专题05 相似三角形中的A字型与8字型模型 培优讲义 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

该初中数学讲义以相似三角形的A字型与8字型模型为核心，通过知识框架图系统梳理模型特征、判定条件及性质应用，将模型识别、比例线段转化等重难点按“基础模型-变式应用-综合拓展”递进呈现，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，选择题（如正方形中A字型面积计算）夯实基础，解答题（如动点相似存在性问题）培养推理意识与几何直观，通过模型迁移训练提升空间观念。不同层次题目满足差异化需求，助力学生自主复习，为教师精准教学提供有效支持。

专题05 相似三角形中的A字型与8字型模型 培优训练 一、选择题 1.如图，正方形的顶点分别在的边上．，则与面积之和等于（   ） A． B．6 C． D．8 2.如图，点在菱形的边的延长线上，连接交于点，则下列式子一定正确的是　　 A． B． C． D． 3.如图，，与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，，若，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 4.如图，在矩形中，是边的中点，于点，则下列结论：①；②；③．其中正确结论的个数是（    ）    A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题 5.如图，已知，和相交于点，，则 ． 6.如图，在平行四边形中，是的中点，在上，且，交于．若，则　　． 7.如图，已知四边形是平行四边形，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的值是 ． 8.如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．    三、解答题 9.如图与交于，且． （1）求证：∽． （2）若，，，求的长． 10.如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F． （1）求证：； （2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积． 11.如图，在中，， ，点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后和相似？ 12.如图，在平行四边形中，，交于点，点是的中点，连接交于点，． (1)求证：； (2)求的长； (3)若的面积为2，直接写出四边形的面积．    13.如图，、为的直径，，点为上一点，点为延长线上一点，．连接，交于点． （1）证明：为的切线； （2）证明：； （3）若的半径为2，为的中点，的长． 14.己知四边形中，E，F分别是边上的点，与交于点G． 特例解析： (1)如图1，若四边形是矩形，且，求证：； 类比探究： (2)如图2，若四边形是平行四边形，且，求证：．   　　     15.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q． （1）求证：△PCQ∽△RDQ； （2）求BP：PQ：QR的值． 16.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G． （1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG； （2）当α≠60°时， ①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG； ②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似三角形中的A字型与8字型模型 培优训练 一、选择题 1.如图，正方形的顶点分别在的边上．，则与面积之和等于（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】由，推出，设，，在中，则有，可得，求出，的面积即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ， ∴， ，设，， 在中，则有， ， ， ， ， ， 故选：. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 2.如图，点在菱形的边的延长线上，连接交于点，则下列式子一定正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：四边形是菱形， ，，， 、， ， 故不符合题意； 、， ，， ， ， 故不符合题意； 、，， ， 故符合题意； 、， ， 故不符合题意； 故选：． 3.如图，，与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，，若，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟记相关定理与性质是解本题的关键． 由得到，，，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴． 故选：C． 4.如图，在矩形中，是边的中点，于点，则下列结论：①；②；③．其中正确结论的个数是（    ）    A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】①先证明，再由，即可证明； ②先得到，由矩形的性质可得，由此证明，根据相似三角形对应边成比例的性质即可得到结论； ③可证根据相似三角形对应边成比例的性质即可得到结论． 【详解】解：，∴，， ∵四边形是矩形，∴，，， 又，，故①正确； 是边的中点，∴，∵四边形是矩形， ∴，，故②正确； ，， ，， ，，，故③正确，故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，数控掌握相关知识是解题关键． 二、填空题 5.如图，已知，和相交于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，利用相似三角形的性质可，再证明可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6.如图，在平行四边形中，是的中点，在上，且，交于．若，则　8　． 【解答】解：设的中点为，连接， ， 是的中点， 是的中位线， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 7.如图，已知四边形是平行四边形，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，由四边形 是平行四边形，得 ，再证明 ，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵ 是 的中点， ， ∵四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 解得：， 8.如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．    【答案】6 【分析】连接，交于点O，由题意易得，，，，则有，然后可得，设，则有，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，交于点O，如图所示：    ∵四边形是菱形，，∴，，，， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，同理可得，设，则有， ∵，∴，∴，即，∴， 同理可得，即，∴，∴；故答案为6． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题 9.如图与交于，且． （1）求证：∽． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）根据相似三角形的判定解答即可； （2）因为∽，根据相似三角形的性质可知，代入数据解答即可． 【详解】证明：（1） ，， ∽； （2） ∽， ， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 10.如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F． （1）求证：； （2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）24． 【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到，再根据，即可得到，则答案可证； （2）先证明，根据相似三角形的性质得出，，进而得出，由得，则答案可解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E为DC的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵的面积为2， ∴，即， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 11.如图，在中，， ，点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后和相似？ 【答案】秒和2秒 【分析】本题考查相似三角形的性质以及根据运动情况列方程求解时间，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键． 先由点P与点Q的运动速度，表示出与，再根据边成比例分情况讨论和相似，列式求解即可． 【详解】解：设经过秒钟与相似． 已知点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动． 可得，． 因为，所以． 分两种情况讨论： 情况一：当时，， 将，，，代入， 可得：，可得． 解得； 情况二：当时，． 将，，，代入， 可得：，可得， 解得． 因为点从点移动到点所需时间为， 点从点移动到点所需时间为， 而和都在这个范围内，所以这两个值都符合题意． 综上所述：秒和2秒后和相似． 12.如图，在平行四边形中，，交于点，点是的中点，连接交于点，． (1)求证：； (2)求的长； (3)若的面积为2，直接写出四边形的面积．    【答案】(1)见解析(2)的长为6(3)四边形的面积为5 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得，，，则有，设，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴的长为6； （3）解：∵， ∴， ∵的面积为2， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为5． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质是解题是关键． 13.如图，、为的直径，，点为上一点，点为延长线上一点，．连接，交于点． （1）证明：为的切线； （2）证明：； （3）若的半径为2，为的中点，的长． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （2）证明：四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：连接，， 为的中点，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 的长为． 14.己知四边形中，E，F分别是边上的点，与交于点G． 特例解析：   　　     (1)如图1，若四边形是矩形，且，求证：； 类比探究： (2)如图2，若四边形是平行四边形，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，再根据同角的余角相等得到，从而可证明，利用相似三角形对应边成比例即可证明结论； （2）如图，在的延长线上取点，使，利用平行线的性质以及同角的补角相等证明，利用相似三角形对应边成比例即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：如图，在的延长线上取点，使， ∴， ∵四边形是平行四边形，    ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等边对等角，平行线的性质，同等的余角（或补角）相等．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 15.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q． （1）求证：△PCQ∽△RDQ； （2）求BP：PQ：QR的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据，即可证明； （2）根据平行四边形的性质可得，，再根据相似三角形的性质可得，从而可得，再根据，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴． 又∵． ∴． （2）∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，． ∴，． 又∵点是中点， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的问题，掌握平行四边形的性质、相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 16.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G． （1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG； （2）当α≠60°时， ①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG； ②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长． 【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解；②EG的长为或． 【分析】（1）AD＝AC，∠ADC＝60°，可证△ACD为等边三角形，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，可得∠HAD=∠B=60°=∠GCD，由∠GDH=∠CDA=60°，可证∠HAD =∠CDG，即可证△ADH≌△CDG（ASA）； （2）①根据AD＝AC，∠ADC＝α，可得∠ACD=∠ADC＝α，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AD∥BC，可得∠HAD=∠ADC=α=∠GCD，由∠GDH=α=∠ADC，可得∠ADH =∠CDG即可； ②根据点E的位置分两种情况，当点E在AB上时，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，根据四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，可证△AGE∽△CGD，得出AG=3，CG=AC-AG=12-3=9，根据等腰三角形三线合一性质可得AN=BN=，根据勾股定理CN=，由GM∥CN，再证△AMG∽△ANC，可求,，EM=AE-AM=，根据勾股定理EG=，当点E在BA延长线上，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，由AE∥CD，△GAE∽△GCD，可求GA=6，由GM∥CN，可证△GMA∽△CNA，可得，，EM=AE-AM=3-，根据勾股定理EG=． 【详解】（1）证明：∵AD＝AC，∠ADC＝60°， ∴△ACD为等边三角形， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC， ∴∠HAD=∠B=60°=∠GCD， ∵∠GDH=∠CDA=60°， ∴∠HDA+∠ADG=∠CDG+∠ADG=60°， ∴∠HDA =∠CDG， 在△ADH和△CDG中 △ADH≌△CDG（ASA）； （2）①证明：∵AD＝AC，∠ADC＝α， ∴∠ACD=∠ADC＝α， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠HAD=∠ADC=α=∠GCD， ∵∠GDH=α=∠ADC， ∴∠ADH+∠ADG=∠CDG+∠ADG=α， ∴∠ADH =∠CDG， ∴△ADH∽△CDG； ②解：当点E在AB上时，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M， ∵四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12， ∴∠EAG=∠DCG，∠AEG=∠CDG， ∴△AGE∽△CGD， ∴， ∴， ∵AD=AC=12， ∴AG+CG=AG+3AG=4AG=12， ∴AG=3， ∴CG=AC-AG=12-3=9， ∵AC=AD=BC，CN⊥AB， ∴AN=BN=， 在Rt△BCN中，根据勾股定理CN=， ∴GM∥CN， ∴△AMG∽△ANC， ∴， ∴,， ∴EM=AE-AM=， 在Rt△MGE中，根据勾股定理EG=， 当点E在BA延长线上，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M， ∵AE∥CD， ∴∠GAE=∠GCD，∠GEA=∠GDC， ∴△GAE∽△GCD， ∴， ∴， ∵AC=GC-GA=3GA-GA=2GA=12, ∴GA=6， ∵AC=AD=BC，CN⊥AB， ∴AN=BN=， 在Rt△BCN中，根据勾股定理CN=， ∵CN⊥AB， GM⊥AE， ∴GM∥CN， ∴△GMA∽△CNA， ∴， ∴，， ∴EM=AE-AM=3-， 在Rt△GME中，根据勾股定理EG=， ∴综合EG的长为或． 【点睛】本题考查图形旋转性质，平行四边形性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定，三角形相似判定与性质，勾股定理，本题难度较高，利用辅助线画出准确图形，掌握以上知识是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $