江苏省南京市金陵中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

金陵中学2025-2026学年第一学期阶段性测试 高一数学试卷 一.选择题（共7小题) 1.设全集U=R,集合A={xsinx=O},B={xcosx=-O},则集合{xsin2x=0}=() A.A∩B B.AUB C.(CUA)UB D.AU (CuB) 【答案】B 【解析】集合{xsin2x=0}=x2 sinxcosx=0}={sinx-=0或cosx=0}=AUB. 2.已知a=202503,b=l0g10.7,c=log0,32026,则a,b,c的大小关系为（) 2 A.c<b<a B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b 【答案】A 【解析】a=20253>1>1og10.7=b>0>c=log032026 2 3.函数f(x)=2x-的零点所在区间为（） A.（-1,0) B.(,1) C.(1,2) D.(2,3) 【答案】B 【解析】f)=2*-在（-∞，0)和(0，+∞)单调递增， f(-1)=+1>0,所以f(x)在(-1,0)无零点， f(分=2-2<0，∫(1)=2-1=1>0，f(2)=4-2>0,f(3)=8-3>0, ∫（分）f(1)<0,所以∫(x)在区间与1)上有零点，在(1,2)和(2,3)上无零点. 4.已知a>0,b>0且a+b=1,则7a+9 的最小值是（) ab A.49 B.51 C.53 D.55 【答案】A 【解析】 7a+916a+9b16.9 16+2a+b)=25+9b+160≥49 ab ab b a 5.如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-8,8]上的大致图象，则该函数的解析式可能是() A.f(x)=xtcosx ex+e-x B.f(x)=x(sinx-x) ex+e-x C. D.f(x)=(cosx-x) ex+e-x 【答案】C 【解折】由愿意得/0=年-f-)==兴 elte-1 ete-T, 则r山+f(-)=+哥=车卡0，可得)不是奇函数，放4错误， f〔-刘=919-=-ee2=-f0. exte-x 则∫(x)是奇函数，当xE(0,+∞)时，g(x)在(0，+∞)上单调递减， 则g(x)=sinx-x<g(0)=0,与图象不符，故B错误， 由题意得f(-列=29-产=-f, exte-x 则∫(x)是奇函数，且∫(x)在(0，+∞)上有多个零点，故C正确， 由题意得，(-)=少c9-=鲜f=g4里=9年号 e1+e-1 elte-I, 测f+f(-1)-号+牛=2*0，可得了6)不是奇高数，故D指误 elte-T= 6.函数∫(x)和g(x)的定义域均为R,已知y=∫(x)为偶函数，y=g(x)+1为奇函数，对于xER,均有 f(x)+g(x)=x2+4,则f(4)g(4)=（) A.21 B.-21 C.125 D.0 【答案】B 【解折】f-)=f(8(-)+1=-g)-1→闭+8)=+4f)=+5 /)-8)=r2+6{g的=-→f4g④=-21 2 7.已知正实数a,b,满足a+2+3动+4=4V6,则的最小值是() a A.居 D.. 【答案】D 【解】令8=1，则a+名+36+合-46。加+2+30+446÷6+户6-4N66++2=0 a b bt b △=962-44+2X31+20→1≤1=8s3 b2 8.已知定义在R上的单调函数y=∫(x)满足∫(f(x)-2x-3x)=12.若对x∈[1,3]，3x1,x2,…,xn∈[-1， O](eN),使∫(x)≤∫(x)+f(x2)+…+f(xn)成立，则n的最小值为() A.6 B.7 C.9 D.10 【答案】B 【解析】设∫(x)-2r-3x=1,t为常数，则f(x)=2x+3x+t,且∫(x)在R上单调， ∫(t)=2+41=12, 1=2,∴.∫(x)=2+3x+2在R上单调递增 ,对x∈[1,3]，3x1,2,…,xn∈[-1,0](n∈N),使得f(x)≤f(x1)+f(x2)+tf(x)成立， 19-f(3)=fw)m≤〔()f()+-f()ha3=ni0.÷n≥19， ,即nmin=7. 3 二.多选题（共4小题） 9.下列结论中，所有正确的结论是（) A.若a>b>0,c<d<0,则ac<bd B.若0<a<b且c>0,则+c>b "a+c a C.若sin(x+y)=x+二-l,则x的值为1 X D.命题p:3xE[1,+∞)，ex≥x+1的否定是：x∈[l,+o∞)，e<x+1 【答案】ACD 【解析】c<d<0,则-c>-d>0,又a>b>0,则-ac>-bd>0,ac<bd,故A正确： 因为0<0<b且c>0,则+-名-b+9-a+9_abe0,即生点故B错误： a+c aa(a+c) a(a+c) a+c a x+L-1e(-o0,-3JU[l,+o),-1≤sin(x+)s1, 当且仅当x=1,故C正确： 命题p:3x∈[1，+∞)，*≥x+1的否定是：xE[1,+∞)，e<x+1,故D正确 10.已知函数∫(x)=Asin(wr+p)(A>0,ω>0，lpl<π)，其部分图象如图所示，其中B为最高点，tan9= 1 |AB=√10，则() A.A=2 C.9=5z 6 B.若fx)=f2)=2则lx1-x2lmin=等 D.2206f)=- +2√3 2 【答案】BC 【解析】由题意，过点B作x轴的垂线，垂足为C, Rt△ABC中，tan8=IAB1=VD,解得BC=1,AC=3,∫(x)的最大值为A=1,故A错误： 根据14C1=3=,解得f(x)的周期T=4,所以w=严=2妥=受f)=sm(受x+p), 结合f()=0,即sin(名+p)=0,仰l<,解得0=所以f)=stnm(受x+),故C正确： 令f(x)=2则x +g-君+2好x+-+2 6 解得x=-专+4k或x=4k,kE乙，所以K1-xmn=李故B正确： 根据∫(x)是周期为4的函数，可得y=f()是周期为12的周期函数， 所以206f(传)=168f(3)+f()+…+f(号》+f(3)+f()+…+f()+f(3)+f()》, 结合f3》=f)=f(号)=0，f得)=f》=-子f③)=f3)=-盟f得》=f号)=分 f(3)=f号)=，f陵)=-1，f(9)=1, 可得6f(货)=f(写》+f()+…+f()+f爱)+f(号)=-1之3，故D错误。 1山.关于函数)=c0s的说法正确的是() A.f(x)是奇函数 B.对于任意M>0,均存在x,使得∫(x,)>M C.存在aER,使得方程∫(x)=a有有限个解 D.对于任意k,aER,直线y=ar+a与f(x)的图象有无穷多个交点 【答案】ABD 【解析】f(-)=是文c0s(之)=-是cos(孕)=-f),故A正确： 当x=Zn(meN)时，了(x)=2m*cos(2mn）=2n-1=2m, 当取足够大的n时，可使2πn>M,故对于任意M>0,均存在x使得∫(x)>M,故B正确： 当x趋近于0时，f(x)在正负无穷间震荡，故方程∫(x)=a在x接近0时有无穷多解，故C错误： 当x趋近于0时，f(x)的震荡幅度趋向于无穷大，而a+a的线性增长相对缓慢.故在x接近0的区域内， ∫(x)与x+a必有无穷多次交叉，故D正确. 三.填空题（共3小题） 12.函数y=2+2r的值域为 【答案】(0,2] 【解析】x2+2x=.(x-1)2+1≤1，且y=2"在R上单调递增，所以y=2+2x的值域为(0,2). 13.将函数f)=cos(ax+君)(u>0)的图象向左平移写个单位长度后与函数g()=si(or)的图象重合，则0 的最小值为 【答案】4 【解析】∫(x+罗)=cos[w(x+3)+若1=cos(ox+号+若)， 又g6)=s9no的=cos(ox-受》.所以号+管=2m-e0,解得a=6-2ez, 因为ω>0，故当k=1时，ω取最小值4. 14已知实数y满足1+x=6,子+侧=多则号- 【答案】e 【解折】由e*-1+x=得e-1+x-1=5,即e*-1+hme*-1-5=0. 2y+my=得y2+2y=5,即y2+2-5=0. 所以el,y2是方程t+nt-5=0的解. 因为s=t+hnt-5是增函数，所以e=,即7=e. ex 四.解答题（共5小题） 15.已知命题p:函数f(x)=1og3x-a在区间（写，9）上没有零点：命题g:3xoE[0,2,使得x02-3x0+5-a>0 成立 (1)若p和g均为真命题，求实数a的取值范围： (2)若p和g其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数a的取值范围. 【解析】(1)当。<x<9时，~2<log3x<2,若f(x)=logx-a在区间（行，9）上没有零点，则a≥2或a≤-2： 若3x0∈[0,2]，使得xo2-3x+5-a>0成立，即3x0∈[0,2]，使得a<x02-3x0+5, 结合二次两数性质可得，02-30+5片引故a<5。 若p,g都为真命题，则2≤a<5或a≤-2， 故a的范围为{d2≤a<5或a≤-2} (2)当p真g假时，{a之2或a≤-2，即a≥5： a≥5 -2<a<2 当p假g真时， (a<5 a2,即-2<a<2, 故a的范围为{d-2<a<2或a≥5}. 16.如图，有一个扇环形花圃ABCD,外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l,圆心角为a(0<a<π). (1)当a=2时，求弧BC的中点E到弦BC的距离， (2)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积. E 【解析】(1)由题意，扇环形花圃ABCD,外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值21，圆心角为2， 设内圆弧半径为n,则AB=CD=0A=OD=r,所以AD=ra,BC=2rQ,所以ra+2a+2r=2l,则r=3a+2 设OE交BC于R,则由垂径定理得OELBC,LB0E=∠B0C=1, 当a=2时，r=32=3x2=年可得0P=7c0s1,可得EF=0E-0P=2r-7c01=1-6os1), 即点E到弦BC的距离为(1-cos1): (2) 由(1)得r=3a+2 则S喻郎=S前形OBC-S角形0A0=2×2ra×2r-2× 2xraxr =30 r2=612 612 2 =ga+1229含+12 4 2 当且仅当9x=各即a=子Sr取得最大值 17.已知函数f)=sn(x+号)@>0)在〔后，孕)上有最小值，无最大值，且满足了受=寸孕， (1)求∫(x)的最小正周期. (2)将函数∫(x)的图象向右平移(0<9<)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且对满足的/(x1)~g (2)=2的x,2有郁m-2lnm=号 (i)求p的值： ()若对任意的x1,2∈[-罗，]，都有∫(x1)<g(2)+m成立，求实数m的取值范围. 【解析】)由F(爱)=f.可知函数了图象的对称轴为x-型-子 因为(x)在（名，罗）上有最小值且无最大值，所以当x=时，f(x)取得最小值-1，即sn(@:军+罗)=-1. 由此可得w景+号-受+2kπ(k∈Z,化简后w=兰+8k. 又因为（爱，罗）的区间长度为后周期7=恶需大于该区间长度，故=0时，“=兰此时T=织 (2)()将∫x)的图象向右平移0个单位后，得到g6)=sn(学x-)+)=sim(学-号+). 3 由于V(x1)-g(x2)|=2,说明f(x1)与g(x2)一个取1、一个取-1. 当∫()=-1时，为=号+3(kEz:当g(2)=1时，名=磊+p+3驷(m∈2). 7 x1~的最小值为号，即1？-磊-p=牙结合0<9<君解得0=是 ()要使对任意x1,xE[-牙，引，都有f(x1)<g()+m成立，即m>f(x1)·g()的最大值. 对于f闭=sm(号+号.当xe[-号，引1时答+号e[-骨则故)的最大值为1 π 对于g阅=sn(华).当x-号，号时，些e〔-三，.故g0的最小值为-1 因此，∫(x1)-g(2)的最大值为1-(-1)=2，所以m>2,即m的取值范围是(2，+∞). 18.己知定义在R上的函数f(x)=-ax(a>0且a≠1). (1)判断函数∫(x)的奇偶性并证明： (2)若f1)=函数gx)=a2+a2-4f(x),xEl,2引，求函数g(x)的值域： (3)若a>1,h(x)=a-f(x),对任意xE[,+],不等式h(x+)≤[h(x)]2恒成立，求实数的取值 范围。 【解析】(1)函数∫(x)是R上的奇函数， 证明xeR,∫(-x)=ax-=-(-a)=-∫(x),所以函数∫(x)是R上的奇函数. (2)由f(1)=2得a--=2,即2a2-30-2=0,而o>0,解得a=2, 函数∫(x)=2r-2x,函数y=2,y=-2x在R上都是增函数， 因此f(x)是R上的增函数，故当xE1,2]时，f)∈[，]， g(x)=22+22x-4f(x)=f(x)]2-45(x)+2=f(x)-22-2, 则当f()=2时，g)m=-2,当f钩=华时，g6的x=名 所以函数g(x)的值域是[-2，名1. (3)当a>1时，y=,y=-ax在R上都是增函数， 因此f(x)=-ax是R上的增函数，而f(0)=0, 当x<0时，h（x)=ax+f(x)=:当x≥0时，h(x)=a-∫(x)=ax, 因此h(x)=a闭，h（-x)=aI=h(x),故h(x)是R上的偶函数，且在[0，+∞)上单调递减， 根据题意，若a>1,h(x)=a州-V(x),对任意xE[,+1],不等式h(x+入)≤[h(x)]恒成立， h(x+1)≤[h(x)]2台h(x+1)≤h(2x)台h(r+N)≤h(I2x)-+N≥2x, 因此3x2-2x-2≤0，则依题意对任意x∈[1,1+1]，p(x)=3x2-2入x-12≤0恒成立， 则0≤0 88,到≤0即3a*1)2-2以a41)-R≤0，解得1≤-景所的取值范周是（一0，-子 19.己知函数∫(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2,若对任意的x0ED1都存在n个不同的实数xI、2、、xnED2, 使得g(x)=∫(xo)(其中=l,2,…,n,nEN)则称g(x)为f(x)的“n重覆盖函数”.如g(x)=cosx (0<x<4π)是∫(x)=x(-1<x<1)的“4重覆盖函数”. (1)试判断g(x)=y(-2≤x≤2)是否为f(x)=1+sir(xeR)的“2重覆盖函数”？请说明理由： (2)若g(x)= 2+(2a-3)x+1,-2≤x≤1为f)=log2牛轻的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范国： (log2x,x>1 (3)若g(x)=1-l5,x(0.+o)为f(x)=2,xE(,)(0<5<)的“9重覆盖函数”，求1-的最 大值。 【解析】(1)g(x)=W(-2≤x≤2)不是∫(x)=1+six(xeR)的“2重覆盖函数”，理由如下： 当x=-2eD1=R时，f(-2)=1+sin(-2)=0, 此时对于g(x)=州(-2≤≤2)，有且只有一个实数x=0使得g(0)=∫(-罗)， 所以不满足对于任意的x0∈R,存在2个不同的实数x1,2ED2=[-2,2],使得g(x)=∫(x0), 所以g(x)=r（-2≤x≤2)不是∫(x)=1+sinx(xreR)的“2重覆盖函数”. (2)函数f)=log牛的定义线为R,即D1=R, 因为241>1,0<2中1，所以y=2号=1+241,2，所以f)的值城为(0,1， 函数g(x)= a2+(2a-3)x+1,-2≤x≤1的定义域为D2=[-2,+o), (log2x,x>1 因为g(x)= a+2a-3)x+1,-2≤x≤1为f)=l0g22的2重覆盖函数” (log2x,x>1 所以函数g(x)图像与y=m,m∈(0,1)有两个交点， 因为当x>1时，y=log2x>0,与y=m,mE(0,1)有一个交点， 所以当·2≤x≤1时，函数g(x)与y=m,m∈(0,1)有且只有一个交点， 下面讨论当-2≤x≤1时，函数g(x)情况， 当a=0时，g(x)=-3x+1,-2≤x≤1与y=m,mE(0,1)有且只有一个交点，满足题意， 当a<0时，函数g()开口向下，对称轴为x=-1+是<-1， 此时g(0)=1,g(1)=3a-2<0,g(-2)=7>g(0)=1, 故满足函数g(x)与y=m,m∈(0,1)有且只有一个交点， 当>0时，函数g)开口向上，对称轴为x=-1+名>-1， 当x=1+员<0，即a>2时，函数对称轴x=-1+(-,0, 由于g(0)=1,故g(x)与y=m,mE(0,1)有且只有一个交点不恒成立，不满足题意： 当x=1+名≥0，即0<a≤时， 要使g(x)与y=m,me(0,1)有且只有-个交点只需g(1)=3a-2≤0，解得a≤子故0<a≤子 综上所述，实数口的取值范国(-，争 (3)由题知，f(x)=x3,xE(s,1)(0<s<t)的值域为E(s3,), 因为g(x)=1-s型，xE(0,+)为f(x)=2,xE(,)(0<3<)的“9重覆盖函数”， 所以对于kE(s3,),都存在9个不同的实数x1,x2,…,x9使得g(x)=k, 所以函数g(x)=k有9个实数根，kE(s3,), 所以h（x)=1-sinx与y=x在x∈(0，+∞)有9个交点， 因为h(x)=1-sinnx的最小正周期为T=l,当xe[0,1]时，h（x)=1-sinm=-sinnx+l, 作出h（x)=1-sin与y=a的图像，如图， y y=l-lsinπc y=kx 2 56 所以h(x)=1-sinx与y=kx在xE(0,+∞)有9个交点需满足 4k<1 5k>1 解得< 所以从，少层所层 s}”解 所以1-：的殿大值为发得-语=疗方金陵中学2025-2026学年第一学期阶段性测试 高一数学试卷 一，选择题（共7小题） 1.设全集U=R,集合A={xsinx=-0},B={cosr=0},则集合{x$in2x=0}=（) A.A∩B B.AUB C.(CuA)UB D.AU (CuB) 2.已知a=20253,b=l0g10.7,c=log0,32026,则a,b,c的大小关系为（） 2 A.c<b<a B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b 3.函数f)=2x-的零点所在区间为(） A.(-1,0) B.(吃，1) C.(1,2) D.(2,3) 4.已知a>0,b>0且a+b=l,则7a+9 的最小值是() ab A.49 B.51 C.53 D.55 5.如图是下列四个函数中的某个函数在区间可[-8,8)上的大致图象，则该函数的解析式可能是() Af网=2警B.f阀=2 exte-x C.f) D.f(x)=(cosx-x) exte-x 6.函数∫(x)和g(x)的定义域均为R,已知y=∫(x)为偶函数，y=g(x)+1为奇函数，对于VxER,均有 f(x)+g(x)=x2+4,则f(4)g(4)=() A.21 B.-21 C.125 D.0 1已为正实数。，6满起a+子+动+年6，则号的最小值是《) a b 4 B. c.6 8.已知定义在R上的单调函数y=∫(x)满足∫((x)-2-3x)=12.若对x∈[1,3]，3x1,2,,xn∈[-1， 0](nN),使∫(x)≤f(x1)+f(x2)++f(xn)成立，则n的最小值为() A.6 B.7 C.9 D.10 二，多选题（共4小题） 9.下列结论中，所有正确的结论是() A.若a>b>0,c<d<0,则ac<bd B.若0<a<b且c>0,则2+>b a+c a C.若sin(x+y)=x+二-1，则x的值为1 D.命题p:3xe[1,+∞)，e≥x+1的否定是：x∈[l,+∞)，e'<r+1 10.已知函数∫(x)=Asin(r+p)(A0,ω>0，lpl<,其部分图象如图所示，其中B为最高点，tan9=》 1AB1=V10,则() A.A=2 c.9=6 5π B.若fc)=fx2)=分则k1-2mn=专 D.276f(货)=-3+25 2 山.关于函数f)=c0s的说法正确的是（） A.∫(x)是奇函数 B.对于任意M>0,均存在x使得∫(x)>M C.存在aER,使得方程∫(x)=a有有限个解 D.对于任意k,aER,直线y=r+a与f(x)的图象有无穷多个交点 三.填空题（共3小题） 12.函数y=2+2r的值域为 13.将函数f似)=cos(ox+g>0)的图象向左平移个单位长度后与函数g(x)=sin(ur)的图象重合，则u 的最小值为 14.已知实数y满足e1+x=6,产+侧=是则吃 5 四.解答题（共5小题） 15.已知命题p:函数f(x)=1og3r-a在区间(g,9)上没有零点：命题q:3xoE0,2引，使得xo2-3x0+5-a>0 成立 (1)若p和g均为真命题，求实数a的取值范围： (2)若p和g其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数a的取值范围. 16.如图，有一个扇环形花圃ABCD,外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2，圆心角为a(0<α<π). (I)当a=2时，求弧C的中点E到弦BC的距离， (2)当α为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积 E 0 D 17.已知函数f)=sn(ux+写)u>0)在（名，写）上有最小值，无最大值，且满足了（令=了孕。 (1)求∫(x)的最小正周期. (2)将函数∫(x)的图象向右平移(0<p<)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且对满足的y(x1)~8 ()=2的，n有郁1-hn=号 (i)求p的值： ()若对任意的，∈【-牙，引，都有f)<g()+m成立，求实数m的取值范围。 18.已知定义在R上的函数f(x)=d-ar(a>0且a≠1). (1)判断函数∫(x)的奇偶性并证明： (2)若f)=函数g(x)=a2+和2x-4(x,x[,2求函数g(x)的值域： (3)若a>1,h(x)=a-厂(x)b对任意xE[,+1],不等式h(x+)≤h(x)]2恒成立，求实数的取值 范围 19.已知函数∫(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2,若对任意的xoED1都存在n个不同的实数x1、x2、…、xnED2, 使得g(x)=∫(xo)(其中=l,2,…,n,nEN)则称g(x)为f(x)的“n重覆盖函数”.如g(x)=cosr (0<x<4m)是∫(x)=x(-1<x<1)的“4重覆盖函数”. (1)试判断g(x)=以(-2≤x≤2)是否为∫(x)=1+six(x∈R)的“2重覆盖函数”？请说明理由： (2)若0的=+亿a-3x+1,-2≤x百1为f的=log号的2重覆盖函数”求实数a的取值范国： (l0g2x,x>1 (3)若g(x)=1-5t型，E(0.+∞)为f()=,xE(s,)(0<5<)的“9重覆盖函数”，求1-的最 X 大值