湖北省武汉市第十七中学2025-2026学年高三上学期12月考试数学试卷

高三年级12月考试 数学试卷 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将答题卡上此题对应选项的标号涂黑）． 1、设集合，，，则S （ ） A． B． C． D． 2、已知复数满足，则（     ） A． B． C． D． 3、为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（  ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 4、已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知菱形的边长为,,点是上靠近的四等分点,则 （     ） A． B． C． D． 6、数列满足且，则下列结论错误的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 7、设 ，则（    ） A． B． C． D． 8、设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请将答题卡上此题对应的上述选项的标号涂黑） 9、已知向量，满足，，，则下列说法正确的是（     ） A．，的夹角为 B． C．的最小值为 D．若，则的最大值为5 10、在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（     ） A． B．是的图象的一条对称轴 C．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为 D．在内恰有3个零点 11、如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，分别是图象的一个最高点和最低点，是图象与轴的交点，，垂足为，现将该卡片沿轴折成如图2所示的直二面角，对于图2，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请将每小题的正确答案填写在答题卡上对应的位置） 12、已知直线与，若，则 . 13、展开式中的常数项是120，则实数 . 14、某中学招聘教师分笔试和面试两个环节，主考官要求应聘者从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错扣1分.甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为，且每道题答对与否互不影响.则甲得 分的概率最大. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15、已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且成等比数列.数列的前项的和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 16、 如图，在四面体中，平面BCD．M是AD的中点，P是BM的中点， 点Q在线段AC上，且． (1)求证：平面BCD； (2)若为正三角形，且，求二面角的余弦值． 17、△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 （1）求A； （2）若b＝3，c＝8，∠A的平分线交BC于点D，求线段AD的长； （3）若△ABC是锐角三角形，且b＝1，求△ABC面积的取值范围． 18、小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为. (1)求，，的大小； (2)求概率，，满足的关系式； (3)记概率的值构成的数列为（），求的最大值与最小值. 19 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）帕德近似（）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示.当且时，试比较与的大小. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级12月考试 数学试卷 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将答题卡上此题对应选项的标号涂黑）． 1、设集合，，，则S （ ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 故选：A． 2、已知复数满足，则（     ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以z= ，所以 故选：C 3、为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（  ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【详解】 ,该函数的图象可由向右平移个单位长度可得． 故选：A 4、已知，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，则，且， 可得， ， 则， 所以. 故选：B 5、数列满足且，则下列结论错误的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 【详解】由数列{an}满足an＋1＝，可得， 所以，且， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故， 对于A，因是等差数列，则是的等差中项，故A正确； 对于B，由，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确； 对于C，由，可得，其中，故C正确； 对于D，由，可得， 则，， 即，故D错误. 故选：D. 6．已知菱形的边长为,,点是上靠近的四等分点,则 （     ） A． B． C． D． 【详解】画出几何图像: 选取和为基底, 菱形的边长为 ,点是上靠近的四等分点 由 可得:    故选:C. 7、设 ，则（    ） A． B． C． D． 【详解】构造斜率函数 ，即上点与所成直线的斜率，    由题设，构造的斜率都是正数， 由图象知：倾斜角越大，斜率越大，即原式的值越大， 可得：，即. 故选：B 8、设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题知， 零点的个数可转化为与交点的个数， 当时， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 如图所示：    所以时有最大值： 所以时，由图可知必有两个交点； 当时，因为，， 所以， 令，则 则有且，如图所示：    因为时，已有两个交点， 所以只需保证与有三个交点即可， 所以只需，解得. 故选：D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请将答题卡上此题对应的上述选项的标号涂黑） 9、已知向量，满足，，，则下列说法正确的是（     ） A．，的夹角为 B． C．的最小值为 D．若，则的最大值为5 【详解】， ，解得， 选项A，设是与的夹角，则，，故A正确； 选项B，，故B错误； 选项C，， 当时，的最小值为，故C错误； 选项D，设向量，， ， 设是与的夹角，则，即， 当且仅当共线时取等号， ，故的最大值为5，故D正确． 故选：AD． 10、在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（     ） A． B．是的图象的一条对称轴 C．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为 D．在内恰有3个零点 【详解】因为，所以由三角函数的定义得，， 所以， 则 ， A: ，故A正确； B：因为，所以是的图象的一条对称轴，故B正确； C：将函数图象上的所有点向左平移个单位长度， 所得到的函数解析式为，故C错误； D：令，得， 解得， 仅，1，即符合题意， 即在内恰有两个零点，故D错误. 故选：AB 11、如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，分别是图象的一个最高点和最低点，是图象与轴的交点，，垂足为，现将该卡片沿轴折成如图2所示的直二面角，对于图2，则下列结论正确的是（   ） A． B．点到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【详解】在图1中，由函数的解析式可知； 在图2中，建立空间直角坐标系如下图所示： 则，可得， 对于A，因此可知，即A正确； 对于B，易知， 则点到直线的距离为，即B错误； 对于C，设平面的一个法向量为，又， 所以，令，则；因此平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为，因此C正确； 对于D，显然平面的一个法向量为，所以平面与平面夹角的余弦值为，因此D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请将每小题的正确答案填写在答题卡上对应的位置） 12、已知直线与，若，则 . 【详解】∵与，且， ∴且， 解得（舍去）． ∴． 故答案为： 13、展开式中的常数项是120，则实数 . 【详解】∵展开式的通项公式为， 令得，即． 令得，即， ∴展开式中的常数项为， 故，解得． 故答案为： 14、某中学招聘教师分笔试和面试两个环节，主考官要求应聘者从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错扣1分.甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为，且每道题答对与否互不影响.则甲得 分的概率最大. 【详解】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大， 易知， 所以，即， 易知时，最大， 所以得分的概率最大. 故答案为：112 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15、已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且成等比数列.数列的前项的和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【详解】（1）设数列公差为，由成等比数列有： ，解得：， 所以， 数列， 当即，，解得：， 当时，有，所以， 得：.又， 所以数列为以为首项，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为：. （2）， ， 16、如图，在四面体中，平面BCD．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且． (1)求证：平面BCD；..................7分 (2)若为正三角形，且，求二面角的余弦值．..............8分 【详解】（1）过P作，交BD于S， 过Q作，交CD于R，连接RS.................................1分 ∵，P是BM的中点， ∴S是BD的中点，且，.........................................2分 ∵，，M是AD的中点，∴， ∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，..........................2分 ∵平面BCD，平面BCD， ∴平面BCD．................2分 (2) 取线段中点，分别连接，...................1分 因为为等边三角形， 则，则，................1分 不失一般性，设的边长为4，则， 因为平面BCD，且平面， 则，则， 所以，所以即为二面角的平面角，................4分 因为M是AD的中点，则，，， 则.................2分 （第二问空间向量建系方法酌情给分） 17、△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ． （1）求A； （2）若b＝3，c＝8，∠A的平分线交BC于点D，求线段AD的长； （3）若△ABC是锐角三角形，且b＝1，求△ABC面积的取值范围． 【详解】（1）因为， 整理可得， 即，即， 即，因为A∈（0，π），故，解得； （2）由（1）已得，由AD为∠BAC的平分线，可得， 由S△ABC＝S△BAD+S△CAD可得bcsinA＝（b+c）•ADsin， 而b＝3，c＝8，即3×8×＝（3+8）•AD•，解得； （3）由正弦定理，可得， 因为B，C均为锐角，可得，解得， 故，可得，故， 又，所以△ABC的面积的取值范围为 18、小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为. (1)求，，的大小； (2)求概率，，满足的关系式； (3)记概率的值构成的数列为（），求的最大值与最小值. 【详解】（1）记事件“掷两颗骰子所得的点数之和大于等于10”， 则“掷两颗骰子所得的点数之和小于10”， 易得，，故 ，； （2）； （3）由（2）有，即，（，） 所以，即， 设，解得，. 所以为等比数列，公比为的等比数列， 所以，所以， 当n为偶数时，，由于单调递减， ∵，∴最大值为； 当n为奇数时，，由于单调递增， ∵，∴最小值为； 综上，的最大值为，最小值为. 19 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）帕德近似（）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示.当且时，试比较与的大小. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得， 所以函数的递减区间为，无递增区间. （2）任意，不等式恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 当时，，，则函数在上单调递增， 因此，，所以实数的取值范围是. （3）令函数，求导得， 当且仅当时取等号，则函数在上单调递增，而， 则当时，；当时，， 所以当时，；当时，. 学科网（北京）股份有限公司 $