第22章二次函数易错题集2025-2026学年人教版数学九年级上册

第22章二次函数易错题集2025-2026学年人教版数学九年级上册 一、单选题 1．已知抛物线，则该抛物线的对称轴为（    ） A．轴 B．直线 C．直线 D．直线 2．已知函数y=（m﹣2）x|m|+mx﹣1，其图象是抛物线，则m的取值是（　　） A．m=2 B．m=﹣2 C．m=±2 D．m≠0 3．把抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 4．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ） A．y=（x+1）2+4 B．y=（x﹣1）2+4 C．y=（x+1）2+2 D．y=（x﹣1）2+2 5．若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．根据下列表格对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 ax2+bx+c ﹣0.05 ﹣0.02 0.01 0.03 0.45 判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（　　） A．3.23＜x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．3.26＜x＜3.27 9．把二次函数 的值恒为正，则a,b,c应满足（ ） A． B． C． D． 10．抛物线 的部分图像如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是．下列结论中： ①； ②； ③方程 有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为；⑤若点在该抛物线上，则 ．其中正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 11．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为(    )    A． B． C． D． 12．如图，在矩形中，，．点P从点A出发，以的速度在矩形的边上沿运动，点与点重合时停止运动．设运动的时间为t（单位：），的面积为S（单位：），则S随t变化的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 13．如图，将抛物线沿着对称轴向下平移1个单位得到抛物线．若部分曲线扫过的面积为3（图中的阴影部分），则抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 14．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数 y=x（x≥0）与 y= x（x≥0）的图象于 B，C两点，过点C作y轴的平行线交y=x（x≥0）的图象于点D，直线DE∥AC交 y=x（x≥0）的图象于点E，则=（    ） A． B．1 C． D．3﹣ 二、填空题 15．抛物线y＝x2＋4x＋3的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 16．已知抛物线 y= -x2+ mx +2m ，当-1 ≤ x ≤ 2时，对应的函数值y的最大值是6，则 m的值是 ． 17．已知函数，当 时，函数随增大而减小. 18．抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是 19．函数y＝ax2﹣2x+2，若对满足3＜x＜4的任意实数x都有y＞0成立，则实数a的取值范围为 ． 20．如图，抛物线与直线交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式的解集是 ．    21．如图所示的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取A为坐标原点时的抛物线的表达式是y＝－ (x－6)2＋4，则选取B为坐标原点时的抛物线的表达式是 ．    三、解答题 22．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m. (1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围． (2)若这个函数是一次函数，求m的值． (3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？ 23．已知二次函数（，b是实数）图象经过四点：，，，． (1)求二次函数的表达式； (2)已知时，y随x的增大而减小，求的最大值． 24．毛泽东故居景区有一店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于30元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 25．乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 26．某水果超市以每斤3元的价格购进苹果若干斤，然后以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种苹果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出10斤． (1)若将苹果每斤的售价降低元，则每天的销售量是______斤（用含的代数式表示）； (2)销售这批苹果要想每天盈利216元，且保证每天至少售出160斤，那么水果超市需将每斤的售价降低多少元？ (3)当每斤苹果售价为多少元时，才能在一天内获得最大利润？最大利润是多少？ 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，已知点坐标，点是直线上方的抛物线上一动点（不与点重合）过作轴的平行线交直线于点，连接． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）当面积最大时，求点的坐标以及最大面积． 28．如图，在四边形OABC中，OA∥BC，∠OAB=90°，O为原点，点C的坐标为（2，8），点A的坐标为（26，0），点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC向点C运动，点E同时从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线OAB运动，当点E达到点B时，点D也停止运动，从运动开始，设D（E）点运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，四边形ABDE是矩形； （2）当t为何值时，DE=CO？ （3）连接AD，记△ADE的面积为S，求S与t的函数关系式． 29．如图，抛物线y=ax2+4x+c与x轴交于A、B两点，交y轴交于点C，直线y=-x+5经过点B、C． （1）求抛物线的表达式； （2）点D（1，0），点P为对称轴上一动点，连接BP、CP． ①若∠CPB=90°，求点P的坐标； ②点Q为抛物线上一动点，若以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章二次函数易错题集2025-2026学年人教版数学九年级上册 答案解析 一、单选题 1．已知抛物线，则该抛物线的对称轴为（    ） A．轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题主要考查对抛物线顶点式的理解，掌握抛物线顶点式是解答的关键． 二次函数的对称轴为直线，据此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线． 故选：B． 2．已知函数y=（m﹣2）x|m|+mx﹣1，其图象是抛物线，则m的取值是（　　） A．m=2 B．m=﹣2 C．m=±2 D．m≠0 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义进行判断即可. 【详解】解：由题意得：，且m-2≠0， 解得：m=-2， 故选B. 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，其一般形式为：（a≠0）. 3．把抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的平移问题，熟练掌握平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．按照“上加下减，左加右减”的规律解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，得 再向上平移5个单位得到的抛物线是． 故选：A． 4．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ） A．y=（x+1）2+4 B．y=（x﹣1）2+4 C．y=（x+1）2+2 D．y=（x﹣1）2+2 【答案】D 【详解】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可得：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2． 故选：D． 5．若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间． 解答：解：∵二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1， ∴该二次函数的开口方向是向上； 又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，-1）， ∴该二次函数图象在x＜m上是减函数，即y随x的增大而减小，且对称轴为直线x=m， 而已知中当x≤1时，y随x的增大而减小， ∴x≤1， ∴m≥1． 故选C． 6．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴时，随的增大而增大， ∵的对称点为，且， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点的理解和掌握，熟练运用二次函数的性质进行推理是解决本题的关键． 7．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象问题，求出交点坐标是解题的关键．先求出一次函数与轴交点排除A和D，再求出一次函数与二次函数的交点坐标排除B，最后得到正确答案． 【详解】解：令解得： 一次函数与轴交点为， 排除A和D， 令，解得， 二次函数与轴交点为和， 一次函数与二次函数的交点为， 排除B， 故选：C． 8．根据下列表格对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 ax2+bx+c ﹣0.05 ﹣0.02 0.01 0.03 0.45 判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（　　） A．3.23＜x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．3.26＜x＜3.27 【答案】B 【分析】由于x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.01，则在3.24和3.25之间有一个值能使ax2+bx+c的值为0，据此即可判断． 【详解】∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.01， ∴方程ax2+bx+c＝0一个解x的范围为3.24＜x＜3.25． 故选：B． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 9．把二次函数 的值恒为正，则a,b,c应满足（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意画出相应的图形，如图所示： 由二次函数y=ax2+bx+c的值恒为正，根据图形可得出抛物线开口向上，且与x轴没有交点， 则a，b，c应满足a＞0，b2-4ac＜0． 故选B 10．抛物线 的部分图像如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是．下列结论中： ①； ②； ③方程 有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为；⑤若点在该抛物线上，则 ．其中正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程关系等知识．根据抛物线开口向下，得到根据抛物线对称轴得到，根据抛物线与y轴交点位于y轴正半轴，得到，即可得到，故①错误；根据抛物线对称轴，即可得到，，故②正确；根据抛物线与直线有两个交点，得到方程 有两个不相等的实数根，故③正确；设另一个交点为，根据抛物线对称轴，与x轴的一个交点坐标为，即可得到，求出，故④正确；根据抛物线开口向下，对称轴为，得到当时，y有最大值，即可得到点在该抛物线上，则 ，故⑤正确．问题得解 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴， ∴异号， ∴， 由图象得抛物线与y轴交点位于y轴正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线对称轴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 由图象可得，抛物线与直线有两个交点， ∴方程 有两个不相等的实数根，故③正确； 设另一个交点为， ∵抛物线对称轴，与x轴的一个交点坐标为， ∴， ∴， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，故④正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y有最大值， ∴点在该抛物线上，则 ，故⑤正确． 故选：B 11．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设抛物线解析式为y=ax2，由已知可得点B坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可. 【详解】∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系， ∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)， ∴-78=452a， 解得：a=， ∴此抛物线钢拱的函数表达式为， 故选B. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 12．如图，在矩形中，，．点P从点A出发，以的速度在矩形的边上沿运动，点与点重合时停止运动．设运动的时间为t（单位：），的面积为S（单位：），则S随t变化的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数的图象，体现了分类讨论的数学思想，解题的关键是当点P在线段，，上运动，分别计算出的面积S的函数表达式．分三段，即点P在线段，，上运动，分别计算的面积S的函数表达式，即可作出判断． 【详解】当点在线段上运动时，，，是正比例函数，排除A选项； 当点在线段上运动时，； 当点在线段上运动时，，，是一次函数的图象，排除C，D选项； 故选：B． 13．如图，将抛物线沿着对称轴向下平移1个单位得到抛物线．若部分曲线扫过的面积为3（图中的阴影部分），则抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据 求出对称轴，便可知道到y轴的距离，阴影部分的面积是一个平行四边形面积，y 是y 向下平移一个单位，故知道平行四边形的底为1，高为 对称轴到y轴的距离，根据题意便可求出m的值，从而求解． 【详解】解：由知： 对称轴为： 故到ｙ轴的距离为ｍ y 是y 向下平移一个单位，故知道图中阴影部分的面积为平行四边形 平行四边形的底为1，高为ｍ 即： 故选D 【点睛】本题考查二次函数的平移知识，以及与几何图形的综合，属于拔高题． 14．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数 y=x（x≥0）与 y= x（x≥0）的图象于 B，C两点，过点C作y轴的平行线交y=x（x≥0）的图象于点D，直线DE∥AC交 y=x（x≥0）的图象于点E，则=（    ） A． B．1 C． D．3﹣ 【答案】D 【分析】设点A的纵坐标为b, 可得点B的坐标为(,b), 同理可得点C的坐标为(b,b)， D点坐标（，3b），E点坐标(,3b)，可得的值. 【详解】解:设点A的纵坐标为b, 因为点B在的图象上, 所以其横坐标满足=b, 根据图象可知点B的坐标为(,b), 同理可得点C的坐标为(,b), 所以点D的横坐标为,因为点D在的图象上, 故可得 y==3b，所以点E的纵坐标为3b, 因为点E在的图象上, =3b， 因为点E在第一象限, 可得E点坐标为(,3b), 故DE==,AB= 所以= 故选D. 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质. 二、填空题 15．抛物线y＝x2＋4x＋3的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】化为抛物线的顶点式解析式可以确定其顶点的坐标，对称轴及增减性． 【详解】解：抛物线， ∴对称轴是直线，顶点坐标为． 故答案为：，． 【点睛】此题考查二次函数的性质，把函数一般形式化为顶点式是解决问题的关键． 16．已知抛物线 y= -x2+ mx +2m ，当-1 ≤ x ≤ 2时，对应的函数值y的最大值是6，则 m的值是 ． 【答案】 【分析】求出抛物线的对称轴，分，，三种情况进行讨论即可． 【详解】抛物线开口向下，对称轴为直线x= ①当时，即m< -2时，x=-1时，y最大=-1+m=6，解得m=7（舍）； ②当时，即时，x=时，y最大=，解得，（舍）； ③当时，即时，x=2时，y最大=，解得m=（舍）. 综上所述： 故答案为． 【点睛】考查二次函数的图象与性质，注意分类讨论，不要漏解． 17．已知函数，当 时，函数随增大而减小. 【答案】 【分析】先求出抛物线的对称轴，再结合开口方向，按照抛物线的增减性判断即可 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 因为抛物线的a=－1， 所以抛物线开口向下， 所以当时，函数y随x 的增大而减小. 故答案为. 【点睛】本题考查了抛物线的性质，属于基础题目，抛物线的增减性要结合抛物线的开口方向和对称轴来判断. 18．抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是 【答案】，. 【分析】由题意可得关于a、b、c的方程组，解方程组用含a的式子表示出b、c，然后把b、c代入到一元二次方程组进行求解即可得. 【详解】依题意，得：， 解得：， 所以，关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx为：， 即：， 化为：， 解得：，， 故答案为，. 【点睛】本题考查了抛物线上点的坐标特征，解方程组，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式，得到用含a的式子表示出b和c是解题的关键. 19．函数y＝ax2﹣2x+2，若对满足3＜x＜4的任意实数x都有y＞0成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】a> 【分析】由题意可得ax2﹣2x+2＞0，即为 对3＜x＜4成立，求得右边函数的取值范围，即可得到所求a的范围． 【详解】若对满足3＜x＜4的任意实数x都有y＞0成立， 即有ax2﹣2x+2＞0，即为 对3＜x＜4成立， 由函数y＝在内y随x的增大而增大， 即有x＝3，可得， 即有， 故答案为． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，注意运用讨论二次项的系数和参数分离，考查运算能力，属于中档题． 20．如图，抛物线与直线交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式的解集是 ．    【答案】或． 【分析】由可变形为，即比较抛物线与直线之间关系，而直线PQ：与直线AB：关于与y轴对称，由此可知抛物线与直线交于，两点，再观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴，， ∴抛物线与直线交于，两点， 观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，    ∴不等式的解集为或． 故答案为或． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 21．如图所示的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取A为坐标原点时的抛物线的表达式是y＝－ (x－6)2＋4，则选取B为坐标原点时的抛物线的表达式是 ．    【答案】y＝－ (x＋6)2＋4 【分析】选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位；原抛物线的顶点为（6，4），根据平移的性质，平移后的抛物线的顶点为（-6 ，4），即选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是． 【详解】如图，当以B为坐标原点时，点A，B的坐标分别是(－12，0)，(0，0)，可知此时的抛物线可以看作是将以A为坐标原点的抛物线向左平移12个单位所得．根据平面直角坐标系中抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可知，以B为坐标原点的抛物线的函数表达式是y＝－ (x＋6)2＋4．    【点睛】本题考查了二次函数的实际应用-拱桥问题，和图像的平移问题，平移规律是“左加右减，上加下减”，且平移过程中开口大小不变，即a的值没有发生改变． 三、解答题 22．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m. (1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围． (2)若这个函数是一次函数，求m的值． (3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？ 【答案】(1). m≠0且m≠1.(2). m＝0.(3). 不可能 【详解】试题分析：（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案； （2）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项不等于0，是一次函数，可得答案； （3）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项等于0，可得正比例函数． 试题解析： (1)∵这个函数是二次函数， ∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0， ∴m≠0且m≠1.(2)∵这个函数是一次函数， ∴∴m＝0.(3)不可能．∵当m＝0时，y＝－x＋2， ∴不可能是正比例函数． 23．已知二次函数（，b是实数）图象经过四点：，，，． (1)求二次函数的表达式； (2)已知时，y随x的增大而减小，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，解不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法解二次函数的解析式，可求得的值，进而求得二次函数的表达式； （2）由得开口方向向上，且对称轴为直线，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，列式，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，图象经过点，， 将其代入得， ， 解得：，． 故二次函数的表达式为． 答：二次函数的表达式为． （2）解：二次函数的表达式为， ∴二次函数开口方向向上，且对称轴为直线， ∵时，y随x的增大而减小， ∴， 即， ∴的最大值． 答：的最大值为． 24．毛泽东故居景区有一店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于30元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)，当每件售价为25元时，每天销售利润最大，最大利润为225元 【分析】本题为二次函数与一次函数综合应用问题，考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的实际应用等知识． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据“总利润单件利润件数”列出二次函数关系式，再根据二次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为, 由题意得， 解得， ∴与之间的函数关系式为， 由题意得， ∴自变量的取值范围为， （2）解：由题意得， ∵，， ∴当时，W有最大值，最大值为225． 答：当每件售价为25元时，每天销售利润最大，最大利润为225元． 25．乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 【答案】(1) (2)横梁PQ的长度是9米 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，已知函数值求自变量， 对于（1），根据矩形的性质及已知条件得顶点E的坐标，可设抛物线的函数表达式为，再将点代入函数表达式可得答案； 对于（2），令，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，米， ∴点（米）. 根据题意得，顶点E的坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为：， 把点代入函数表达式可得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：由题意知，点P的纵坐标为， 当时，， 解得，， ∴， ∴横梁的长度是9米． 26．某水果超市以每斤3元的价格购进苹果若干斤，然后以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种苹果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出10斤． (1)若将苹果每斤的售价降低元，则每天的销售量是______斤（用含的代数式表示）； (2)销售这批苹果要想每天盈利216元，且保证每天至少售出160斤，那么水果超市需将每斤的售价降低多少元？ (3)当每斤苹果售价为多少元时，才能在一天内获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)水果超市需将每斤的售价降低0.8元 (3)当每斤苹果售价为4.5元时，才能在一天内获得最大，最大利润是225元 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，明确利润、销售量、售价之间的关系是解题的关键． （1）依据题意，利用每天的销售量降低的价格，即可用含x的代数式表示出每天的销售量； （2）依据题意，利用每天销售苹果的利润每斤的销售利润每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要保证每天至少售出160斤，即可确定x的值，进而可得出每斤的售价降低的钱数； （3）依据题意，根据销售量x每斤利润总利润列出函数解析式求解，即可判断得解 【详解】（1）解：（斤）； （2）根据题意得：，解得：，， 当时，销售量是； 当时，销售量是； ， 答：水果超市需将每斤的售价降低0.8元； （3）设每斤的售价降低元，每天获利为元， 根据题意得：， 当时，有最大值，最大值为225元，售价为元． 答：当每斤苹果售价为4.5元时，才能在一天内获得最大，最大利润是225元． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，已知点坐标，点是直线上方的抛物线上一动点（不与点重合）过作轴的平行线交直线于点，连接． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）当面积最大时，求点的坐标以及最大面积． 【答案】（1），B的坐标为；（2）点的坐标为，面积的最大值为． 【分析】（1）先求出抛物线与x轴交点A的坐标，再将A点坐标代入 ，利用待定系数法求出直线的解析式为，与抛物线的解析式联立，解方程组，即可求得B点的坐标； （2）设P（x，），则C（x， ），则PC=-x2-4x+5，利用三角形面积公式得到S△APB=PC•|xA-xB|=（-x2-4x+5）×（1+5），然后利用二次函数的性质解决问题． 【详解】解：点的坐标为，将代入， 得， 解得， 直线的解析式为 由 解得， 的坐标为 设，则， ， 当时，面积最大，最大值为， 此时点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法求直线的解析式，函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，三角形的面积，难度适中． 28．如图，在四边形OABC中，OA∥BC，∠OAB=90°，O为原点，点C的坐标为（2，8），点A的坐标为（26，0），点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC向点C运动，点E同时从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线OAB运动，当点E达到点B时，点D也停止运动，从运动开始，设D（E）点运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，四边形ABDE是矩形； （2）当t为何值时，DE=CO？ （3）连接AD，记△ADE的面积为S，求S与t的函数关系式． 【答案】（1）t=；（2）t=6s或7s；（3）当点E在OA上时， ,当点E在OAAB上时， . 【分析】（1）根据矩形的判定定理列出关系式，计算即可； （2）根据平行四边形的判定定理和性质定理解答； （3）分点E在OA上和点E在AB上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）∵点C的坐标为（2，8），点A的坐标为（26，0）， ∴OA=26，BC=24，AB=8， ∵D（E）点运动的时间为t秒， ∴BD=t，OE=3t， 当BD=AE时，四边形ABDE是矩形， 即t=26-3t， 解得，t=； （2）当CD=OE时，四边形OEDC为平行四边形，DE=OC，此时CD=26-2-t=24-t， 即24-t=3t， 解得，t=6 当四边形OCDE为等腰梯形时，DE=OC， 即CD=26-2-t=24-t，OE=3t， ∵OE=CD+4， ∴3t=24-t+4， 解得，t=7， 则t为6s或7s时，DE=CO； （3）如图1，当点E在OA上时， AE=26-3t， 则S=×AE×AB=×（26-3t）×8=-12t+104（）， 当点E在AB上时，AE=3t-26，BD=t， 则S=×AE×DB=×（3t-26）×t=t2-13t()． 【点睛】本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定和性质以及函数解析式的确定，掌握相关的性质定理和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 29．如图，抛物线y=ax2+4x+c与x轴交于A、B两点，交y轴交于点C，直线y=-x+5经过点B、C． （1）求抛物线的表达式； （2）点D（1，0），点P为对称轴上一动点，连接BP、CP． ①若∠CPB=90°，求点P的坐标； ②点Q为抛物线上一动点，若以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P的坐标． 【答案】（1）y=-x2+4x+5；（2）①点P的坐标为（2，-1）或（2，6）②点P的坐标为（2，3），（2，5）或（2，13）． 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B，C的坐标，由点B，C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）①利用二次函数的性质可求出抛物线对称轴为直线x=2，设点P的坐标为（2，m），结合点B，C的坐标可得出BC2，CP2，BP2的值，由∠CPB=90°利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出点P的坐标； ②设点P的坐标为（2，n），分CD为边及CD为对角线两种情况考虑：（i）若CD为边，当四边形CDPQ（CDQP）为平行四边形时，由点C，D，P的坐标结合平行四边形的对角线互相平分可得出点Q的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出n的值，进而可得出点P的坐标；（ii）若CD为对角线，四边形CPDQ为平行四边形，由点C，D，P的坐标结合平行四边形的对角线互相平分可得出点Q的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出n的值，进而可得出点P的坐标．综上，此题得解． 【详解】解：（1）当x=0时，y=-x+5=5， ∴点C的坐标为（0，5）； 当y=0时，-x+5=0， 解得：x=5， ∴点B的坐标为（5，0）． 将B（5，0），C（0，5）代入y=ax2+4x+c，得： ，解得：， ∴抛物线的表达式为y=-x2+4x+5． （2）①∵抛物线的表达式为y=-x2+4x+5， ∴抛物线的对称轴为直线x=-=2， ∴设点P的坐标为（2，m）． ∵点B的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，5）， ∴CP2=（2-0）2+（m-5）2=m2-10m+29，BP2=（2-5）2+（m-0）2=m2+9，BC2=（0-5）2+（5-0）2=50． ∵∠CPB=90°， ∴BC2=CP2+BP2，即50=m2-10m+29+m2+9， 解得：m1=-1，m2=6， ∴点P的坐标为（2，-1）或（2，6）． ②设点P的坐标为（2，n），分两种情况考虑（如图2）： （i）若CD为边，当四边形CDPQ为平行四边形时， ∵点C的坐标为（0，5），点D的坐标为（1，0），点P的坐标为（2，n）， ∴点Q的坐标为（0+2-1，5+n-0），即（1，5+n）． ∵点Q在抛物线y=-x2+4x+5上， ∴5+n=-1+4+5，解得：n=3， ∴点P的坐标为（2，3）； 当四边形CDQP为平行四边形时， ∵点C的坐标为（0，5），点D的坐标为（1，0），点P的坐标为（2，n）， ∴点Q的坐标为（1+2-0，0+n-5），即（3，n-5）． ∵点Q在抛物线y=-x2+4x+5上， ∴n-5=-9+12+5，解得：n=13， ∴点P的坐标为（2，13）； （ii）若CD为对角线，∵四边形CPDQ为平行四边形，点C的坐标为（0，5），点D的坐标为（1，0），点P的坐标为（2，n）， ∴点Q的坐标为（0+1-2，5+0-n），即（-1，5-n）． ∵点Q在抛物线y=-x2+4x+5上， ∴5-n=-1-4+5，解得：n=5， ∴点P的坐标为（2，5）． 综上所述：点P的坐标为（2，3），（2，5）或（2，13）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、勾股定理、二次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）①利用勾股定理，找出关于点P纵坐标的一元二次方程；②分CD为边及CD为对角线，利用平行四边形的性质及二次函数图象上点的坐标特征求出点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $