精品解析：贵州省安顺市紫云苗族布依族自治县第三中学2025--2026学年八年级上学期数学期中试卷

紫云自治县第三中学教育集团2025－2026学年 八年级（上）数学期中测试卷 考试时间：120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共12小题，共36分） 1. 下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，于点，，添加下列一个条件后，能使用“”判定的条件是（ ） A. B. 与互余 C. D. 4. 图中能表示△ABC的BC边上的高的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（ ） A. 稳定性 B. 灵活性 C. 对称性 D. 全等性 7. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 如果的三边长分别为，的三边长分别为，，，若这两个三角形全等，则的值是（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 如图，直线、分别经过的顶点、．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 如图，在中，的垂直平分线相交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中正确的有（　　） ①；②；③；④． A. ①②③ B. ③④ C. ①④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共4小题，共16分） 13. 已知的边长两边长为2和4，第三边长为偶数，则第三边的值为________． 14. 如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件：______________，使△ABD≌△ACD． 15. 如图，在 中， 是的垂直平分线，，的周长为，则 的周长为______． 16. 在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR＝PS，AQ＝PQ，则下面三个结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是_____． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17. 如图，，，．求证：． 18. 如图，在中，于点D，是的角平分线，交于点E，，，求的度数． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴成轴对称的图形，并写出、、的坐标； （2）求的面积． 20. 如图，已知和，与交于点P，点C在上． （1）试说明：； （2）若．求的度数． 21. 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长． 22. 如图△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N （1）若BC＝10，求△ADE的周长． （2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数． 23. 小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 24. 如图，与相交于点C， ，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t． （1）当点P在运动时， （用含t的代数式表示） （2）求证： （3）当P， Q， C三点共线时， 求t的值． 25. （1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 紫云自治县第三中学教育集团2025－2026学年 八年级（上）数学期中测试卷 考试时间：120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共12小题，共36分） 1. 下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，即任意两边之和大于第三边．通过比较两个较短边之和与最长边的大小来判断． 【详解】解：A选项：，、、可以组成三角形，故A选项符合题意； B选项：，、、不能组成三角形，故B选项不符合题意； C选项：，、、不能组成三角形，故C选项不符合题意； D选项：，、、不能组成三角形，故D选项不符合题意． 综上，只有选项A满足条件． 故选： A． 2. 下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是基础，找到对称轴是关键． 3. 如图，于点，，添加下列一个条件后，能使用“”判定的条件是（ ） A. B. 与互余 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，熟记“”定理是解题的关键，要利用“”判定，由已知于点，，得必须添加斜边相等即可． 【详解】解：于，， ∴利用“”判定必须添加斜边相等，即， 故选：． 4. 图中能表示△ABC的BC边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形高线的定义对各选项进行判断． 【详解】解：题中需要画的边上的高．应当过顶点A向边作垂线，顶点A到垂足E的垂线段就为边上的高． 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标是， 故选：． 6. 如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（ ） A. 稳定性 B. 灵活性 C. 对称性 D. 全等性 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，理解三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性,即得答案． 【详解】解：该做法利用了三角形的稳定性． 故选A． 7. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，过D作于F，根据角平分线的性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵是中的角平分线，于点E，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 8. 如果的三边长分别为，的三边长分别为，，，若这两个三角形全等，则的值是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等分两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵与全等， ∴有两种情况：①，， 解得，， ∴； ②，， 解得，， ∴； ∴的值是或， 故选：． 9. 如图，直线、分别经过的顶点、．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，平角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行得出角的关系，再利用平角的性质，求解即可． 【详解】解：如图 ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故选B． 10. 如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知，求出点P的坐标为，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，由点P的坐标知，，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由条件可知， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴． 答案：D． 11. 如图，在中，的垂直平分线相交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理．连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵、的垂直平分线交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 12. 如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中正确的有（　　） ①；②；③；④． A. ①②③ B. ③④ C. ①④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】因为，且，故延长至G，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以①是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，根据等腰三角形的性质可以判断③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的． 【详解】解：如图，延长至G，使，设与交于点M， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，故①是正确的； ∵， ∴，故③正确； ∴平分， 当时，，则， 当时，，则无法说明，故②是不正确的； ∵， ∴， ∵， ∴，故④是正确的， 综上所述：其中正确的有①③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，正确理解题意是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，共16分） 13. 已知的边长两边长为2和4，第三边长为偶数，则第三边的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得，可得x的范围，然后再确定x的值即可． 【详解】解：设第三边长为x，由题意得： ， 解得：， ∵第三边长为偶数， ∴， ∴第三边的长为． 故答案为：． 14. 如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件：______________，使△ABD≌△ACD． 【答案】∠B=∠C 或者∠BAD=∠CAD 或者BD=DC 【解析】 【详解】解：添加∠B=∠C，可用AAS判定两个三角形全等； 添加∠BAD=∠CAD，可用ASA判定两个三角形全等； 添加BD=CD，可用SAS判定两个三角形全等． 故答案为：∠B=∠C或∠BAD=∠CAD或BD=CD 15. 如图，在 中， 是的垂直平分线，，的周长为，则 的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由是的垂直平分线，可得，，的周长为，将代入，得，即可求出的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ， 已知的周长为，即， 将 代入，得， 的周长． 16. 在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR＝PS，AQ＝PQ，则下面三个结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是_____． 【答案】①② 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，和全等三角形的判定，可证Rt△ASP≌Rt△ARP，得AS=AR；∠PAR=∠PAQ，可证PQ∥AR． 【详解】解：连接AP， 在Rt△ASP和Rt△ARP中， PR=PS，PA=PA， 所以Rt△ASP≌Rt△ARP， 所以①AS=AR正确； 因为AQ=PQ， 所以∠QAP=∠QPA， 又因为Rt△ASP≌Rt△ARP， 所以∠PAR=∠PAQ， 于是∠RAP=∠QPA， 所以②PQ∥AR正确； ③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等． 故答案为①②． 【点睛】此题考查了到角平分线的性质（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）及全等三角形的判定和平行线的判定定理；正确作出辅助线是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17. 如图，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ， 在和中， ， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质：利用“角角边”证明即可． 【详解】略 18. 如图，在中，于点D，是的角平分线，交于点E，，，求的度数． 【答案】的度数为 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识点，首先根据三角形外角的性质得到,然后利用角平分线的概念和三角形内角和定理求解即可，熟练掌握三角形内角和是并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：, , , , 是的角平分线， , , ． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴成轴对称的图形，并写出、、的坐标； （2）求的面积． 【答案】 （1）画出图形如下： , 、、的坐标为、、； （2）的面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，写出坐标即可； （2）利用割补法求面积即可求解． 【详解】解：（1）、、的坐标为、、； （2）的面积为． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形的对称、割补法求面积，根据轴对称的定义画出图形是解题的关键． 20. 如图，已知和，与交于点P，点C在上． （1）试说明：； （2）若．求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 即． 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，推导出，而，即可根据证明，则； （2）由，求得，由全等三角形的性质得A，则，即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ． ， ， ． 21. 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长． 【答案】（1）证明：∵, ∴, 又∵ ∴ ∴ 又∵, ∴点在的角平分线上 ∴平分 （2） 【解析】 【分析】（1）可先根据已知条件证明，得到，再结合,，根据角平分线判定定理，即可证明； （2）先证明，得到，所以，结合条件，代入即可得到答案． 【详解】（1） 略 （2）解：∵ ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查角平分线的判定定理，直角三角形的全等判定，正确理解题意是解题关键． 22. 如图△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N （1）若BC＝10，求△ADE的周长． （2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数． 【答案】（1）△ADE的周长＝10；（2）∠DAE＝20°． 【解析】 【分析】（1）由AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，AE=EC，继而可得△ADE的周长等于BC的长； （2）由∠BAC=100°，可求得∠B+∠C的度数，又由AD=BD，AE=EC，即可求得∠BAD+∠CAE的度数，继而求得答案． 【详解】（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10． （2）∵∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°， ∵AD＝BD，AE＝CE， ∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C， ∴∠BAD+∠CAE＝80°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝100°﹣80°＝20°． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 23. 小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 【答案】（1） ，理由如下； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． （2）爸爸接住小丽的地方距地面的高度为 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴爸爸接住小丽的地方距地面的高度为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，证明是解题的关键． 24. 如图，与相交于点C， ，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t． （1）当点P在运动时， （用含t的代数式表示） （2）求证： （3）当P， Q， C三点共线时， 求t的值． 【答案】（1） （2） 证明：在和中， ， ， ； （3）t的值为8或 【解析】 【分析】本题主要考查代数式和全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想． （1）根据题题意求得，则； （2）根据题意即可利用证明，从而得出结论； （3）根据题意得，则，结合（1）可得和，由三点共线得，即可证明，有，利用分类讨论列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设点P的运动时间为， 根据题意得：，则， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 根据题意得：，则， ， ∵P，Q，C三点共线， ， 在和中， ， ， ， ∴当时，， ， 当时，， ， 解得：， ∴综上所述，当P、C、Q三点共线时，t的值为8或． 25. （1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 【答案】 （1）证明：直线，直线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：结论成立；理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，； （2）同理（1）证明即可； （3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：同理（2）可得，， ∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ∴，， ， ∴， ∴， ∴与的面积之和为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $