河南省豫北名校2025-2026学年高一上学期阶段性测试（二）（第五次大联考）数学试卷

2025-2026 学年高一年级阶段性测试(二) 数学(A)答案 一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 1. 答案 A 命题透析 本题考查集合的补运算. 解析 ,所以 . 2. 答案 命题透析 本题考查二分法与函数零点. 解析 函数的图象与 轴有 4 个交点,左右函数值异号的交点有 3 个,所以可以用二分法求近似值的零点个数为 3 . 3. 答案 A 命题透析 本题考查指数函数与对数函数的性质. 解析 因为 ,所以 . 4. 答案 命题透析 本题考查正切函数的性质. 解析 令 ,得 ,故 的单调递增区间为 ,经验证,只有 符合. 5. 答案 命题透析 本题考查三角函数的概念与诱导公式的应用. 解析 由题意有 ,所以 . 6. 答案 命题透析 本题考查指数函数与对数函数的性质. 解析 设 ,则 . 在同一坐标系内分别作出 的图象,再作出直线 与三个图象相交,可以看出,当 时,有 ,当 时,有 ,故 错误. 因为 ,所以 成立,故 错误, 正确. 7. 答案 A 命题透析 本题考查函数的图象与方程的根. 解析 如图,作出 的大致图象. 要使 有 3 个不同的实数根,只需 ,即 ,所以实数 的取值范围是 . 8. 答案 命题透析 本题考查指数函数与对数函数的性质. 解析 的定义域为 ,分别令 ,如图,两函数均在 内单调递增,因为当 时, ,当 时, ,当 时, ,所以要使 恒成立,则 与 的符号相同,所以 ,即 ,所以 (当且仅当 时,等号成立),所以 的最小值为 4 . 二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 答案 ABD 命题透析 本题考查正弦函数的图象与性质. 解析 对于 ,因为 为奇函数,故 正确; 对于 ,因为 ,为最大值,故 正确; 对于 ,因为 ,所以 不为 的一个零点,故 错误; 对于 ,因为 ,所以 ,且 在 上单调递减,所以 在区间 上单调递减,故 正确. 10. 答案 命题透析 本题考查新定义, 函数性质的综合. 解析 对于 ,所以 ,故 错误; 对于 ,当 时, ,故 正确; 对于 ,由 ,得 ,解得 ,根据高斯函数的定义可得 ,故 C 正确; 对于 ,令 ,得 ,在同一坐标系内作出 和 的图象如图,两图象有 2 个交点,所以函数 有 2 个零点,故 错误. 11. 答案 ACD 命题透析 本题考查函数的性质. 解析 对于 ,设 是定义在 上的偶函数,对任意的 ,符合定义,所以所有偶函数都具有性质 ,故 正确; 对于 ,因为 ,且 的取值范围是 ,所以不存在实数 ,使得 恒成立,故 错误; 对于 ,对任意的 ,当 时, ,当且仅当 ,即 时,等号成立,又因为 ,故对任意的 ,所以 具有性质 ,故 正确; 对于 ,易知 ,因为 , 所以 ,则 ,所以 ,即 ,所以 1，要使得 恒成立，则 ，又因为 ，所以 ，所以 的取值范围为 ,故 正确. 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12. 答案 命题透析 本题考查分段函数的单调性. 解析 当 时, 单调递增,所以只需满足 解得 . 13. 答案 命题透析 本题考查三角函数的基本概念与同角三角函数的基本关系. 解析 原式 ,因为 , 所以 ,所以 ,得 . 14. 答案 1 命题透析 本题考查指数与对数的运算性质,对数函数的性质. 解析 因为函数 和 互为反函数,所以 ,所以 即 ,两边取对数得 ①. 即 ，整理得 ，即 ②. 易知函数 在 上单调递增,且当 时, ,当 时, ,所以此函数有且仅有一个零点,所以 ,即 ,所以 . 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 命题透析 本题考查集合的表示与运算. 解析 . (2 分) 当 时, , (4 分) 则 . (5 分) (2)若 ，则 . (6 分) 若 ,则方程 无实数根, 所以 ,解得 . (8 分) 若 ,则方程 的根都在区间 内, 由 解得 或 . 综上, 的取值范围是 . (13 分) 16. 命题透析 本题考查弧度制的应用以及扇形的有关计算. 解析 (1) 正五边形的一个内角为 , (2 分) 当 时, . (5 分) (2)由题意知 ，所以 . (8 分) 周长 , (13 分) 当且仅当 ,即 时等号成立. 因此,当 时,扇形的周长最小,最小值为 16 . (15 分) 17. 命题透析 本题考查三角函数的图象与性质. 解析 (1) 因为 的最小正周期 ,所以 . (2 分) 所以 . (3 分) 当 时, , 所以 在 上的值域为 . (6 分) (2)令 ，得 ， 所以 的单调递减区间为 . (10 分) 由题意知 ,又 在该区间中,所以 , 即 ,所以 解得 . 即 的最大值为 . (15 分) 18. 命题透析 本题考查对数函数的性质. 解析 (1) 当 时, . (2 分) 令 ,则 ,得 , (4 分) 所以 的最小值为 . (5 分) (2)令 ,当 时， ， (7 分) 所以 即 ,即 恒成立,所以 . (9 分) 易知函数 在 上单调递增, 所以 ,所以 , 即 的取值范围为 . (11 分) (3)若 ，则当 时， . 因为 ,所以 ,即 ,所以 . (13 分) 若 ,则当 时, . 因为 ,所以 ,即 ,所以 ,得 . (15 分) 综上,实数 的取值范围是 . (17 分) 19. 命题透析 本题考查新信息的应用及函数性质的综合应用. 解析 (1) 易知 的定义域为 . (1 分) 因为 , 所以 , 即 的图象关于点 中心对称. (4 分) (2)因为 ，所以 ， 令 ,则 . (5 分) 设函数 , 因为 的图象为开口向上的抛物线,对称轴为 , 所以当 ,即 时, ,解得 ; (7 分) 当 ,即 时, ,无解. (8 分) 综上所述,实数 的值为 . (9 分) (3)由(1)可知 ,则 , 所以原不等式可化为 ,即 . (10 分) 易知 在 上单调递减, 所以 ,也即 . (11 分) 当 时,不等式 即 ,解得 . (12 分) 当 时,不等式 可化为 , 当 时, ,不等式 可化为 ,解得 或 ; (13 分) 当 时,不等式 可化为 , 当 时, ,解得 , (14 分) 当 时, ,不等式 的解集为 , (15 分) 当 时, ,解得 . (16 分) 综上所述,当 时,解集为 ; 当 时,解集为 ; 当 时,解集为 ; 当 时,解集为 ; 当 时,解集为 . (17 分) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年高一年级阶段性测试(二) 数 学 一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 ,则 A. B. C. D. 2. 已知函数 的图象如图所示,可以用二分法求近似值的零点个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 设 ,则 A. B. C. D. 4. 函数 的一个单调递增区间是 A. B. C. D. 5. 已知 是角 终边上的一点,则 A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 6. 已知实数 满足 ,则下列结论一定成立的是 A. B. C. D. 7. 已知函数 若关于 的方程 有 3 个不同的实数根,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知函数 ,若 恒成立,则 的最小值为 A. B. 2 C. D. 4 二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知函数 ,则 A. 是奇函数 B. 当 时 取得最大值, C. 为 的一个零点 D. 在区间 上单调递减 10. 对任意实数 ,我们把 叫作取整函数,也称为高斯函数,其表示不超过 的最大整数,如 . 则 A. B. C. 的解集为 D. 函数 有 3 个零点 11. 记函数 的定义域为 ,若存在非负实数 ,满足对任意的 ,总有 ,则称 具有性质 . 下列说法正确的为 A. 所有偶函数都具有性质 B. 存在 ,使得函数 具有性质 C. 对任意 ,函数 都具有性质 D. 已知 ,若函数 具有性质 ,则 的取值范围为 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12. 已知 是增函数，则 的取值范围是_____. 13. 已知 ，且 ，则 _____. 14. 已知函数 和 互为反函数,若正数 满足 ,则 _____. 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 已知集合 . (1)若 ，求 ； (2)若 ，求实数 的取值范围. 16. (15 分) 一个扇形的半径为 ,圆心角为 ,弧长为 . (1)若 ，圆心角等于正五边形的一个内角，求弧长 . (2)若扇形的面积 ，当 为多少时，扇形的周长最小？最小值是多少？ 17. (15 分) 已知函数 的最小正周期为 . (1)求 在区间 上的值域； (2)若 在区间 上单调递减，求正数 的最大值. 18. (17 分) 已知 ，且 ，函数 ， ， . (1)若 ，求 的最小值； (2)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围； (3)若对任意 ，恒有 ，求实数 的取值范围. 19. (17 分) 函数 的图象关于点 中心对称的充要条件是 . 已知函数 (1)求证: 的图象关于点 中心对称； (2)若函数 在区间 上的最小值为 11，求实数 的值； (3)求关于 的不等式 的解集. 学科网（北京）股份有限公司 $