,,,点O,E为AB,BC的中点,F在BC边上运动包含端点,则的取值范围为 . 14.在中,设角的对边分别是,若,则角B的最大值为 ;则的最小值为 . 四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知函数,定义域为 试判断函数在上的单调性,并用定义法证明. 求函数的值域; 16.本小题12分 已知函数 若,函数都有意义,求实数a的取值范围; 若函数的值域为求实数a的取值范围; 求函数的定义域. 17.本小题12分 在中,角的对边分别为,已知, 求角C的值; 求的最大值; 若AB边上的中线CD长为,求的面积. 18.本小题12分 已知函数为奇函数. 求实数a的值; 若,求实数x的取值范围; 设函数,若对任意的,总存在使得成立,求实数m的取值范围. 19.本小题12分 在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,记, 若,,求向量夹角的余弦值; 若向量共线. 求证:是直角三角形; 求的取值范围. 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $