精品解析：山西省晋中市介休市第一中学校2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

介休一中2025-2026学年高二上学期12月考试 数学试题 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数导函数为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知等差数列的前项和为，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在等比数列中，，是方程的根，则（ ） A B. 2 C. D. 1 4. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 5. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） A. 椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 抛物线上 D. 圆上 7. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A. B. C. D. 8. 已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（ ） A. q＝1 B. 数列{Sn+2}是等比数列 C. S8＝510 D. 数列{lgan}是公差为2的等差数列 10. 已知等比数列的前项和，数列的前项积为，则（ ） A. B. C. D. 数列是等差数列 11. 已知数列满足，（），则下列结论正确的有（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前项和 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等差数列中，为其前项的和．若，，则_______． 13 已知且．对于求_______． 14. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④、图⑤中图形的周长依次记为，，，，则________，并计算前5个图案的周长之和 = ________． 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求这个函数的导数； （2）求曲线在点处的切线方程. 16. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由． 17. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 18. 如图，在四面体中，平面平面，，，， （1）求四面体的体积； （2）求二面角的平面角的正切值． 19. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），． （1）当时，试确定使得需要多少步雹程； （2）若，求m所有可能的取值集合M． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 介休一中2025-2026学年高二上学期12月考试 数学试题 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的导函数为，则（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求导可得，然后代入计算即可得到结果. 【详解】因为，则，则. 故选：D 2. 已知等差数列的前项和为，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列性质即可. 【详解】由题可知， 所以. 故选：B 3. 在等比数列中，，是方程的根，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，结合等比数列的性质即可求得. 【详解】因为，是方程的根，所以，，所以，； 设等比数列的公比为，则，所以，解得； 又，所以，所以. 故选：C 4. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解： 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A. 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：. 5. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可求其焦点坐标. 【详解】由可得， 所以抛物线开口向上且， 所以，所以焦点坐标为. 故选：C. 6. 与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） A. 椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 抛物线上 D. 圆上 【答案】B 【解析】 【分析】求得动圆的圆心所满足的几何条件，由双曲线的定义可求解. 【详解】设动圆的圆心为，半径为， 由，可得圆心，半径， 由，可得圆心为，半径 由题意可得，消去可得， 所以动圆的圆心是双曲线靠近的一支曲线. 故选：B. 7. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率. 【详解】因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c, 由斜率为得，， 由正弦定理得, 所以， 故选：D. 8. 已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答. 【详解】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为， 则， 因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，， ， 所以. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（ ） A. q＝1 B. 数列{Sn+2}是等比数列 C. S8＝510 D. 数列{lgan}是公差为2的等差数列 【答案】BC 【解析】 【分析】 先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，可得到等比数列{an}的通项公式和前n项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项． 【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得 a2a3＝a1a4＝32＞0，a2+a3＝12＞0， 故a2＞0，a3＞0． 根据根与系数的关系，可知 a2，a3是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根． 解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4． 故必有公比q＞0， ∴a10． ∵等比数列{an}是递增数列，∴q＞1． ∴a2＝4，a3＝8满足题意． ∴q＝2，a12．故选项A不正确． an＝a1•qn﹣1＝2n． ∵Sn2n+1﹣2． ∴Sn+2＝2n+1＝4•2n﹣1． ∴数列{Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B正确． S8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C正确． ∵lgan＝lg2n＝n． ∴数列{lgan}是公差为1的等差数列．故选项D不正确． 故选：BC 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 10. 已知等比数列的前项和，数列的前项积为，则（ ） A. B. C. D. 数列是等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据之间的关系，结合等比数列的定义、等差数列的定义和前项和公式逐一判断即可. 【详解】对于A：由， 由，因为是等比数列，所以有，因此本选项正确； 对于B：由上可知：，所以本选项不正确； 对于C：，所以本选项正确； 对于D：因为常数 ， 所以数列不是等差数列，因此本选项不正确， 故选：AC 11. 已知数列满足，（），则下列结论正确的有（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前项和 【答案】AB 【解析】 【分析】将给定的递推公式两边取倒数，构造等比数列，求出通项并逐项判断作答. 【详解】∵，∴， ∴，又， ∴是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确； 所以，则， ∴，故B正确； 因为，所以为递减数列， 故C错误； 数列的前n项和 ，故D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等差数列中，为其前项和．若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的性质也成等差数列即可求得. 【详解】由等差数列的性质可知，数列成等差数列， 且公差， ∴，即， 则，则. 故答案为：72. 13. 已知且．对于求_______． 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列定义得其首项为，公比为的等比数列，再根据等比数列前项和公式求得结果. 【详解】由于，是不为的常数，且， 则数列，，，，为首项为，公比为，项数为的等比数列， 即有． 故答案为：. 14. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④、图⑤中图形的周长依次记为，，，，则________，并计算前5个图案的周长之和 = ________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】观察图形可知周长形成的数列是首项，公比为的等比数列，即可求解作答. 【详解】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列， 从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的倍，边长是相邻前一个图形的， 因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有， 因此数列是首项，公比为的等比数列，则， 故；前个图案的周长之和为. 故答案为：；. 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求这个函数的导数； （2）求曲线在点处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数乘法公式可得答案； （2）由题可得切线斜率，然后利用点斜式可得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由（1），，又， 则切线方程满足. 16. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）是数列的第8项． 【解析】 【分析】（1）是一个确定的数列，只要把，表示为中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式； （2）设中的第n项是中的第项，根据条件可以求出n与的关系式，由此即可判断是否为的项． 【小问1详解】 设数列的公差为． 由题意可知，，，于是． 因为，所以，所以． 所以． 所以数列的通项公式是． 【小问2详解】 数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则． 令，解得． 所以是数列的第8项． 17. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，可得，可得①， 由可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以，. 【小问2详解】 因为，则， 所以，， ， 上式下式得 ， 因此，. 18. 如图，在四面体中，平面平面，，，， （1）求四面体的体积； （2）求二面角的平面角的正切值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）法一：过作，由面面的性质得是四面体的面上的高；设为边的中点得，计算可得与的长，进而可得，由棱锥体积公式即可得；法二：首先建立坐标系，根据题意，设是的中点，过作交与，过作交与，易知，因此以为原点，射线为轴，建立空间坐标系，进而可得的坐标；从而得边的高即棱住的高与底面的面积，可得答案； （2）法一：过作垂足为，连接，分析可得为二面角的平面角，计算可得的长，由（1）中的值，结合正切的定义即可得；法二：设是平面的法向量，由（1）易得向量的坐标，同时易得是平面的法向量，由向量的夹角公式可得从而，进而由同角三角函数的基本关系，可得． 【小问1详解】 法一：如图，过作，垂足为， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，即是四面体的面上的高； 设为边的中点，由，得，则， 由，得； 在中，，， 故四面体的体积； 法二：如图，设是的中点， 在平面内过作交与， 在平面内过作交与， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则， 以为原点，以射线为轴，建立空间坐标系， 已知，故的坐标分别为， 设，而，，有，得或（舍），则， 设，而，有，得或（舍），则， 从而边的高为，又， 故四面体的体积； 小问2详解】 法一：如图，过作，垂足为，连接， 由（1）知平面，由三垂线定理可得，故为二面角的平面角， 在中，， 在中，，从而，可得， 在中，， 则二面角的平面角的正切值为； 法二：由（1）知， 设是平面的法向量，则，取，则， 显然是平面的法向量，从而， 所以，则二面角的平面角的正切值为. 19. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），． （1）当时，试确定使得需要多少步雹程； （2）若，求m所有可能的取值集合M． 【答案】（1）12；（2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用递推关系逐步计算可得使得需要多少步雹程； （2）由，利用递推关系，分类讨论逆推出的不同取值，进而可得答案. 【详解】当时，即根据上述运算法得出： 故当时，使得需要12步雹程； （2）若， 根据上述运算法进行逆推， 或； 若，则或； 当时，或； 若时，或； 当，则或； 当时，； 当时，， 故所有可能的取值集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $