精品解析：2026年上海市春季招生统一文化考试（春季高考）数学试卷（回忆版）

2026年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试 数学试卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合，，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用子集的定义求解. 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 2. 关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由可得:，解不等式可得其解集. 【详解】由可得:， 解得:， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 3. 已知，，若，则____________. 【答案】2 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为：2. 4. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】根据点到直线的距离公式可得. 故答案为：. 5. 的二项展开式中，的系数为____________. 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式，令，解出，代入即可得到答案. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的系数为. 故答案为：. 6. 若，，且，则的最大值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】由于、为正值，且为定值4，因此可以运用基本不等式先求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：∵，， ∴ ∴，当且仅当时取等号，即，时取等号 故答案为：2． 【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题 7. 在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法. 【答案】6 【解析】 【分析】结合组合知识求解即可. 【详解】由题意，甲一定去，则从剩下的4人中任选2人即可， 则一共有种选法. 故答案为：6. 8. 已知点为抛物线上一点，若点到的焦点的距离是到轴的距离的两倍，则点的横坐标是____________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据条件，利用抛物线的定义得，即可求解. 【详解】因为抛物线的焦点为，准线方程为，设， 由题有，解得， 故答案为：. 9. 已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据复数的几何意义分析求解即可. 【详解】由得复数对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆， 因为表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为1， 则的最小值为， 而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为， 则的最小值为， 又因为的最小值与的最小值相同， 所以，，解得. 故答案为：3. 10. 在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用与表示、 ，再将转化为与的计算，进而求解. 【详解】 , 与所成的夹角为 令，则 当时，的最大值为. 故答案为：. 11. 已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可. 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，代入椭圆中， 得，又，故， 故答案为： 12. 有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转_____________度可使油倒出（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合条件分别表示出，然后在中，由正弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】 设壶嘴最低点，最高点分别是， 图中圆柱轴截面矩形，距离点最近的顶点是点，另外三个顶点分别为， 当水平液面经过点时，可将油倒出， 设倾斜角为，当液面经过点时，， 先考虑液面不超过点，即的情况， 设液面与分别交于点， 设的中点为，过作的垂线，垂足为， 则，，所以， 因为，所以， 因为， 所以， 在中，， 即， 即， 即，所以， 即， 因为，所以至少将油壶倾斜即可将油倒出. 故答案为： 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 13. 下列数列中是等差数列也是等比数列的是（ ） A. 1，，1，，1 B. 1，2，3，4，5 C. 5，5，5，5，5 D. 1，2，3，5，7 【答案】C 【解析】 【分析】设该数列为，由题可得，其中为常数，据此推得，即得该数列为非零常数列，即可判断. 【详解】设该数列为，则该数列满足，其中. 则，因为常数，该式对任意正整数成立，则， 从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意. 故选：C 14. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C. 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 15. 平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先作出两函数在区间上的图象，根据平移对称法，分别算出和时，两函数的函数值，求得对应线段的中点的纵坐标，从而得出需要将两函数图象上下平移的长度，根据平移后对应点的坐标结合各选项逐一判断即得；也可以通过计算两函数的函数值差值等分量，根据该函数的类型结合选项确定答案. 【详解】方法一：依题意，作出函数与在上的图象. 按照平移对称法，当时，，线段中点纵坐标为， 则应将此时的线段沿方向向下平移，的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故排除B项； 当时，，线段中点纵坐标为，则应将此时的线段沿方向向下平移， 的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故可排除C，D两项，A项符合题意. 方法二：根据平移对称法的基本概念，将函数和函数在上的函数值差值等分在轴上下两侧， 等分量为，故在上线性变化，结合选项知，只有选项A符合题意. 故选：A. 16. 对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（ ） A. 若和都有最小值，则有最低点； B. 若有最低点，则和都有最小值； C. 若或有最小值，则有最低点； D. 若有最低点，则或有最小值. 【答案】D 【解析】 【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得或，再分类讨论即可. 【详解】对于A项，取，，取，， 则，；而无最低点，故A错误； 对于B项，取，，取，， 则无最小值，；而有最低点，故B错误； 对于C项，取，，取，， 则无最小值，； 因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误； 对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且， 所以或， 若，则且对任意的，总有，即； 若，同理可知； 所以若有最低点，则或有最小值，故D正确. 故选：D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 8 45 10 55 6 50 （1）现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ （2）该兴趣班150人的平均年龄是多少？ （3）现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由. 【答案】（1）9； （2）； （3）不相互独立，理由如下： 由题可得，，， 注意到，则事件A与事件B不相互独立. 【解析】 【分析】（1）由题意，计算年龄段占总体比例，据此可得答案. （2）利用年龄区间中点作为该区间年龄平均值，再由各年龄段人数占总体比例可得答案； （3）验证，是否等于可得答案. 【小问1详解】 年龄段占总体比例为： ，则抽取人数为：； 【小问2详解】 由题可得人的平均年龄为：； 【小问3详解】 事件A与事件B不相互独立，理由略. 18. 如图所示正四棱台，其中，. （1）当时，求和平面所成角； （2）证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 【答案】（1） （2） 连接、交于,连接、交于, 如图,上下底面为正方形,由正棱台性质,可得,且, 所以四边形为平行四边形,所以， 因为平面,平面，所以平面. 体积为 【解析】 【分析】（1）作到下底面的垂线，确定线面角的平面角，再通过边长计算该角的大小. （2）连接上下底面对角线的交点，利用正棱台性质证得线线平行，进而证明线面平行；利用线面垂直将三棱锥拆分为两个小棱锥，结合棱台的高计算其体积. 【小问1详解】 过作平面ABCD于,连接， 过分别作于于,连接, 如图为在平面上的投影, 由于平面，所以， 由于平面， 所以平面.由于平面，所以. 所以,同理,,四边形为正方形, 所以，为在平面上的投影, 又因平面平面, 所以和平面所成角即，, 故和平面所成角为. 【小问2详解】 由正棱台性质,与上下底面均垂直,则， 因为，平面， 所以平面,所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和, 即: 19. 已知函数. （1）当，，求函数在处的切线方程； （2）若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或， 【解析】 【分析】（1）根据以及可得，即可求导以及点斜式求解直线方程， （2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可分类讨论求解. 【小问1详解】 当时，则， 根据可得，故，故， 由于，故，故， ，则， 故函数在处的切线方程为，故， 【小问2详解】 函数的最小正周期为，故，所以， 令，当，则， 令，则或， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，无解， 综上可得或. 20. 已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. （1）求双曲线离心率； （2）若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； （3）若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出，直接利用公式即可求解； （2）根据中点坐标公式求出点，将点坐标代入双曲线方程求出，再利用斜率公式即可求出答案； （3）设直线方程为，联立求出，由题意得且，再根据求出，结合且可求出答案. 【小问1详解】 对于双曲线，，， ， 所以双曲线离心率. 【小问2详解】 因为点是的中点，所以点， 代入双曲线方程，得， 解得， 又点在双曲线的右支上，所以，即， 所以， 所以直线的斜率为. 【小问3详解】 当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 21. 设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. （1）判断函数是否具有“性质”； （2）若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； （3）已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【答案】（1）没有，理由如下： 例如当时，显然成立， ，根据指数函数的单调性可知， 所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”； （2） （3）证明：充分性：若具有“性质”，则是偶函数. 若存在，，不妨设， 记，即， 因为函数的值域为， 所以， 若，则有， 若，则有， 故对任意，，这与的值域为矛盾， 所以不成立，则有，因此函数是偶函数； 必要性：若是偶函数，则具有“性质”. 当时，因为在上是严格增函数， 所以， 又因为函数是偶函数， 所以由，因此具有“性质”. 所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【解析】 【分析】（1）运用特例法，结合指数函数的单调性进行判断即可； （2）根据一次函数的单调性，结合“性质”的特性进行求解即可； （3）根据充要条件的定义，结合偶函数的性质、“性质”的特性进行运算证明即可. 【小问1详解】 函数不具有“性质”，理由略； 【小问2详解】 因为函数具有“性质”，所以取，有， 于是有， 当时，由， 当时，由， 若，若，则有， 取， 此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意， 故，此时， 若时，则， 由， 若时，则， 由， 因此， 综上所述：当且仅当时，满足条件； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试 数学试卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合，，若，则____________. 2. 关于的不等式的解集为____________. 3. 已知，，若，则____________. 4. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 5. 的二项展开式中，的系数为____________. 6. 若，，且，则的最大值是______． 7. 在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法. 8. 已知点为抛物线上一点，若点到的焦点的距离是到轴的距离的两倍，则点的横坐标是____________. 9. 已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________. 10. 在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 11. 已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 12. 有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转_____________度可使油倒出（精确到） 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 13. 下列数列中是等差数列也是等比数列的是（ ） A. 1，，1，，1 B. 1，2，3，4，5 C. 5，5，5，5，5 D. 1，2，3，5，7 14. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（ ） A. B. C. D. 16. 对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（ ） A. 若和都有最小值，则有最低点； B. 若有最低点，则和都有最小值； C. 若或有最小值，则有最低点； D. 若有最低点，则或有最小值. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 8 45 10 55 6 50 （1）现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ （2）该兴趣班150人的平均年龄是多少？ （3）现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由. 18. 如图所示正四棱台，其中，. （1）当时，求和平面所成角； （2）证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 19. 已知函数. （1）当，，求函数在处的切线方程； （2）若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 20. 已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. （1）求双曲线离心率； （2）若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； （3）若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 21. 设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. （1）判断函数是否具有“性质”； （2）若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； （3）已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $