江苏省启东中学创新班2025-2026学年高一上学期数学周考试卷十

高一创新班数学周考十(数学) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知集合，，则    A. B. C. D. 2.命题“，”的否定是    A. ， B. ， C. ， D. ， 3.已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影向量为     A. B. C. D. 4.设A，B，C分别是的三个内角，则    A. B. C. D. 5.如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是(    ) A. 平均数=中位数=众数 B. 众数<中位数<平均数 C. 平均数<众数<中位数 D. 平均数<中位数<众数 6.已知函数，对任意，下列结论成立的是    A. B. C. D. 7.若函数与函数的图象有交点，则实数a的取值范围是    A. B. C. D. 8.已知为函数和图象的三个连续交点，若的面积为，则t的值可以是    A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.现有一个圆锥的底面半径为3，高为9，一个圆柱的底面半径为4，高为6，则     A. 圆柱的体积与圆锥的体积的比值大于4 B. 圆柱的母线长与圆锥的母线长的比值为 C. 圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值小于 D. 圆柱的外接球的体积与圆锥的外接球的体积相等 10.已知函数，则    A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点成中心对称图形 C. 的图象可以由的图象平移得到 D. 的图象与的图象在区间上有唯一公共点 11.已知函数其中e为自然对数的底数，定义函数，则下列说法正确的有(    ) A. 是奇函数 B. C. 若方程有且仅有一个解，则a的取值范围是 D. 若存在，使成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数则          . 13.函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为          . 14.对于任意实数a，b，定义已知实数x，y均大于0，令，则t的最大值为          . 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，且点B在第一象限，点C在第二象限． 如图，当的长为时，求线段BC与所围成的弓形阴影部分面积； 记，，当，点B的横坐标为时，求的值． 16.本小题12分 树人中学为了了解A，B两个校区高一年级学生期中考试的物理成绩百分制，从A，B两个校区各随机抽取了100名学生的物理成绩，将收集到的数据按照分组，绘制成绩频率分布直方图如图： 从A校区全体高一学生中随机选取一名，估计这名学生的成绩不低于60分的概率； 如果把频率视为概率，从A校区全体高一学生中随机选取一名，从B校区全体高一学生中随机选取两名，求这三名学生中至少有一名学生的成绩不低于80分的概率； 根据频率分布直方图，求A校区的中位数和B校区的平均成绩． 17.本小题12分 在四面体中，底面、N、Q分别是、、的中点，点E在线段PC上，且 求证：平面ABC； 若三棱锥的体积为，求平面MAC与平面ACB的夹角的大小． 18.本小题12分 已知函数 求图象的对称轴方程； 若将函数的图象上各点向右平移个单位后得到函数的图象，记函数 ⅰ求的值域； ⅱ若，，求的值． 19.本小题12分 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数的图象恰如其形.牛顿最早研究了函数的图象，所以也称的图象为牛顿三叉戟曲线. 判断在上的单调性，并用定义证明； 已知两个不相等的正数m，n满足：，求证：； 是否存在实数a，b，使得在上的值域是？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一创新班数学周考十(数学) 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知集合，，则    A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题  或  ， 所以  所以   . 2.命题“，”的否定是    A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查含量词的命题的否定，属于基础题. 由存在量词命题的否定可直接得到结果. 【解答】 解：由存在量词命题的否定知：原命题的否定为  ，  . 故选： 3.已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影向量为     A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：， 其中，， 因此：， 在方向上的投影向量为： 4.设A，B，C分别是的三个内角，则    A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查三角形的内角和定理、诱导公式的应用，属于基础题． 利用三角形的内角和定理、诱导公式逐一判断即可. 【解答】 解：角A，B，C是的三个内角，， 对于A，，故A错误； 对于B，   ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选 5.如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是(    ) A. 平均数=中位数=众数 B. 众数<中位数<平均数 C. 平均数<众数<中位数 D. 平均数<中位数<众数 【答案】B  【解析】解：由频率分布直方图知， 数据组成的众数为左起第2个小矩形下底边中点值， 由题意得在该中点值即众数垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于，则众数<中位数， 由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数<平均数， 众数<中位数<平均数． 故选： 6.已知函数，对任意，下列结论成立的是    A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查二次函数的性质、二次函数的性质的应用等基础知识，考查计算能力、化归与转化思想.属于基础题. 通过配方求得的对称轴为，再根据二次函数的单调性即可判断A、B错误. 欲比较，的大小，利用作差法，即比较差与0的大小关系，通过变形即可得出结论. 【解答】 解：， 的对称轴为， 又开口向上， 函数在上单调递减，在上单调递增，故A、B错误; 作差， 即，C正确，D错误. 故选： 7.若函数与函数的图象有交点，则实数a的取值范围是    A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数与方程，属于中档题. 求出函数恒过点，由方程有实数根求出临界情况，结合图象即可求解. 【解答】 解：函数恒过点， 若函数与函数的图象有交点， 则方程有实数根， 即有实数根， 当时，，方程只有一个实数根； 当时，由，解得， 由图象可知，实数 a的取值范围是 . 故选 8.已知为函数和图象的三个连续交点，若的面积为，则t的值可以是    A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：解方程，根据正弦函数性质， 当且仅当或， 情况1：，解得因，舍去， 情况2：，整理得， 即交点的x坐标为， 取连续的三个交点、、， 其中：，，， ， ， ， 即、、， ，故轴，底边AC的长度为，高， 底高， 由得，即， 故，解得或， 即或， 经检验选项中仅对应符合条件. 故选： 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.现有一个圆锥的底面半径为3，高为9，一个圆柱的底面半径为4，高为6，则     A. 圆柱的体积与圆锥的体积的比值大于4 B. 圆柱的母线长与圆锥的母线长的比值为 C. 圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值小于 D. 圆柱的外接球的体积与圆锥的外接球的体积相等 【答案】BCD  【解析】解：对于A选项，圆柱的体积为，圆锥的体积为， 所以，A错； 对于B选项，圆柱的母线长为，圆锥的母线长为， 所以，B对； 对于C选项，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为， 所以， 因为，故，C对； 对于D选项，设圆柱的外接球半径为，则， 设圆锥的外接球半径为，则，解得，故，D对. 故选： 10.已知函数，则    A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点成中心对称图形 C. 的图象可以由的图象平移得到 D. 的图象与的图象在区间上有唯一公共点 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查正切型函数的图象和性质，属于一般题. 对选项逐个判断即可. 【解答】 解：对于A、的最小正周期为，故A正确； 对于B、当时，，故的图象关于点成中心对称图形，故B正确； 对于C、的图象不可以由的图象平移得到，故C错误； 对于D、由图象可知，的图象与的图象在区间上有唯一公共点，故D正确. 故选 11.已知函数其中e为自然对数的底数，定义函数，则下列说法正确的有(    ) A. 是奇函数 B. C. 若方程有且仅有一个解，则a的取值范围是 D. 若存在，使成立，则 【答案】ABD  【解析】解：对于A，因为， 令，定义域为R， 则， 所以是奇函数，故A正确； 对于B，因为， 又因为， 所以 ，故B正确； 对于C，方程  ，即为  ， 作出函数  ，  的图象，如图所示： 由题意可知两函数图象只有一个交点， 由题意知：或， 解得或， 所以实数a的取值范围为故C错误； 对于D，在R上是增函数， 则等价于， 令， 令， 则， 因为存在， 使得成立，所以，故D正确． 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数则          . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数值的求解，属于基础题. 将  代入解析式可得  ，由  可求得结果. 【解答】 解：  ，  . 故答案为： . 13.函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为          . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查正弦型函数的单调性，属于基础题. 由x的范围，得，由正弦函数的单调性得，求得m的范围. 【解答】 解：因为， 所以， 因为在上不单调， 所以， 解得 ，即实数 m的取值范围为 故答案为 14.对于任意实数a，b，定义已知实数x，y均大于0，令，则t的最大值为          . 【答案】2  【解析】解：由题意可知，，实数x，y均大于0， 所以， 因为， 令，，则， 因为，所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当，时，即时，等号成立， 所以t的最大值为 故答案为： 由题意可知，再结合基本不等式即可求解． 本题考查不等式恒成立问题的求解，基本不等式的应用，属中档题． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，且点B在第一象限，点C在第二象限． 如图，当的长为时，求线段BC与所围成的弓形阴影部分面积； 记，，当，点B的横坐标为时，求的值． 【答案】解：设  所对的圆心角为  ，弧长为l，弓形的面积为 因为  ，圆O的半径为  ，所以  ，  ，  ，   ． 设  ，由题知  ， 于是  ，  ，  ． 即  ．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.本小题12分 树人中学为了了解A，B两个校区高一年级学生期中考试的物理成绩百分制，从A，B两个校区各随机抽取了100名学生的物理成绩，将收集到的数据按照分组，绘制成绩频率分布直方图如图： 从A校区全体高一学生中随机选取一名，估计这名学生的成绩不低于60分的概率； 如果把频率视为概率，从A校区全体高一学生中随机选取一名，从B校区全体高一学生中随机选取两名，求这三名学生中至少有一名学生的成绩不低于80分的概率； 根据频率分布直方图，求A校区的中位数和B校区的平均成绩． 【答案】解：从 A 校区抽取的 100 名学生中随机选取一名， 这名学生的成绩不低于 60 分的频率为  ， 利用样本估计总体，频率估计概率， 所以从 A 校区全体高一学生中随机选取一名， 估计这名学生的成绩不低于 60 分的概率为  . 由频率分布直方图可得 A 校区随机选取一名学生， 物理成绩不低于 80 分的概率约为  ， B 校区随机选取一名学生，物理成绩不低于 80 分的概率约为  ， 则这三名学生物理成绩都低于 80 分的概率约为  ， 这三名学生中至少有一名学生成绩不低于 80 分的概率为  ．  A 校区的中位数是  ， B 校区成绩平均数为    【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.本小题12分 在四面体中，底面、N、Q分别是、、的中点，点E在线段PC上，且 求证：平面ABC； 若三棱锥的体积为，求平面MAC与平面ACB的夹角的大小． 【答案】解：证明：取AB的中点为D，在线段AC上取点F，使得，连接EF、FD、  因为，所以， 所以，且 因为Q和D分别为BN和AB的中点，所以，且， 因此且，所以四边形 EQDF是平行四边形， 因此 又因为平面ABC，平面ABC，所以平面 因为，所以因为底面ABC，所以三棱锥的高为， 又因为， 故连接 因为M，D分别是PB，AB的中点， 所以，又因为平面ABC 所以平面ABC 过点D作，垂足为点H，连接MH 因为平面ABC，且平面ABC，所以， 又因为，且， MD，平面MDH，所以平面 又因为平面MDH，所以，又，所以即为二面角的平面角. 因为平面ABC，且平面ABC，所以故为直角三角形. 在中，，所以 所以平面MAC与平面ACB的夹角大小为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.本小题12分 已知函数 求图象的对称轴方程； 若将函数的图象上各点向右平移个单位后得到函数的图象，记函数 ⅰ求的值域； ⅱ若，，求的值． 【答案】解：因为，令，，解得，， 所以图象的对称轴方程是，； 由题知，， 于是 ， ⅰ因为，所以，即的值域是； ⅱ若，即，因为， 所以，所以，， 所以， 即  【解析】本题考查了余弦型函数的对称轴，余弦型函数的值域，两角和与差的正切公式，三角恒等变换，属于中档题. 由题意令，，即可得对称轴方程； 由题意化简可得：，ⅰ直接求解即可；ⅱ由题意可得，根据求得，进而可利用两角和与差的正切公式求解. 19.本小题12分 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数的图象恰如其形.牛顿最早研究了函数的图象，所以也称的图象为牛顿三叉戟曲线. 判断在上的单调性，并用定义证明； 已知两个不相等的正数m，n满足：，求证：； 是否存在实数a，b，使得在上的值域是？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由. 【答案】解：在单调递增，证明如下： ，，且， 有， ，，， ，即， 在单调递增； 证明：由得：， 化简得：， 又，， 而，， ， 不妨设存在满足题意的实数a，b，，或， 当时，在单调递减， 即：即：， ，，矛盾； 当时，可证：在递减， 在上最小值为， 故，， 在上单调递增， ， ，b是在的两根. 由，得， 即：，， 又，，， 综上所述，存在满足题意的正实数：，  【解析】本题考查判断函数的单调性，已知函数的值域求参，属于较难题. 根据函数单调性的定义进行求解; 由得：，得，进而可得结果. 根据已知结合函数的单调性进行求解. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $