山东省临沂市沂水县第一中学2026届高考数学模拟预测卷四

2026年高考数学模拟预测卷四 参考答案与评分标准 （时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，则 A． B．或 C． D．或 【答案】B 解析 解不等式，，解得，所以，则或．故选B 2． “”是“，成立”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 解析 因为，成立，则，即. 所以，“”是“，成立”的充分不必要条件.故选A. 3． 函数的最小值为 A．0 B．4 C． D． 【答案】D 解析 的定义域为，在区间上单调递增，在区间上也单调递增，所以在区间上单调递增，所以．故选D． 4．如图所示，扇形的半径为2，圆心角为，若扇形绕旋转一周，则图中阴影部分绕旋转一周所得几何体的表面积为 A． B． C． D． 【答案】C 解析 阴影部分旋转一周以后所得的几何体为一个以为半径的半球减掉一个底面半径为，高为的圆锥，几何体表面积 5．某公司为实现利润目标制定奖励制度，其中规定利润超过10万元且少于1000万元时，员工奖金总额y（单位：万元）随利润x（单位：万元）的增加而增加，且奖金总额不超过5万元，则y关于x的函数可以为（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】 B 解析 由题意，函数在时为增函数，故D不合题意，排除D； 因为当时，，故C不符合题意，排除C； 当时，，故不符合题意，排除A; 因为为增函数，且时，，当时，，满足题意，故B正确.故选B 6．一袋里装有带编号的红色，白色，黑色，蓝色四种不同颜色的球各两个，从中随机选4个球，已知有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为 A． B． C． D． 【答案】C 解析 记至少有两个球颜色相同的事件为，两球颜色不同的事件为， 因此，， 所以有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为. 故选C 7．在平面直角坐标系中，已知两点，到直线的距离分别是1与4，则满足条件的直线共有 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 解析 分别以为圆心，以为半径作圆， 因为， 所以两圆外切，有三条公切线，即满足条件的直线共有3条，故选C 8．若对函数的图象上任意一点处的切线，函数的图象上总存在一点处的切线，使得，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 解析 由，得，所以， 由，得. (1)当时，导函数单调递增，， 由题意得 故，解得； (2)当时，导函数单调递减，，同理可得，与矛盾，舍去；（3）当时，不符合题意. 综上，的取值范围为.故选. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设z为复数（为虚数单位），下列命题正确的有 A．若z∈R，则z＝ B．若z2∈R，则z∈R C．若z2＋1＝0，则z＝i D．若（1＋i）z＝1－i，则|z|＝1 【答案】AD 解析 设.A选项，因z∈R，则，则，故A正确； B选项，注意到，但，故B错误； C选项，注意到，则有可能为，故C错误； D选项，，则，故D正确.故选AD 10．已知双曲线，O为坐标原点，过的右焦点作的一条渐近线的平行线交于点，交的另一条渐近线于点，则 A．向量在上的投影向量为 B．若为直角三角形，则为等轴双曲线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 【答案】ABD 解析 对于A，由题意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|, Q在OF上的投影为OF的中点，在上的投影向量为，故A正确； 对于B，若△OQF为直角三角形，可得渐近线的倾斜角为，，， 为等轴双曲线，故B正确； 对于C，若，设，则解得或(舍去)，设渐近线的倾斜角为，可得，，， ，，，，故C错误； 对于D，设直线的方程为，与渐近线的交点坐标为，若，则，设，， ，在双曲线上，，，， 的渐近线方程为，即，故D正确.故选ABD 11．已知为圆锥底面圆的直径（为顶点，为圆心），点为圆上异于的动点，，研究发现：平面和直线所成的角为，该圆锥侧面与平面的交线为曲线.当时，曲线为圆；当时，曲线为椭圆；当时，曲线为抛物线；当时，曲线为双曲线.则下列结论正确的为 A．过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2 B．的取值范围为 C．若为线段上的动点，则 D．若，则曲线必为双曲线的一部分 【答案】ACD 解析 对选项A：如图1，设截面为为中点，连接，设，则，当，即时等号成立，A正确； 对选项B：如图2，中，，则当时，，B错误； 对选项C：如图3，为等腰直角三角形，，将放平得到，当三点共线时最小，为中点，连接，则， ，C正确； 对选项D：由，可解得或者，而， 所以，从而该圆锥侧面与平面的交线必为双曲线的一部分，D正确.故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线交于点D，若且，则___________. 【答案】3 解析 如图，设准线与轴的交点为，作，垂足分别为，， 则.根据抛物线定义知，， 设，因为，所以， ∴.设，所以，所以. 13．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其外接球半径为2，则的最大值为____________． 【答案】8 解析 设，因为三棱锥的三条侧棱两两垂直， 所以由长方体模型可知，，即. ，当且仅当时，取等号. 即的最大值为.故答案为. 14．已知数列的前项和为，且，若，则数列的前项和_____________. 