精品解析：吉林省长春市朝阳区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷含答案

2025—2026学年度（上学期）期末质量监测·九年级数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 频率就是概率 B. 从1、3、5、7四个数中随机选出一个数为奇数，是必然事件 C. 某同学投中篮球的概率是0.8，则该同学投篮球10次，一定投中8次 D. 口袋中装有1个白球和2个黄球，搅匀后从中随机摸出一个球是白球的概率是0.3 6. 如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形是位似图形，位似中心为原点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某河坝的横截面，若迎水坡的长度为17米，其坡角为，则坝高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为、．则下列结论正确的为（ ） A. B. C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：_________． 10. 一元二次方程的根的判别式的值为______． 11. 某农科院在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子个数 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 发芽种子的个数 187 347 530 733 912 1090 1256 1443 1618 1802 发芽种子的频率 0.935 0.868 0.883 0.916 0.912 0.908 0.897 0.902 0.899 0.901 根据频率的稳定性，可以估计该作物种子发芽的概率为 _________．（精确到0.1） 12. 已知二次函数，当时，函数值的取值范围是_________． 13. 如图，小明打网球时，在距离球网米的位置击球，使球恰好打过网，已知球网高为米，球沿直线前进且落在离网米的位置上，则球拍击球的高度约为 _________米．（精确到米） 14. 如图，在中，点是边的中点，连接、，对角线，交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④四边形与的面积之比为．上述结论中，正确结论的序号是 _________． 三、解答题：本题10小题，共78分． 15. 计算：． 16. 一块矩形绿地的长比宽多，面积是，求该矩形绿地的长． 17. 在做“灯泡亮了”的物理实验时，设计的电路如图所示．实验器材包括电源、一个小灯泡、三个开关、、和导线若干．若从三个开关中随机选择一个闭合后，再从剩余的开关中随机选择一个闭合，用画树状图（或列表）的方法求小灯泡发光的概率． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、B、C、D、E均在格点上．由勾股定理易知，，，． （1）求证：； （2） ． 19. 如图，小周利用测角仪，在教学楼三楼的点处，测得操场旗杆的顶端的仰角为，测得旗杆的底端的俯角为，已知点到地面的距离为，求旗杆的高度．（精确到）【参考数据：，，】 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、均在格点上． 只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使点在格点上． （1）在图①中，是直角三角形，且； （2）在图②中，是钝角三角形，且； （3）在图③中，，且． 21. 一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）求该运动员推铅球的成绩． 22. 【问题背景】（1）如图①，，连接、，求证：． 【问题探究】（2）如图②，，，，连接、，若的延长线经过点，则______；______． 【拓展应用】（3）如图③，在和中，，，与交于点，点在边上．若，，则的长为______． 23. 如图，在中，，，， 在边上，且．点是边上一点，作，使点落在折线上，且点与点在的同侧． （1）线段的长为________； （2）当点在边上时，求证：； （3）当点在边上时，连结，若 是直角三角形，则的长为________； （4）当、将分成一个四边形和两个三角形时，若两个三角形的面积比等于，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点、在该抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连接、． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点在该抛物线上时，求的值及点的坐标； （3）用含的代数式表示点、的坐标分别为、，的值为________； （4）以、为边构造平行四边形．连接、、、，若与面积的和等于面积的一半，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度（上学期）期末质量监测·九年级数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，逐一选项进行判断正误即可． 【详解】解：对于A：最高次数为1，∴不是一元二次方程，不符合题意； 对于B：不是整式方程，∴不是一元二次方程，不符合题意； 对于C：可化为，∴是一元二次方程，符合题意； 对于D：不是方程，缺少等号，∴不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 下列二次根式与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念。关键在于将各选项化简为最简二次根式后，判断其被开方数是否与相同，只有D选项化简后为，符合题意． 同类二次根式需化简后比较被开方数，化简为，与被开方数相同． 【详解】解：∵， ∴与的被开方数均为3， 故与是同类二次根式． 故选：D． 3. 将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的图象的平移法则：上加下减，即可得到答案，熟练掌握二次函数的图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 频率就是概率 B. 从1、3、5、7四个数中随机选出一个数为奇数，是必然事件 C. 某同学投中篮球的概率是0.8，则该同学投篮球10次，一定投中8次 D. 口袋中装有1个白球和2个黄球，搅匀后从中随机摸出一个球是白球的概率是0.3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查概率与频率的区别以及必然事件的概念，区分概率与频率是解题的关键． 根据频率是试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论值；必然事件是指一定发生的事件以及概率的计算公式；来逐一判断选项是否正确即可． 【详解】解：对于A：频率是试验中事件发生的次数与总次数的比值，概率是理论值，两者不一定相等，∴不符合题意； 对于B：∵从1、3、5、7中随机选一个数，其中所有数都是奇数，∴选出的数一定是奇数，是必然事件，∴符合题意； 对于C：概率0.8表示每次投中的可能性，但实际投篮球10次投中的次数不一定是8次，∴不符合题意； 对于D：∵口袋中总球数为3，白球1个，∴摸出白球的概率为，且，∴不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形是位似图形，位似中心为原点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形，根据点和点的坐标可以求出五边形与五边形的位似比，利用位似比求出点的坐标． 【详解】解：点，， ，， 五边形与五边形的位似比是， 点的横坐标是，纵坐标是， 点的坐标是． 故选：A． 7. 如图是某河坝的横截面，若迎水坡的长度为17米，其坡角为，则坝高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解三角形的应用-坡度坡角的问题，理解坡比的含义是解题关键，根据直角三角形的关系可得，代入即可求解． 【详解】解：在中，迎水坡的长度为17米，其坡角为 ∴，即 故选：A ． 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为、．则下列结论正确的为（ ） A. B. C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，根据对称性求出对称轴，根据图象确定的符号，根据对称轴，确定的关系，以及增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为、， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项错误； ∵抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵， ∴，故B选项错误； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；故C选项错误，D选项正确； 故选D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数的计算，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键． 代入特殊角的三角函数值进行计算即可得到最终的结果． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 10. 一元二次方程的根的判别式的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式公式可直接得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式的公式． 11. 某农科院在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子个数 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 发芽种子的个数 187 347 530 733 912 1090 1256 1443 1618 1802 发芽种子的频率 0.935 0.868 0.883 0.916 0.912 0.908 0.897 0.902 0.899 0.901 根据频率的稳定性，可以估计该作物种子发芽的概率为 _________．（精确到0.1） 【答案】0.9 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，根据表格中的数据即可得到答案． 【详解】解：由试验数据可知，当种子个数较大时，发芽种子的频率稳定在0.9附近， ∴估计该作物种子发芽的概率为0.9． 故答案为：0.9． 12. 已知二次函数，当时，函数值的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，结合图象可得函数的最值是解题的关键． 二次函数为顶点式，开口向下，顶点在内，最大值在顶点处取得，然后求出时的值，最小值在左端点处取得，就可得到y的取值范围． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，且开口向下， ∵对称轴在区间内，因此函数在处取得最大值， 当时，； 当时，， ∴当时，函数最小值为， 故当时，函数值取值范围为， 故答案为：． 13. 如图，小明打网球时，在距离球网米的位置击球，使球恰好打过网，已知球网高为米，球沿直线前进且落在离网米的位置上，则球拍击球的高度约为 _________米．（精确到米） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，解决本题的关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ，，， ， ， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，在中，点是边的中点，连接、，对角线，交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④四边形与的面积之比为．上述结论中，正确结论的序号是 _________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，可证明，即，再由直角三角形的性质可判断①；可证明，推出，据此可判断③；由平行四边形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，则，再证明，得到，则，据此可判断④；根据现有条件无法得到，据此可判断②． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵点是边的中点， ∴，故①正确； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形与的面积之比为，故④正确； 根据现有条件无法证明，故②错误； 故答案为：①③④． 三、解答题：本题10小题，共78分． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式等知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先运用完全平方公式计算，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 16. 一块矩形绿地的长比宽多，面积是，求该矩形绿地的长． 【答案】该矩形绿地的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设该矩形绿地的长为，则宽为，根据矩形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设该矩形绿地的长为，则宽为 根据题意，得， 整理得， 解得，（舍）． 答：该矩形绿地的长为． 17. 在做“灯泡亮了”的物理实验时，设计的电路如图所示．实验器材包括电源、一个小灯泡、三个开关、、和导线若干．若从三个开关中随机选择一个闭合后，再从剩余的开关中随机选择一个闭合，用画树状图（或列表）的方法求小灯泡发光的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到小灯泡发光的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中小灯泡发光的结果数有4种（必须闭合，和中有一个闭合）， ∴小灯泡发光的概率为． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、B、C、D、E均在格点上．由勾股定理易知，，，． （1）求证：； （2） ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，求角的正切值，勾股定理，熟知相似三角形的判定定理和锐角三角函数是解题的关键． （1）可证明，据此可证明结论； （2）利用割补法求出的面积，过点B作于点F，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，，，， ∴，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由网格的特点可知， 如图所示，过点B作于点F， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，小周利用测角仪，在教学楼三楼的点处，测得操场旗杆的顶端的仰角为，测得旗杆的底端的俯角为，已知点到地面的距离为，求旗杆的高度．（精确到）【参考数据：，，】 【答案】旗杆的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，可证明四边形是矩形，得到，解求出的长，再解求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴四边形是矩形， ∴ 在中，，， ． 在中，，， ∴， ∴， 答：旗杆的高度约为． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、均在格点上． 只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使点在格点上． （1）在图①中，是直角三角形，且； （2）在图②中，是钝角三角形，且； （3）在图③中，，且． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）图见解析 【解析】 【分析】（1）以为边作一个正方形即可； （2）在（1）基础上，连接对角线，找到中点即可； （3）点B向右五个单位即是点C． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 【点睛】本题考查锐角三角函数，网格作图，平行线分线段成比例以及网格中三角形的高，灵活运用所学知识是解题关键． 21. 一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）求该运动员推铅球的成绩． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数的解析式和实际问题与二次函数图像的关系是解决此题的关键． （1）根据题意知，抛物线顶点坐标为，可设该抛物线对应的函数表达式为，将点A坐标代入即可求出二次函数的解析式， （2）把代入（1）解析式中，即可求出运动员的成绩． 【小问1详解】 解：根据题意知，抛物线顶点坐标为， 可设该抛物线对应的函数表达式为， 将代入，得： ， 解得：． ∴函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得，（舍去）． 答：该运动员推铅球的成绩为． 22. 【问题背景】（1）如图①，，连接、，求证：． 【问题探究】（2）如图②，，，，连接、，若的延长线经过点，则______；______． 【拓展应用】（3）如图③，在和中，，，与交于点，点在边上．若，，则的长为______． 【答案】（1）见解析；（2）；；（3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键： （1）根据相似三角形的性质，得到，，进而得到，即可得证； （2）根据等边对等角，得到，相似三角形的性质，得到，，进而得到，证明，进行求解即可； （3）先证，得出，再证，得到，解直角三角形，得到，进而得到，再证明，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：；45； （3）∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∴，即， 在中，， ∴ ∴， ∵． ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 如图，在中，，，， 在边上，且．点是边上一点，作，使点落在折线上，且点与点在的同侧． （1）线段的长为________； （2）当点在边上时，求证：； （3）当点在边上时，连结，若 是直角三角形，则的长为________； （4）当、将分成一个四边形和两个三角形时，若两个三角形的面积比等于，直接写出的长． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） （4）或． 【解析】 【分析】（1）根据特殊三角函数值反推出，结合，判断出是等腰直角三角形，用勾股定理算出； （2）根据相似三角形的判定定理进行证明； （3）分两类讨论，当时，作，垂足为D，容易证出，利用全等三角形的性质求出的长；当时，可证明此时无法满足，故舍去； （4）分两类讨论，当点在上时，结合（2）的，以及相似三角形的面积比与相似比的关系，求出的长；当点在上时，容易证出，使用相似三角形的性质计算出的长． 【小问1详解】 解：∵，且为锐角， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 由勾股定理得，； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：①当时，如图，作，垂足为D， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴ ∴， ∴； ②当时，如图，作，垂足为F， 与①同理可得，是等腰直角三角形，， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ，与题干矛盾，故舍去； 综上所述，； 【小问4详解】 解： ①当点在边上时，如图，作，垂足为F， 当时，则， 由（2）可知，， ∴， 由（3）可知，，， ∴， 在直角中，， ∴； 当时， 同理，，， ∴， ∴， ∵，无法构成三角形，故舍去； ②当点在边上时， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时， 同理，， ， ∴， ∵，与题设矛盾，故舍去； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，特殊三角函数值，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点、在该抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连接、． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点在该抛物线上时，求的值及点的坐标； （3）用含的代数式表示点、的坐标分别为、，的值为________； （4）以、为边构造平行四边形．连接、、、，若与面积的和等于面积的一半，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2），点坐标为 （3），， （4） 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，抛物线对应的函数表达式为，得到对称轴，再由题意确定，解方程即可得到的值，进而得到点的横坐标，代入函数表达式求出纵坐标即可得到点坐标； （3）由（1）知，抛物线对应的函数表达式为，将、代入函数表达式即可得到纵坐标，从而确定点、的坐标；过点作，如图所，分别求出，得到是等腰直角三角形，即，从而得到的值； （4）根据题意，当与面积的和等于面积的一半，分当点在内部、当点在外部，两种情况讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线（是常数）经过点 ， ， 解得， 该抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线对应的函数表达式为， 抛物线的对称轴为， 点在该抛物线上，且点的横坐标为，点在该抛物线上，且点的横坐标为， ， 解得， 点的横坐标为， 将代入得，则点坐标为； 【小问3详解】 解：由（1）知，抛物线对应的函数表达式为， 当时，，即； 当时，，即； 设直线表达式为， 将、代入可得， ， 消去得到， 点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同， ； 过点作，如图所示： ， ， 则，， 则， 即是等腰直角三角形， ， 则， 故答案为：，，； 【小问4详解】 解：由（3）知，设直线表达式为， 当点在内部时，过点作的垂线，交分别于点、点，如图所示： 在中，， ， ， 则， 将代入，得， 解得， 直线表达式为， 当点在内部时，点在直线下方， 当时，， 对于抛物线，令，得， 解得或， 抛物线开口向上，与轴交点坐标为和， 当时，或， ， ； 设直线表达式为， 将代入，得， 解得， 直线表达式为， 当点在内部时，点在直线上方， 当时，， 对于抛物线，令，得， 解得或， 抛物线开口向上，与轴交点坐标为和， 当时，， ， ； 当点在外部时，如图所示： ，即与面积的和不可能等于面积的一半，此种情况不满足题意，舍去； ， ， 综上所述，若与面积的和等于面积的一半，则的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数综合，综合性强、难度很大，涉及待定系数法其抛物线表达式、抛物线图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、平行四边形性质、一次函数图象与性质、解一元二次方程、由二次函数图象与性质解不等式、三角形面积公式、平行四边形面积公式、不等式组解集求法等知识，熟练掌握二次函数综合问题的求解方法、熟记相关知识点并灵活运用是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $