专题05图形的相似同步讲义（2）(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年苏科版九年级数学下册

专题05图形的相似同步讲义（2） 【探索三角形相似的条件】 【题型01 平行线分线段成比例】..........................................4 【题型02 平行线截线段的长度与比值计算】................................5 【题型03 由平行线判断三角形相似】......................................6 【题型04 两角对应相等判定三角形相似】..................................7 【题型05 三边对应成比例判定三角形相似】................................8 【题型06 两边成比例且夹角相等判定三角形相似】..........................10 【题型07 相似三角形判定综合应用】......................................11 【题型08 添加/选择条件使三角形相似】...................................12 【解答题5题】.........................................................12 ★知识梳理 知识点01:核心概念 1. 相似三角形定义 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，记作 “△ABC∽△A′B′C′”，读作 “△ABC相似于△A′B′C′”。 相似比：相似三角形对应边的比，记为k；相似比有顺序性，△ABC∽△A′B′C′与△A′B′C′∽△ABC的相似比互为倒数。 特殊关系：全等三角形是相似比k=1的特殊相似三角形。 传递性：若△A∽△B，△B∽△C，则△A∽△C。 2. 预备定理（平行线判定法） 平行于三角形一边的直线，与其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。 几何语言：在△ABC中，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC。 作用：是推导相似三角形判定定理的基础，也是解题中快速找相似的常用方法。 知识点02:相似三角形判定定理（核心） 1. 两角分别相等的两个三角形相似（AA） 文字表述：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 几何语言：在△ABC和△A′B′C′中，若∠A=∠A′，∠B=∠B′，则△ABC∽△A′B′C′。 应用要点：最常用判定方法，优先找公共角、对顶角、同角 / 等角的余角 / 补角相等；直角三角形中，有一个锐角相等即可判定相似。 2. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） 文字表述：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 几何语言：在△ABC和△A′B′C′中，若，且∠A=∠A′，则△ABC∽△A′B′C′。 易错提醒：相等的角必须是两组对应边的夹角，若为一边的对角，不能判定相似。 3. 三边成比例的两个三角形相似（SSS） 文字表述：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 几何语言：在△ABC和△A′B′C′中，若，则△ABC∽△A′B′C′。 应用要点：适合三边长度已知或可求的三角形，无需考虑角的条件。 知识点03:判定方法对比 判定方法 核心条件 适用场景 易错点 预备定理（平行） 平行于三角形一边的直线，与其他两边（或两边的延长线）相交 有平行线的三角形 截线需与两边（延长线）相交 两角相等（AA） 两组角对应相等 有公共角、对顶角、直角 只需两组角，第三组自动相等 两边成比例 + 夹角相等（SAS） 两边比相等 + 夹角相等 两边长度已知 + 夹角可证 角必须是夹角，非对角 三边成比例（SSS） 三组边对应成比例 三边长度明确 对应边需找准，比例要一致 知识点04:相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点05:常见相似基本模型（解题高频） 1.A 字型（正 A）：DE∥BC，△ADE∽△ABC。 2.8 字型（X 型）：AB∥CD，△AOB∽△DOC。 3.母子型（射影型）：直角三角形斜边上的高，分成的两个小直角三角形与原三角形两两相似（△ACD∽△ABC∽△CBD）。 知识点05:解题思路总结 1.先看是否有平行线，用预备定理快速判定； 2.无平行线时，优先找两组角相等（AA）； 3.已知两边长度，找夹角相等（SAS）； 4.三边均已知，验证三边成比例（SSS）； 5.结合相似性质（对应角相等、对应边成比例）求解边长、角度或证明线段关系。 【题型1.平行线分线段成比例】 【典例】如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果，且，，那么_________. 【跟踪专练1】已知线段，，，作线段，使，则下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知直线，直线 分别与直线交于A、B、C三点，直线 分别与直线交于D、E、F三点，与交于 点O，若，则的长是_________________． 【跟踪专练3】如图，正方形的对角线，交于点O，E是边的中点，过点A作，交的延长线于点F，在上截取，连接并延长，分别交，于点M，N．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【题型2.平行线截线段的长度与比值计算】 【典例】如图，直线，如果，那么的长是___________． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点A、B，如果线段与网格线的其中两个交点为M、N，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知，它们依次交直线于点和点．如果，那么___________． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，对角线与相交于点E，若， 则的长是（   ） A． B．8 C． D．. 【题型3.由平行线判定三角形相似】 【典例】如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，锐角三角形中，，以为直径的半圆交于点，过点作半圆的切线，交的延长线于点，交于点．若，则____________． 【跟踪专练2】如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【跟踪专练3】在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．白银分割是指：若存在两点C、D将线段分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系：，则称线段被点C、D白银分割，点C、D叫做线段的白银分割点，该比值叫做白银比． 根据分割形态差异，可分为两类经典情形： 对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割； 邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割． (1)以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比．如图1，设，．求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）． (2)如图3，点C为线段靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段靠近点A的白银分割点P．不写作法，保留作图痕迹． 【题型4.两角对应相等判定三角形相似】 【典例】如图所示的三个三角形，相似的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【跟踪专练1】如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为_________（填一个即可）． 【跟踪专练2】如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是__________． 【跟踪专练3】如图，内接于，的平分线分别交，于点，，连结．根据题意条件，判断：①；②；③；④，成立的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②③④ 【题型5.三边对应成比例判定三角形相似】 【典例】已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为___________时，与相似． 【跟踪专练1】如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是_____． 【跟踪专练3】下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 【题型6.两边成比例且夹角相等判定三角形相似】 【典例】如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么______得到． （填“能”或“不能”） 【跟踪专练1】如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是________．（只填一个） 【跟踪专练3】已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 【题型7.相似三角形判定综合应用】 【典例】如图，在中，，则____________． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形．原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，，圆O的半径为，P是圆O上一动点，的最小值为________． 【跟踪专练3】定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形”． 如图，点A、B、C是正方网格中的格点，在网格中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是“自相似四边形”，符合条件的格点D的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型8.添加/选择条件使三角形相似】 【典例】如图，在中，P是上一点，连接，要使，则只需添加一个适当的条件是_________．（只填一种情况即可） 【跟踪专练1】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要________． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 【解答题】 1．如图，在中，，请用尺规作图法在边上确定一点，使得． （要求保留作图痕迹，不写作法） 2．如图，已知点，分别在的边，上，，，，．求证：． 3．如图，已知，且，求：线段的长． 4．如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 5．如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． (1)发现 ①线段与线段之间的数量关系是________， ②直线与直线之间的位置关系是________ (2)探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． (3)应用 在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05图形的相似同步讲义（2） 【探索三角形相似的条件】 【题型01 平行线分线段成比例】..........................................4 【题型02 平行线截线段的长度与比值计算】................................7 【题型03 由平行线判断三角形相似】.....................................11 【题型04 两角对应相等判定三角形相似】.................................15 【题型05 三边对应成比例判定三角形相似】...............................18 【题型06 两边成比例且夹角相等判定三角形相似】.........................21 【题型07 相似三角形判定综合应用】.....................................24 【题型08 添加/选择条件使三角形相似】..................................28 【解答题5题】........................................................30 ★知识梳理 知识点01:核心概念 1. 相似三角形定义 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，记作 “△ABC∽△A′B′C′”，读作 “△ABC相似于△A′B′C′”。 相似比：相似三角形对应边的比，记为k；相似比有顺序性，△ABC∽△A′B′C′与△A′B′C′∽△ABC的相似比互为倒数。 特殊关系：全等三角形是相似比k=1的特殊相似三角形。 传递性：若△A∽△B，△B∽△C，则△A∽△C。 2. 预备定理（平行线判定法） 平行于三角形一边的直线，与其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。 几何语言：在△ABC中，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC。 作用：是推导相似三角形判定定理的基础，也是解题中快速找相似的常用方法。 知识点02:相似三角形判定定理（核心） 1. 两角分别相等的两个三角形相似（AA） 文字表述：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 几何语言：在△ABC和△A′B′C′中，若∠A=∠A′，∠B=∠B′，则△ABC∽△A′B′C′。 应用要点：最常用判定方法，优先找公共角、对顶角、同角 / 等角的余角 / 补角相等；直角三角形中，有一个锐角相等即可判定相似。 2. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） 文字表述：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 几何语言：在△ABC和△A′B′C′中，若，且∠A=∠A′，则△ABC∽△A′B′C′。 易错提醒：相等的角必须是两组对应边的夹角，若为一边的对角，不能判定相似。 3. 三边成比例的两个三角形相似（SSS） 文字表述：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 几何语言：在△ABC和△A′B′C′中，若，则△ABC∽△A′B′C′。 应用要点：适合三边长度已知或可求的三角形，无需考虑角的条件。 知识点03:判定方法对比 判定方法 核心条件 适用场景 易错点 预备定理（平行） 平行于三角形一边的直线，与其他两边（或两边的延长线）相交 有平行线的三角形 截线需与两边（延长线）相交 两角相等（AA） 两组角对应相等 有公共角、对顶角、直角 只需两组角，第三组自动相等 两边成比例 + 夹角相等（SAS） 两边比相等 + 夹角相等 两边长度已知 + 夹角可证 角必须是夹角，非对角 三边成比例（SSS） 三组边对应成比例 三边长度明确 对应边需找准，比例要一致 知识点04:相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点05:常见相似基本模型（解题高频） 1.A 字型（正 A）：DE∥BC，△ADE∽△ABC。 2.8 字型（X 型）：AB∥CD，△AOB∽△DOC。 3.母子型（射影型）：直角三角形斜边上的高，分成的两个小直角三角形与原三角形两两相似（△ACD∽△ABC∽△CBD）。 知识点05:解题思路总结 1.先看是否有平行线，用预备定理快速判定； 2.无平行线时，优先找两组角相等（AA）； 3.已知两边长度，找夹角相等（SAS）； 4.三边均已知，验证三边成比例（SSS）； 5.结合相似性质（对应角相等、对应边成比例）求解边长、角度或证明线段关系。 【题型1.平行线分线段成比例】 【典例】如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果，且，，那么_________. 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例得比值是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 【跟踪专练1】已知线段，，，作线段，使，则下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：， ， 观察选项可知，选项B符合题意， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，已知直线，直线 分别与直线交于A、B、C三点，直线 分别与直线交于D、E、F三点，与交于 点O，若，则的长是_________________． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 【跟踪专练3】如图，正方形的对角线，交于点O，E是边的中点，过点A作，交的延长线于点F，在上截取，连接并延长，分别交，于点M，N．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形中位线，利用正方形的性质证明，推出，结合，即可判断①正确；再证明，推出，进而求出，即可得到，即可判断②正确；根据平行线分线段成比例定理结合②可知，即可判断③正确；再根据题意可得，，点F，G关于对称，即可判断④错误． 【详解】解：∵正方形的对角线，交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵E是边的中点，即，， ∴， ∴， ∵， ∴，①正确； ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，②正确； 由①知，， ∴， ∴， 由②中知，③正确； 由题意得，，， ∴点F，G关于对称， ∴，④错误． 故选：C． 【题型2.平行线截线段的长度与比值计算】 【典例】如图，直线，如果，那么的长是___________． 【答案】14 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由，得，由，得即可解答． 【详解】解：∵， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为14． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点A、B，如果线段与网格线的其中两个交点为M、N，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，在网格中找到平行的线段是解题的关键，根据线段成比例即可解答． 【详解】解：如图所示： 由题意可知 故选C． 【跟踪专练2】如图，已知，它们依次交直线于点和点．如果，那么___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论，找准对应线段是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，对角线与相交于点E，若， 则的长是（   ） A． B．8 C． D．. 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．若图中有等边三角形，常用辅助线作法是做出一边上的高．把所求线段放在一个直角三角形中当斜边也是常用辅助线作法．，，可得为等边三角形．作于点，可得为的中点，可求得的长，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得为的一半．作于点，则 为直角三角形的斜边，利用平行线分线段成比例定理可得的长，利用勾股定理可得的长，进而根据勾股定理可得的长． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，连接． ， ． ， ． ，， 为等边三角形， ． ， ． ． ． ． ， ． ． ． 故选：D． 【题型3.由平行线判定三角形相似】 【典例】如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定及性质．熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，再根据相似三角形的判定解答． 【详解】解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 【跟踪专练1】如图，锐角三角形中，，以为直径的半圆交于点，过点作半圆的切线，交的延长线于点，交于点．若，则____________． 【答案】 【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，，再根据平行线的判定定理得到，根据切线的性质得到，再由勾股定理得，最后根据平行证明，由相似三角形的性质可求出的长． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半圆的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查考查相似三角形的判定，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．方法一：利用先得出，再结合即可证明；方法二：先证明是的中位线，得出，即可证明． 【详解】证明：方法一：、分别是、的中点， ，， ， ， ； 方法二：、分别是、的中点， ， ． 【跟踪专练3】在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．白银分割是指：若存在两点C、D将线段分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系：，则称线段被点C、D白银分割，点C、D叫做线段的白银分割点，该比值叫做白银比． 根据分割形态差异，可分为两类经典情形： 对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割； 邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割． (1)以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比．如图1，设，．求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）． (2)如图3，点C为线段靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段靠近点A的白银分割点P．不写作法，保留作图痕迹． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了白银分割的概念及应用、一元二次方程的求解以及尺规作图，解题关键是理解白银分割的比例关系并据此列出方程求解，同时利用尺规作图的基本原理作出符合要求的图形． （1）根据线段设定及白银分割定义，用含x的式子表示各线段长度，依据白银分割比例关系列出方程，将方程化为一元二次方程标准形式，利用求根公式求解，根据线段长度非负性舍去不合理的值． （2）连接，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、 ；以点为圆心，同样的半径画弧，交于点，用圆规量取的长度，以点为圆心，长为半径画弧，交之前所画弧于点，用直尺连接并延长，与相交于点，此时，根据同位角相等，两直线平行，可得，点就是线段靠近点的白银分割点． 【详解】（1）解：，， ， ， 解得：，（舍去）； （2）如图所示：点P即为所求． 【题型4.两角对应相等判定三角形相似】 【典例】如图所示的三个三角形，相似的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理. 分别把三个三角形的内角计算出来，利用两角对应相等判断三角形相似. 【详解】解：分别把三个三角形的内角都计算出来. ①：由，所以三个内角分别为，，. ②：由，所以三个内角分别为，，. ③：由，所以三个内角分别为，，. 所以只有①②的内角都相等，符合相似三角形的判定定理. 故选：A． 【跟踪专练1】如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为_________（填一个即可）． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 首先，利用两角对应相等可证得，然后由，可得，进而可证得，于是得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或（答案不唯一）． 【跟踪专练2】如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是__________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造辅助线． 在上截取，，导角证明，即可证明． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与相似的三角形是， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，内接于，的平分线分别交，于点，，连结．根据题意条件，判断：①；②；③；④，成立的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等． 由角平分线得到，由同弧或等弧所对的圆周角相等得到，从而，再由，得到，故②成立；由，，得到，故③成立；由，，得到，故④成立．综上即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②成立； ∵， ∴， ， ，故③成立； ∵，， ∴，故④成立； 根据条件无法证明①成立，因此成立的结论是②③④． 故选：D． 【题型5.三边对应成比例判定三角形相似】 【典例】已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为___________时，与相似． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解决问题的关键是熟知相似三角形的对应边成比例． 设第三边长为,应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，解题即可． 【详解】解：的三边长分别是， 三边长的比为． ，且的两边长分别是1和需要分情况进行讨论: ①若，解得； ②若，∵，∴该情况不成立 ③若，解得 经检验，当时，与的三边对应成比例，两三角形相似；当时，与的三边对应不成比例，两三角形不相似； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据根据题意当时，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，当时，， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论． 【详解】解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． 【跟踪专练3】下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的三边对应成比例成为解题的关键． 先求出题干三角形的三边长的比，然后求得各选项三边长的比并进行比较即可解答． 【详解】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为； A．三角形三边为与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误； B．三角形三边与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确； C．三角形三边与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误； D.三角形三边与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误． 故选：B． 【题型6.两边成比例且夹角相等判定三角形相似】 【典例】如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么______得到． （填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，根据条件无法判断，据此即可得到结论． 【详解】解：∵，不能判断， ∴不能得到， 故答案为：不能． 【跟踪专练1】如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A不符合题意； B、∵， ∴， 故B不符合题意； C、由图形可知，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是________．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 根据相似三角形的判定去判断两个三角形是否相似即可． 【详解】解：在图①中：第一个三角形三个角分别为：，，；第二个三角形的两个角分别为：，；故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似； 在图②中：，， ∴， ∵， ∴， 故①组和②组的两个三角形都相似． 故选：A． 【题型7.相似三角形判定综合应用】 【典例】如图，在中，，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得到，再根据两组角对应相等的两三角形相似即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：；． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形．原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定等知识，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 如图， ∵， ∴，故A选项不合题意； B. 如图， ∵， ∴，故B选项不合题意； C.如图， ∵ ∴， ∵， ∴，故C选项不合题意； D. 如图， ∵， ∴， 但不一定等于， ∴无法判定与相似，故D选项符合题意． 故选：D 【跟踪专练2】如图，，，圆O的半径为，P是圆O上一动点，的最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的性质以及三角形三边关系等知识，延长到，使，连接，证明，求得，由三角形三连关系可得结论． 【详解】解：延长到，使，连接，如图， ∴ 又， .∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：. 【跟踪专练3】定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形”． 如图，点A、B、C是正方网格中的格点，在网格中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是“自相似四边形”，符合条件的格点D的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据题目中“自相似四边形”的定义，在网格中找到符合条件的点即可． 【详解】解：如图1，由，得，故为所求点； 如图2，由，得，故为所求点； 如图3，由，得，故为所求点； 如图4，由，得，故为所求点； 如图5，由，得，故为所求点； 符合条件的格点D的个数有5个． 故选：D． 【点睛】此题是新定义题，主要考查了网格中的勾股定理、判定两个格点三角形相似，熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答此题的关键． 【题型8.添加/选择条件使三角形相似】 【典例】如图，在中，P是上一点，连接，要使，则只需添加一个适当的条件是_________．（只填一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由题意得，， 若添加条件，则有，符合题意； 若添加条件，则有，符合题意； 若添加条件，则有，符合题意； 添加的条件可以是或或（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，无法得到，故本选项符合题意； 【跟踪专练2】如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要________． 【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 当时，， 即：， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质以及直角三角形的性质．熟练掌握三角形的判定方法是解题的关键． 由四边形是正方形，可得，，当①，根据有两角对应相等的三角形相似，证得与相似；当②，可得，继而可得与相似；③若P为的中点，则，此时不相似；当④若，可得，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可判定与相似． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ①若， ∵， ∴； ②若，则， ∵， ∴， ③若P为的中点， 则， ∴， ∴此时不相似； ④若， 则， ∵， ∴． 故选：C． 【解答题】 1．如图，在中，，请用尺规作图法在边上确定一点，使得． （要求保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】根据垂直平分线的作法作的垂直平分线与的交点即为点． 【详解】解：如图，点即为所求作． 由垂直平分线的性质可得， ， ， ， ，， ． 2．如图，已知点，分别在的边，上，，，，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】先得，然后结合即可求证． 【详解】证明：∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 3．如图，已知，且，求：线段的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质与判定，可证明四边形是平行四边形并求出的长，根据平行线分线段成比例定理可得，据此代入数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴，即， ∴． 4．如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 【答案】不相似，可添加或或（答案不唯一）． 【详解】本题考查了相似三角形的判定，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，或“两角对应相等，两三角形相似”即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 解：不定相似，因为和不是成比例的两边的夹角。 若添加，则可根据“两角对应相等，两三角形相似”得到； 若添加，则可根据“两角对应相等，两三角形相似”得到； 若添加，则可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” 得到。 故可添加：，或或（答案不唯一）． 5．如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． (1)发现 ①线段与线段之间的数量关系是________， ②直线与直线之间的位置关系是________ (2)探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． (3)应用 在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 【答案】(1)①；②； (2)成立，证明见解析； (3)，或． 【分析】（1）①由矩形的性质可得，由题意可得，证明，即可得出；②延长交于点，则，由①可得，由相似三角形的性质可得，求出，即可得出结果； （2）由矩形的性质可得，证明，结合题意得出，即可推出，从而可得，，则，延长，交于点，交于点，再由，计算即可得出结果； （3） 两种情况：当点、、在同一直线上，且点在线段上时；当点、、在同一直线上，且点在线段上时；分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，延长交于点， ， ∵， ∴， 由①可得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中结论还成立，证明如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，延长，交于点，交于点， ∵， ∴ ， ∴； （3）解：如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ， 同理可得：，， ∴，； 综上所述，，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $