专题7.1 正切（高效培优讲义）数学苏科版九年级下册

专题7.1 正切 教学目标 1．掌握直角三角形中锐角正切的定义，能正确计算正切值 2．理解的符号规范，掌握锐角的正确书写格式 3．明确正切值的性质，知道其只与角的大小相关且无单位 教学重难点 重点： 锐角正切的定义及正切值的计算方法；的符号规范和锐角的书写要求 难点： 理解正切值与角的大小有关，与三角形大小无关；准确遵循符号规范，避免书写错误 知识点01 正切 1．定义 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边. 我们将∠A的对边BC与邻边AC的比称为∠A的正切，记作，则. 2．符号规范 ①是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，不是与的乘积. ②若锐角用单字母表示时可省略“∠”，用三个字母或数字表示时不能省略“∠”. 3．性质特点 正切值表示的是锐角的对边与邻边的比值，是无单位的数值。其大小只与锐角的度数有关，与直角三角形的大小无关. 【即学即练】 1．如图，在中，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．在中，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 题型01 已知线段长或线段比例求正切值 【例1】在中，，如果，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 【例2】如图，在中，，，垂足为点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，各边都扩大3倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．不能确定 【变式1-2】如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边上，则的值等于 ． 【变式1-3】如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角，那么这个正多边形的中心角的正切值是 ． 代入即可 题型02 已知正切值求线段长 【例3】在中，，，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【例4】如图，在矩形中，，，点E在边上，作交延长线于点F，连接，如果，那么的长为 ． 【变式2-1】在中，，若，则的长为 ． 【变式2-2】在中，，则 ． 【变式2-3】如图，在边长为4的正方形中，点E是边上的一点，点F是点D关于直线对称的点，连接，若，则的长是 ． 根据正切值得出目标锐角的对边与邻边的比例，结合题目给出的线段长度，设未知数建立方程，然后解方程求出未知线段的长度 题型03 构造直角三角形求正切值 【例5】如图，点A，B，C均在正方形网格的格点上，则（   ） A． B． C． D．2 【例6】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．的顶点、、均在格点上，则的值为 ． 【变式3-1】如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，中，，，是中线，那么的值是 ． 【变式3-3】如图，在的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．的正切值为 ． 过非直角顶点作三角形的高，构造含目标锐角的直角三角形，结合已知条件，计算构造后直角三角形的边长，然后利用正切定义式计算目标锐角的正切值。 题型04 根据正切的增减性比较大小 【例7】如图，在正方形网格中，∠1、∠2、∠3的大小关系（　　） A．∠1=∠2=∠3 B．∠1＜∠2＜∠3 C．∠1=∠2＞∠3 D．∠1＜∠2=∠3 【例8】，如图所示，则与的大小关系是 用“”连接 【变式4-1】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是(       ) A．＜tanα＜ B．＜tanα＜ C．＜tanα＜ D．＜tanα＜ 【变式4-2】已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 ； （2）若，则 ． 【变式4-3】我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示． (1)试探索随着锐角度数的增大，正切值的变化规律； (2)根据你探索到的规律，试比较，，，角的正切值的大小． 明确锐角正切值随角度增大而增大的性质。比较两个目标锐角的度数大小。根据增减性直接判断对应正切值的大小关系。 一、单选题 1．如果将一个锐角的三边的长都扩大为原来的5倍，那么锐角的正切值（   ） A．没有变化 B．不能确定 C．扩大为原来的5倍 D．缩小为原来的 2．已知中，，，则的值为（） A．3 B． C． D． 3．如图，在的正方形网格图中，的顶点均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知点为抛物线上一点，如果点的横坐标为，记与轴的夹角为，那么为（   ） A．2 B． C． D． 5．如图，在中，是角平分线的交点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．如图是一张直角三角形纸片，其中，，．现将该直角三角形纸片沿折叠，使点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为 ． 8．如图，点在线段上，且，分别以，为边在线段的同侧作正方形，，连接，，那么的值是 ． 9．将两根长度相同的细铜丝均在其黄金分割点处弯折（不计弯折处损耗），再首尾相接围成一个矩形（），连接，那么的正切值等于 ． 10．小明将一张矩形纸片沿折叠，点恰好落在边上的点处，连接、，若，则的值为 ． 三、解答题 11．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、B、C、D、E均在格点上．由勾股定理易知，，，． (1)求证：； (2) ． 12．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． (1)在图①中的线段上找一点，连接，使； (2)在图②中的线段上找一点，连接，使； (3)在图③中的线段上找一点，连接，使． 13．如图，E是正方形中边上的一点，将射线绕点A逆时针旋转，交的延长线于点F，连接． (1)补全图形，并证明线段； (2)若，求的值． 14．如图，是中边上的高，点是边上一点，，若，． (1)求的长； (2)若，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 专题7.1正切 内容概览 教学目标、教学重难点 正切 知识清单 已知线段长或线段比例求正切值 已知正切值求线段长 题型精讲 构造直角三角形求正切值 根据正切的增减性比较大小 强化训练 教学目标、教学重难点 1.掌握直角三角形中锐角正切的定义，能正确计算正切值 教学目标 2.理解tanA的符号规范，掌握锐角的正确书写格式 3.明确正切值的性质，知道其只与角的大小相关且无单位 重点： 锐角正切的定义及正切值的计算方法；tanA的符号规范和锐角的书写要求 教学重难点 难点： 理解正切值与角的大小有关，与三角形大小无关：准确遵循符号规范，避免书写错误 知识清单 知识点01正切 1.定义 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A所对的边BC记为a,叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对 的边AC记为b,叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c,叫做斜边. B a b 1/25 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ∠的对边a 我们将∠A的对边BC与邻边AC的比称为∠A的正切，记 tanA'则anA= ∠4的邻边b 2.符号规范 ①tanA是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成tanA,不是tan与A的乘积. ②若锐角用单字母表示时可省略“∠”，用三个字母或数字表示时不能省略“∠”. 3.性质特点 正切值表示的是锐角的对边与邻边的比值，是无单位的数值。其大小只与锐角的度数有关，与直角三角形 的大小无关 【即学即练】 1.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，若BC=5,AB=4,则tanA的值为() B A.4 c. D.5 【答案】A 【详解】解：，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=5,AB=4, ∴.tanA= BC5 AB 4' 故选：A 2.在R△ABC中，∠C=90,anA= AC=6,则BC的长为() A.3 B.6 C.9 D.12 【答案】A 【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示： 夕 在R△4BC中，∠C=90,tanA=) AC=6,则tanA={-BC-BC 2AC6 解得BC=3, 故选：A. 2/25 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01已知线段长或线段比例求正切值 【例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2BC,那么tanA的值是() A.方 B.2 C.v5 5 D.35 5 【答案】A 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC=2BC, .tan4= BC BC 1 AC 2BC 2' 故选：A. 【例2】如图.在R△BC中，∠ACB=90·CD1B:垂足为点)SmB F3,则an∠AcD=（） B A.② B.汽 2 4 C.3 3 D. 【答案】A 【详解】根据题意可知∠ACD+∠A=∠B+∠A=90°， ∴.∠ACD=∠B sinB= 3 AC 1 AB3 .'AB=3AC .BC=AB2-AC2 =8AC2=22AC. tan B=4C=-1 BC2√24“ tan∠ACD=2 4· 故选：A 【变式1-1】在Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则锐角A的正切函数值() A.不变 B.扩大3倍 C.缩小3倍 D.不能确定 3/25 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】解：在Rt△ABC中，各边都扩大3倍， ∴扩大后的三角形与原来的三角形的角不变， 因此正切值不变， 故选：A. 【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，棱长为1的立方体展开图有两边分别在AC、BC上，有两 个顶点在斜边AB上，则tanB的值等于一 B 【答案】3 【详解】解：如图所示，由题意得，DF=1,EF=3,DF‖AC,DF⊥EF, :∠C=90°，即BC⊥AC, .EF∥BC, .∠B=∠DEF, tanB=tan∠DEF=DF=I EF=3 1 故答案为：3 D A E B 【变式1-3】如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角∠BAC=15°，那 么这个正多边形的中心角的正切值是一· 【答案】5 【详解】解：AB=BC, ∴.∠BAC=∠BCA=15°， .∠B=180°-∠BAC-∠BCA=180°-15°-15°=150°， 4/25 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ∴.该正多边形的一个外角的度数为180°-150°=30°， 360° ·该正多边形的边数为30° =12, 360° “该正多边形的中心角是12 =30°， :tan30= 3, “这个正多边形的中心角的正切值是3 故答案为： 3 方法技巧 代入tanA= ∠的对边-4即可 ∠的邻边b 题型02已知正切值求线段长 【例3】在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=3tanA,且AB=4,则AC的长为() A.号 B.22 C.2v3 D.33 【答案】C 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，设BC=a,AC=b,AB=c=4, .tanB=b tan A= a b’tanB=3tanA’ &3方整理得62=3a2 由勾股定理，a2+b2=c2=16, .4a2=16, 解得a=2(负值已舍)， ∴.b2=3a2=12,解得b=2V3(负值已舍)， 故选：C 【例4】如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,点E在边AB上，作∠EDF=90°交BC延长线于点F, 连接EF,如果an∠EFB= 4,那么4E的长为一 5/25 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D B 【答案】 323 1919 【详解】解：矩形ABCD, .CD=AB=3,BC=AD=4,∠A=∠B=∠CDA=∠DCF=90°， 设AE=x, ∴.BE=3-x, :tan∠EFB=4: 1 BE 1 .BF4' .BF=43-x)=12-4x, ∴.CF=BF-BC=8-4x, :∠EDF=90°， ∴.∠ADE=90°-∠CDE=∠CDF, ∴.△ADEn△CDF, 小根20明1子 解得r=32 19 32 ·B的长为19， 2 故答案为：19 【变式21】在R△ABc中，∠C-0·若8c=3amA 3,则4C的长为一 【答1号 【详解】解：在R△8C中，2C=0,mA=C-号 ΓAC3' ,BC=3, 6/25 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 32 AC=3, ..AC=3x3 9 22 9 故答案为： 【变式2-2】在R△A8C中，∠C=90,AC=8,an4= 4,则AB= 【答案】10 详解】解：在RA4BC中，C=90°aAsC AC4’AC=8’ a0-8 6, .AB=VAC2+BC2=V82+62=10, 故答案为：10. 【变式2-3】如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称 的点，连接AF、BF,若tan∠ABF=2,则BF的长是一· D 【答案】85 5 【分析】 【详解】解：过点F作FN⊥AB于点N, D E .tan∠ABF=2, N=2, :.BN 7/25 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 设BN=x,则FN=2x,AW=4-x, 点F是点D关于直线AE对称的点， ∴.DA=AF=4, .AN2+NF2 AF2, “.(4-x2+2x2=4,整理得5x2.8x=0, 40合去)，5等 BF=BN2+FN 8V5 故答案为： 8W5 方法技巧 根据正切值得出目标锐角的对边与邻边的比例，结合题目给出的线段长度，设未知数建立方程，然后解 方程求出未知线段的长度 题型03构造直角三角形求正切值 【例S】如图，点A,B,C均在正方形网格的格点上，则tan∠ABC=() A是 B. 5 C.35 5 D.2 【答案】A 【分析】 【详解】解：如图：连接AC, B 设每个小正方形的边长为1， 8/25 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则由勾股定理得：AB=2√2，BC=V32+1P=√10，AC=√2， 2+22-io, :.AC2+AB2 BC2, .△ABC是直角三角形， ∴tan∠ABC=AC-V2_l AB 22 2 故选：A 【例6】如图，在2×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点.△PAB的 顶点A、B、P均在格点上，则tan∠PBA的值为一 【答案】3 【详解】解：如图，在RtAPDB中，PD=1,BD=3, D ∴.tan∠PBA= PD 1 BD3' 1 故答案为：3 【变式3-1】如图，在矩形ABCD中，E,F是AB边上的三等分点，连接CE,DF相交于点G,连接 BG.若AB=6,BC=4,则tan∠GBF的值是() D G E F B A.0 D. 10 B. C.30 10 3 【答案】B 【详解】解：过点G作GH⊥AB,如图所示： 9/25 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D G A 则∠EHG=∠BHG=90°， :矩形ABCD,E,F是AB边上的三等分点，AB=6,BC=4, .AD=BC=4,CD=AB=6,AB∥CD,AE=EF=FB=2,EB=4,∠CBA=90°， .△CGDP△EGF, 怒熙 4 EG 1 ,∠EHG=∠EBC=90°，∠GEH=∠CEB, ∴.△GHE∽aCBE, .FH-GH_EG EB CB EC 4' .41.GH-c- 4 ×4=1, 4 ∴.BH=BE-EH=4-1=3, ÷ian∠GBF= GH 1 BH3 故选：B. 【变式3-2】如图，△ABC中，AB=AC=13,BC=10,CD是中线，那么tan∠BCD的值是 4 【答案】50.8 【分析】 【详解】解：作AE⊥BC于点E,作DF⊥BC于点F, 10/25