精品解析：山东省威海市临港区2024-2025学年上学期九年级数学期末检测试卷

2024-2025学年第一学期期末质量检测 初四数学 注意事项： 1．本试卷共6页，共120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题在指定位置用0.5毫米黑色签字笔作答，在试卷或草稿纸上答题无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分．） 1. 物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变，当物体与影子全等时（ ） A. 物体与投影面平行 B. 物体与投影面垂直 C. 任一位置 D. 不存在这种情况 2. 如图，为的两条弦，连接，若，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 4. 如图，线段，的端点，，，均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E，F分别在线段PA和PB上，且AD＝BF，BD＝AE．若∠P＝α，则∠EDF的度数为（ ） A. 90°﹣α B. α C. 2α D. 90°﹣α 7. 如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（ ） A. 先增大后减小，最大面积为8 B. 先减小后增大，最小面积为6 C. 始终不变，面积为6 D. 始终不变，面积为8 8. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连接，则面积的最大值是（　　） A. 8 B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④若且，则，其中正确结论有（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果．） 11. 在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为______． 12. 某校九年级学生参加社团活动，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为9，底面圆的直径为，则该圆锥的全面积为______． 13. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为______米． 14. 我国数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为8寸，锯长AB为24寸，则圆材的直径为_______寸． 15. 如图，在为直径的半圆中，，，则弦，与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面积的比值等于______． 16. 如图，直角三角板的直角顶点C在x轴上，两直角边（足够长）分别与双曲线和相交于A、B两点，已知点A的坐标为，且，则点C的坐标是__________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 已知：二次函数 （1）将函数解析式化为的形式； （2）补全表格，用描点法画出该函数的图象： … 0 1 2 3 … … … （3）结合图象回答下列问题 ①函数时，x的取值范围_______； ②当时，y的取值范围_______； ③方程有实根，则m最大值是_______． 18. 四张质地相同的卡片上如图所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．小红和小明想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图，你认为这个游戏公平吗？请用列表法或树状图说明理由；若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平． 19. 如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边与键盘所在面的侧边长均为，点P为眼睛所在位置，D为的中点，连接，当时，称P点为“最佳视角点”，此时，作，垂足C在的延长线上，且． （1）求点D到的距离；（结果保留根号） （2）求的长．（结果精确到，参考数据） 20. 在数学活动课上，顾老师提出了一个问题： 如图1，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： 如图2，连接，作的垂直平分线交于点E，交于点F，再作的垂直平分线，交于P，交于点Q，则点P即为满足的点． 结合图2回答下列问题： （1）与是否相等?请说明理由； （2）小亮的做法是否正确?若正确，请说明理由；若不正确，请用无刻度直尺和圆规在图1中作出所求的点P． 21. 如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数． （1）求t的值； （2）若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？ 22. 如图，的直径交于P，P是的中点． （1）求的长； （2）过点作，垂足为，求证：直线是的切线． 23. 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙之间悬挂一条近似抛物线的彩带如图2所示，已知墙与等高，且之间的水平距离为8米． （1）如图2，两墙的高度是__________米，抛物线的解析式为__________； （2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． （3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙AB的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式． 24. 问题提出 （1）如图①，线段在，，将绕点O在平面内旋转，的最大值是 ，最小值是 ； 问题探究 （2）如图②，已知在中，，，在上取一点D，当的长为多少时，，说明理由． 问题应用 （3）如图③，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网命组卷网 2024-2025学年第一学期期末质量检测 初四数学 注意事项： 1.本试卷共6页，共120分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 2.答题前，请用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题卡和试卷规 定的位置上 3.所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题在指定位置用0.5毫米黑色签字笔作答，在试卷或草稿纸上答题无 效 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.下列各题所给出的四个选项中，只 有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.) 1.物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变，当物体与影子全等时() A.物体与投影面平行 B.物体与投影面垂直 C.任一位置 D.不存在这种情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行投影，熟练掌握平行投影的性质是解题的关键.根据题意，由平行投影的性质即 可解答. 【详解】解：当物体与投影面平行时，物体与影子全等，反之亦然， 故选：A 2如图，1B,AC⊙ 为 0的两条弦，连接OB0C,若A=50,则∠B+∠C 等于() 第1页/共38页 6学科网组卷网 45° B.500 C S5o D. 60° A. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆，等边对等角.熟练掌握圆，等边对等角是解题的关键， 如图，连接OA,由OA=OB=OC,可得∠B=∠OAB,∠C=∠OAC,根据∠B+∠C=∠A,求解作 答即可. 【详解】解：如图，连接OA, .OA=OB=OC, .∠B=∠OAB,∠C=∠OAC. .∠B+∠C=∠OAB+∠OAC=∠A=50°. 故选：B 3.若2cosA-+(amB-V5=0,则A4BC是() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 【答案】C 第2页/共38页 6学科网命组卷网 【解析】 【分析】本题考查实数的综合运算能力，先根据非负数的性质求出tanB与cosA的值，再根据特殊角的 三角函数值求出∠A、∠B的值即可. 【详解】解：：2cosA-V3+(tanB-v5=0, ..2cos4-3=0.(tanB-3)=0. .cos 4=3 2,tanB=√5， ∠A=30°，∠B=60°， Rt△ABC∠C=180°-60°-30°=90°。∠A≠∠B 交 中 ,且 .△ABC是直角三角形. 故选：C 4.如图，线段AB,CD的端点A,B,C,D均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，AB与 CD E tan∠BED={) 交于点，则 B 4 J 3 A.3 B.2 C.2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形. 第3页/共38页 6学科网命组卷网 取格点H,使得 DH=AC AH I CD ,连接BH,得到∠BED=∠BMH,根据勾股定理的逆定理可推 出∠AHB=90°，最后根 tan∠BED=tan∠BAH=B AH,即可求解. 【详解】解：如图，取格点H,使得 AHC ,连接BH ∴.∠BED=∠BAH, AB2=32+42=25AH2=1P+22=5BH=22+42=20 ∴.AH2+BH2=5+20=25=AB2 ∴.∠AHB=90°， tan∠BED=tan∠BAH=BH-V20=2 AH5 故选：C B 5.二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为lOcm×l0Cm的正方形纸 片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴 影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为() 第4页/共38页 6学科网命组卷网 A.60cm2 B.120em2 C.0.6cm2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即 为概率值。根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为0.6，即黑色阴影 的面积占整个面积的0.6，据此求解即可. 【详解】解：，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右， ∴.点落在黑色阴影的概率为0.6， ∴.黑色阴影的面积占整个面积的0.6， ∴黑色阴影的面积为 0×10×0.6=60cm2 故选：A 6.如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A,B为切点，点D在AB上，点E,F分别在线段PA和PB上，且 AD=BF,BD=AE.若∠P=C,则∠EDF的度数为() 第5页/共38页 6学科网命组卷网 A E D B 3 1 A.90°-u B.2 a C.2a D.90°-2d 【答案】D 【解析】 【分析】根据切线性质，证得△DAE≌△FBD,通过等量代换得出∠EDF=∠DAE,再根据等腰三角形 的性质，由∠P=a,求得∠DAE即可， 【详解】解：，A和PB是⊙O的两条切线，A,B为切点， .'PA=PB. ∴.∠PAB=∠PBA,即∠DAE=∠DBF 在△DAE与△FBD中， AD=BF ∠DAE=∠DBF AE=BD :.△DAE≌△FBD(SAS), ,∠DEA=∠FDB, 在△DAE中， ∠DAE+∠AED+∠EDA=180° ,∠DEA=∠FDB, .∠DAE+∠FDB+∠EDA=180°. .∠EDF+∠FDB+∠EDA=180°， .∠EDF=∠DAE, 第6页/共38页 6学科网6组卷网 :∠P=a,PA=PB, .∴.∠PAB=∠PBA 六在aPAB中，∠B1P=0-0,即∠DME=90 2, ·∠EDF=∠DAE, ∠BDF=90°-la 2 故选：D 【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，通过全等证明，等量代换求 得∠EDF=∠DAE是解题关键， 7.如图，抛物线y=-r+2x+3与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与'轴交于点C,点P是抛 物线上位于x轴上方的一点，连接AP、BP,分别以AP、BP为边向△ABP外部作正方形APED、 BPFG ·点从点“运动到点°的过程中，△ABD与△MBG BD AG P ,连接 与 的面积之和() E B A.先增大后减小，最大面积为8 B.先减小后增大，最小面积为6 C.始终不变，面积为6 D.始终不变，面积为8 【答案】D 【解析】 【分折1令y=-+2x+3=0求出AB的长，过点D作DMLx箱于M,过点P作PW上x轴于N, 过点G行GO1特F9,利用线三直箱的全签核型证明DM=N.GQ=BN 从而利用三角形的 第7页/共38页 6学科网 命组卷网 1 面积公式得出S+Sac24B,从而得解。 【详解】解：令y=-x2+2x+3=0 解得：=-山x2=3 :A(-1,0),B(3,0) .AB=4 轴于 过点D作DMLr镇于M,过点P作PN Lx轴rN,过点G作GOL轴 G NB :四边形APED是正方形， ∴.AD=PA∠DAP=90° .∠DAM+∠NAP=180°-∠DAP=90° 又：DM1x轴， ∴.∠DAM+∠MDA=90° .∠MDA=∠NAP ·∠AMD=∠PNA=90°∠MDA=∠NAP AD=PA .△AMD≌△PNA 第8页/共38页 6学科网列组卷网 .DM=AN GO=BN 同理可得： Sm+54B-DM+号4B-G0-4BN+号4BN-4B(uN+-48-8 2 △ABD,△ABG 8 与 的面积和始终不变，面积为· 故选：C 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，二次函数图象与x轴的交点，三角形的面积 公式等知识，涉及的模型是一线三直角的全等模型，构造全等模型得出DM=AN,G=BN 是解题的 关键。 8.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于 y 轴对称， 1E训x轴，MB=4cm,最低点C在辅上，高CH=引cm,BD=2cm 则右轮廓DFE所 在抛物线的解析式为() A-或- c=2-3那py=x-3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据B、D关于y轴对称，得出D点坐标为），再求出左边抛 物线的顶点C的坐标为一3,0) 则右边抛物线的顶点P的坐标为3,0) 设右边抛物线的解析式为 第9页/共38页 6学科网6组卷网 y=a(x-3,代入即可得出答案. 【详解】解：，高CH=lcm,BD=2cm,B、D关于y轴对称， D点坐标为() ,AE轴， AB=4cm,最低点C在x轴上， .AB关于直线CH对称， 左边抛物线的顶点C的坐标为（一3,0）， 二右边抛物线的顶点P的坐标为(3,0) 设右边抛物线的解析式为y=a(x-3)}, 0代人行1=a0-3驴.解用0= 故右边抛物线的解析式为'=4(-3 故选：B 3 9如图，已知直线=4- 与x轴、y轴分别交于A,B两点，P是以C(0,)为圆心，1为半径的圆上 PA,PB 一动点，连接 ,则aPAB 面积的最大值是() 第10页/共38页 6学科网 6组卷网 21 A.8 B.3V2 C.2 D.2V3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数图象与坐标轴的交点坐标、圆上动点问题，勾股定理，求出圆上距离直线 .C,CM⊥AB.MMC .⊙ON 最近的点到直线的距离是解决此题的关键.过作 的延长线交于”，连接 AC CM 根据一次函数求出点A、B的坐标，然后利用等面积即可求出 C的值，根据圆上距离直线B最 远的点为CM+r,即可求得最大值，进而求得答案， 【详解】解：过C作CM⊥AB于M,连接AC, 3 将x=0,代入y=4-3中，得y=3, x-3 3 将y=0代入少=x-3 4 中，得x=4 ∴点B的坐标为(0，-3)点A的坐标为4,0) OA=4,OB=3,BC=1-(-3)=4 根据勾股定理可得1B=V0+OB2=5 第11页/共38页 6学科网命组卷网 1 1 ×AB×CM=二×OA×BC 则由三角形面积公式得，2 :5xCM-16 w ~C(0,) ∴.⊙C r=OC=1 的半径 3 21 ·圆C上点到直线少 北-3 16+1= 4 的最大距离是55，即点P为CM与⊙O的交点时 1 2121 -×5× ∴.△PAB面积的最大值是252， 故选：C 10二次函数y=am+bx+c(a≠0)的图象如图所示.下列结论：①bc<0,②a-b+c<0,③m为年 意实数，则a+b>am+bm,④若心+bx=+b且≠5，则+：=4，其中正确结论有《 A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④ 【答案】A 【解析】 第12页/供38页 学科网命组卷网 【分析】本题考查了图像与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求得2a与b的关系，以及熟练掌握 二次函数与方程、不等式之间的转化是解题的关键 由抛物线的开口方向判断的大小，根据抛物线与'轴的交点判断C的大小，根据对称轴和抛物线与x轴 的交点情况进行推理，对结论逐一判断，即可解答. 【详解】解：图象的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右边， 放0<0，b>0.c>0 ∴.abc<0 ,故①正确： 根据对称轴为直线x=L,抛物线与x轴的交点在(3,0)的左边， ∴抛物线与x轴的另一个交点在1,0)和0,0)之间 由图知，当x=-1时，y=a-b+c<0,故②正确： 当x=1时，函数有最大值为a+b+C, ∴a+b+c≥am+bm+c,即a+b≥ar+bm,故③错误 .ax+bx=axz+bx2 .x+c=a+bx+c 令片=a+bx+c.h=ag+bx+c 则：()，(：，少)在二次函数y=m+bx+c(a≠0）的图像上， ,x1丰x2 :(任，)，(x22)关于对称轴直线x=1对称 x+左=1 根据中点公式可得2 ,则x+x3=2,故④错误： 第13页/共38页 命学科网命组卷网 故选：A。 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.只要求填出最后结果.） 11.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时测得一根旗杆的影长为10m,那么这根旗 杆的高度为_ m 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，平行投影，根据“同时同地物高与影长成正比”列式计算即可得解. 解题的关键要熟练掌握相似三角形的性质。 【详解】解：设旗杆高度为m, x1.8 由题意得： 103, 解得：x=6, ∴.这根旗杆的高度为6m, 故答案为：6. 12.某校九年级学生参加社团活动，学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线长为9Cm,底面圆的直径 为8cm,则该圆锥的全面积为， cm2 【答案】52π 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的全面积。熟练学握圆锥的全面积为S=S侧+S=π+πr2 ,其中”为底面圆 半径，1为母线长是解题的关键 根据圆锥的全面积为S=S+Sx=π刊+πr2S=S侧+S底=l+πr2 其中r为底面圆半径，【为母线 长，代值求解即可. 第14页/供38页 6学科网命组卷网 r=8=4,1=9 【详解】解：由题意知， 2 S=z×4x9+πx42=52元(cm2)】 故答案为：52π. 13.如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角∠DAB=30°，测量这栋高楼底部的俯角 ∠D4C=60心°，热气球与高楼的水平距离为1D=15W5米，则这栋高楼的高BC为米 B 130 60°D 777777777 77777777 【答案】60 【解析】 BD,CD 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用.利用锐角三角函数的定义，求出 的长，进一步求出 BC 的长即可. 【详解】解：在Rt△ABD中，∠ADB=90° tan /D4B=tan 309=BD_3 AD 3, BD=ADam30°=15V3×=5(米 3 在RtAABD中，∠ADC=90°. 第15页/供38页 6学科网 命组卷网 :tan∠DAC=tan60°=cD=V5 AD :CD=4Dtan60°=153×V5=45(米)， ∴.BC=BD+AD=15+45=60 (米). 故答案为60 14.我国数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸， 锯长一尺，问径如何？”，问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测 得深度CD为8寸，锯长AB为24寸，则圆材的直径为. 寸 B 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键.设圆 形木材的圆心为O,延长CD,连接OA,由题意知CD过点O,且OC⊥AB,由垂径定理可得 AD=BD=12,设圆形木材半径为r,可知OD=(-8)寸，OA=r寸，根据OP=0D2+AD2列方程 求解可得. 【详解】解：设圆形木材的圆心为O,延长CD,连接OA, D 第16页/供38页 学科网 命组卷网 如图所示：由题意知：CE过点O,且OC⊥AB, 则4D=BD=)AB=12 设圆形木材半径为”寸， 则OD=(-8)寸，0A=r寸， 0A2=0D2+AD2 r2=(r-8)2+122 解得：r=13, .00 的半径为13寸， 故答案为：26. 15.如图，在AB为直径的半圆中，DE=BC,∠CAB=30°，则弦DE,AC与半圆围成的阴影部分的 面积与半圆面积的比值等于 D B 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识点， 如图，连接OD、OE、BC,分别 S形0C表示出阴影面积和半圆面积，然后计算比值即可得解，熟 练掌握其性质，正确的作出辅助线是解决此题的关键. 【详解】如图，连接OD、OE、BC, 第17页/共38页 6学科网命组卷网 E AB为直径， .∠ACB=90°， .∠CAB=30°， .∠ABC=60°. OB=OC. ∴.△OBC为等边三角形， .∠B0C=60°， :.∠A0C=120°， DE=BC, .∠DOE=60°=∠BOC, 设圆的半径为r,过C点作CF⊥AB于点F, DON无).SwS.e,of》 6 2 4 S影=S扇形A0C-S。A0C-(S扇形OE-S,DOE)=2S形OC-S。A0c-S扇形0OE+S,D0E=S扇形B0C, 第18页/供38页 6学科网6组卷网 S半圆=3S扇形80C S9些=S倍形0C- :.S半圆 3S扇形80C 3, 故答案为：3. k y=二(x<0) 16.如图，直角三角板的直角顶点C在x轴上，两直角边（足够长）分别与双曲线x y=8(x>0 相交于A、B两点，己知点A的坐标为-12)，且AC:BC=2:1,则点C的坐标是 【答案】(3,0) 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征：图象上的点（比）的横纵坐标的积是定值k, 即= .过A作MD1轴于D,过B作BELX轴于&，依据△ACDACBE, 即可得到 CE BE BC 1 ADDC=CA2,设C0=a,则DC=1+a,即可得到气 根据点B在双曲线 第19页/共38页 6学科网命组卷网 8 y=(x>0) X 上，即可得到a的值，进而得出点C的坐标是(3,0) 【详解】解：如图，过A作AD⊥x轴于D,过B作BE⊥x轴于E, .∠ADC=∠ACB=∠BEC=90° .∠ACD+∠BCE=90°=∠CBE+∠BCE, ∴.∠ACD=∠CBE, .△ACD∽ACBE. CE BE BC 1 .AD DC CA 2, ·点4的坐标为（1,2) .DO=1,AD=2, 设CO=a,则DC=1+a, CEBE1 .21+a2, CE=1.() 第20页/共38页 6学科网组卷网 .OE=a+1, y=8(x>0)上， 8 ,点B在双曲线x :(a+xa4-8 2 解得a=3或a=-5(舍去)， ·点C的坐标是(3,0) 故答案为： (3,0) 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17已知：二次函数)=-x+2x+3 Ay 4 3 1 -3-2-1 01234x .2 3 (1)将函数解析式化为y=a(x-h)+k。 的形式： (2)补全表格，用描点法画出该函数的图象： 0 2 3 第21页/共38页 命学科网命组卷网 (3)结合图象回答下列问题 ①函数 >0 时，x的取值范围一： ②当-1<x<2时，y的取值范围 ③方程x+2x-m=-3 实根，则最大值是 【答案】(1)y=-(x-1)2+4 (2)0,3,4,3,0 如图， 54-3-201245 (3)① ;② ；③4. -2 -3 -4 -5 -1<x<3 0<y≤4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，作出函数图象并利用图象是解 题关键， (1)利用配方法化为项点式即可： (2)先求出各点的纵坐标，完成表格，再描点连线即可； 0时，的取值范国为1K<3,®当=-，y=0,当=2时。 > (3)①观察图象可知，当 当s1 y=3 时，y有最大值4，据此即可得到答案：③方程X+2x-m=-3 形为方程 第22页/供38页 命学科网命组卷网 -+2x+3=m,当揽物线y=-t+2x+3与直线’=m有交点时，方程方程+2x-m=-3有实 根，而抛物线的顶点的纵坐标为4，据此即可得到答案. 【小问1详解】 解：y=-x+2x+3=-(x-}+4 【小问2详解】 当x=-1时，y=-(-1-2+3=0 当x=0时，y=3 当x=1时，y=-+2+3=4 当x=2时，y=-22+4+3=3 当x=3时，y=-32+6+3=0 故答案为：0,3,4,3,0： 【小问3详解】 ①当'>0时，的取值范围为1<x<3。 故答案为：-1<x<3: ②当术=-1时y=0 时， 当x=2时y=3 时， 当x=1时，y有最大值4， 当-1<x<2时，y的取值范围为0<y≤4； 故答案为：0<y≤4： 第23页/共38页 命学科网组卷网 @方程术+2x-m=-3变形为方程r+2x+3=m 当抛物线y=-x+2x+ 与直线'=m有交点时，方程方程t+2x-m=-3有实根， 而抛物线的顶点的纵坐标为4， 所以m≤4， 即m的最大值为4. 故答案为：4. 18.四张质地相同的卡片上如图所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上.小红和小明想用以上四张 卡片做游戏，游戏规则见信息图，你认为这个游戏公平吗？请用列表法或树状图说明理由；若认为不公平， 请你修改规则，使游戏变得公平， 随机抽取一张卡片，记下数字 放回，洗匀后再抽一张，将抽 取的第一张、第二张卡片的数 字分别相加.若和为奇数，则 小红胜：和为偶数，则小明胜 【答案】 不公平，理由如下： 开始 第一张 第二张2467246724672467 468968101181012139111314 63 由树状图知共有16种等可能结果，其中和为奇数的有6种，此时概率为168，和为偶数有10种，此时 105 概率为168， 第24页/共38页 6学科网 组卷网 3,5 .88, 这个游戏是不公平的， 可以改为和不大于9的小红胜，大于9的小明胜，它们的概率各为2（方法不唯一）， 此时游戏是公平 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图求概率和游戏公平性问题等知识点，用树状图列出他们所抽卡片的所有 等可能结果，再根据概率公式分别计算小红小明胜负的概率即可作出判断，然后修改规则使概率相等即可 得解，熟练掌握树状图求概率是解决此题的关键. 【详解】略 19.如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所 在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm,点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接 PDPD⊥AO ∠AOC=120°PC⊥OB OB ，当 时，称P点为“最佳视角点”，此时 ,作 垂足C在的 延长线上，且BC=12cm. B 图1 图2 (1)求点D到OB的距离：（结果保留根号） (2)求PC的长.（结果精确到0.1cm,参考数据V2≈1.414，V3≈1.732） 【答案】(1)6V3cm 第25页/供38页 6学科网命组卷网 (2)34.6cm 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及矩形的判定与性质、锐角三角函数等知识，准确作出辅助 线构造直角三角形是解题的关键， (1)过D点作DE⊥OC于E点，在Rt△DOE,先求得∠DOE=60°，D0=12cm,然后利用锐角三角 函数求解即可； (2)过D点作DF⊥PC于F点，证明四边形DECF是矩形得到DF∥CE,DF=CE, CF=DE=6V3cm,进而得到∠PDF=90°-60°=30°，求得DF=BC=42cm,在RtPDF中，利 用锐角三角函数求得PF=DF-tan.∠PDF=42.tan30=14V3(cm ,进而可求解。 【小问1详解】 解：过D点作DE⊥CO于E点，则∠DEO=90°， 在Rt△D0E中'∠D0E=180°-∠A0C=180°-120°=60 :D0=AD=)40=12(cm） 2 :.DE=D0-sin∠D0E=12sin60°=-6v5(cm) 答：点D到OB的距离为6√3cm 【小问2详解】 B-Tc 解：过D点作DF⊥PC于F点， 第26页/供38页 6学科网命组卷网 .PC⊥OB,DE⊥CO, .∠C=∠DEO=∠DFC=90°， 四边形DECF是矩形， :DF /CE,DF=CE CF=DE=63cm .∠ODF=∠DOE=60°. .∠PDF=90°-60°=30°， .E0=0D=6(em） 2 :DF=EC=E0+OB+BC=6+24+12=42(cm) 在RPDF，中PF=DFm∠PDF=42-n30=42x5=14N5(em）】 3 :PC=PF+FC=14W3+6N5=20N3≈34.6(cm)cm, 即PC的长度为34.6cm. 20.在数学活动课上，顾老师提出了一个问题： 如图1，已知AB,在AB上作一点P,使AP=3PB 小亮同学很快就给出了下列思路： 如图2，连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点丑，交AB于点R,再作FB的垂直平分线GH, 交AB于P,交AB于点O,则点P即为满足AP=3PB的点 结合图2回答下列问题： 第27页/供38页 命学科网组卷网 B D火 图1 图2 (山)AE与EB是否相等请说明理由： (2)小亮的做法是否正确？若正确，请说明理由：若不正确，请用无刻度直尺和圆规在图1中作出所求的 点P 【答案】(1) 解：AE与EB相等， 理由：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧： (2) 解：不正确，作图如下. D米 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，尺规作图一一线段垂直平分线的作法： (1)根据垂径定理的推论进行判断； (2) GH平分线段FB,而不是EB所对的弦，因此GH不能平分EB,可得小亮做法不正确，正确的作 法应该是连接EB,作EB的垂直平分线，与EB的交点即为所求的点P. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 第28页/共38页 命学科网命组卷网 略 21.如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图.该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到 -4℃ -20℃ 时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到 时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上 升到一4℃时，制冷再次开始，，按照以上方式循环工作.通过分析发现，当0≤x<4时，温度y是时 间x的一次函数；当4≤x<1时，温度y是时间x的反比例函数. 个y/℃ 04 x/min -20 (1)求t的值： (2)若规定温度低于-10℃的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时 间？ 【答案】(1)20 (2)6.5分钟 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键 (1)由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上(4，-20) 点求出反比例 函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当)=一4 时的的值即可： (2)先求解一次函数的解析式，再分别求得x=-10时的函数值，即可求解. 【小问1详解】 y= 解：设反比例函数的关系式为x 第29页/共38页 6学科网命组卷网 把(4，-20)代入，得： 20= 4 .k=-80 :s80 当y=4时， 480 t, ∴.t=20 【小问2详解】 解：设一次函数函数的关系式为'=-4 把（4，-20)代入，得：-20=4k-4,解得：k=-4, .y=-4x-4 当在温度下降过程中，-10=-4x-4, 解得：x=1.5, 当在温度上升过程中， -10=80 x, 解得：x=8, :8-1.5=6.5(min) ∴.一次循环过程中有6.5min属于有效制冷时间. ⊙0 AB=10,∠ABC=30°，BC、⊙O BC 22.如图， 的直径 交 于P,P是心的中点. 第30页/共38页 6学科网组卷网 B (1)求BC的长： (2)过点P作P21AC .P⊙0 垂足为”，求证：直线P吧是 的切线. 【答案】(1)10V3 (2) 证明：如图，连接OP, ∠AB=90,P是BC的中点， BC ∴.AP BC 垂直平分 .AC=AB :.∠C=∠ABC=30°， .PQ⊥AC ∴.∠PQC=90° 第31页/共38页 6学科网命组卷网 ∴.∠CPQ=60° ..OB=OP, ∠OPB=∠OBP=30°， ∴.∠OP2=180°-∠OPB-∠CPQ=90° 又OP是半径， 直线 9⊙0 是 的切线 【解析】 【分析】(1)连接4P,由直径可得 APB=90°，进而得出1 BP=53 ,再结合线段中点，即可求出 BC 的长： (2)连接OP,由垂直平分线的性质，得到AC=AB,进而得出∠C=∠ABC=30°，结合垂线的定义， ∠CP9=60° ∠0P9=90° 得出 由等边对等角的性质，得到∠OPB=∠OBP=30°，从而得出 即可证 明结论、 【小问1详解】 解：如图，连接AP, AB是直径， ∴.∠APB=90° .AB=10,∠ABC=30° :.AP=1AB-5, 2 BP=AB2-AP2 =53 BC “P是的中点， 第32页/供38页 学科网命组卷网 .BC=2BP=103 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角，勾股定理，垂直平分线的判定风信子，等腰三角形的判定和性质，圆的切线 的判定定理，掌握圆的相关性质是解题关键， 23.在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰. 图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物徐少=2？ 5+3 的彩带如图2所示，已 知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米. 个ym) 个y(m) ∠ FM F B(O D x(m) BO D x(m) 图1 图2 图3 AB,CD (1)如图2，两墙 的高度是 米，抛物线的解析式为」 (2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到 E 墙AB距离为3米，使抛物线P的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离. (3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位 1 置，使抛物线B对应的二次函数的二次项系数始终为5，若设点M距墙AB的距离为m米，抛物线B的 最低点到地面的距离为n米，探究n与m的关系式. 【答案】(1)3，y=0.1x-0.8x+3 (2)点M到地面的距离为2.25米 第33页/共38页 命学科网组卷网 1 41 n=- (3) m+亏m- 20 5 【解析】 【分析】(1)由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2)由待定系数法求出函数表达式，当x=3时，y=4-2+2=2.25 4 即可求解； 3)设出执物找的表武为：y=亏-4牛门高点C标代入了家 2 1 0m2+41 8-4.有到”2055 -m- 5 2 【小问1详解】 4 解：由题意得，抛物线的对称轴为=4，则x=4-、6、 5 2a2a' 解得：a=0.1: “抛物线的表达式 y=0.1x-08x+3,则点40,3》，即B=0=3(米)： ,则点 【小问2详解】 解：设抛物线的表达式为y=a(x-2》+2 将点A的坐标代入上式得3=a0-2)+2,解得7=4 抛物线的表达式为y=4x-2}2+2 1 4 当x=3时，少=4(x-2y+2=2.25 (米) ∴点M到地面的距离为2.25米； 第34页/供38页 命学科网命组卷网 【小问3详解】 解：由题意知，点M、C纵坐标均为3，则右侧抛物线关于M、C对称， 1 1 1 (m+8)=4+二m ,y=(x-4- m)2+n ∴.抛物线的顶点的横坐标为2 2,则抛物线的表达式为5 3=28-4-m+n 将点C的坐标代入上式得5 2 1 41 n=- m2+-m- 整理得 20 5 5 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图像与性质、将二次函 数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点 式可以求得函数的最值. 24.问题提出 (1)如图①，线段在OA=4,OB=2,将OB绕点0在平面内旋转360°，AB的最大值是一，最 小值是一 问题探究 (2)如图②，己知在△BPC中，BP=2,BC=4,在BC上取一点D,当BD的长为多少时， PD-1 PC ,说明理由。 问题应用 (3)如图③，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求 PD+LPC 2的最小值. 第35页/供38页 6学科网组卷网 B B D ① ③ 【答案】(1)6,2： PD=IPC (2)当BD的长为1时， 2,理由如下： PB=2 BC=4 BD=1 ..PB2=4 BD-BC=4 .PB2 BD-BC BD BP 1 .BP BC 2, 又.∠B=∠B. .△BPD∽aBCP, PD BD 1 .PC BP 2, 1 ∴.PD=-PC (3)5 【解析】 【分析】本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识， (I)当A,O,B三点共线，且点B在线段OA的延长线上时，点B在线段OA上时，即可得到结论； (2)根据相似三角形的判定和性质到了即可得到结论： 第36页/供38页 可学科网丽组卷网 PG BG 1 (3)如图，在BC上取一点G,使得BG=1.由△PBGP△CBP,推出PCPB2,推出 PGPC,接PD+PC=DP+PG,由DP+PG≥DG,当D,G,P共我时 PD+LPC 2 2 的值最小，最小值为DG=5 【详解】解：(1)当A,O,B三点共线，且点B在线段OA的延长线上时，AB的最大值是 0A+OB=6. 当A,O,B三点共线，且点B在线段OA上时，AB的最小值是OA-OB=2, 故答案为：6,2； (2)略 (3)如图，在BC上取一点G,使得BG=1,连接PB,PG,DG, D P BG 正方形ABCD的边长为4， .AB=BC=CD=4. ..CG=BC-BG=3. DG=DC2+CG2=5 PB=2=2BC=4=2 .BG 1,PB 2, 第37页/共38页 6学科网命组卷网 PB BC .BGPB,∠PBG=∠PBC, :△PBG∽△CBP PG BG 1 .PC PB 2, :.PG=-PC 2, PD+PC=DP+PG DP+PG≥DG 1 PD+PC .当D、G、P共线时， 2 的值最小， 最小值为DG=5. 第38页供38页