2025-2026学年北师大版九年级下册数学第三章圆的性质（能力提升）

圆的性质（能力提升) 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA1BC,点D在劣弧AC上（不与点A、点C重合），BD与OA交于点E.设 LAED=,∠AOD=B,则() D 0 E B A.3a+B=180° B.2a+B=180°C.3a-B=90°D.2a-B=90° 2.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE1AB交⊙O于点E,垂足为点D,AE,CB的延长线交于点F.若OD=3, AB=8,则FC的长是() y 0 A.10 B.8 C.6 D.4 3.如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD1AB,OE1BC,OF1AC,垂足分别为D,E,F,连结DE, EF,FD.若DE+DF=6.5,△ABC的周长为21，则EF的长为() A D A.8 B.4 C.3.5 D.3 第1页，共7页 4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,BC/AD,AC1BD.若LA0D=120°，AD=√3，则LCAO的度数与BC 的长分别为() O A.10°，1 B.10°，V√2 C.15°，1 D.15,V2 5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E,AE=DE,BC=CE,过点O作OF1AC于点F,延长FO 交BE于点G,若DE=3,EG=2,则AB的长为() A E F G 0 A.4V3 B.7 C.8 D.45 6.如图，己知PA,PB是⊙O的两条切线，A,B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法： ①PA=PB:②OP⊥AB:③四边形OAPB有外接圆：④M是△AOP外接圆的圆心 M 其中正确说法的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图，在△MBC中，∠B=90°，∠C=45°，MB=2,点A在MB上，以AB为直径作⊙O,与MC相切于点 D,则AB的长为() C D 第2页，共7页 A.22 B.2V2-2 C.4W2-4 D.2-9 8.如图，AB是⊙O的直径，AB=4,点C为AB的三等分点（更靠近点A),点P是⊙O上的一个动点，取弦AP 的中点D,则CD的最大值为() B A.2 B.7 C.2W3 D.V3+1 二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分。 9.如图，点A,B,C在⊙O上，分别连接AB,BC,OC.若AB=BC,LB=40°，则∠0CB=一 A 0 B 10.如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A, B,则∠1+∠2+∠3+∠4=. 2 3 11.如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,C在格点上，以AB为直径的圆过C,D两点，则sinBDC=__ 12如图，在平面直角坐标系x0y中，直线y=号x+2与⊙0相交于A,8两点，且点A在x轴上，则弦AB 3 的长为一 第3页，共7页 13.如图，弦CD在以AB为直径的半圆O上滑动，M是CD的中点，CE1AB于点E.若弦CD始终保持与半圆O 的半径相等，则∠CEM的度数为. 0 C AE 0 B 14.阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是⊙O的一条折弦），BC>AB,点M 是ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足点D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD,请应用阿基米德折 弦定理解决问题：如图2，等腰三角形ABC内接于⊙O,AB=AC,点D为AB上一点，连接DB,∠ACD=45°， AC=6,BC=4,则△BDC的周长为一· 0 Dh B A 图1 图2 15.如图，已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF,连接AE、BF,交 点为P点，则PC的最小值为一 D 第4页，共7页 16.如图，已知⊙P的半径是1，圆心P在抛物线y=x2-2x+1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐 标为 17.母题在△ABC中，LC=90°，D为BC上的一点，AD平分∠BAC,以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过 点D,并分别交AC,AB于点E,F,连结OD. (1)直线BC与⊙0的位置关系是一： (2)直线AC与OD的位置关系是 (3)当LDAB=30时，LB=· (4当LDAB=30°，⊙0的半径为1时，AC= (5)当LDAB=30°，⊙O的半径为1时，△ABC的面积是 (6)若BD=3√3，BF=3,则⊙0的半径是 (7)若⊙0的半径为1，G是⊙0内一点，不与点0重合，则0G的取值范围满足」 (8)若⊙O的半径为1，点O到直线MN的距离为2，则直线MN与⊙O的关系为. 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.(本小题8分)己知四边形ABCD内接于⊙O,对角线BD是⊙O的直径. 图1 图2 (1)如图1，连接0A,CA,若OA1BD,求证：CA平分LBCD (2)如图2，E为⊙O内一点，满足AE1BC,CE1AB.若BD=3√3，AE=3,求弦BC的长. 第5页，共7页 19.(本小题8分)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB=BCD,连接AC,延长AD,BC交于点E. 0. (1)求证：∠BAC=∠E: (②)若O0的半径为5，AB=4W5,sin∠BAC=号，求CB的长. 20.(本小题8分)如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分LABC,∠BAC=∠ADB. (1)求证DB平分∠ADC,并求∠BAD的大小. (2)过点C作CF/AD交AB的延长线于点F,若AC=AD,BF=2,求此圆半径的长， 21.(本小题8分)如图，AB是⊙O的直径，点C,D是⊙O上的点，且OD/BC,AC分别与BD,OD相交于点 E,F. D A B (1)求证：点D为AC的中点： (2)若CB=6,AB=10,求DF的长； (3)若⊙O的半径为2，∠D0A=80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值. 第6页，共7页 22.(本小题8分)如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB. A (1)①求证：DB平分LADC;②求LBAD的度数. (2)过点C作CF/AD,交AB的延长线于点F,若AC=AD,BF=2,求此圆的半径长. 23.(本小题8分)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC是直径，AB=BC,连接BD,过点D的直线与CA的延 长线相交于点E,且LEDA=∠ACD A 0 B (1)求证：直线DE是⊙O的切线， (2)若AD=6,CD=8,求BD的长. 第7页，共7页 圆的性质（能力提升） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上不与点、点重合，与交于点设，，则(    ) A. B. C. D. 2.如图，是的外接圆，交于点，垂足为点，，的延长线交于点若，，则的长是(    ) A. B. C. D. 3.如图，是锐角三角形的外接圆，，，垂足分别为，，，连结，，若，的周长为，则的长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，四边形内接于，，若，，则的度数与的长分别为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.如图，是的外接圆，弦交于点，，，过点作于点，延长交于点，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，已知，是的两条切线，，为切点，线段交于点给出下列四种说法： ；；四边形有外接圆；是外接圆的圆心． 其中正确说法的个数是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，，点在上，以为直径作，与相切于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，是的直径，，点为的三等分点更靠近点，点是上的一个动点，取弦的中点，则的最大值为  (    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分。 9.如图，点，，在上，分别连接，，若，，则          ． 10.如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点，，则            11.如图，在边长为的正方形网格中，点，，在格点上，以为直径的圆过，两点，则           ． 12.如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于，两点，且点在轴上，则弦的长为          ． 13.如图，弦在以为直径的半圆上滑动，是的中点，于点若弦始终保持与半圆的半径相等，则的度数为          ． 14.阿基米德折弦定理：如图，和是的两条弦即折线是的一条折弦，，点是的中点，则从点向所作垂线的垂足点是折弦的中点，即请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图，等腰三角形内接于，，点为上一点，连接，，，，则的周长为          ． 15.如图，已知正方形边长为，、分别是、上的动点，且满足，连接、，交点为点，则的最小值为          ． 16.如图，已知的半径是，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为          ． 17. 母题在中，，为上的一点，平分，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，并分别交，于点，，连结． 直线与的位置关系是          ． 直线与的位置关系是          ． 当时，          ． 当，的半径为时，          ． 当，的半径为时，的面积是          ． 若，，则的半径是          ． 若的半径为，是内一点，不与点重合，则的取值范围满足          ． 若的半径为，点到直线的距离为，则直线与的关系为          ． 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分已知四边形内接于，对角线是的直径． 如图，连接，，若，求证：平分． 如图，为内一点，满足，若，，求弦的长． 19.本小题分如图，四边形 为的内接四边形，，连接 ，延长 ， 交于点 ． 求证：； 若的半径为，，，求的长． 20.本小题分如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． 求证平分，并求的大小． 过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 21.本小题分如图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，． 求证：点为的中点； 若，，求的长； 若的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 22.本小题分如图，圆内接四边形的对角线，相交于点，平分，． 求证：平分；求的度数． 过点作，交的延长线于点，若，，求此圆的半径长． 23.本小题分如图，四边形内接于，是直径，，连接，过点的直线与的延长线相交于点，且． 求证：直线是的切线． 若，，求的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $1.【答案】D 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】C 5.【答案】B 6.【答案】C 7.【答案】C 8.【答案】D 9.【答案】20° 10.【答案】90 11.【答案】 12.【答案】23 13.【答案】30° 14.【答案】4+62 15.【答案】5-1 16.【答案】(0,1)或(2,1) 17.【答案】【小题1】 相切 【小题2】 平行 【小题3】 【小题4】 2 【小题5】 5 8 参考答案 300 第1页，共1页 【小题6】 3 【小题7】 0<0G<1 【小题8】 相离 18.【答案】【小题1】 解：证明：：BD是⊙0的直径，OA⊥BD,:AB=AD.:∠BCA= 【小题2】 :BD是⊙O的直径，·∠BAD=∠BCD=90°.：DC⊥BC,DA⊥ :DC//AE,DA//CE.:四边形AECD是平行四边形 DC=AE=3BC=BD2-Dc=35-32=35 19.【答案】【小题1】 证明：：AB=BCn, ·∠BCA=∠BAD, 又：∠BCA=∠CAD+∠E,∠BAD=∠CAD+∠BAC, ·∠BAC=∠E. 【小题2】 解：连接OC并延长交⊙0于点F,连接BF, 0 B ·∠BAC=∠F, :CP为⊙0的直径， 第1页，共1页 ∠DCA:CA平分∠BCD. AB.:AE⊥BC,CE⊥AB, ·∠CBF=90°， “si∠BFC=8器=6=} BC=6, :∠BAC=∠E,∠ABC=∠EBA, ·△BAC∽△BEA, “器=船· 6 45, BE=9, CE=弩-6=号 20.【答案】【小题1】 解：：∠BAC=∠ADB,∠BAC=∠CDB, ·∠ADB=∠CDB, ·BD平分∠ADC, :BD平分∠ABC, ·∠ABD=∠CBD, :四边形ABCD是圆内接四边形， ·∠ABC+∠ADC=180°， ·∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°， .2(∠ABD+∠ADB)=180°， :∠ABD+∠ADB=90°， ·∠BAD=180°-90=90°； 【小题2】 解：：∠BAE+∠DAE=90°，∠BAE ·∠ADE+∠DAE=90°， &∠AED=90°， :∠BAD=90°， :BD是圆的直径， 第1页，共1页 ∠ADE, :BD垂直平分AC, ·AD=CD, AC=AD, ·△ACD是等边三角形， ·∠ADC=60° :BD⊥AC, ·∠BDC=克∠ADC=30°， CF AD, :∠F+∠BAD=180°， :∠F=90o, :四边形ABCD是圆内接四边形， ·∠ADC+∠ABC=180°， :∠FBC十∠ABC=180o, :∠FBC=∠ADC=60°， ·BC=2BF=4, :∠BCD=90°，∠BDC=30°， :BC=BD, 4BD=4, :BD是圆的直径， ·圆的半径长是4. 21.【答案】【小题1】 证明：：AB是⊙O的直径，：∠ACB=90°. :OD//BC,·∠OFA=90°，÷OF⊥AC,·AD=CD,即点D 【小题2】 解：：OF⊥AC,÷AF=CF,而OA=OB,·OF为△ACB的中位线， :OF=专BC=3,·DF=0D-0F=5-3=2. 【小题3】 第1页，共1页 为AC的中点. 解：如图，作C点关于AB的对称点C,连接CD交AB于点P,连接OC,OC'. D :PC=PC,·PD十PC=PD+PC'=DC',此时PC+PD的值最小. :AD=CD,·∠C0D=∠A0D=80°，·∠B0C=20o :点C和点C关于AB对称，·∠C0B=20°，·∠D0C=120°. 过点O作OH⊥DC于点H,则∠ODH=30·,CH=DH. 在Rt△OHD中，OH=0D=1,:DH=V30H=V3, ·DC'=2DH=23,:PC+PD的最小值为2V5. 22.【答案】【小题1】 ①：∠BAC=∠ADB,∠BAC=∠CDB,·∠ADB=∠CDB.:DB平分∠ADC ②：BD平分∠ABC,:∠ABD=∠CBD,:四边形ABCD是圆内接四边形， :∠ABC+∠ADC=180°.：∠ABD十∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°，即 2(∠ABD+∠ADB)=180°.：∠ABD+∠ADB=90°.：∠BAD=180°-90°=90° 【小题2】 :∠BAC十∠DAC=∠BAD=90°，∠BAC=∠ADB, :∠ADB+∠DAC=90°.：∠AED=180°-（∠ADB+∠DAC)=90°.：∠BAD=90°，÷BD是圆 的直径.·BD垂直平分AC:AD=CD.:AC=AD,·△ACD是等边三角形 :∠ADC=60°.：∠ADB=∠CDB,÷∠CDB=∠ADC=30.:CF//AD, :∠F+∠BAD=180°，：∠F=90°.：四边形ABCD是圆内接四边形，÷∠ADC十∠ABC=180°，又 :∠FBC+∠ABC=180°，·∠FBC=∠ADC=60°.：∠F=90°， ∠BCF=30°.BC=2BF=4.:∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD=90o,÷∠BCD=90°，又 :∠CDB=30°，·BD=2BC=8:BD是圆的直径，·圆的半径长是4 23.【答案】【小题1】 第1页，共1页 【证明】如图，连接0D.:OC=OD,:∠OCD=∠0DC.:AC是直径， ·ADC=90°.：∠EDA=∠ACD,·∠EDA=∠ODC, :∠ADO+∠EDA=∠ADO十∠0DC=∠EDO=90°，÷OD⊥DE.:OD是半径，·直线DE是⊙O 的切线。 H 【小题2】 【解】如图，过点B作BH⊥BD,交DC的延长线于点H,:∠DBH=90°.：AC是直径， :∠ABC=90°.：∠ABD=90°-∠DBC,∠CBH=90°-∠DBC,∠ABD=∠CBH.:四边形 ABCD内接于⊙0，·∠BAD+∠BCD=180°.：∠BCD+∠BCH=180°， ·∠BAD=∠BCH,:AB=CB,·△ABD≌△CBH(ASA,AD=CH,BD=BH.:AD=6, CD=8,:DH=CD+CH=14在Rt△BDH中，：BD2=DH2-BH2,BD=BH,·BD=7V2 第1页，共1页