答案 解析 因为，当时，， 当时，，所以， 即，又因为，满足上式， 所以是以为首项，为公比的等比数列，则. ∴， ∴. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，已知椭圆的一个焦点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，的中点为.设为原点，射线交椭圆于点.当四边形为平行四边形时，求的值. 解析 （1）由题意得椭圆的半焦距，又，则，………………2分 ，………………3分 椭圆的方程为.………………4分 （2）由（1）得椭圆的方程为， 由题意得直线的方程为，即，………………5分 联立消去得，………………7分 设，则.………………9分 四边形是平行四边形， 设，则，即， ，………………10分 又，即， 解得.………………13分 16．（15分）函数. (1)讨论函数的极值； (2)当时，求函数的零点个数. 解析 （1），………………1分 当，即时，恒成立，在上单调递增，无极值；………3分 当，即时，令，解得，………………4分 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 的极小值为，无极大值；………………6分 综上，当时，无极值；当时，极小值为，无极大值. ………7分 （2）由（1）知当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，，恒成立，无零点；……9分 当时，，有唯一零点；……………11分 当时，， 又，当趋近于正无穷大时，也趋近于正无穷大， 在和上各存在一个零点，即有两个零点；…………13分 综上，当时，无零点；当时，有且仅有一个零点；当时，有两个不同的零点. ………………15分 17．（15分）如图，在圆台中，，分别为上、下底面直径，，为的中点，为线段的中点，为圆台的母线，与圆台下底面所成的角为． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 解析 （1）证明：连接，，则平面．………………1分 因为为母线，所以四点共面，且．取中点，连接，．因为，则， 所以四边形为平行四边形． 所以，所以平面．………………3分 所以为与底面所成角， 即． 在中，，所以，同理．在中，，所以． 因为平面，平面，所以． 因为为的中点，所以， 又，平面，平面, 所以平面，………………5分 又平面，所以． 又因为，， 平面，平面， 所以平面；………………7分 （2）以O为原点，分别以，，所在的方向为，，的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，.………………9分 所以，，，.………………10分 设平面的一个法向量为， 由，得， 令，得，所以．………………12分 设平面的一个法向量为， 由，则． 令，得，所以，………………14分 设平面，与平面夹角为， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为．………………15分 18．（17分）已知，D为边AC上一点，，. (1)若，，求； (2)若直线BD平分，求与内切圆半径之比的取值范围. 解析 （1）如图1，，， 所以，………………2分 因为，，所以， 故，则，即，………………4分 又，则，故， 不妨记，，则， 因为， 所以，解得，则， 因为，所以，………………6分 所以.………………8分 （2）如图2，不妨设与内切圆的半径分别为与，因为直线BD平分， 所以由角平分线性质定理得，记，则， 记，则，………………10分 因为，………………11分 所以， 因为，即，则， 所以，即，………………12分 因为（为顶点到的距离）， 又，，………………13分 所以，则， ………………14分 令，则，， 所以，………………15分 因为，所以，则，故， 所以，即， 所以，故，………………16分 所以与内切圆半径之比的取值范围为.………………17分 19．（17分）某种抗病毒疫苗进行动物实验，将疫苗注射到甲乙两地一些小白鼠体内，小白鼠血样某项指标X值满足12.2≤X≤21.8时，小白鼠产生抗体．从注射过疫苗的小白鼠中用分层抽样的方法抽取了210只进行X值检测，其中甲地120只小白鼠的X值平均数和方差分别为14和6，乙地90只小白鼠的X值平均数和方差分别为21和17，这210只小白鼠的X值平均数与方差分别为，（与均取整数）．用这210只小白鼠为样本估计注射过疫苗小白鼠的总体，设． (1)求，； (2)小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立，已知注射过疫苗的N只小白鼠中有102只产生抗体，试估计N的可能值（以使得P（K=102）最大的N的值作为N的估计值）； (3)对这些小白鼠进行第二次疫苗注射后，有99.1%的小白鼠产生了抗体，再对这些小白鼠血样的X值进行分组检测，若每组n（n≤50）只小白鼠混合血样的X值在特定区间内，就认为这n只小白鼠全部产生抗体，否则要对n只小白鼠逐个检测．已知单独检验一只小白鼠血样的检测费用为10元，n只小白鼠混合血样的检测费用为n+9元．试给出n的估计值，使平均每只小白鼠的检测费用最小，并求出这个最小值（精确到0.1元）． 附：若，则，． 参考数据：，，，． 解析 （1）法1 记甲地小白鼠样本X值的平均数为，方差为；记乙地小白鼠样本X值的平均数为，方差为，则，，，，所以 ．………………2分……4分 法2：记甲地小白鼠样本的X值为x1，x2，…，x120，平均数为，方差为；记乙地小白鼠样本的X值为y1，y2，…，y90，平均数为，方差为． 因为，，，．所以．………………2分 由，，可得 ． 同理，于是 ．………………4分 （2）因为，所以P（12.2≤X≤21.8）=P（μ-σ≤X≤μ-σ）≈0.68． 从注射过疫苗的小白鼠取出N只，其中产生抗体的有K只，则K～B（N，0.68），………………6分 当N<102时，P（K=102）=0，显然不合题意；………………7分 当N≥102时，．………………8分 若N=102，则，不合题意； 若N≥103，则 化简得解得149≤N≤150． 综上，N的估计值为149或150．………………10分 （3）记n只小白鼠检测费用为Y元，当n只小白鼠全部产生抗体时，Y=n+9，当n只小白鼠不都产生抗体时，Y=11n+9，则 P（Y=n+9）=0.991n，P（Y=11n+9）=1-0.991n．………………12分 因此． 因为n≤50，所以． 故，当且仅当n=10时取等号．………16分 于是每只小白鼠平均检测费用的最小值约为2.8元，n的估计值为10．……………17分 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟预测卷四 （时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，则 A． B．或 C． D．或 2． “”是“，成立”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3． 函数的最小值为 A．0 B．4 C． D． 4．如图所示，扇形的半径为2，圆心角为，若扇形绕旋转一周，则图中阴影部分绕旋转一周所得几何体的表面积为 A． B． C． D． 5．某公司为实现利润目标制定奖励制度，其中规定利润超过10万元且少于1000万元时，员工奖金总额y（单位：万元）随利润x（单位：万元）的增加而增加，且奖金总额不超过5万元，则y关于x的函数可以为（参考数据：，） A． B． C． D． 6．一袋里装有带编号的红色，白色，黑色，蓝色四种不同颜色的球各两个，从中随机选4个球，已知有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为 A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知两点，到直线的距离分别是1与4，则满足条件的直线共有 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 8．若对函数的图象上任意一点处的切线，函数的图象上总存在一点处的切线，使得，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设z为复数（为虚数单位），下列命题正确的有 A．若z∈R，则z＝ B．若z2∈R，则z∈R C．若z2＋1＝0，则z＝i D．若（1＋i）z＝1－i，则|z|＝1 10．已知双曲线，O为坐标原点，过的右焦点作的一条渐近线的平行线交于点，交的另一条渐近线于点，则 A．向量在上的投影向量为 B．若为直角三角形，则为等轴双曲线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 11．已知为圆锥底面圆的直径（为顶点，为圆心），点为圆上异于的动点，，研究发现：平面和直线所成的角为，该圆锥侧面与平面的交线为曲线.当时，曲线为圆；当时，曲线为椭圆；当时，曲线为抛物线；当时，曲线为双曲线.则下列结论正确的为 A．过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2 B．的取值范围为 C．若为线段上的动点，则 D．若，则曲线必为双曲线的一部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线交于点D，若且，则___________. 13．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其外接球半径为2，则的最大值为____________． 14．已知数列的前项和为，且，，则数列的前项和_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，已知椭圆的一个焦点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，的中点为.设为原点，射线交椭圆于点.当四边形为 平行四边形时，求的值. 16．（15分）函数. (1)讨论函数的极值； (2)当时，求函数的零点个数. 17．（15分）如图，在圆台中，，分别为上、下底面直径，，为的中点，为线段的中点，为圆台的母线，与圆台下底面所成的角为． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分）已知，D为边AC上一点，，. (1)若，，求； (2)若直线BD平分，求与内切圆半径之比的取值范围. 19．（17分）某种抗病毒疫苗进行动物实验，将疫苗注射到甲乙两地一些小白鼠体内，小白鼠血样某项指标X值满足12.2≤X≤21.8时，小白鼠产生抗体．从注射过疫苗的小白鼠中用分层抽样的方法抽取了210只进行X值检测，其中甲地120只小白鼠的X值平均数和方差分别为14和6，乙地90只小白鼠的X值平均数和方差分别为21和17，这210只小白鼠的X值平均数与方差分别为，（与均取整数）．用这210只小白鼠为样本估计注射过疫苗小白鼠的总体，设． (1)求，； (2)小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立，已知注射过疫苗的N只小白鼠中有102只产生抗体，试估计N的可能值（以使得P（K=102）最大的N的值作为N的估计值）； (3)对这些小白鼠进行第二次疫苗注射后，有99.1%的小白鼠产生了抗体，再对这些小白鼠血样的X值进行分组检测，若每组n（n≤50）只小白鼠混合血样的X值在特定区间内，就认为这n只小白鼠全部产生抗体，否则要对n只小白鼠逐个检测．已知单独检验一只小白鼠血样的检测费用为10元，n只小白鼠混合血样的检测费用为n+9元．试给出n的估计值，使平均每只小白鼠的检测费用最小，并求出这个最小值（精确到0.1元）． 附：若，则，． 参考数据：，，，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $