精品解析：湖北省襄阳市樊城区南漳胡云镇一中协作体2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度上学期八年级12月月考数学卷 一、选择题（每小题3分） 1. 下列各式中，从左到右变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 有一块边长为米的正方形土地，若把这块地的一边长增加1米，另一边长减少1米，则与原来相比，这块土地的面积（ ） A. 没有变化 B. 变大了 C. 变小了 D. 无法确定 4. 若则的值为（ ） A. 28 B. 14 C. 11 D. 18 5. 已知式子的计算结果中不含x的一次项，则a的值为（ ） A. B. 3 C. D. 0 6. 在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形．把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ） A. B. C. D. 7. 小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式□中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（ ） A. a B. C. D. 8. 如果（且），则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 10 D. 5 9. 已知，，则代数式的值为（ ） A. B. 6 C. 9 D. 8 10. （为非负整数）当时的展开情况如下所示： 观察左边这些式子等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 二、填空题（每小题3分） 11. 把多项式分解因式的结果为________ 12. 若，则的取值范围为______． 13. 若，则________ 14. 若是一个完全平方式，则m的值为________ 15. 我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法：①当时，；②无论取任何实数，不等式恒成立：③若，则：④若是含有字母的代数式，且为完全平方式，则或．其中正确的有______． 三、解答题（共9个小题，72分） 16. （1）计算 （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 分解因式 （1）． （2） 18. 如图，中，是边中点，，为直线上的点，连接，，且． （1）求证：； （2）若，，试求：的长． 19. 规定，求： （1）求的值； （2）若，求的值． 20. 已知整式，整式，若可以分解为，求． 21. 阅读下列材料，观察解题过程：已知，求的值． 解：， ， ，， ， ，解得 根据你的观察，解答以下问题： （1）已知，求的值． （2）当分别取何值时，多项式值最小？请你求出最小值． 22. 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，阴影部分的面积所揭示的乘法公式是． （1）用个全等的长和宽分别为，的长方形拼摆成一个如图的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系． （2）如图，是线段上一点，分别以，为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为，求的面积 （3）若，求的值． 23. 襄阳市第二十中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． （1）如图1，在和中，，，，，，三点共线，连接，请猜想和的数量关系与位置关系并证明； （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长交于点．求的度数； （3）如图3，在和中，，，，连接，交于点．连接，，延长交于点，完成图形并求的度数（用含的代数式表示）． 24. 如图，已知，，且，交轴于点． （1）如图，若，求点坐标； （2）如图，，两点分别在轴，轴正半轴上，为的中点，交轴于点，连，若，求点的坐标； （3）如图，在轴的负半轴上，以为边在的右侧作等边，连，当时，请探究线段、、之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期八年级12月月考数学卷 一、选择题（每小题3分） 1. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的识别，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．中等号右边不是积的形式，故A不符合题意； B．是乘法运算，故B不符合题意； C．是乘法运算，故C不符合题意； D．符合因式分解的定义，故D符合题意； 故选D． 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单项式乘单项式法则，合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方法则，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A. ，故该选项符合题意， B. ，不能合并，故该选项不符合题意， C. ，故该选项不符合题意， D. ，故该选项不符合题意， 故选A． 【点睛】本题主要考查单项式乘单项式法则，合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方法则，熟练掌握上述运算法则和公式，是解题的关键． 3. 有一块边长为米的正方形土地，若把这块地的一边长增加1米，另一边长减少1米，则与原来相比，这块土地的面积（ ） A. 没有变化 B. 变大了 C. 变小了 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的应用．求出原正方形面积，变化后长方形的面积，比较后即可判断． 【详解】解：∵原正方形面积为，变化后长方形面积为， ∴， 即面积变小了． 故选：C． 4. 若则的值为（ ） A. 28 B. 14 C. 11 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算，根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加进行解答，即可得出答案，熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴． 故选：A． 5. 已知式子计算结果中不含x的一次项，则a的值为（ ） A. B. 3 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法，先按照多项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令不含项的系数等于零，列方程求解即可． 【详解】解：； ∵结果中不含的一次项， ∴， 解得：； 故选C． 6. 在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形．把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式乘法公式与图形的关系，根据题意，表示出两个图形中的阴影面积，数形结合，根据面积相等即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形， ， 把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形， ， ， 故选：C． 7. 小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式□中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（ ） A. a B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用公式法以及提公因式法分解因式得出答案． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、不能分解因式，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，熟练掌握公式法和提公因式法分解因式是解题的关键． 8. 如果（且），则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则． 利用同底数幂的除法法则，将等式转化为指数相等，然后求解n． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 9. 已知，，则代数式的值为（ ） A. B. 6 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值． 将代数式因式分解为，然后代入已知值计算． 【详解】解：． 故选：B． 10. （为非负整数）当时的展开情况如下所示： 观察左边这些式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，杨辉三角的有关知识，由特殊情况，可以总结出一般规律． 【详解】解：当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 故选：B． 二、填空题（每小题3分） 11. 把多项式分解因式的结果为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． 观察多项式，两项含有公因式，因此使用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零次幂的意义，熟练掌握零次幂的意义是解答本题的关键，非零数的零次幂等于1，零的零次幂没有意义． 根据底数不为0列式求解即可． 【详解】∵， ∴， 即． 故答案为：． 13. 若，则________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值． 将原式化简后计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 若是一个完全平方式，则m的值为________ 【答案】5或-7 【解析】 【详解】由(x±3) ²=x²±6x+9， ∴−(m+1)=±6 解得：m=5或−7 故答案为5或−7． 15. 我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法：①当时，；②无论取任何实数，不等式恒成立：③若，则：④若是含有字母的代数式，且为完全平方式，则或．其中正确的有______． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了利用代数式的变形及完全平方公式的应用，通过代入具体的a的值，应用完全平方公式，不等式等知识验证结论是否正确． ①将代入求出的值故①正确；②利用平方的非负性，即；可得，故②正确，③若，等式两边同时除以，再两边同时平方，即可得，故③错误，④根据完全平方公式可知，若为完全平方式，则，或，或，或，得到的值故④错误． 【详解】解：①当时，故①正确； ②， ， 恒成立，故②正确； ③若，则， 可得， ， ，即，但是两个非负数之和不可能是，故③错误； ④∵若为完全平方式， 则，或，或，或， ∴或或或，故④错误； 故答案为：①②． 三、解答题（共9个小题，72分） 16. （1）计算 （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) ；(2) ， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． （1）直接运用整式的混合运算法则计算即可； （2）先用整式的混合运算法则化简，然后将、代入代数式求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当、时，原式． 17. 分解因式 （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，中，是边的中点，，为直线上的点，连接，，且． （1）求证：； （2）若，，试求：的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质． （1）由三角形中线的定义得到，由平行线的性质得到，据此利用可证明； （2）由线段的和差关系可得的长，由全等三角形的性质可得，据此可得答案． 【小问1详解】 证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 19. 规定，求： （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】本题是定义新运算的题目，需结合同底数幂的乘法法则、解一元一次方程的知识解答； （1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义可得，可得，求出x的值即可． 【小问1详解】 由题意得： 【小问2详解】 由题意得： ∴，解得： 20. 已知整式，整式，若可以分解为，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法，整式的加减，因式分解． 分别计算和的值，进而作答即可． 【详解】解： ， ， ∵可以分解为， ∴， 解得：． 21. 阅读下列材料，观察解题过程：已知，求的值． 解：， ， ，， ， ，解得 根据你的观察，解答以下问题： （1）已知，求的值． （2）当分别取何值时，多项式的值最小？请你求出最小值． 【答案】（1） （2），； 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、配方法的应用、代数式求值等知识点，熟练利用完全平方公式进行配方是解题的关键． （1）先利用完全平方公式对式子进行配方，再利用非负数的性质求得m、n的值，再求即可解答； （2）先利用完全平方公式对式子进行配方，再利用非负性求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ，， ， ． 【小问2详解】 解： ， ， ∴， ∴多项式的最小值为2，此时， ∴当，时，多项式的最小值为2． 22. 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，阴影部分的面积所揭示的乘法公式是． （1）用个全等的长和宽分别为，的长方形拼摆成一个如图的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系． （2）如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为，求的面积 （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的关系，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键． ()根据图形的阴影部分面积可进行求解； ()设，根据题意得到，然后利用完全平方公式求得即可求解； ()设，，则，，利用完全平方公式求得即可． 【小问1详解】 解：由题意，图中阴影部分是边长为的正方形，其面积为，或者， ∴， ∴这三个代数式，，之间的等量关系为； 【小问2详解】 设， ∵，两正方形的面积和为， ∴， 由得， 解得， ∴； 【小问3详解】 设，，则， 由，得， 由得， ∴； 即． 23. 襄阳市第二十中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． （1）如图1，在和中，，，，，，三点共线，连接，请猜想和的数量关系与位置关系并证明； （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长交于点．求的度数； （3）如图3，在和中，，，，连接，交于点．连接，，延长交于点，完成图形并求度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1）且 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定()和性质(对应边相等、对应角相等)，同时结合角的和差运算、对顶角相等以及三角形内角和定理，通过角的代换实现未知角与已知角的转化，是对几何图形中“边、角关系”综合运用能力． （）先通过角的和差关系推出，再利用证明，得到与的数量关系；接着通过角的代换，结合直角三角形的性质，推导出与的垂直位置关系； （）先由角的和差得到，借助证明，得出；再利用对顶角相等和三角形内角和定理，将转化为已知的，进而求出度数； （）先通过角的和差推出，用证明，得到对应角相等；进一步根据证明，推出平分，再结合对顶角相等和三角形内角和的等量代换，推导出与的数量关系． 【小问1详解】 结论：，且， 证明∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，且， 设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴， 设与交于点， 在和中，(对顶角相等)， ∴ 【小问3详解】 连接，交于点．连接，，延长交于点，作交于点，交于点， ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴， 设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴ 和中 ， ∴， ∴， 又∵， ∴平分， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴． 24. 如图，已知，，且，交轴于点． （1）如图，若，求点坐标； （2）如图，，两点分别在轴，轴正半轴上，为的中点，交轴于点，连，若，求点的坐标； （3）如图，在轴的负半轴上，以为边在的右侧作等边，连，当时，请探究线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） （3）,证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． ()利用平方与绝对值的非负性，即可求出，如图中，过点作轴于点，证明，可得，即可得到点坐标； ()根据()可得：，再由，为的中点，可得点，，再利用面积法求出，即可解题； ()过点作轴于点，在上取一点，使得，证明等边三角形，进而证明， 得，再证明，得，即可得出． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴ ； 如图中，过点作轴于点， ∴， ∴， ， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴ 点坐标为； 【小问2详解】 如图，同理()可证明：， ∵，为的中点， ∴根据中点坐标公式得：点的横坐标, 解得：， ∴点，， ∴， ∵， 即 ∴， ∴， ∴点坐标为； 【小问3详解】 结论：，如图，过点作轴于点， 同理可得：，，在上取一点，使得，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $