精品解析：山东省青岛市市南区青岛大学附属中学2025-2026学年七年级上学期数学周测（14）

青大附中七（上）数学周测12.5 一、选择题：（每小题4分，共36分） 1. 下列方程∶①；②；③；④；⑤．其中是一元一次方程的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 将方程移项，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 解方程时，去括号正确的是(　　) A. B. C. D. 5. 如果是关于x的方程的解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 21 D. 5 6. 下列等式变形正确的是（ ） A. 由，可得 B. 由，可得 C. 由，可得 D. 由，可得 7. 一个长方形的周长为，这个长方形的长减少，宽增加，就可成为一个正方形，设长方形的长为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的方程的解与方程的解互为相反数，则a的值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 9. 规定：对于任意有理数与，满足，譬如，．若有理数满足，则的值为（ ） A. 24或4 B. 6或24 C. 4 D. 6 二、填空题：（每小题4分，共24分） 10. 若关于x的方程ax－6＝2的解为x＝－2，则a＝_________． 11. 若是关于的一元一次方程，则__________. 12. 小张在解方程5a－x＝13时，误将“－x”看成“＋x”，得到方程的解为x＝－2，则a的值为_______． 13. 将一根长为的铁丝围成一个长与宽之比为的长方形，则此长方形的面积为___________． 14. 我市计划把某一段公路的一侧全部栽上丁香树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔7米栽1棵，则树苗缺17棵；如果每隔8米栽1棵，则树苗多出1棵．原有树苗______棵． 15. 如图，一个瓶子的容积为1升，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20cm，倒放时，空余部分的高度为5cm（如图）．则瓶内溶液的体积为 _____升． 三、解答题：（共40分） 16. 解下列方程： （1）； （2） （3）； （4）； 17. 当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大2？ 18. 寒假快来了，小飞同学打算买一只200元的羽毛球拍．但是，他不想用爸妈的钱，打算利用春节前的消费热情，自己赚取．他瞄准小朋友节前买玩具的需求，用300元从批发市场购进甲、乙两种玩具，共40件．其中甲玩具的进价是9元/件，乙玩具的进价是7元/件． （1）小飞购进甲、乙两种玩具各多少件？ （2）小飞计划将甲玩具15元/件卖出，乙玩具10元/件卖出，若甲、乙两种玩具都顺利卖完，小飞赚的钱够买那只羽毛球拍吗？ 19. 定义：如果两个一元一次方程的解的绝对值相同，我们就称这两个方程为互为“友好方程”．例如：方程和为互为“友好方程”． （1）若关于的方程与方程互为“友好方程”，求的值； （2）若互为“友好方程”的两个方程的两个解的差为10，其中一个解为，求的值； （3）若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与关于的方程都互为“友好方程”，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青大附中七（上）数学周测12.5 一、选择题：（每小题4分，共36分） 1. 下列方程∶①；②；③；④；⑤．其中是一元一次方程的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程可得答案． 【详解】解：①，是一元一次方程； ②，有两个未知数，不是一元一次方程； ③，分母中含有未知数，不是整式方程，不是一元一次方程； ④，是一元一次方程； ⑤，未知数最高次数是2，不是一元一次方程． 综上，①④是一元一次方程，一共两个． 故选：A． 2. 根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：A、由可得出或，所以A选项不符合题意． B、当时恒成立，而不一定成立，所以B选项不符合题意． C、由可得出，故C选项符合题意． D、由可得出，所以D选项不符合题意． 故选：C． 3. 将方程移项，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等式的性质，判断出将方程移项，结果正确的是哪个即可． 【详解】解：将方程移项， 结果正确的是：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的性质的应用． 4. 解方程时，去括号正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程利用去括号法则计算即可得到结果． 【详解】解：由原方程去括号，得 ． 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解． 5. 如果是关于x的方程的解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 21 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解及代数式的值是解题的关键；将代入方程得到a和b的关系式，然后整体代入求值. 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴， 故选：C. 6. 下列等式变形正确的是（ ） A. 由，可得 B. 由，可得 C. 由，可得 D. 由，可得 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．按照解一元一次方程的步骤进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、由 ，得，而错误，故A不符合题意； B、由，得 ，故B不符合题意； C、由，得，故C符合题意； D、由，得，故D不符合题意； 故选：C． 7. 一个长方形的周长为，这个长方形的长减少，宽增加，就可成为一个正方形，设长方形的长为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，由长方形周长可得长与宽的和，再根据变化后成为正方形的条件列方程即可． 【详解】解：∵ 长方形的周长为， ∴ 长宽 ． 设长方形的长为，则宽为． 长方形的长减少后长为，宽增加后为． ∵ 变化后为正方形， ∴ ． 故选：B 8. 若关于x的方程的解与方程的解互为相反数，则a的值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解以及相反数的定义，先分别求出两个方程的解，然后根据它们的解互为相反数，列出方程求解a即可． 【详解】解：解方程， 移项得， ∴； 解方程， 移项得， ∴， ∴； ∵两个解互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 规定：对于任意有理数与，满足，譬如，．若有理数满足，则的值为（ ） A. 24或4 B. 6或24 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意分为两种情况，①当时，，②当时，，解一元一次方程，符合题意的值即为所求． 【详解】解： 若， ①当时，， 解得：， ②当时，， 解得：（舍去)． 故选：D． 二、填空题：（每小题4分，共24分） 10. 若关于x的方程ax－6＝2的解为x＝－2，则a＝_________． 【答案】-4 【解析】 【分析】根据一元一次方程的解的定义，把x=﹣2代入方程中，解关于a的方程即可． 【详解】解：把x=﹣2代入方程得：﹣2a﹣6=2 解得：a=﹣4． 故答案是：﹣4． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，掌握概念正确的代入求值是解题关键． 11. 若是关于的一元一次方程，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0），据此可得出关于k的方程，继而可求出k的值． 【详解】根据题意，得 |k|-1=1，且k+2≠0， 解得，k=2； 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 12. 小张在解方程5a－x＝13时，误将“－x”看成“＋x”，得到方程的解为x＝－2，则a的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】把x=-2代入看错的方程计算即可求出a的值． 【详解】把x=-2代入方程5a+x=13得：5a-2=13， 解得：a=3． 故答案为：3． 【点睛】考查了解一元一次方程，解题关键是理解方程的解和熟记解一元一次方程的方法． 13. 将一根长为的铁丝围成一个长与宽之比为的长方形，则此长方形的面积为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】设宽为x，则长为2x，根据周长公式求得该长方形的长与宽，结合长方形的面积公式解答即可． 【详解】∵用长 12cm 的铁丝围成长与宽之比为2:1的长方形， ∴设宽为x，则长为 2x ， ∴， 解得：x=2， 则长为 4cm ，宽为 2cm， 故长方形面积为： 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键． 14. 我市计划把某一段公路的一侧全部栽上丁香树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔7米栽1棵，则树苗缺17棵；如果每隔8米栽1棵，则树苗多出1棵．原有树苗______棵． 【答案】128 【解析】 【分析】设原有树苗x棵，根据路的长度=树间距×（植树的棵数-1）结合路的长度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】设原有树苗x棵， 根据题意得：7（x+17-1）=8（x-1-1）． 解得，x=128 所以，原有树苗128棵. 故答案为128． 【点睛】本题考查了栽树问题的运用，栽树的棵数=分得的段数+1的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时由路的长度不变建立方程是关键． 15. 如图，一个瓶子的容积为1升，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20cm，倒放时，空余部分的高度为5cm（如图）．则瓶内溶液的体积为 _____升． 【答案】0.8 【解析】 【分析】设瓶子的底面积为S，根据溶液的体积+空余部分的体积=1升列方程求解即可． 【详解】解：设瓶子的底面积为S ，1升=1000， 根据题意列方程得，20S+5S=1000， 解得S=40， 40×20=800（）， 800cm3=0.8L， 故答案为：0.8． 【点睛】本题考查了圆柱体的容积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．此题还有注意单位的统一． 三、解答题：（共40分） 16. 解下列方程： （1）； （2） （3）； （4）； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，涉及移项、合并同类项、系数化为1、去分母、去括号等基本步骤，解决本题的关键是根据每个小题的方程特点选择适当方法求解． （1）移项并合并同类项求解即可； （2）去分母，两边同乘6，再移项合并同类项即可； （3）去括号，移项并合并同类项求解即可； （4）去括号，移项并合并同类项求解即可． 【小问1详解】 解： 移项得：， 合并同类项得：， 解得：； 【小问2详解】 解： 去分母，两边同乘6得：， 计算得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问3详解】 解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问4详解】 解： 去括号得：， 合并常数项得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 17. 当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大2？ 【答案】 【解析】 【分析】分别解两个方程求得方程的解，然后根据x的方程的解比关于x的方程的解大2，即可列方程求得m的值． 【详解】解：解方程得：， 解得：， 根据题意得：， 解得：． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值． 18. 寒假快来了，小飞同学打算买一只200元的羽毛球拍．但是，他不想用爸妈的钱，打算利用春节前的消费热情，自己赚取．他瞄准小朋友节前买玩具的需求，用300元从批发市场购进甲、乙两种玩具，共40件．其中甲玩具的进价是9元/件，乙玩具的进价是7元/件． （1）小飞购进甲、乙两种玩具各多少件？ （2）小飞计划将甲玩具15元/件卖出，乙玩具10元/件卖出，若甲、乙两种玩具都顺利卖完，小飞赚的钱够买那只羽毛球拍吗？ 【答案】（1）购进甲种玩具10件，乙种玩具30件； （2）甲、乙两种玩具都顺利卖完，小飞赚的钱不够买那只羽毛球拍． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）设购进甲种玩具x件，乙种玩具y件，根据总价=单价×数量结合该商场用300元购进甲、乙两种玩具共40件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据总利润=每件玩具的利润×数量，即可求出结论． 【小问1详解】 解：解：设甲、乙两种玩具分别为x件、y件， 则：， 解得：， 答：购进甲种玩具10件，乙种玩具30件； 【小问2详解】 解：（元）； ， 答：甲、乙两种玩具都顺利卖完，小飞赚的钱不够买那只羽毛球拍． 19. 定义：如果两个一元一次方程的解的绝对值相同，我们就称这两个方程为互为“友好方程”．例如：方程和为互为“友好方程”． （1）若关于的方程与方程互为“友好方程”，求的值； （2）若互为“友好方程”的两个方程的两个解的差为10，其中一个解为，求的值； （3）若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与关于的方程都互为“友好方程”，求的值． 【答案】（1）或 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是根据“友好方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）分别求出表示出方程与方程的解，再结合“友好方程”的定义得到，进而求解，即可解题； （2）结合“友好方程”的定义，得到互为“友好方程”的两个方程的两个解互为相反数，且一个为，另一个为，再根据情况建立等式求解，即可解题． （3）先解出的解，再根据“友好方程”的定义可得或，结合题意进而得到，的值，即可列式求解和的值． 【小问1详解】 解：因为关于的方程与方程互为“友好方程”， 且方程的解为，方程的解为， 所以， 所以有或， 解得或， 所以的值为或； 【小问2详解】 解：因为互为“友好方程”的两个方程的两个解的差为10， 又互为“友好方程”的两个方程的两个解的绝对值相同， 所以互为“友好方程”的两个方程的两个解互为相反数，且一个为，另一个为， 因为其中一个解为， 所以有或， 解得或， 综上所述，的值为或； 【小问3详解】 解：方程解得， 因为关于的方程（、为常数）与关于的方程都互为“友好方程”， 所以当时，有， 整理得， 因为取任何有理数， 所以，， 解得，， 所以； 当时，有， 整理得， 因为取任何有理数， 所以，， 解得，， 所以； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $