精品解析：山东省威海市临港区2024-2025学年上学期九年级数学期末检测试卷

2024-2025学年第一学期期末质量检测 初四数学 注意事项： 1．本试卷共6页，共120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题在指定位置用0.5毫米黑色签字笔作答，在试卷或草稿纸上答题无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分．） 1. 物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变，当物体与影子全等时（ ） A. 物体与投影面平行 B. 物体与投影面垂直 C. 任一位置 D. 不存在这种情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行投影，熟练掌握平行投影的性质是解题的关键．根据题意，由平行投影的性质即可解答． 【详解】解：当物体与投影面平行时，物体与影子全等，反之亦然， 故选：A． 2. 如图，为的两条弦，连接，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆，等边对等角．熟练掌握圆，等边对等角是解题的关键． 如图，连接，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3. 若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数的综合运算能力，先根据非负数的性质求出与的值，再根据特殊角的三角函数值求出、的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 在中，，且， ∴是直角三角形． 故选：C． 4. 如图，线段，的端点，，，均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．取格点，使得，连接，得到，根据勾股定理的逆定理可推出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，取格点，使得，连接， ， ，，， ， ， ， 故选：C． 5. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值。根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为． 故选：A． 6. 如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E，F分别在线段PA和PB上，且AD＝BF，BD＝AE．若∠P＝α，则∠EDF的度数为（ ） A. 90°﹣α B. α C. 2α D. 90°﹣α 【答案】D 【解析】 【分析】根据切线性质，证得≌，通过等量代换得出，再根据等腰三角形的性质，由∠P＝α，求得即可． 【详解】解： ∵PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点， ∴PA=PB， ∴，即 在与中， ∵ ∴≌（SAS）， ∴， 在中， , ∵， ∴， ∵， ∴， ∵∠P＝α，PA=PB， ∴ ∴在中，，即， ∵， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，通过全等证明，等量代换求得是解题关键． 7. 如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（ ） A. 先增大后减小，最大面积为8 B. 先减小后增大，最小面积为6 C. 始终不变，面积为6 D. 始终不变，面积为8 【答案】D 【解析】 【分析】令求出的长，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，利用一线三直角的全等模型证明，．从而利用三角形的面积公式得出，从而得解． 【详解】解：令， 解得：， ， ． 过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于， 四边形是正方形， ，， ， 又轴， ， ， ，，， ， ． 同理可得：． ， 与面积和始终不变，面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，二次函数图象与x轴的交点，三角形的面积公式等知识，涉及的模型是一线三直角的全等模型，构造全等模型得出，是解题的关键． 8. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据B、D关于y轴对称，得出D点坐标为，再求出左边抛物线的顶点C的坐标为，则右边抛物线的顶点F的坐标为，设右边抛物线的解析式为，代入即可得出答案． 【详解】解：∵高，，B、D关于y轴对称， ∴D点坐标为， ∵轴，，最低点C在x轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 9. 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连接，则面积的最大值是（　　） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数图象与坐标轴的交点坐标、圆上动点问题，勾股定理，求出圆上距离直线最近的点到直线的距离是解决此题的关键．过作于，的延长线交于，连接，根据一次函数求出点A、B的坐标，然后利用等面积即可求出的值，根据圆上距离直线最远的点为，即可求得最大值，进而求得答案． 【详解】解：过作于，连接， 将，代入中，得， 将代入中，得 ∴点B的坐标为点A的坐标为 ∴ 根据勾股定理可得 则由三角形面积公式得，， ∴， ∴， 的半径 ∴圆上点到直线的最大距离是，即点P为与的交点时 ∴面积的最大值是， 故选：C． 10. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④若且，则，其中正确结论有（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图像与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求得与的关系，以及熟练掌握二次函数与方程、不等式之间的转化是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断的大小，根据抛物线与轴的交点判断的大小，根据对称轴和抛物线与轴的交点情况进行推理，对结论逐一判断，即可解答． 【详解】解：图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右边， 故， ，故①正确； 根据对称轴为直线，抛物线与轴的交点在的左边， 抛物线与轴另一个交点在和之间， 由图知，当时，，故②正确； 当时，函数有最大值为， ，即，故③错误； ∵， ∴， 令，， 则：在二次函数的图像上， ， 关于对称轴直线对称， 根据中点公式可得，则，故④错误； 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果．） 11. 在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，平行投影，根据“同时同地物高与影长成正比”列式计算即可得解．解题的关键要熟练掌握相似三角形的性质． 【详解】解：设旗杆高度为， 由题意得：， 解得：， ∴这根旗杆的高度为． 故答案为：． 12. 某校九年级学生参加社团活动，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为9，底面圆的直径为，则该圆锥的全面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的全面积．熟练掌握圆锥的全面积为，其中为底面圆半径，为母线长是解题的关键． 根据圆锥全面积为，其中为底面圆半径，为母线长，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为______米． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．利用锐角三角函数的定义，求出的长，进一步求出的长即可． 【详解】解：在中，． ， （米）， 在中，． ， （米）， （米）． 故答案为． 14. 我国数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为8寸，锯长AB为24寸，则圆材的直径为_______寸． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．设圆形木材的圆心为，延长，连接，由题意知过点，且，由垂径定理可得，设圆形木材半径为，可知寸，寸，根据列方程求解可得． 【详解】解：设圆形木材的圆心为，延长，连接， 如图所示：由题意知：过点，且， 则， 设圆形木材半径为寸， 则寸，寸， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为13寸， 故答案为：26． 15. 如图，在为直径的半圆中，，，则弦，与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面积的比值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识点，如图，连接、、，分别用表示出阴影面积和半圆面积，然后计算比值即可得解，熟练掌握其性质，正确的作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，连接、、， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设圆的半径为r，过C点作于点F， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴, 故答案为：． 16. 如图，直角三角板的直角顶点C在x轴上，两直角边（足够长）分别与双曲线和相交于A、B两点，已知点A的坐标为，且，则点C的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征：图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．过A作轴于D，过B作轴于E，依据，即可得到，设，则，即可得到，根据点B在双曲线上，即可得到a的值，进而得出点C的坐标是． 【详解】解：如图，过A作轴于D，过B作轴于E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， 设，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点B在双曲线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴点C的坐标是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 已知：二次函数 （1）将函数解析式化为的形式； （2）补全表格，用描点法画出该函数的图象： … 0 1 2 3 … … … （3）结合图象回答下列问题 ①函数时，x的取值范围_______； ②当时，y的取值范围_______； ③方程有实根，则m最大值是_______． 【答案】（1） （2）0，3，4，3，0；图象见解析； （3）①；②；③4． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，作出函数图象并利用图象是解题关键． （1）利用配方法化为顶点式即可； （2）先求出各点的纵坐标，完成表格，再描点连线即可； （3）①观察图象可知，当时，x的取值范围为；②当时，；当时，，当时，y有最大值4，据此即可得到答案；③方程变形为方程，当抛物线与直线有交点时，方程方程有实根，而抛物线的顶点的纵坐标为4，据此即可得到答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：0，3，4，3，0； 如图， ； 小问3详解】 ①当时，x的取值范围为； 故答案为：； ②当时，； 当时，， 当时，y有最大值4， 当时，y的取值范围为； 故答案为：； ③方程变形为方程， 当抛物线与直线有交点时，方程方程有实根， 而抛物线的顶点的纵坐标为4， 所以， 即m的最大值为4． 故答案为：4． 18. 四张质地相同的卡片上如图所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．小红和小明想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图，你认为这个游戏公平吗？请用列表法或树状图说明理由；若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平． 【答案】不公平，可以改为和不大于9的小红胜，大于9的小明胜（方法不唯一），详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图求概率和游戏公平性问题等知识点，用树状图列出他们所抽卡片的所有等可能结果，再根据概率公式分别计算小红小明胜负的概率即可作出判断，然后修改规则使概率相等即可得解，熟练掌握树状图求概率是解决此题的关键． 【详解】不公平，理由如下： 由树状图知共有16种等可能结果，其中和为奇数的有6种，此时概率为，和为偶数有10种，此时概率为， ∵， ∴这个游戏是不公平的， 可以改为和不大于9的小红胜，大于9的小明胜，它们的概率各为（方法不唯一）， ∴此时游戏是公平． 19. 如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边与键盘所在面的侧边长均为，点P为眼睛所在位置，D为的中点，连接，当时，称P点为“最佳视角点”，此时，作，垂足C在的延长线上，且． （1）求点D到的距离；（结果保留根号） （2）求的长．（结果精确到，参考数据） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用,涉及矩形的判定与性质、锐角三角函数等知识，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过D点作DE⊥OC于E点，在，先求得，，然后利用锐角三角函数求解即可； （2）过D点作于F点，证明四边形是矩形得到，，，进而得到，求得，在中，利用锐角三角函数求得，进而可求解． 【小问1详解】 解：过D点作于E点，则 ， 在中， ∵， ∴， 答：点D到的距离为； 【小问2详解】 解：过D点作于F点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴(cm)， 即的长度为． 20. 在数学活动课上，顾老师提出了一个问题： 如图1，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： 如图2，连接，作的垂直平分线交于点E，交于点F，再作的垂直平分线，交于P，交于点Q，则点P即为满足的点． 结合图2回答下列问题： （1）与是否相等?请说明理由； （2）小亮的做法是否正确?若正确，请说明理由；若不正确，请用无刻度直尺和圆规在图1中作出所求的点P． 【答案】（1）相等，理由见解析 （2）不正确，图见解析 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，尺规作图——线段垂直平分线的作法： （1）根据垂径定理的推论进行判断； （2）平分线段，而不是所对的弦，因此不能平分，可得小亮做法不正确，正确的作法应该是连接，作的垂直平分线，与的交点即为所求的点P． 【小问1详解】 解：与相等， 理由：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 【小问2详解】 解：不正确，作图如下． 21. 如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数． （1）求t的值； （2）若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？ 【答案】（1）20 （2）分钟 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的的值即可； （2）先求解一次函数的解析式，再分别求得时的函数值，即可求解． 【小问1详解】 解：设反比例函数的关系式为． 把代入，得：． ∴． ∴． 当时，， ∴． 小问2详解】 解：设一次函数函数的关系式为． 把代入，得：，解得：， ∴， 当在温度下降过程中，， 解得：， 当在温度上升过程中，， 解得：， ∴， ∴一次循环过程中有属于有效制冷时间． 22. 如图，的直径交于P，P是的中点． （1）求的长； （2）过点作，垂足为，求证：直线是的切线． 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，由直径可得，进而得出，再结合线段中点，即可求出的长； （2）连接，由垂直平分线的性质，得到，进而得出，结合垂线的定义，得出，由等边对等角的性质，得到，从而得出，即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图，连接， 是直径， ， ， ， ， P是的中点， ； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ，P是的中点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 直线是的切线． 【点睛】本题考查了圆周角，勾股定理，垂直平分线的判定风信子，等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，掌握圆的相关性质是解题关键． 23. 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙之间悬挂一条近似抛物线的彩带如图2所示，已知墙与等高，且之间的水平距离为8米． （1）如图2，两墙的高度是__________米，抛物线的解析式为__________； （2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． （3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙AB的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式． 【答案】（1）3， （2）点到地面的距离为2.25米 （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由待定系数法求出函数表达式，当时，，即可求解； （3）设出抛物线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，得到． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的对称轴为，则， 解得：； 抛物线的表达式为，则点，即（米）； 【小问2详解】 解：设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得，解得， 抛物线的表达式为， 当时，（米， 点到地面的距离为2.25米； 【小问3详解】 解：由题意知，点、纵坐标均为3，则右侧抛物线关于、对称， 抛物线的顶点的横坐标为，则抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 整理得． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图像与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值． 24. 问题提出 （1）如图①，线段在，，将绕点O在平面内旋转，的最大值是 ，最小值是 ； 问题探究 （2）如图②，已知在中，，，在上取一点D，当的长为多少时，，说明理由． 问题应用 （3）如图③，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值． 【答案】（1）6，2；（2）当的长为1时，，理由见解析；（3）5 【解析】 【分析】本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识． （1）当，，三点共线，且点在线段的延长线上时，点在线段上时，即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质到了即可得到结论； （3）如图，在上取一点，使得．由，推出，推出，推出，由，当、、共线时，的值最小，最小值为． 【详解】解：（1）当，，三点共线，且点在线段的延长线上时，的最大值是， 当，，三点共线，且点在线段上时，的最小值是， 故答案为：6，2； （2）当的长为1时，，理由如下： ，，， ，， ， ， 又， ∴， ， ； （3）如图，在上取一点，使得，连接，，， 、 正方形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ，， ，， ∴， ， ， ， ， 当、、共线时，的值最小， 最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末质量检测 初四数学 注意事项： 1．本试卷共6页，共120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题在指定位置用0.5毫米黑色签字笔作答，在试卷或草稿纸上答题无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分．） 1. 物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变，当物体与影子全等时（ ） A. 物体与投影面平行 B. 物体与投影面垂直 C. 任一位置 D. 不存在这种情况 2. 如图，为的两条弦，连接，若，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 4. 如图，线段，的端点，，，均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，与交于点，则（ ） A B. C. D. 5. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E，F分别在线段PA和PB上，且AD＝BF，BD＝AE．若∠P＝α，则∠EDF的度数为（ ） A. 90°﹣α B. α C. 2α D. 90°﹣α 7. 如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（ ） A. 先增大后减小，最大面积为8 B. 先减小后增大，最小面积为6 C. 始终不变，面积为6 D. 始终不变，面积为8 8. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连接，则面积的最大值是（　　） A. 8 B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④若且，则，其中正确结论有（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果．） 11. 在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为______． 12. 某校九年级学生参加社团活动，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为9，底面圆的直径为，则该圆锥的全面积为______． 13. 如图，小强从热气球上A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为______米． 14. 我国数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为8寸，锯长AB为24寸，则圆材的直径为_______寸． 15. 如图，在为直径的半圆中，，，则弦，与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面积的比值等于______． 16. 如图，直角三角板的直角顶点C在x轴上，两直角边（足够长）分别与双曲线和相交于A、B两点，已知点A的坐标为，且，则点C的坐标是__________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17 已知：二次函数 （1）将函数解析式化为的形式； （2）补全表格，用描点法画出该函数的图象： … 0 1 2 3 … … … （3）结合图象回答下列问题 ①函数时，x的取值范围_______； ②当时，y的取值范围_______； ③方程有实根，则m最大值是_______． 18. 四张质地相同的卡片上如图所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．小红和小明想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图，你认为这个游戏公平吗？请用列表法或树状图说明理由；若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平． 19. 如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边与键盘所在面的侧边长均为，点P为眼睛所在位置，D为的中点，连接，当时，称P点为“最佳视角点”，此时，作，垂足C在的延长线上，且． （1）求点D到的距离；（结果保留根号） （2）求的长．（结果精确到，参考数据） 20. 在数学活动课上，顾老师提出了一个问题： 如图1，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： 如图2，连接，作的垂直平分线交于点E，交于点F，再作的垂直平分线，交于P，交于点Q，则点P即为满足的点． 结合图2回答下列问题： （1）与是否相等?请说明理由； （2）小亮做法是否正确?若正确，请说明理由；若不正确，请用无刻度直尺和圆规在图1中作出所求的点P． 21. 如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数． （1）求t的值； （2）若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？ 22. 如图，的直径交于P，P是的中点． （1）求的长； （2）过点作，垂足为，求证：直线是的切线． 23. 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙之间悬挂一条近似抛物线的彩带如图2所示，已知墙与等高，且之间的水平距离为8米． （1）如图2，两墙高度是__________米，抛物线的解析式为__________； （2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． （3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙AB的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式． 24. 问题提出 （1）如图①，线段在，，将绕点O在平面内旋转，的最大值是 ，最小值是 ； 问题探究 （2）如图②，已知在中，，，在上取一点D，当的长为多少时，，说明理由． 问题应用 （3）如图③，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $