精品解析：江苏省启东中学2025-2026学年高一（创新班）上学期周练四数学试题

高一创新班数学周练四(数学) 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，且，则（ ） A. 9 B. 3 C. 4 D. 16 3. 若，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 定义域为的函数周期为4，且的图象关于轴对称，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 7. 下列四个结论中，正确的结论是（ ） A. “”充分不必要条件是“”． B. 若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是 C. 已知，，则的取值范围是 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 8. 设，函数则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为偶函数 B. 若，则的最小值为 C. 若为增函数，则的取值范围为 D. 若曲线关于直线对称，则 9. 一个封闭的直三棱柱容器内装有高度为3的水(如图所示，底面处于水平状态)．记水面为，，，现以所在直线为旋转轴，将容器逆时针旋转的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 水面形状的变化依次为三角形，等腰梯形，矩形 B. 水面可能是正三角形 C. 当经过时，与面的交线长为 D. 当逆时针旋转时，水面面积为 三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 10. 如图所示，已知在水平放置的的斜二测直观图中，，，若该以为旋转轴，旋转一周，则旋转形成几何体的侧面积为______. 11. 若一次函数满足，则__________. 12. 将一个各棱长都为的正三棱柱铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为__________. 13. 直角梯形中，，，，，点O，E为，的中点，F在边上运动（包含端点），则的取值范围为______. 14. 在中，设角的对边分别是，若，则角B的最大值为__________；则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 已知函数． （1）试判断函数在上的单调性，并用定义法证明； （2）求函数的值域． 16. 已知函数． （1）若，函数都有意义，求实数的取值范围； （2）若函数的值域为，求实数的取值范围； （3）求函数的定义域． 17. 在中，角对边分别为，已知，. （1）求角的值； （2）求最大值； （3）若边上的中线长为，求的面积. 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）若，求实数x的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记，． （1）若，，求向量夹角的余弦值； （2）若向量共线． （ⅰ）求证：是直角三角形； （ⅱ）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一创新班数学周练四(数学) 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析集合的元素特性，求出集合的关系，再结合交集、并集的定义判断即得． 【详解】集合中元素，是奇数， 集合中元素，是整数，因此是的真子集， 则，． 故选：B． 2. 已知平面向量，且，则（ ） A. 9 B. 3 C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积运算律求得，进而求出目标值. 【详解】由，得，由，得 则，而，所以. 故选：C 3. 若，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，利用做差法判断A，B；利用基本不等式判断C；举反例判断D. 【详解】由可得. 对于A，因，则，故得 ，即A正确； 对于B，因，由可得，故B正确； 对于C，因，则故， 当且仅当时等号成立，因，故，则C正确； 对于D，不妨取，显然满足，但，即D错误. 故选：D. 4. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆台体积公式可得其高为，结合圆台的几何性质确定轴截面从而可得外接球半径，即可得所求． 【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为， 设圆台的高为，由体积可得， 解得， 圆台轴截面如下：上底面圆心为，下底面圆心为，设球心在直线上，连接， 设，则， 则该圆台的外接球半径为， 由勾股定理可得：，解得，所以， 则该圆台的外接球表面积为. 故选：C. 5. 定义域为的函数周期为4，且的图象关于轴对称，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用周期性及对数运算性质得，再由对称性得且，结合已知指数函数求函数值. 【详解】由周期性知， 而，则，即， 所以， 由的图象关于轴对称，则. 所以. 故选：A 6. 若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合参数讨论，即可判断最小值，从而可求参数范围. 【详解】当时，单调递增，所以， 当时，， 显然当时，在上单调递增，此时函数没有最小值，不合题意； 当时，函数，存在最小值，符合题意； 当时，在上单调递减，最小值， 在上值域为，要满足函数存在最小值， 则只需要. 综上可得：实数a的取值范围为， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 7. 下列四个结论中，正确的结论是（ ） A. “”的充分不必要条件是“”． B. 若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是 C. 已知，，则的取值范围是 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用集合子集关系判断A，利用存在量词命题为假来求参数范围判断B，利用不等式运算性质来判断C，利用具体函数定义域来判断D． 【详解】对于A，集合是集合的真子集， 则“”是“”的必要不充分条件，A错误； 对于B，由命题“”为假命题，得方程无实根， 则，解得，B正确； 对于C，由，得，则，而， 因此，即，C正确； 对于D，依题意，，解得， 则函数的定义域为D错误. 故选： 8. 设，函数则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为偶函数 B. 若，则的最小值为 C. 若为增函数，则的取值范围为 D. 若曲线关于直线对称，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用偶函数的定义；B通过导函数研究其单调性即可；C根据在上恒成立即可；D先根据求出，再根据检验. 【详解】若，则 ，则，则为偶函数，故A正确； 若，则，令，则， 故 在上单调递增，因时；时， 故函数在上存在唯一的零点，即 ，即， 则得；得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为，故B正确； 若为增函数，则在上恒成立，则在上恒成立，故，故C错误； 若曲线关于直线对称，则，则，得 ， 当时，则， 故关于直线对称，故D正确. 故选：ABD. 9. 一个封闭的直三棱柱容器内装有高度为3的水(如图所示，底面处于水平状态)．记水面为，，，现以所在直线为旋转轴，将容器逆时针旋转的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 水面形状的变化依次为三角形，等腰梯形，矩形 B. 水面可能是正三角形 C. 当经过时，与面交线长为 D. 当逆时针旋转时，水面的面积为 【答案】ABCD 【解析】 【分析】找到临界情况，利用等体积、体积转化，分析此时的情况，逐个选项判断即可. 【详解】A选项，水的体积， ， 所以当水面经过时，水面与棱相交，如图3， 当水面经过点时，水面与面相交，如图4， 则在此之前水面形状均为三角形， 继续旋转直至之前，水面形状为等腰梯形，如图5， 转至时，水面形状为矩形，如图6，故A选项正确； B选项，初始位置，如图1，， 当水面经过时，如图3，此时， 所以，， 所以在转动过程中，存在，使得水面是正三角形，故B选项正确； C选项，如图4，，且由于与相似， 则， ，故C选项正确； D选项，当逆时针旋转时，如图6，， 且由于与相似，则，则， 则水面的面积为，故D选项正确. 三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 10. 如图所示，已知在水平放置的的斜二测直观图中，，，若该以为旋转轴，旋转一周，则旋转形成几何体的侧面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由直观图得到平面图，即可求出所对应的线段，旋转后的图形为圆锥，根据圆锥的侧面积公式计算可得. 【详解】如图， 在中，，，， 所以， 由题意绕所在直线旋转一周后所形成的几何体为圆锥， 圆锥的底面半径，母线， 则圆锥的侧面积为. 故答案为： 11. 若一次函数满足，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据条件，利用待定系数法，求出，即可求解. 【详解】设，则， 所以，解得或， 当时，，此时，， 当时，，此时， 故答案为：或 12. 将一个各棱长都为的正三棱柱铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，球体最大体积时，直径不得超过侧棱，且半径不得超过底面内切圆半径，利用球的体积公式即可求解. 【详解】一个棱长为的正三棱柱，要使制作成球体零件的体积最大， 则球直径不得超过侧棱，即，且半径不得超过底面内切圆半径，即， 综上可得 可能制作的最大零件的体积为. 故答案为： 13. 直角梯形中，，，，，点O，E为，的中点，F在边上运动（包含端点），则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，再利用向量的数量积的坐标运算即可求解. 【详解】建立平面直角坐标系如图， 则，，，， 因为点，为的中点，则，， 可得，，， 又因为点在边上运动(包含端点)，设， 则， 可得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14. 在中，设角的对边分别是，若，则角B的最大值为__________；则的最小值为__________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】第一空，由已知条件结合正弦定理角化边可得，利用余弦定理以及基本不等式化简，即可求得答案.第二空，将变形为，继而利用正弦定理角化边，结合基本不等式以及角B的范围，即可求得答案. 【详解】由题意知，则， 故， 当且仅当时，等号成立， 故角B的最大值为； ， 当且仅当时，等号成立， 由于, 即的最小值为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）试判断函数在上的单调性，并用定义法证明； （2）求函数的值域． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据反比例型函数的单调性可判断出函数在上的单调性，然后任取且，作差，并判断的符号，由此可得出结论； （2）根据（1）中结论结合不等式性质求得函数在区间上的值域. 小问1详解】 函数在上的为增函数，理由如下： 任取且， 则， 因为，则， 可得，即， 故函数在上为增函数. 【小问2详解】 因为，即，则，可得， 所以， 因此函数在区间上的值域为. 16. 已知函数． （1）若，函数都有意义，求实数的取值范围； （2）若函数值域为，求实数的取值范围； （3）求函数的定义域． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意转换为被开方数大于等于0在上恒成立，然后得到参数的不等式，然后换元构造二次函数，由对称得到单调区间，然后求出最大值即可得到参数的取值范围； （2）根据题意转化为能取遍，讨论和，由二次函数开口向上且有零点即可求得参数的取值范围； （3）根据题意转化为求不等式的解集，由判别式可知通过的值与0和的关系讨论分别得到对应不等式的解，即为函数定义域. 【小问1详解】 根据题意得在上恒成立， 即，令， 由此可得在上恒成立， 所以问题可以转换为， 又的对称轴为，所以在单调递减， 所以当且仅当． 综上：的取值范围是． 【小问2详解】 根据题意得能取遍， 当时，，当时，； 当时，有，解得． 综上所述， 【小问3详解】 求函数的定义域等价于求不等式的解集， 当且时，即或时， 方程的根为 分类讨论的临界值为0和 当时，定义域为； 当时，定义域为； 当时，定义域为； 当时，，定义域为． 【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，本题中参数是最高次项系数，对参数的讨论是解决本题的关键.当时，借助一次不等式求解；当，借助二次不等式求解. 17. 在中，角的对边分别为，已知，. （1）求角的值； （2）求的最大值； （3）若边上的中线长为，求的面积. 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，即可求解； （2）根据正弦定理，得到，，化简得到，进而结合正弦函数的性质即可求解； （3）由（1）得到，再由为边上的中线，利用，得到，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理得，所以，所以. 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，由正弦定理得， 可得，， 因为，所以， 则， 又，则， 当，即时，取得最大值为. 【小问3详解】 由题意知：， 由（1）知，即， 因为为边上的中线，所以， 两边平方得， 所以， 联立方程组，解得，所以， 所以的面积. 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）若，求实数x的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）根据的单调性，分类讨论解不等式； （3）先求出的值域，利用换元法得到的值域，根据题意得到两个值域的包含关系从而得到结果. 【小问1详解】 函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得，解得，此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，其定义域为， 显然在，上均单调递减， 且当时，，，，所以， 同理可得当时，， 若，可能满足以下几种情况： ①，解得， ②，解得， ③，解得，显然无解， 综上，实数x的取值范围是 【小问3详解】 由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令，， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得. 所以实数m的取值范围是. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记，． （1）若，，求向量夹角的余弦值； （2）若向量共线． （ⅰ）求证：是直角三角形； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，结合向量的坐标运算求夹角的余弦值； （2）（ⅰ）由向量平行可得，利用三角恒等变换可得，进而分析证明；（ⅱ）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，换元，根据正弦函数、二次函数的性质求取值范围. 【小问1详解】 若，，则，， 可得，，， 则， 所以向量夹角的余弦值为． 【小问2详解】 （ⅰ）若向量共线，且，， 则，即， 可得， 则， 因为，则，可知，， 可得，即，可得， 且，则，可得， 则，所以是直角三角形； （ⅱ）由（ⅰ）可知：， 由正弦定理得： ， 令， 因为，则，， 可得，且， 则， 因为的图象开口向上，对称轴为直线， 可知在区间内单调递增，且，， 可得，所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $